北師大版

·九年級上冊第四章圖形的相似4.3相似多邊形1.理解并掌握相似多邊形的定義及其性質(zhì)；

(重點)2.能從具體圖形中抽象出相似關(guān)系，并會將相似比靈活運用.(難點)學

習

目

標●○○1.你還記得什么是線段的比嗎?線段的比是指用同一長度單位度量的兩條線段的長度的比2.成比例線段的定義?若四條線段a,b,c,d滿足

則稱這四條線段成比例3.全等多邊形的定義是什么?兩個多邊形如果對應(yīng)邊都相等，且對應(yīng)角都相等，那么這兩個多邊形叫做全等多邊形

知識回顧

如圖，計算機顯示屏上的多邊形ABCDEF,

投影到銀幕上后成為了多邊形A?B?C?D?E?F?

.

它們的形狀相同嗎?A?

B?FC?E?

D?A

BF

CE

D根據(jù)圖中信息，完成下列任務(wù)1.這兩個六邊形

形狀相同

大小不同探究一：相似多邊形的本質(zhì)特征新知探究A

BF

CED做一做原六邊形(ABCDEF)∠A∠B∠C∠D∠E∠F測量值(°)投影六邊形(A?B?C?D?E?F?)∠A?∠B?∠C?∠D?∠E?∠F?測量值(°)3.根據(jù)測量出的角度，你發(fā)現(xiàn)了什么?對應(yīng)位置的角相等，即∠A

=∠A?,∠B=∠B?,∠C=∠C?,∠D=∠D?

,∠E=∠E?,∠F=∠F?

.2.用量角器測量圖中兩個六邊形的各內(nèi)角并記錄測量結(jié)果：新知探究原六邊形邊長(ABCDEF)ABBCCDDEEFFA長

度

(

c

m

)投影六邊形邊長(A?B?C?D?E?F1)A?B?B?C?C?D?D?E?E?F?F?A?長

度

(

c

m

)4.用直尺測量兩個六邊形的各邊長度并記錄數(shù)據(jù)新知探究5.計算每組對應(yīng)線段的比值如：六邊形ABCDEF與六邊形A?B?C?D?E?F1相似，記作：六邊形ABCDEF～六邊形A?B?C?D?E?F?,

其中“~”讀作“相似于”.各角分別相等、各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比相似多邊形的定義：相似比的定義：新知探究知識歸納1.判斷對錯.(1

)兩個形狀

“看起來差不多”

的多邊形是相似多邊形

.

(×(2)若四邊形ABCD~四邊形

A'B'C'D',則∠A=∠

A',∠B=∠B',

∠

C=∠

C',∠

D=∠

D'.(

√

)(3)若五邊形M和五邊形N的相似比為

7似比為

(

√)新知探究練一練則五邊形N和五邊形M的相解：

(1)

(

2

)

設(shè)B?C?1=x

cm,

則：

交叉相乘得：2

x=15→x=7.5cm練一練2.

已知四邊形ABCD

與四邊形A?8?C?D1

BC

=5cm:(1)求四邊形ABCD

與四邊形A?

8?C?D?(2)求B'C'的長度.

新知探究相

似

，AB=4cm,

A'B'

=6cm,的相似比

.若兩個等邊三角形的邊長分別為a和b,

則對應(yīng)角均為60°

(各角相等),對應(yīng)邊的比

同理，所有的正方形也都相似；任意兩個同邊數(shù)的正多邊形，都滿足各角分別相等、各邊成比例，因此任意兩個同邊數(shù)的正多邊形都相似b為(3)正n邊形：每個內(nèi)角都為,每條邊長度_相等2.所有的等邊三角形是否都相似?正方形呢?正n邊形呢?探究二：特殊多邊形的相似性判斷1

.

(1)等邊三角形：每個內(nèi)角都是60

°,三邊長度相

等：(2)正方形：每個內(nèi)角都是90°,四邊長度

新知探究想一想相等■

G3.菱形的“邊”和“角”有何特性?四邊長度相等，但角的大小不確定，只能確定角的關(guān)系為對角相等、鄰角互補4.若菱形ABCD的邊長為2cm,

∠A=60°;菱形A?B?C?D?的邊長為4cm,∠A?=30°,這兩個菱形相似嗎?對應(yīng)角：∠A=60°,∠A?=30°

(

對應(yīng)角不相等)對應(yīng)邊的比：

(

對應(yīng)邊成比例);由于對應(yīng)角不相等，這兩個菱形不相似!C任意兩個正多邊形都相似，相似的條件必須是對應(yīng)角相等+對應(yīng)邊成比例，缺一不可.

知識歸納

兩個正多邊形都相似的條件：注：任意兩個菱形不一定相似(2)請嘗試總結(jié)：什么樣的特殊四邊形一定相似?什么樣的特殊四邊形不一定相似?解：(

1)任意兩個等腰三角形不一定相似因為不同等腰三角形的頂角或底角可能不相等，導致對應(yīng)角不滿足相似條件.(2)一定相似的特殊四邊形：正四邊形不一定相似的特殊四邊形：矩形、菱形、平行四邊形、等腰梯形新知探究

練一練1.

(1)任意兩個等腰三角形相似嗎?為什么?3一5問題情境：一塊長3m、寬1.5m的矩形黑板如圖所示，鑲在其外圍的木質(zhì)邊框?qū)?.5cm.邊框的內(nèi)外邊緣所成的矩形相似嗎?為什么?1.矩形的角有何特性?要判斷各邊成比例，需計算哪些邊長?所有內(nèi)角均為90°;要判斷各邊成比例，需要邊框內(nèi)外矩形的長和寬2.計算內(nèi)外矩形的長度內(nèi)矩形(黑板):

長a=300cm,

寬=150cm外矩形：

長a?=315cm,

寬b'=165cm.探究三：實際場景中的相似多邊形判

新知探究

做一做3.計算對應(yīng)邊的比值，判斷邊框的內(nèi)外邊緣所成的矩形是否相似

.長的比

：邊框內(nèi)外的矩形，雖“各角分別相等”,但“各邊不成比例”,因此不相似.新知探究寬的比

：針對以上問題，若邊框?qū)捀臑閤

cm,

當x為何值時，邊框內(nèi)外矩形相似?【分析】矩形是特殊多邊形，對應(yīng)角均為直角(相等),因此相似的關(guān)鍵條件是對應(yīng)邊成比例(即長寬比相等).設(shè)內(nèi)外矩形相似，則：

【解答】將a=300,b=150,a'=300+2x,b'=150+2x代入比例式可得

移項化簡：4x-2x=300-300→2x=0→x=0當且僅當x=0cm

時，邊框內(nèi)外矩形相似新知探究練一練1.下列關(guān)于相似多邊形的說法，正確的是(C)A.

所有矩形都相似

B.

所有菱形都相似C.所有正五邊形都相似

D.

所有平行四邊形都相似2.若多邊形ABCDEF～多邊形A′B'C′D′E'F′,相似比為3:4,則多邊形A'B'C'D′E'′

～

多邊形ABCDEF的相似比為

(

B)A.3:4

B.4:3

C.9:16D.16:93.兩個多邊形相似的充要條件是

(D

)A.

形狀相同

B.對應(yīng)角相等C

.對應(yīng)邊成比例

D.對應(yīng)角相等且對應(yīng)邊成比例4.若兩個相似多邊形的周長比為2:5,則它們的相似比為

(

A)A.2:5B.5:2C.4:25D.25:45.下列各組多邊形中，

一定不相似的是

(D)A.兩個正三角形

B.

兩個正方形C.

兩個等腰梯形(底角均為60°)

D.

兩個矩形(長寬比為1:2和1:3)6.

四邊形ABCD～四邊形A'B'C′D′,若AB=3

cm,A'B′=6cm,則相似比

7.兩個相似多邊形的相似比為1:2,則它們的周長比為

1:2

_,面

積

比為

1:48.矩形ABCD的長為10

cm,寬為5cm,矩形A′B'C′D'與矩形ABCD相似，若矩形A'B'C′D'的寬為8

cm,則其長為_

169.

已知正六邊形ABCDEF的邊長為2

cm,

正六邊形A'B'C′D'E′F′

的邊長為5

cm,判斷它們是否相似，并求相似比和周長比。解：正六邊形的各角相等、各邊成比例，因此相似相似比

：

周長比：正六邊形的周長為6×邊長，因此周長比等于相似比，即2:5