2025考研數(shù)學(xué)《高等數(shù)學(xué)》卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（本大題共6小題，每小題5分，滿分30分。請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上。）1.極限lim(x→0)(e^(2x)-cosx)/x2=________.2.函數(shù)f(x)=x3-3x+2的單調(diào)遞增區(qū)間為________.3.曲線y=ln(x+√(x2+1))在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為________.4.若函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)，且f'(1)=3，則極限lim(h→0)[f(1+h)-f(1)]/(h2)=________.5.廣義積分∫[1,+∞)(1/(xln2x))dx=________.6.微分方程y'+y=ex的通解為________.二、解答題（本大題共5小題，滿分70分。請(qǐng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）7.(本題滿分12分)討論函數(shù)f(x)=x2*sin(1/x)(x≠0),f(0)=0在x=0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。若可導(dǎo)，求f'(0)。8.(本題滿分12分)計(jì)算不定積分∫x*arctan(x2)dx。9.(本題滿分12分)求函數(shù)y=x^2*e^(-x)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。10.(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。證明：至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得(b-a)*f'(ξ)=f(b)-f(a)。11.(本題滿分10分)討論級(jí)數(shù)∑[n=1,+∞)(n*ar^(n-1))/(1+r^n)的收斂性，其中常數(shù)r>0。試卷答案一、填空題1.12.(1,+∞)3.y=x4.3/25.16.y=(e^x-1)+Ce^(-x)(C為任意常數(shù))二、解答題7.解析思路：*連續(xù)性：考察lim(x→0)f(x)是否存在且等于f(0)=0。利用極限的保號(hào)性和三角函數(shù)的有界性，計(jì)算lim(x→0)x2*sin(1/x)。*可導(dǎo)性：若連續(xù)，則考察lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x是否存在。即計(jì)算lim(x→0)[x2*sin(1/x)]/x。若存在，則該極限值即為f'(0)。*關(guān)鍵在于利用sin(1/x)的有界性（-1≤sin(1/x)≤1）進(jìn)行夾逼定理的應(yīng)用。計(jì)算過程：*lim(x→0)f(x)=lim(x→0)x2*sin(1/x)=0*lim(x→0)sin(1/x)=0*(一個(gè)有界值)=0=f(0)。故f(x)在x=0處連續(xù)。*lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x=lim(x→0)[x2*sin(1/x)]/x=lim(x→0)x*sin(1/x)。*由于-1≤sin(1/x)≤1，則-x≤x*sin(1/x)≤x。*因?yàn)閘im(x→0)-x=0且lim(x→0)x=0，由夾逼定理得lim(x→0)x*sin(1/x)=0。*所以f'(0)=0。8.解析思路：*采用分部積分法。設(shè)u=arctan(x2)，dv=xdx，則du=2x/(1+x?)dx，v=x2/2。*應(yīng)用分部積分公式∫udv=uv-∫vdu。*求解∫vdu=∫(x2/2)*(2x/(1+x?))dx=∫x3/(1+x?)dx。*對(duì)∫x3/(1+x?)dx，進(jìn)行換元積分。令t=x?，則dt=4x3dx，x3dx=dt/4。*將積分轉(zhuǎn)化為∫(dt/4)/(1+t)=(1/4)∫(1/(1+t))dt=(1/4)ln|1+t|+C=(1/4)ln(1+x?)+C（因x?>0，故絕對(duì)值可去）。*最后將兩部分結(jié)果合并，并加上積分常數(shù)C。計(jì)算過程：*原式=(1/2)∫arctan(x2)*(x2)dx=(1/2)[arctan(x2)*(x2/2)-∫(x2/2)*(2x/(1+x?))dx]*=(1/4)x2*arctan(x2)-(1/4)∫x3/(1+x?)dx*令t=x?,dt=4x3dx,x3dx=dt/4*=(1/4)x2*arctan(x2)-(1/4)∫(dt/4)/(1+t)*=(1/4)x2*arctan(x2)-(1/16)∫(1/(1+t))dt*=(1/4)x2*arctan(x2)-(1/16)ln(1+t)+C*=(1/4)x2*arctan(x2)-(1/16)ln(1+x?)+C9.解析思路：*求極值點(diǎn)：首先求一階導(dǎo)數(shù)y'=(x2)'*e^(-x)+x2*(e^(-x))'=2x*e^(-x)-x2*e^(-x)=x*e^(-x)*(2-x)。*令y'=0，解得x=0或x=2。*求二階導(dǎo)數(shù)y''=(x*e^(-x)*(2-x))'=(2x-x2)*e^(-x)-x*e^(-x)*(2-x)=(-x2+2x-2x+x2)*e^(-x)=-2x*e^(-x)+x2*e^(-x)-x2*e^(-x)=(x2-4x)*e^(-x)=x*e^(-x)*(x-4)。*在x=0處，y''=0，無法直接判斷，需用一階導(dǎo)數(shù)法或觀察y'(x)符號(hào)變化（x=0左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，故為極小點(diǎn)）。*在x=2處，y''=2*e^(-2)*(2-4)=-4*e^(-2)<0，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)判別法，x=2為極大點(diǎn)。*拐點(diǎn)：考察二階導(dǎo)數(shù)y''=0的點(diǎn)。令y''=0，解得x=0或x=4。需要判斷這些點(diǎn)兩側(cè)y''的符號(hào)是否改變。*當(dāng)x<0時(shí)，y''=x*e^(-x)*(x-4)<0*e^(-x)*(<0-4)=<0*(-)=<0。*當(dāng)0<x<4時(shí)，y''=x*e^(-x)*(x-4)>0*e^(-x)*(<0-4)=>0*(-)=>0。*當(dāng)x>4時(shí)，y''=x*e^(-x)*(x-4)>0*e^(-x)*(>0-4)=>0*(-)=>0。*在x=0處，y''由負(fù)變正，故(0,y(0))=(0,0)為拐點(diǎn)。*在x=4處，y''在兩側(cè)均為正，符號(hào)未改變，故x=4不是拐點(diǎn)。10.解析思路：*這是羅爾定理的推廣——拉格朗日中值定理。定理?xiàng)l件滿足：f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。*構(gòu)造輔助函數(shù)F(t)=f(t)-[(b-t)/b-a]*[f(b)-f(a)]。這個(gè)構(gòu)造的目的是讓F(a)=f(a)且F(b)=f(a)-[(b-b)/b-a]*[f(b)-f(a)]=f(a)。即F(a)=F(b)。*可以驗(yàn)證F(t)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（f(x)的連續(xù)可導(dǎo)性保證）。*根據(jù)羅爾定理，存在ξ∈(a,b)，使得F'(ξ)=0。*計(jì)算F'(t)：F'(t)=f'(t)-[(b-t)/b-a]*(f(b)-f(a))'+[(b-t)/b-a]*[(b-a)f'(b)-(f(b)-f(a))]/(b-a)=f'(t)-[(b-t)/b-a]*0+[(b-t)/b-a]*f'(b)=f'(t)-[(b-t)/b-a]*f'(b)。*由F'(ξ)=0，得f'(ξ)-[(b-ξ)/b-a]*f'(b)=0。*整理即得f'(ξ)=[(b-ξ)/b-a]*f'(b)。*由于ξ∈(a,b)，(b-ξ)/b-a≠0，且(b-ξ)/(b-a)>0，所以可以寫成f'(ξ)=(b-a)/(b-ξ)*f'(b)。*注意到(b-a)/(b-ξ)=1-a/(b-ξ)，如果b-ξ=a，則(b-a)/(b-ξ)=1。但更標(biāo)準(zhǔn)的寫法是利用拉格朗日中值定理的結(jié)論形式，即f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。11.解析思路：*考察級(jí)數(shù)∑[n=1,+∞)(n*ar^(n-1))/(1+r^n)的通項(xiàng)an=(n*ar^(n-1))/(1+r^n)。*情況一：r>1。*考察an的極限：lim(n→+∞)an=lim(n→+∞)[n/(r?*(1/r^n+1))]=lim(n→+∞)[n/(r?*[1+O(1/n?)])]=lim(n→+∞)[n/(r?)]/[1+O(1/n?)]=lim(n→+∞)(1/r??1)/[1+O(1/n?)]=0/1=0。這里用到了r>1時(shí)r?→+∞且n/r?→0。*由于an=n*ar^(n-1)/(1+r^n)=ar^(n-1)*(n/(1+r^n))，其中ar^(n-1)是一個(gè)以r為底的指數(shù)項(xiàng)，當(dāng)n→+∞時(shí)，若r>1，則ar^(n-1)→+∞；若0<r<1，則ar^(n-1)→0。但分母(1+r^n)當(dāng)r>1時(shí)也趨于+∞。因此需要更精細(xì)的分析來判斷級(jí)數(shù)斂散性。*采用比值判別法?？紤]an+1/an：an+1/an=[(n+1)*ar^n/(1+r^(n+1))]/[(n*ar^(n-1))/(1+r^n)]=(n+1)*ar^n*(1+r^n)/[n*ar^(n-1)*(1+r^(n+1))]=(n+1)*r*(1+r^n)/[n*(1+r*r^n)]=(n+1)*r/[n*(1/r+r)]*(1+r^n)/(1+r*r^n)=(n+1)/[n*(1/r+r)]*[r*(1+r^n)/(1+r*r^n)]*當(dāng)n→+∞時(shí)，(n+1)/n→1，1/r+r→r+1/r(為常數(shù)，因r>1)，r*(1+r^n)/(1+r*r^n)→r*(1/r)/(1/r)=1。*所以lim(n→+∞)an+1/an=r*(1/(r+1/r))=r/(r+1/r)=r/[(r2+1)/r]=r2/(r2+1)。*因?yàn)閞>1，所以r2>1，故r2/(r2+1)<1。*根據(jù)比值判別法，若lim(n→+∞)|an+1/an|=L<1，則級(jí)數(shù)收斂。這里L(fēng)=r2/(r2+1)<1。因此，當(dāng)r>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。*情況二：0<r<1。*此時(shí)r?→0當(dāng)n→+∞。an=(n*ar^(n-1))/(1+r^n)≈(n*ar^(n-1))/1=n*ar^(n-1)。*考察an的極限：lim(n→+∞)an=lim(n→+∞)n*ar^(n-1)=a*lim(n→+∞)n/r^(n-1)。*由于0<r<1，r^(n-1)→+∞，而n→+∞，這是一個(gè)"∞/∞"型極限。使用洛必達(dá)法則：lim(n→+∞)n/r^(n-1)=lim(n→+∞)1/[-(n-1)*ln(r)*r^(n-2)]=lim(n→+∞)[-1/(ln(r)*(n-1)*r^(n-2))]。*分母(n-1)*r^(n-2)→+∞（因?yàn)閞^(n-2)增速快于n-1）。所以整個(gè)分式趨于0。*因此lim(n→+∞)an=a*0=0。*此時(shí)an≈n*ar^(n-1)，雖然極限為0，但其衰減速度與調(diào)和級(jí)數(shù)∑(1/n)類似（因?yàn)閞^(n-1)的衰減速度不如1/n快）