1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.2.靈活運(yùn)用直角三角形全等的判定方法進(jìn)行證明計(jì)算.

前面我們學(xué)習(xí)了哪些三角形全等的判定方法？直角三角形又有怎樣特殊的判定方法呢?讓我們來一起研究一下這個(gè)問題吧！回顧邊邊邊(SSS)；邊角邊(SAS)；角邊角(ASA)；角角邊(AAS).

前面學(xué)習(xí)的三角形全等的判定方法，對(duì)滿足條件的三角形都是適用的，同樣也適用于直角三角形.因?yàn)閮蓚€(gè)直角三角形的直角相等，請(qǐng)你列出其他兩個(gè)使直角三角形全等的條件.

如果滿足斜邊和一直角邊分別相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎?思考1.兩條直角邊分別相等(SAS)；2.斜邊和一個(gè)銳角分別相等(AAS或ASA).探究

如圖，在△ABC和△A'B'C′中，∠C′=∠C=90°，A′B′=AB，B'C′=BC.這兩個(gè)三角形全等嗎?ACBA′C′B′

如圖，由∠C′=∠C=90°可知，如果使點(diǎn)C′與點(diǎn)C重合，并且使射線C′A'與射線CA重合，那么射線C′B'與射線CB重合.再由B'C′=BC，可知點(diǎn)B′與點(diǎn)B重合.

為了判斷點(diǎn)A'與點(diǎn)A是否重合，我們討論射線CA上除點(diǎn)C，A外的點(diǎn)與點(diǎn)B的連線和邊AB的大小關(guān)系.

設(shè)點(diǎn)M在直角邊AC(不包括端點(diǎn))上，連接BM，則∠BMA>∠C，∠BMA是鈍角.若過點(diǎn)M且垂直于BM的直線與線段AB相交于點(diǎn)M'，則有AB>BM′>BM.設(shè)點(diǎn)N在線段CA的延長(zhǎng)線上，連接BN，同理可得BN＞AB.B(B′)C(C′)A(A′)MM′N

在今后的學(xué)習(xí)中，我們將用勾股定理證明這個(gè)判定方法.

因此，在射線CA上，與點(diǎn)B的連線長(zhǎng)度等于AB的點(diǎn)只有一個(gè).再由點(diǎn)A′在射線CA上，A'B′=AB，可知點(diǎn)A'與點(diǎn)A重合.這樣，△A'B'C′的三個(gè)頂點(diǎn)與△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別重合，△A'B'C′與△ABC能夠完全重合，因而△A'B'C′≌△ABC.斜邊和一直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.(可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”).判定直角三角形全等的方法:歸納總結(jié)用符號(hào)語言表達(dá)：在Rt△ABC與Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，∵BC=B'C'AB=A'B'∴△ABC≌△A'B'C'

(HL).B'A'C'BAC例

如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC=BD.求證：BC=AD.ABCD分析：如果能證明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD.由題意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具備“斜邊、直角邊”的條件.證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90°.在Rt△ABC

和Rt△BAD

中，

AB=BA，

AC=BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，∴BC=AD.ABCD例

如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為C，D，AC=BD.求證：BC=AD.變式

如圖，已知AD⊥BE，垂足C是BE的中點(diǎn)，AB=DE.求證：AB∥DE.證明：∵AD⊥BE，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴△ACB和△DCE是直角三角形.∵C是BE的中點(diǎn)，∴BC=EC.在Rt△ACB和Rt△DCE中，∴△ACB≌△DCE(HL)，∴∠B=∠E，∴AB∥DE.AB=DEBC=ECABCDE1.如圖，要用“HL”判斷Rt△ABC和Rt△DEF全等的條件是()CA.

AC=DF，BC=EFB.∠A=∠D，AB=DE

C.

AC=DF，AB=DED.∠B=∠E，BC=EF

2.如圖所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于點(diǎn)E，若∠B=28°，則∠AEC=()A.28°

B.59°C.60°

D.62°BACDBE3.(結(jié)論開放)如圖，點(diǎn)A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，∠BED=∠CFA=90°，且AB=CD，若要使Rt△ACF≌Rt△DBE，則可以添加的條件是

(請(qǐng)寫出一個(gè)答案即可).CF=BE(答案不唯一)4.如圖AB=AE，BC=ED，AB⊥BF，AE⊥EF，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，∠C=∠D=90°，證明：Rt△BCF≌Rt△EDF.證明：如圖，連接AF，∵AB⊥BF，AE⊥EF，∴∠ABF=∠AEF，在Rt△ABF和Rt△AEF中，∴Rt△ABF≌Rt△AEF(HL)，∴BF=EF，在Rt△BCF和Rt△EDF中，∴Rt△BCF≌Rt△EDF(HL).AF=AFAB=AEBF=EFBC=ED5.如圖所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別是E，F(xiàn)，若BE=CF，寫出圖中所有的全等三角形，并說明理由.解：①△BCF≌△CBE；∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵BE=CF，BC=BC，∴△BCF≌△CBE(HL);②△ABE≌△ACF；∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠AFC=∠AEB=90°，∵BE=CF，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACF(AAS);5.如圖所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別是E，F(xiàn)，若BE=CF，寫出圖中所有的全等三角形，并說明理由.解：③△BOF≌△COE；設(shè)BE與CF相交于點(diǎn)O，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠OFB=∠OEC，由①知△BCF≌△CBE，∴BF=CE，