自考本科理工2025年線性代數專項試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題：本大題共5小題，每小題2分，共10分。在每小題列出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請將正確選項字母填在題后的括號內。1.已知向量組α?=(1,0,2),α?=(0,1,3),α?=(k,1,6)，則當k=______時，向量組α?,α?,α?線性無關。A.1B.2C.3D.42.設A是一個三階矩陣，且|A|=2，則|3A|=______。A.3B.6C.8D.183.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的逆矩陣A?1=______。A.[[4,-2],[-3,1]]B.[[-4,2],[3,-1]]C.[[-2,1],[3,-4]]D.[[2,-1],[-3,4]]4.齊次線性方程組x?+x?+x?=0的一般解（用參數形式表示）為______。A.x?=t,x?=0,x?=-t(t為任意常數)B.x?=0,x?=t,x?=t(t為任意常數)C.x?=t?,x?=t?,x?=0(t?,t?為任意常數)D.x?=t,x?=t,x?=-2t(t為任意常數)5.設λ?是矩陣A的一個特征值，α是對應的特征向量，則Aα=______。二、填空題：本大題共5小題，每小題2分，共10分。請將答案填在題中橫線上。6.行列式|??|=1,矩陣B=2??，則行列式|B|=______。7.設A=[[a,b],[c,d]]是可逆矩陣，則|A?1|=______。8.若向量β=(1,2,3)和向量γ=(k,1,-1)線性相關，則k=______。9.線性方程組Ax=b有無窮多解的充分必要條件是______。10.矩陣A=[[1,0,0],[0,2,0],[0,0,3]]的特征值分別為______。三、計算題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。11.計算行列式|??|=|[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]|的值。12.設A=[[1,2],[3,4]],B=[[2,0],[1,2]]，計算矩陣乘積AB和BA。13.解線性方程組：x?+2x?+x?=1,2x?+3x?+x?=2,x?+x?+3x?=1。14.求矩陣A=[[1,1],[4,3]]的特征值和特征向量。四、證明題：本大題共1小題，共10分。15.證明：若n階矩陣A滿足A2=A，則A的特征值只能是0或1。試卷答案一、單項選擇題1.B2.D3.A4.B5.λ?α二、填空題6.87.1/|A|8.-39.秩(A)<n且秩(A|b)=秩(A)10.1,2,3三、計算題11.解：|??|=1(5*9-6*8)-2(4*9-6*7)+3(4*8-5*7)=1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)=1(-3)-2(-6)+3(-3)=-3+12-9=012.解：AB=[[1,2],[3,4]]*[[2,0],[1,2]]=[[1*2+2*1,1*0+2*2],[3*2+4*1,3*0+4*2]]=[[4,4],[10,8]]BA=[[2,0],[1,2]]*[[1,2],[3,4]]=[[2*1+0*3,2*2+0*4],[1*1+2*3,1*2+2*4]]=[[2,4],[7,10]]13.解：增廣矩陣(A|b)=[[1,2,1|1],[2,3,1|2],[1,1,3|1]]進行行變換：R?->R?-2R?,R?->R?-R?=[[1,2,1|1],[0,-1,-1|-1],[0,-1,2|0]]再進行行變換：R?->R?-R?=[[1,2,1|1],[0,-1,-1|-1],[0,0,3|1]]回代求解：x?=1/3-x?-x?=-1=>-x?-1/3=-1=>x?=2/3x?+2x?+x?=1=>x?+2*(2/3)+1/3=1=>x?=-1/3解為：x?=-1/3,x?=2/3,x?=1/314.解：特征方程：|λI-A|=|[[λ-1,-1],[-4,λ-3]]|=(λ-1)(λ-3)-(-4)*(-1)=λ2-4λ-1特征值：λ=2±√5對λ?=2+√5：(λ?I-A)=[[1+√5,-1],[-4,-1+√5]]化簡為行最簡：R?->R?/(1+√5),R?->R?+4R?=[[1,-1/(1+√5)],[0,0]]R?->R?*(1+√5)=[[1+√5,-1],[0,0]]對應特征向量方程：x?+(1-√5)x?=0=>x?=-(1-√5)x?令x?=1，則x?=√5-1特征向量α?=[√5-1,1]對λ?=2-√5：(λ?I-A)=[[1-√5,-1],[-4,-1-√5]]化簡為行最簡：R?->R?/(1-√5),R?->R?+4R?=[[1,-1/(1-√5)],[0,0]]R?->R?*(1-√5)=[[1-√5,-1],[0,0]]對應特征向量方程：x?+(1+√5)x?=0=>x?=-(1+√5)x?令x?=1，則x?=-1-√5特征向量α?=[-1-√5,1]四、證明題15.證明：設λ是A的特征值，α是對應特征向量，則Aα=λα。由A2=A，有A(Aα)=Aα=>A