2025年高二年級(jí)11月階段練習(xí)

高二數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，19題。滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。

★祝考試順利★

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試卷、

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題

卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的)

1.若復(fù)數(shù)z滿足,其中i為虛數(shù)單位，則z為

A.1+2iB1-2iC.-1+2iD.-1-2i

2.下列說(shuō)法正確的是

A.截距相等的直線都可以用方表示

B經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1),傾斜角為θ的直線方程為y-1=tanθ(x-2)

C.“a=2”是“直線l?:ax+2y+a=0與直線l?:2x+ay-a=0平行”的充分不必要條件

.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P?(x?,y?),P?(x?,y?)的直線方程為(y?-y?)(x-r?)一(r?-x?)(y-y)=0

3.從數(shù)字1,2,3,4,5中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)字(不允許重復(fù)),則這兩個(gè)數(shù)字的乘積是禺?dāng)?shù)的概率為

A.BCD.

4.在平行六面體ABCD-A?B?C?D?中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，若∠A?AB=∠A?AD=60°,且

AA?=1,則AC?的長(zhǎng)為

A.√5B.2√2C.√13D.√15

5.已知向量a,b滿足la|=2,|b|=1,|a-b|=2,則b在a方向上的投影向量是

C

AB.D.

高二數(shù)學(xué)試卷第1頁(yè)(共4頁(yè))

6.先后拋擲質(zhì)地均勻的硬幣3次，得到以下結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是

A.可以從不同的觀察角度寫出不同的樣本空間

B.事件“至少2次正面朝上”與事件“至少1次反面朝上”是互斥事件

C.事件“至少1次正面朝上”與事件“3次反面朝上”是對(duì)立事件

D.事件“1次正面朝上2次反面朝上”發(fā)生的概率是

7.在△ABC中，已知AB=2,點(diǎn)O為三角形的外接圓的圓心，若AO=xAB+yAC(x,y∈R),且

x+2y=1,則△ABC的面積的最大值為

A.2B.8C.16D.18

一

8.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A?B?C?D?中，P為A?D?的中點(diǎn)，Q

為A?B?上任意一點(diǎn)，E,F為CD上任意兩點(diǎn)，且EF的長(zhǎng)為定值，則下面

的四個(gè)值中不為定值的是

A.△QEF的面積

B三棱錐Q-PEF的體積

C.直線PQ與平面PEF所成的角

D.二面角P-EF-Q的大小

二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全

部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分)

9.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是

A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面

B若兩個(gè)非零向量a,b的夾角<a,b>是鈍角，則a·b<0

C.已知,平面α的法向量為m=(1,2,3),則AB//a

D.已知向量組(a,b,c)是空間的一個(gè)基底，則(a+b,b+c,a+c)也是空間的一個(gè)基底

10.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,D為邊BC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是

A.存在A>B,滿足cosA>cosBB.若,則△ABC是直角三角形

C.若,則△ABC是銳角三角形D.若,則△ABC是鈍角三角形

11.如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓.若圓柱的底面圓半

徑為,則

A.橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于4

B.橢圓的離心率

C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以

D.橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最大值為4-2√3

高二數(shù)學(xué)試卷第2頁(yè)(共4頁(yè))

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.一個(gè)圓柱的內(nèi)切球的表面積為16π,則這個(gè)圓柱的體積為

13.如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F?,F?,過(guò)點(diǎn)F?,F?

分別作弦AB,CD.若AB//CD,則|AF?I+|CF?|的最小值

為_·

14.已知實(shí)數(shù)x·x?,yiy?滿足x2+y2=16,x2+yz=16,

lx?y?一x?y?I=16,則|x?+y?-81+|x?+y?-8|的最大值

是_

四、解答題(本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

15.(本小題13分)

荊州是楚文化發(fā)祥地，出土大量青銅器與竹簡(jiǎn)。荊州市某學(xué)校為促進(jìn)學(xué)生對(duì)楚文化的了解程度，

舉辦了“楚文化”知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從所有答卷卷面成績(jī)中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)(滿分

100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段：(40,50),(50,60),…,[90,100],并作出如圖所示

的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)樣本數(shù)據(jù)的第59百分位數(shù)約為多少；

(3)若落在[50,60]中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是52,方差是6;落在[60,70]中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是64,方

差是3,求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)x和方差σ2.

頻率

組距

0.030

a

0.020

0.015

0.010

0.005

oh

405060708090100分?jǐn)?shù)

16.(本小題15分)

已知直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-5,一5),圓C:x2+y2+2x-6y-6=0.

(1)若直線l與圓C相切，求直線l的方程；

(2)若直線I被圓C截得的弦長(zhǎng)為4√2,求直線l的方程.

高二數(shù)學(xué)試卷第3頁(yè)(共4頁(yè))

17.(本小題15分)

已知平面四邊形ABCD中，AD//BC,BC⊥CD,且.以AD為腰作等腰直

角三角形PAD,且PA=AD,將△PAD沿直線AD折起，使得平面PAD⊥平面ABCD.

(1)證明：AB⊥平面PAC;

(2)若M是線段PD上一點(diǎn)，且PB//平面MAC,求平面PBC與平面ABM夾角的余弦值.

18.(本小題17分)

已知橢圓()的左、右焦點(diǎn)分別為F?,F?,點(diǎn)T(0,1),過(guò)點(diǎn)F?的直線l交

橢圓于A,B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，△F?AB的周長(zhǎng)為8,橢圓的離心率為·

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求點(diǎn)T到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值：

(3)設(shè)PA=λ?AF?,PB=λ?BF?,試判斷λ?+λ2是否為定值?

請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(本小題17分)

法國(guó)著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)

造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在△ABC

中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA-bsinB=c(sinC—sinB),以AB,BC,AC為邊向

外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為O?,O?,O?.

(1)求A;

(2)若△AO?O?外接圓半徑為1,求△O?O?O?的邊長(zhǎng)；

(3)若a=√3,△O?O?O?的面積為,求△ABC的周長(zhǎng).

高二數(shù)學(xué)試卷第4頁(yè)(共4頁(yè))

2025年高二年級(jí)11月階段練習(xí)

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案與解析

題號(hào)1234567891011

答案BDCCABACABDBDABC

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的)

1.【答案】B

【詳解】z=i(2—i)=1+2i,∴z=1-2i.

2.【答案】D

【詳解】對(duì)于A,截距相等且為0的直線不可以用方程表示，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1),傾斜角為θ=90°的直線方程不能寫成y-1=tanθ(x-2),故錯(cuò)誤；

對(duì)于C,“a=2”是“直線l?:ax+2y+a=0與l?:2x+ay-a=0互相平行”的充要條件；

對(duì)于D,當(dāng)x?≠x2時(shí)，直線的斜率存在，直線方程為

即(y?-y?)(x-x?)—(x?一x?)(y-y?)=0.

當(dāng)x?=x2時(shí)，直線的斜率不存在，直線方程為x=x1,

此時(shí)滿足方程(y?-y?)(x-x?)—(x?一x?)(y-y?)=0.所以D正確.

3.【答案】C

【詳解】從5個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)字(不允許重復(fù))一共有10種，若乘積為偶數(shù)，則一共有7種，所

以概率為.故選：C.

4.【答案】C

【詳解】∵AC?=AB+BC+CC?=AB+AD+AA∴|AC?I2=(AB+AD+AA)2=AB2+AD2+

∴AC?I=√13

5.【答案】A

【詳解】因?yàn)橄蛄縜,b滿足|a|=2,|b|=1,|a—b|=2,

所以(a—b)2=la-b|2=(a)2-2a·b+(b)2=|a|2—2a·b+|b|2=4,解得

所以a在b方向上的投影向量,故選：A.

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案與解析第1頁(yè)(共7頁(yè))

6.【答案】B

【詳解】不同的觀察角度所得到的樣本空間也可以不同，A正確；考慮樣本空間中一共含有：正正正，正

正反，正反正，反正正，正反反，反反正，反正反，反反反共8個(gè)樣本點(diǎn)時(shí)，事件“至少2次正面朝上”與事

件“至少1次反面朝上”能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B不正確；事件“至少1次正面朝上”與事件“3

次反面朝上”是對(duì)立事件，故C正確；事件“1次正面朝上2次反面朝上”發(fā)生的概率是,故D

正確.

7.【答案】A

【詳解】取AC的中點(diǎn)D,如圖.

因?yàn)锳O=xAB+yAC,所以AO=xAB+2yAD,

因?yàn)閤+2y=1,所以B,O,D三點(diǎn)共線，

法1:因?yàn)镺是三角形的外接圓的圓心，所以BDLAC,設(shè)AD=DC=B

m,則BD=√4-m2,所以

當(dāng)且僅當(dāng)m=√2時(shí)取得等號(hào).故△ABC面積最大值為2.故答案為2,選A.

取等.故△ABC面積最大值為2.故答案為2,選A.

8.【答案】C

【詳解】A中，∵EF的長(zhǎng)為定值，且Q點(diǎn)到EF的距離即為兩平行直線A?B?與CD之間的距離也為定

值，∴△QEF的面積為定值；

B中，∵△QEF的面積是定值.(∵EF定長(zhǎng)，Q到EF的距離就是Q到CD的距離也為定長(zhǎng)，即底和高

都是定值),

再根據(jù)QEF平面也就是平面A?B?CD,既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面QEF的距離是

定值，∴三棱錐的高也是定值，于是體積固定.∴三棱錐P-QEF即三棱錐Q-PEF的體積是定值；

C中，容易知道Q到平面PEF距離是定值(事實(shí)上即Q到平面PCD距離),而PQ長(zhǎng)度在變化中，所

以直線PQ與平面PEF所成的角不是定值；

D中，二面角P—EF-Q的平面角即是二面角P-CD-B?的平面角，而二面角P—CD-B?的兩個(gè)

半平面均是固定平面，顯然為定值，故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全

部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分)

9.【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)空間向量共面定理可知：空間中三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定

共面，A正確；

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案與解析第2頁(yè)(共7頁(yè))

對(duì)于B,由<a,b〉是鈍角，可得a,b為非零向量，且cos<a,b〉<0,

故|a|>0,|b|>0,所以a·b=|a|b|cos<a,b〉<0,B正確；

對(duì)于C,因所以AB⊥m,

所以AB//α或ABCα,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,以正方體為例，a,b,c是以頂點(diǎn)A出發(fā)的三條兩兩垂直的棱構(gòu)成的一組不共面向量，則a+b,

b+c,a+c可以看成是以點(diǎn)A出發(fā)的三條面對(duì)角線構(gòu)成的一組向量，顯然不共面，故選：ABD.

10.【答案】BD

【詳解】選項(xiàng)A:在△ABC中，∵π>A>B>0,由余弦函數(shù)的單調(diào)性知：cosA<cosB,A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B:

利用正弦定理bsinA=asinB,代入,得,根據(jù)中線性質(zhì)，當(dāng)斜邊上中線等于斜邊

一半時(shí)，△ABC為直角三角形，B正確；選項(xiàng)C:由中線長(zhǎng)公式推得b2+c2>a2,僅能說(shuō)明角

A為銳角，無(wú)法保證其它角為銳角，舉反例：若a=2,b=3,c=4,,但角C為鈍角，C錯(cuò)誤；選

項(xiàng)D:由推得b2+c2<a2,根據(jù)余弦定理，cosA<0,角A為鈍角，△ABC為鈍角三角形，D正

確.故選：BD.

11.【答案】ABC

【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b,焦半距為c,則,得a=4.又b=2,則c2=

a2—b2=12,得c=2√3.所以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于4,離心率為,當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸時(shí)，橢圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a—c=4-2√3,選ABC.

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.【答案】16π

【詳解】因?yàn)榍虻谋砻娣e為16π,所以球的半徑為2,因?yàn)樵撉騼?nèi)切于圓柱，所以圓柱的底面半徑為2,高

為4,所以圓柱的體積V=16π.

13.【答案】3

【詳解】由橢圓的對(duì)稱性可知|AB|=|CD|,|AF?I=|DF?I,|BF?I=|CF?|.設(shè)點(diǎn)A(x?,y?),

B(x?,y2).所以|AF?I+|CF?|=|AB|,當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，|AF?l+|CF?|取最小為3.

14.【答案】24

【詳解】設(shè)Ax?,y?),B(x2,y2),所以A,B是圓O:x2+y2=16上兩點(diǎn)，

∴,所以O(shè)ALOB,記直線l:x+y-8=0,過(guò)A作l的

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案與解析第3頁(yè)(共7頁(yè))

垂線，垂足為D,過(guò)B作l的垂線，垂足為F,設(shè)AB的中點(diǎn)為M,過(guò)M

作l的垂線，垂足為E,如圖所示，|x?+y?-8|+|x?+y?-8|=√2×

,所以|x?+y?-8|+|x?+y?-8|

表示的是A,B兩點(diǎn)到直線x+y-8=0的距離之和的√2倍，又|AD|

+|BF|=2|ME|,所以|x?+y?-8|+|x?+y?-8|=√2×

,表示的是M到直線x+y—8=0的

距離的2√2倍，由于△ABO是直角三角形，所以所以M在圓x2

+y2=8上運(yùn)動(dòng)，圓心為(0,0),半徑為2√2,所以M到直線x+y-8=0的距離最大值

√2=6√2,又6√2×2√2=24,所以|x?+y?-8|+|x?+y?-8|的最大值是24.故答案為：24.(也可以

選擇三角代換)

四、解答題(本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

15.(本小題13分)

【詳解】

(1)根據(jù)題意可知，(0.005+0.010+0.020+a+0.030+0.010)×10=1,

解得a=0.025………………………(3分)

(2)因?yàn)?0.005+0.010+0.020)×10=0.35,

(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65,

所以樣本數(shù)據(jù)的第59百分位數(shù)在(70,80)內(nèi)，

所以樣本數(shù)據(jù)的第59百分位數(shù)為78分；…………(7分)

(3)樣本數(shù)據(jù)落在(50,60)的個(gè)數(shù)為0.1×100=10,

落在(60,70)的個(gè)數(shù)為0.2×100=20,

總方差…………(13分)

16.(本小題15分)

【詳解】

(1)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y+5=k。(x+5),又圓的半徑為r=4,則圓心C(-1,3)

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案與解析第4頁(yè)(共7頁(yè))

到直線l的距離為,解得.故直線l的方程為即

3x-4y-5=0.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-5也成立；故所求直線的方程為

3x-4y—5=0或x=-5.…………(7分)

(2)由題意可知直線l的斜率k存在，故可設(shè)直線的方程為y+5=k(x+5),則圓心C(-1,3)到直線

l的距離為,則r2=d2+(2√2)2,即,解得k?=1或k?=7.故所求直線

的方程為x-y=0或7x-y+30=0(15分)

17.(本小題15分)

【詳解】

(1)因AD//BC,BC⊥CD,故ADLCD,

,且PA=AD,故AC=4√2,AB=4√2,

在直角梯形ABCD中，BC=√(4√2)2—42+4=8,

由AB2+AC2=BC2可得ABLAC;

因平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PAC平面PAD,

則PA⊥平面ABCD,又ABC平面ABCD,

則PA⊥AB,又PA∩AC=A,因PA,ACC平面PAC,

故AB⊥平面PAC(6分)

(2)如圖，連接BD交AC于G,因?yàn)?/p>

故AB=4√2,AC=√AD2+CD2=4√2,

則△ABC為等腰直角三角形，故BC=8,

又AD//BC,,則G為BD靠近D的三等分點(diǎn)，

又因?yàn)槠矫鍼BD∩平面ACM=GM,PB//平面MAC,PBC平面PBD,

故PB//GM,則M為PD靠近D的三等分點(diǎn)，…………………(8分)

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AC,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),

B(4√2,0,0),C(0,4√2,0),P(0,0,4),D(-2√2,2√2,0),

所以，BC=(-4√2,4√2,0),PC=(0,4√2,—4),

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為m=(x?,y?,z1),

高二數(shù)學(xué)試卷參考答案與解析第5頁(yè)(共7頁(yè))

可取m=(1,1,√2),(10分)

由PB//平面MAC知：

……………………(11分)

,AB=(4√2,0,0),

設(shè)平面ABM的一個(gè)法向量為n=(x2,y2,≈2),則由

可取n=(0,1,—√2),(13分)

…………………(14分)

故平面PBC與平面ABM夾角的余弦值………………(15分)

18.(本小題17分)

【詳解】

(1)由題意,可得,又b2=a2—c2=4-1=3,

所以橢圓C的方程…………………(4分)

(2)法1:設(shè)Q(xo,yo)是橢圓上任意一點(diǎn)，則滿,T(0,1),

2√3+4(y?∈[-√3,√3]),故|TQ|的最大值是√3+1.……(10分)

法2:設(shè)Q(