國(guó)家開放大學(xué)電大本科《應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)》2025年期末試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1.設(shè)事件A與B滿足P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，則P(B|A)的值為（）。A.0.3B.0.5C.0.6D.0.72.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且E[(X1)(X2)]=1，則λ=（）。A.1B.2C.√2D.33.設(shè)X?,X?,…,X?是來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值為X?，樣本方差為S2，則下列統(tǒng)計(jì)量中服從t(n1)分布的是（）。A.(X?μ)/(S/√n)B.(X?μ)/(σ/√n)C.(n1)S2/σ2D.√n(X?μ)/σ4.設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立同分布，且X的分布律為P(X=0)=P(X=1)=0.5，則Z=X+Y的分布律中P(Z=1)的值為（）。A.0.25B.0.5C.0.75D.15.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若原假設(shè)H?為真，但拒絕H?的概率稱為（）。A.第一類錯(cuò)誤概率B.第二類錯(cuò)誤概率C.置信水平D.檢驗(yàn)功效二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）6.已知隨機(jī)變量X~B(n,p)，且E(X)=4，D(X)=2.4，則n=________。7.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=kxy（0<x<1,0<y<x）,則常數(shù)k=________。8.設(shè)總體X~N(μ,9)，X?,X?,…,X?為樣本，樣本均值X?=5，則μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為________（已知Z?.???=1.96）。9.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=λe^(λx)（x>0），則X的中位數(shù)m滿足________（用λ表示）。10.已知隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ=0.6，D(X)=25，D(Y)=16，則Cov(X,Y)=________。三、計(jì)算題（本大題共4小題，每小題12分，共48分）11.某工廠有三條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的20%、30%、50%，各生產(chǎn)線的次品率分別為1%、2%、3%?，F(xiàn)從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，求：（1）該產(chǎn)品是次品的概率；（2）若抽到的是次品，該次品來(lái)自第一條生產(chǎn)線的概率。12.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)={c(1x2),1<x<1；0,其他}。（1）求常數(shù)c；（2）求X的分布函數(shù)F(x)；（3）計(jì)算P(|X|≤0.5)。13.設(shè)總體X的概率密度為f(x;θ)={θx^(θ1),0<x<1；0,其他}（θ>0）,X?,X?,…,X?為樣本。（1）求θ的矩估計(jì)量；（2）求θ的極大似然估計(jì)量。14.某企業(yè)聲稱其生產(chǎn)的電池平均使用壽命不低于200小時(shí)。現(xiàn)隨機(jī)抽取16只電池，測(cè)得平均壽命為192小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為10小時(shí)（假設(shè)壽命服從正態(tài)分布）。在顯著性水平α=0.05下，檢驗(yàn)該企業(yè)的聲稱是否成立。（t?.??(15)=1.753）四、應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題8.5分，共17分）15.某保險(xiǎn)公司統(tǒng)計(jì)顯示，某類車險(xiǎn)客戶的年索賠次數(shù)X服從泊松分布，平均每年索賠0.5次?，F(xiàn)隨機(jī)調(diào)查1000名該類客戶，求年索賠次數(shù)超過550次的概率（Φ(1)=0.8413，Φ(2)=0.9772，結(jié)果保留4位小數(shù)）。16.某地區(qū)研究居民收入X（萬(wàn)元）與年消費(fèi)支出Y（萬(wàn)元）的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查10戶家庭，得到數(shù)據(jù)：Σx?=50，Σy?=30，Σx?2=300，Σy?2=100，Σx?y?=170。（1）求Y關(guān)于X的一元線性回歸方程?=a+b?x；（2）預(yù)測(cè)當(dāng)收入為8萬(wàn)元時(shí)，年消費(fèi)支出的估計(jì)值。答案一、單項(xiàng)選擇題1.B（解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)→0.8=0.6+0.5P(AB)→P(AB)=0.3，故P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.3/0.6=0.5）2.A（解析：E[(X1)(X2)]=E(X23X+2)=D(X)+[E(X)]23E(X)+2=λ+λ23λ+2=λ22λ+2=1→λ=1）3.A（解析：t分布定義為(X?μ)/(S/√n)~t(n1)）4.B（解析：P(Z=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=0.5×0.5+0.5×0.5=0.5）5.A（解析：第一類錯(cuò)誤即“棄真”錯(cuò)誤）二、填空題6.n=10（解析：E(X)=np=4，D(X)=np(1p)=2.4→4(1p)=2.4→p=0.4，故n=4/0.4=10）7.k=8（解析：∫?1∫??kxydydx=k∫?1x·(x2/2)dx=k/2·(1/4)=k/8=1→k=8）8.(4.38,5.62)（解析：置信區(qū)間為X?±Z?.???·σ/√n=5±1.96×3/3=5±1.96→(3.04,6.96)？更正：σ=3（因σ2=9）,n=9，故σ/√n=3/3=1→5±1.96×1=(3.04,6.96)，原計(jì)算錯(cuò)誤，正確應(yīng)為(3.04,6.96)）9.m=(ln2)/λ（解析：P(X≤m)=∫??λe^(λx)dx=1e^(λm)=0.5→e^(λm)=0.5→m=(ln2)/λ）10.Cov(X,Y)=12（解析：ρ=Cov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))→0.6=Cov/(5×4)→Cov=12）三、計(jì)算題11.（1）設(shè)A?表示“產(chǎn)品來(lái)自第i條生產(chǎn)線”（i=1,2,3），B表示“產(chǎn)品是次品”。P(B)=P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)=0.2×0.01+0.3×0.02+0.5×0.03=0.002+0.006+0.015=0.023。（2）P(A?|B)=P(A?)P(B|A?)/P(B)=0.002/0.023≈0.087。12.（1）∫??1c(1x2)dx=1→c[xx3/3]??1=c[(11/3)(1+1/3)]=c×(4/3)=1→c=3/4。（2）當(dāng)x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)1≤x<1時(shí)：F(x)=∫???(3/4)(1t2)dt=(3/4)[tt3/3]???=(3/4)[(xx3/3)(1+1/3)]=(3/4)(xx3/3+2/3)=(3x/4x3/4+1/2)；當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)(x)=1。（3）P(|X|≤0.5)=F(0.5)F(0.5)=[3×0.5/4(0.5)3/4+1/2][3×(0.5)/4(0.5)3/4+1/2]=(0.3750.03125+0.5)(0.375+0.03125+0.5)=0.843750.15625=0.6875。13.（1）矩估計(jì)：E(X)=∫?1x·θx^(θ1)dx=θ∫?1x^θdx=θ/(θ+1)。令θ/(θ+1)=X?→θ?=X?/(1X?)。（2）似然函數(shù)L(θ)=∏?=1?θx?^(θ1)=θ?(∏x?)^(θ1)，取對(duì)數(shù)得lnL=nlnθ+(θ1)∑lnx?。求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0：d(lnL)/dθ=n/θ+∑lnx?=0→θ?=n/∑lnx?。14.假設(shè)H?:μ≥200，H?:μ<200（單側(cè)檢驗(yàn)）。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(X?μ?)/(S/√n)=(192200)/(10/4)=3.2。自由度n1=15，α=0.05，臨界值t?.??(15)=1.753（單側(cè)）。因3.2<1.753，拒絕H?，認(rèn)為該企業(yè)聲稱不成立。四、應(yīng)用題15.設(shè)X?為第i名客戶的年索賠次數(shù)，X?~P(0.5)，則總次數(shù)T=ΣX?~近似N(nλ,nλ)（中心極限定理），n=1000，λ=0.5，故E(T)=500，D(T)=500，σ=√500≈22.36。P(T>550)=P(Z>(550500)/22.36)=P(Z>2.236)≈1Φ(2.24)=10.9875=0.012