絕密★考試結束前

2025學年第一學期衢州五校聯盟期中聯考

高二年級數學學科試題

考生須知：

1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字。

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。

4.考試結束后，只需上交答題紙。

選擇題部分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.集合A={x|-1<x≤3},B={x|2≤x<4},則A∩B=

A.{x|2<x≤3}B.{x|2<x<3}C.{x|2≤x≤3}D.{x|-1<x<4}

2.點A(1,0)關于直線1:x+y-2=0的對稱點的坐標為

A.(2,1)B.(2,2)C.(1,1)D.(1,2)

3.已知a=(1,0),b=(1,1),則a在b方向上的投影向量為

A.(√2,√2)C.(1,1)D.

4.已知直線1的傾斜角為α,則“;”是“直線1的斜率為的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知實數x,y滿足xy-2x-y=0,則(x-1)2+(y-2)2的最小值為

A.2B.3C.4D.

6.一組樣本數據為5,3,4,x,2,5,6,9,這組數據的第75百分位數為6,則這組數據的方差為

A.2B.4C.8D.無法確定

7.已知函數,若函數g(x)=f[f(x)]-a有7個零點，則a可以為

A.2B.3C.4D.5

高二數學學科試題第1頁(共4頁)

8.已知函數f(x)=sin(wx+4)(@>0)在上只有一處取到最值，

則w的值不可能為()

A.1BC.2D.3

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列關于復數敘述正確的是(其中i為虛數單位)

A.i2=1B.

C.z=1-√5i在復平面上的點位于第二象限D.若,則z3=1

10.已知正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長為2,下列命題正確的是

A.(DA+DC+DD?)·AB=4

B.若E為C?D?的中點，F為CC的中點，則CE與BF所成的角的余弦值為

C.該封閉正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內有兩個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大為

D.若點M、N分別在AD?與DB與上移動，且D?M和DN長度保持相等，則MN最小值為√2

1.已知圓C:(x-5)2+y2=4,橢圓r:P為圓C上的動點，過橢圓右焦點F的直線交

橢圓T于M,N兩點，圓C的圓心為C,直線1:x=4與x軸交于點A,若點M,N到直線I的距離分

別為d?,d?,則

A.d?=2|MF|B.△PFC~△APC

C.D.2|PM|+|PF|的取值范圍為[2,12]

非選擇題部分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若P(A)=0.4,P(B)=0.9,且A與B相互獨立，則P(AUB)=.

13.求值：

高二數學學科試題第2頁(共4頁)

14.已知F?,F?為雙曲線Γ:的兩個焦點，過F的直線與雙曲線T交于P,Q兩點，雙曲線T

在點P處的切線與y軸交于M,且PF?=4QF,|F?M|=2|OM|,則雙曲線I的離心率為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)甲、乙、丙三人獨立地破譯一份密碼，已知甲、乙、丙三人能破譯密碼的概率分別為

(1)求恰有兩人成功破譯的概率；

(2)若甲、乙、丙三人都沒有破譯密碼，則會派丁獨立破譯密碼，丁能獨立破譯密碼的概率為,求

密碼能被成功破譯的概率.

16.(15分)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知(sinC-sinA)(c+a)=(c-b)sinB

(1)求角A的正弦值；

(2)若AB=4,AC=6,BC、AC邊上的兩條中線AM、BN相交于點Q,求∠MQN的余弦值.

17.(15分)在三棱錐P-ABC中，點P在底面ABC的投影為△ABC的垂心0,

(1)求證：BC⊥平面POA;

(2)若M為線段AC上一點，滿足,且PA=AB=6,求直線PM

與平面PAB所成角的正弦值.

高二數學學科試題第3頁(共4頁)

為奇函數，

18.(17分)已知函數(a>0,且a≠1),函數

(1)(i)求實數k的值，并討論函數f(x)的單調性(不需要證明);

ii)當a=2時，f(x)在區(qū)間[m,n](m<n)的值域為[-2”?3,-2”-3],求實數t的取值范圍；

(2)當a>1時，對任意的x∈(-2,2),不等式f(x2+z2)+f(-2λ|x|)>2t-1恒成立，求λ的取值范圍.

19.(17分)已知拋物線I:y2=2px(p>0),斜率為的直線1交T于A,B兩點，且線段AB中點縱坐

標為4.

(1)求拋物線工的方程；

(2)若直線1不過點P(2,4),且直線PA交T于另一點C,記直線PA,PB的斜率為k?,k?,

(i)求證：

(ii)求證：直線BC過定點.

高二數學學科試題第4頁(共4頁)

2025學年第一學期衢州五校聯盟期中聯考

高二年級數學學科參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

12345678

l

CADBCBAC

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

91011

BDABDABC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.0.9413.

四、解答題：共77分.解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(1)記事件A為“甲成功破譯密碼”、事件B為“乙成功破譯密碼”、事件C為“丙成功

破譯密碼”,則-----------------------2分

記恰有兩人成功破譯的概率為P,則

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

----------------------7分

高二數學學科參考答案第1頁(共6頁)

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(2)記事件D為“丁成功破譯密碼，

所以密碼能被成功破譯的概率為

-----------13分

(不同解法酌情給分)

16.(1)∵(sinC-sin4)(c+a)=(c-b)sinB∵(c-a)(c+a)=(c-b)b-------------3分

∴c2-a2=bc-b2∴a2=b2+c2-bc

又由a2=b2+c2-2bccosA,∴cosA=-----------6分

---------------------7分

(2)∵--------------------9分

|AM|=√19,|BN|=√13-—-------------------------11分

AM·BN=-2--------------------------13分

------15分

17.(1)∵PO⊥平面ABC,BCc平面ABC∴PO⊥BC------------3分

又∵○為重心，∴AO⊥BC-------------------------------5分

∵AOnPO=0(一定要寫)-----------------------------6分

AO,POc平面AOP

-----------------------7分

∴BC⊥平面AOP

高二數學學科參考答案第2頁(共6頁)

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(2)由且AO⊥BC,CO⊥BC

----------------------9分

,則OA=OC

2.△ABC為等邊三角形-------------------11分

∵PA=AB,∴三棱錐P-ABC為正三棱錐

(法一)記點C到平面PAB的距離為d,則d=PO=2√6

,則M到平面PAB的距離

PM=√PO2+0M2=√24+4=2√7

∴PM與平面PAB所成角的正弦值為15分

(法二)∵OM⊥AO,∴OMI/BC,∴OM⊥平面POA

以0為原點，OAOM、OP為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系

-12分(建系正確即可)

則O(0,0,0),M(0,2,0),A(2√3,0,0),B(-√3,-3,0),P(0,0,2√6)

∴PA=(2√3,0,-2√6),PB=(-√3,-3,-2√6),PM=(0,2,-2√6)

∴平面PAB的一個法向量為m=(-√2,√6,-1)------------------14分

高二數學學科參考答案第3頁(共6頁)

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∴PM與平面PAB所成角的正弦值為：

18.(1)(i)∵

∴k=2---------------------2分(不驗證g(-x)=-g(x)不扣分)

三當0<a<1時，f(x)在R上單調遞增：---------------3分

當a>1時，f(x)在R上單調遞減.--------------------4分

(ii)∵在[m,n]上單調遞減，

----6分

∴關于x的方程即x2+(8t-4)·x+32t=0有兩個大于0的不同實根-----------7分

解得t-------------------10分

2)∵g(x)為奇函數∴g(x)+g(-x)=0

高二數學學科參考答案第4頁(共6頁)

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又∵f(x2+z2)+f(-22|x|)>2t-1

---------—-

一--12分

∴g(x2+a2-2)>-8(-22|x|-2)=g(22|x|+2)-------------14分

∵a>1時，g(x)在R上單調遞減，

∴x2+22-2<22|x|+2,即x2-22|x|+z2-4<0,

即λ-2<x|<λ+2,y|x|∈[0,2]恒成立-------------16分

即λ∈[0,2].------------17分

19.(1)設直線1的方程為x=2y+n代入y2=2px得y2-4py-2pn=0

設點A(x,y),B(x?,y?)則y+y?=4p------------------2分

∴p=2

又

∴廠的方程為y2=4x---------------------------------------4分

法一：(2)(i)由(1)且

--8分

高二數學學科參考答案第5頁(共6頁)

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所以一---------------------------------------10分

ii)由(i)知

設直線BC方程：x=my+t,B(x?,y?),C(x?,y?)

聯立可得y2-4my-4t=0,

∴y?+y?=4m,y?y?=-4t

(韋達定理在(i)給過分這里可不給分)

--------------------------13分

整理得：4m2-2t-14m+mt+12=0

即(m-2)