（第二版）微積分普通高等院校數(shù)學(xué)類規(guī)劃教材主編閻慧臻劉超劉燕3.1微分中值定理3.2洛必達(dá)法則3.3函數(shù)單調(diào)性的判別法3.4函數(shù)的極值及最大值、最小值問題第3章3.5曲線的凹凸性與拐點(diǎn)3.6函數(shù)圖形的描繪3.7導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡單應(yīng)用中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用在上一章中,我們從實(shí)際問題出發(fā)研究了導(dǎo)數(shù)的概念,并討論了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法.這一章中我們將利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的極限、極值、最值和曲線的凹凸性、拐點(diǎn)等性態(tài),并利用這些知識來解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一些問題.為此先介紹三個(gè)微分中值定理,它們是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ).第3章3.1.1羅爾定理

定理1

(羅爾定理)設(shè)函數(shù)f(x)滿足下列條件:

(1)在閉區(qū)間

a,b

上連續(xù);

(2)在開區(qū)間a,b

內(nèi)可導(dǎo);

(3)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b).則在

a,b

內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ<b),使得f'(ξ)=0(圖3-1).羅爾定理的幾何意義是:若函數(shù)y=f(x)的圖形AB

在

[a,b]上為連續(xù)曲線弧,除端點(diǎn)

A、B

外處處有不垂直于x軸的切線,且端點(diǎn)縱坐標(biāo)相等,那

么

在

曲

線

弧

AB上至少有一點(diǎn)C(ξ,f(ξ)),曲線在該點(diǎn)處的切線是水平的.從圖3-1中可以發(fā)現(xiàn),C

點(diǎn)可能是在最高點(diǎn)處,也可能是在最低點(diǎn)處.︵︵圖3-1

證明由幾何意義發(fā)現(xiàn),使得f'(ξ)=0的點(diǎn)C

可能在最高點(diǎn)處,也可能在最低點(diǎn)處,而f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)在[a,b]必定取得最大值M

和最小值m,這樣只有兩種可能情形.

(1)M=m.這時(shí)在

a,b

上,f(x)恒為常數(shù),即f(x)=M(或

m),于是f'(x)=0,x∈(a,b),這表明(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)都可取為ξ,使f'(ξ)=0.

(2)M>m.因?yàn)閒(a)=f(b),所以

M

和m

這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不等于f(a)或f(b),不妨設(shè)

M≠f(a),則

在

開

區(qū)

間(a,b)內(nèi)

必

存

在

一

點(diǎn)ξ,使

f(ξ)=M.下

面

證明f'(ξ)=0.因?yàn)閒(x)在因?yàn)閒(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),所以f'(ξ)存在,且f'(ξ)=f'+(ξ)=f'-(ξ).由導(dǎo)數(shù)定義可知:由極限的局部保號性可得需要說明的是,羅爾定理的三個(gè)條件是缺一不可的,如函數(shù)y=|x|在[-1,1]上連續(xù),端點(diǎn)函數(shù)值相等,在(-1,1)內(nèi)除x=0外均可導(dǎo),但在(-1,1)內(nèi)沒有任何一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0.3.1.2拉格朗日中值定理羅爾定理的第三個(gè)條件f(a)=f(b)是比較特殊的,很多函數(shù)無法滿足這個(gè)條件,從而影響了定理的應(yīng)用,如果取消這個(gè)條件,而其他條件不變,那么就得到了另外一個(gè)結(jié)論,這就是微分學(xué)中非常重要的拉格朗日中值定理.

定理2

(拉格朗日中值定理)設(shè)函數(shù)f(x)滿足下列條件:

(1)在閉區(qū)間a,b

上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得或下面我們分析拉格朗日中值定理的幾何意義.圖3-1事實(shí)上,若弦AB

平行于x

軸,即A、B

的縱坐標(biāo)相等,那么此時(shí)拉格朗日中值定理就成了羅爾定理,所以羅爾定理是拉格朗日中值定理的一個(gè)特例.既然羅爾定理是拉格朗日中值定理的一個(gè)特例,自然想到利用羅爾定理來證明拉格朗日中值定理,而羅爾定理要求端點(diǎn)函數(shù)值相等,f(x)顯然不一定滿足,由例3想到,能否構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù),既滿足羅爾定理的條件,又能得到所需要的結(jié)果?由拉格朗日中值定理的結(jié)論出發(fā),f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a),移項(xiàng)得到f'(ξ)(b-a)-[f(b)-f(a)]=0,構(gòu)造一個(gè)函數(shù)F(x),它的導(dǎo)數(shù)F'(x)=f'(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]即可,滿足條件的最易想到的一個(gè)函數(shù)就是F(x)=f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x.由圖3-2可知,是弦AB

的斜率,f'(ξ)是點(diǎn)C

處曲線切線的斜率.若連續(xù)曲線弧AB

除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線,那么在曲線弧上至少有一點(diǎn)C,在這點(diǎn)處的切線平行于弦AB.︵

證明設(shè)輔助函數(shù)F(x)=f(x)(b-a)-[f(b)-f(a)]x,因?yàn)閒(x)在閉區(qū)間a,b

上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),所以F(x)在閉區(qū)間a,b

上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且所以F(x)在a,b

上滿足羅爾定理,則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得F'(ξ)=0,即從而顯然對于b<a,式(1)也成立,式(1)稱為拉格朗日中值公式.設(shè)x0為區(qū)間a,b

內(nèi)一點(diǎn),給x0

一個(gè)增量Δx,使得x0+Δx

也在a,b

內(nèi),于是式(1)可以寫成其中,ξ

介于x0

與x0+Δx

之間,此時(shí)ξ

也可寫為x0+θΔx(0<θ<1).即由前面的學(xué)習(xí)知道,函數(shù)在x0

處的微分dy=f'(x0)Δx,Δy=dy+o(Δx),用dy

去近似代替Δy

是有誤差的,而式(3)求出的Δy

是準(zhǔn)確的,而不是近似的,這是非常重要的,因此這個(gè)定理也叫有限增量定理,式(3)稱為有限增量公式.拉格朗日中值定理建立了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量和函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系,從而使我們可以利用導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù).因此拉格朗日中值定理在微分學(xué)中占有十分重要的地位,也稱為微分中值定理.作為拉格朗日中值定理的一個(gè)應(yīng)用,給出下面的推論.

推論如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零,那么f(x)在區(qū)間I上是常數(shù).

證明在區(qū)間I

上任取兩點(diǎn)x1,x2,不妨設(shè)x1<x2,在[x1,x2]上應(yīng)用拉格朗日中值定理得因?yàn)閒'(x)=0,所以f'(ξ)=0,推得f(x2)=f(x1).由于x1,x2

是I

上任意兩點(diǎn),所以在I

上所有點(diǎn)的函數(shù)值都是相等的,即f(x)為一常數(shù).由定理的證明可以看出,對于ξ,我們只要它的存在性即可,至于ξ

的準(zhǔn)確值無法求得,并不影響它的應(yīng)用.從本題中可以看出,由于ξ

是介于a,b

之間的,所以可以對f'(ξ)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯笈c縮小,從而證明不等式.3.1.3柯西中值定理

定理3(柯西中值定理)設(shè)函數(shù)f(x)及φ(x)滿足下列條件:

(1)在閉區(qū)間a,b

上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

(3)對任一x∈(a,b),φ'(x)≠0,則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得

證明柯西中值定理的證明與拉格朗日中值定理的證明類似,仍要構(gòu)造輔助函數(shù),但需說明的是φ(b)-φ(a)≠0.若φ(b)-φ(a)=0,則φ(x)在[a,b]上滿足羅爾定理,則至少存在一點(diǎn)η∈(a,b),使得φ'(η)=0,這與φ'(x)≠0矛盾,所以φ(b)-φ(a)≠0.將移項(xiàng)整理,得所以設(shè)輔助函數(shù)為顯然F(x)在a,b

上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理的條件,由羅爾定理可得至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使f'(ξ)=0.即移項(xiàng)整理得在柯西中值定理中,若φ(x)=x,則φ(b)-φ(a)=b-a,φ‘(x)=1,所以φ’(ξ)=1,則可寫作

這就是拉格朗日中值公式,所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一個(gè)特例.在第1章中討論了極限的計(jì)算方法,觀察如下幾個(gè)極限:不存在.這些極限的共同特點(diǎn)是:它們都是商的極限,且分子、分母均以0為極限,但商的極限可能存在,也可能不存在,這類極限稱為型未定式;同理,若分子、分母均以∞為極限,商的極限也可能存在,也可能不存在,這類極限稱為型未定式.對于未定式的計(jì)算,無法采用極限商的運(yùn)算法則.下面將利用柯西中值定理來推導(dǎo)出一種既簡單又實(shí)用的求極限方法———洛必達(dá)法則.我們先討論型未定式.3.2.1型未定式

1.x→a時(shí),型未定式

定理1設(shè)

分析定理中出現(xiàn)了而能將這兩個(gè)量聯(lián)系起來的顯然是柯西中值定理,但柯西中值定理是兩個(gè)函數(shù)的增量與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,中沒有出現(xiàn)函數(shù)的增量,考慮到而求極限時(shí),在x=a

處函數(shù)有沒有定義及定義值是多少對極限沒有影響,于是補(bǔ)充f(a)=0,g(a)=0,則就可以應(yīng)用柯西中值定理了.

分析證明假定f(a)=g(a)=0,則f(x),g(x)在以a

和x

為端點(diǎn)的閉區(qū)間上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,所以

x→a時(shí),對上式取極限,此時(shí)ξ→a,得注:若仍為型未定式,且f'(x),g'(x)仍滿足定理?xiàng)l件,則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則,求依此類推下去…,這種利用導(dǎo)數(shù)商的極限來求未定式極限的方法稱為洛必達(dá)法則.由例3可知,在應(yīng)用洛必達(dá)法則求極限時(shí),應(yīng)結(jié)合等價(jià)無窮小代換、重要極限、一些特殊計(jì)算公式等簡化問題.從例5、例6的結(jié)論可知,雖然lnx,xn,emx(n>0,m>0)在x→∞時(shí)均趨于無窮大,但它們趨于無窮大的速度快慢卻不同,emx

最快,xn

其次,lnx

最慢.3.2.2型未定式

1.0·∞型未定式3.2.3

0·∞、∞-∞、00、1∞

、∞0

型未定式

2.∞-∞型未定式

3.00、1∞

、∞0

型未定式這三種未定式都是關(guān)于冪指函數(shù)u(x)v(x)的極限問題.在第1章中,介紹了函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的概念,本節(jié)將利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)問題.首先研究函數(shù)單調(diào)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.觀察圖3-3.圖3-3在圖3-3(a)中,函數(shù)y=f(x)的圖形為上升曲線,曲線上各點(diǎn)的切線斜率是非負(fù)的,即f'(x)≥0;在圖3-3(b)中,函數(shù)y=f(x)的圖形為下降曲線,曲線上各點(diǎn)的切線斜率是非正的,即f'(x)≤0.由此可知,函數(shù)單調(diào)增加,f'(x)≥0;函數(shù)單調(diào)減少,f'(x)≤0.反過來,由導(dǎo)數(shù)的符號也能決定函數(shù)的單調(diào)性,這就是下面介紹的函數(shù)單調(diào)性的判別定理.

定理1設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).

(1)如果在(a,b)內(nèi)f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)增加;

(2)如果在(a,b)內(nèi)f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.證明在[a,b]上任取兩點(diǎn)x1,x2,不妨設(shè)x1<x2,顯然函數(shù)f(x)在[x1,x2]上滿足拉格朗日中值定理的條件,于是至少存在一點(diǎn)ξ1∈(x1,x2),使得由于x2-x1>0,若f'(x)>0,則f'(ξ)>0,因此f(x2)-f(x1)>0,再由x1,x2

的任意性可知,f(x)在[a,b]上單調(diào)增加.同理可證,若f'(x)<0,則函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.如果將定理中的閉區(qū)間換成其他區(qū)間,包括無窮區(qū)間,結(jié)論仍成立.圖3-4圖3-5

3.4.1

函數(shù)的極值及其求法觀察函數(shù)f(x)=sinx(0≤x≤2π)的圖形(圖3-6).圖3-6是函數(shù)f(x)=sinx(0≤x≤2π)單調(diào)增加區(qū)間與單調(diào)減少區(qū)間的分界點(diǎn),因此在點(diǎn)處,f(x)的函數(shù)值大于其鄰近點(diǎn)處的函數(shù)值;同理是f(x)=sinx單調(diào)減少與單調(diào)增加區(qū)間的分界點(diǎn),因此f(x)的函數(shù)值小于其鄰近點(diǎn)處的函數(shù)值.稱為極大值點(diǎn),稱為極小值點(diǎn),統(tǒng)稱為極值點(diǎn);它們的函數(shù)值分別稱為極大值和極小值,統(tǒng)稱為極值,下面給出一般性的定義.極小值、極大值統(tǒng)稱為極值,極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).

注:(1)極值是一個(gè)局部概念,如f(x0)是極小值,那只是說f(x0)在點(diǎn)x0

的一個(gè)局部鄰域內(nèi)是最小的,但就整個(gè)定義域而言,未必是最小的,同理對于極大值也有類似的情況.因此,一個(gè)函數(shù)可以沒有、有1個(gè)、也可以有幾個(gè)極大值或極小值,甚至極大值可能比極小值還小(圖3-7).1.函數(shù)極值的定義圖3-7

(2)由定義可知,極值點(diǎn)必須是一個(gè)鄰域內(nèi)的點(diǎn),所以極值點(diǎn)只能取自區(qū)間內(nèi)部,而不能是區(qū)間的端點(diǎn).從圖3-7中還可以發(fā)現(xiàn),在函數(shù)取得極值處,若曲線有切線,那么切線是水平的,但曲線有水平切線的地方,不一定取得極值,如曲線在x=x7

處有水平切線,但x=x7

不是極值點(diǎn).當(dāng)然,在不可導(dǎo)點(diǎn)處,曲線也可能取得極值,如x=x8

處,曲線沒有切線,但在該點(diǎn)處函數(shù)取得極小值.于是得到函數(shù)取得極值的充分條件和必要條件.2.函數(shù)取得極值的充分和必要條件

定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),且在x0

處取得極值,則f'(x0)=0.由于本定理的證明在羅爾定理的證明中已經(jīng)涉及,這里不再贅述.使導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).若函數(shù)f(x)可導(dǎo),那么它的極值一定出現(xiàn)在駐點(diǎn)處.但在不可導(dǎo)點(diǎn)處,函數(shù)也可能取得極值,如函數(shù)f(x)=x,在x=0處不可導(dǎo),但在x=0處取得極小值.綜上所述,若函數(shù)f(x)在x0

處連續(xù),且在x0

處取得極值,則必有f'(x0)=0或f'(x0)不存在.下面給出判斷極值存在的充分條件.

定理2(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0

處連續(xù),且在x0

的一個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo).

(1)若x∈(x0-δ,x0)時(shí),f'(x)>0,而x∈(x0,x0+δ)時(shí),f'(x)<0,則f(x)在x0處取得極大值.

(2)若x∈(x0-δ,x0)時(shí),f'(x)<0,而x∈(x0,x0+δ)時(shí),f'(x)>0,則f(x)在x0處取得極小值.

(3)若在U(x0,δ),f'(x)不改變符號,則f(x0)不是f(x)的極值.

證明只證(1).由于x∈(x0-δ,x0)時(shí),f'(x)>0,所以f(x)單調(diào)增加;x∈(x0,x0+δ)時(shí),f'(x)<0,所以f(x)單調(diào)減少.由于f(x)在x0

處連續(xù),故當(dāng)x∈U(x0,δ)時(shí),總有f(x)<f(x0),所以f(x0)是f(x)的一個(gè)極大值.同理可證(2)和(3).綜合定理1和定理2,在求函數(shù)的極值時(shí),可以先利用判斷極值的必要條件求出給定函數(shù)所有可能的極值點(diǎn),然后再利用第一充分條件對這些可能點(diǎn)加以判斷.。。

定理3(第二充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0

處具有二階導(dǎo)數(shù),且f'(x0)=0,f″(x0)≠0,則:

(1)當(dāng)f″(x0)<0時(shí),函數(shù)f(x)在x0

處取得極大值;

(2)當(dāng)f″(x0)>0時(shí),函數(shù)f(x)在x0

處取得極小值.證明只證(1).由于f″(x0)<0,由二階導(dǎo)數(shù)定義及f'(x0)=0,可得

3.4.2

最大值與最小值問題本節(jié)研究的最值問題包括以下三類:

(1)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值問題;

(2)任意區(qū)間(包括無窮區(qū)間)上連續(xù)函數(shù)的最值問題;

(3)最值的應(yīng)用問題.若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上連續(xù),則f(x)在這個(gè)閉區(qū)間上一定取得最大值與最小值,并且最值一定取自函數(shù)的極值或端點(diǎn)處,而極值點(diǎn)必取自駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)處,因此,求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)f(x)的最值問題,可采取以下步驟:

(1)求f'(x);

(2)求出閉區(qū)間內(nèi)所有不可導(dǎo)點(diǎn)和駐點(diǎn):x1,x2,…,xn;

(3)求出f(a),f(b),f(x1),f(x2),…,f(xn),比較其大小,其中最大的函數(shù)值就是最大值,最小的函數(shù)值就是最小值.圖3-8在生產(chǎn)實(shí)際中,常常會(huì)遇到怎樣才能使成本最低,怎樣才能使收入最大等問題,這些問題可歸結(jié)為求某一函數(shù)的最大值與最小值問題.解決這些問題,往往要先建立數(shù)學(xué)模型,即建立目標(biāo)函數(shù),然后再求函數(shù)的最值.在求最值的過程中,可根據(jù)問題本身的實(shí)際意義,若確有最大值或最小值,且在給定的區(qū)間內(nèi)部取得,駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)唯一,那么這個(gè)唯一的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)就是最值點(diǎn),相應(yīng)的函數(shù)值就是最值.當(dāng)然,也可以利用前面介紹的二階導(dǎo)數(shù)求最值的方法.

【例7】某車間靠墻壁要蓋一間長方形小屋,現(xiàn)有存磚只夠砌20米長的墻壁,求:應(yīng)圍成怎樣的長方形才能使小屋的面積最大?解設(shè)小屋的長為x

米,依題意,由于是靠墻蓋,所以小屋的長只要一邊就可以,寬為(20-x)米.則面積由此,當(dāng)小屋長為10米、寬為5米時(shí),小屋面積最大,最大面積為50平方米.本題也可以不求S″,而是這樣回答:由實(shí)際問題知面積最大的小屋一定存在,且在區(qū)間(0,20)內(nèi)部取得,駐點(diǎn)x=10是唯一的,所以x=10即使得面積最大的最大值點(diǎn).

【例8】某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)租金定為每月1200元時(shí),公寓可全部租出去,當(dāng)月租金每增加100元時(shí),就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需要花費(fèi)200元的整修維護(hù)費(fèi),求房租定為多少可獲得最大收入?

3.4.2

最大值與最小值問題前兩節(jié)中,我們研究了曲線的單調(diào)性與極值、最值,但這些仍不能完全反映曲線的性狀,觀察圖3-11.圖3-11中的兩條曲線都是上升曲線,但圖3-11(a)與圖3-11(b)的彎曲方向是不一樣的,圖3-11(a)是向上凸的,而圖3-11(b)是向下凹的.因此研究函數(shù)圖形時(shí),有必要研究一下它的彎曲情況,這種彎曲情況稱為曲線的凹凸性.圖3-11為了給曲線的凹凸性下一個(gè)準(zhǔn)確的定義,我們再觀察圖3-11(a).曲線是向上凸的,在曲線上任取兩點(diǎn)x1,x2,連接x1,x2

的弦總在曲線的下方.因此,在(x1,x2)內(nèi),曲線上任一點(diǎn)均在弦的相應(yīng)點(diǎn)(具有相同橫坐標(biāo))之上,為方便起見,不妨取這個(gè)點(diǎn)為中點(diǎn),即有同理,對于圖3-11(b),有于是得到了凹凸性的定義.

定義1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I

上連續(xù),如果對I上任意兩點(diǎn)x1,x2,恒有那么稱f(x)在I

上的圖形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有1.凹凸性的定義如何判斷曲線的凹凸性呢?觀察圖3-12.圖3-12(a)是一條凹弧,隨著x的增大,其上每一點(diǎn)的斜率是逐漸增大的,即導(dǎo)函數(shù)f'(x)是單調(diào)增函數(shù),即f″(x)>0;圖3-12(b)是一條凸弧,隨著x的增大,其上每一點(diǎn)的斜率是逐漸減小的,即導(dǎo)函數(shù)f'(x)是單調(diào)減函數(shù),即f″(x)<0.因此,對于二階導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù),它的曲線凹凸性的判別有如下判別定理.圖3-12

定理1設(shè)f(x)在a,b

上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),那么:

(1)若在(a,b)內(nèi)f″(x)>0,則f(x)在a,b

上的圖形是凹的;

(2)若在(a,b)內(nèi)f″(x)<0,則f(x)在a,b

上的圖形是凸的.證明從略.

【例1】判斷曲線y=x2

的凹凸性.解函數(shù)y=x2在(-∞,+∞)內(nèi)連續(xù),且x∈(-∞,+∞)時(shí),有y'=2x,y″=2>0所以曲線y=x2在(-∞,+∞)上是凹的.2.曲線凹凸性的判別定理

【例2】判斷曲線y=arctanx

的凹凸性.

解函數(shù)y=arctanx在(-∞,+∞)上連續(xù),且x∈(-∞,+∞)時(shí),有當(dāng)x<0時(shí),y″>0,所以曲線在-∞,0上是凹的;當(dāng)x>0時(shí),y″<0,所以曲線在0,+∞上是凸的.例2中,曲線在點(diǎn)(0,0)的左側(cè)是凹的,右側(cè)是凸的,即曲線在經(jīng)過點(diǎn)(0,0)時(shí),凹凸性發(fā)生了改變,我們稱這樣的點(diǎn)為拐點(diǎn).

定義2設(shè)f(x)在區(qū)間I

上連續(xù),x0

是區(qū)間I

內(nèi)部的點(diǎn),如果曲線y=f(x)在經(jīng)過點(diǎn)(x0,f(x0))時(shí),曲線的凹凸性發(fā)生了改變,則稱點(diǎn)(x0,f(x0))為曲線f(x)的拐點(diǎn).由例2可知,拐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值f″(x)=0.另外,二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能成為拐點(diǎn),如定義域?yàn)?-∞,+∞)在x=0處一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)均不存在,但x<0時(shí),y″>0,曲線是凹的;x>0時(shí),y″<0,曲線是凸的.所以點(diǎn)(0,0)是曲線y=的拐點(diǎn).綜上所述,曲線的拐點(diǎn)一定是f″(x)=0或f″(x)不存在的點(diǎn).那么使得f″(x)=0或f″(x)不存在的點(diǎn)(x0,f(x0))一定是拐點(diǎn)嗎?3.拐點(diǎn)

定義1如果曲線c

上的點(diǎn)P

沿著曲線趨向無窮遠(yuǎn)時(shí),P

到某條定直線l

的距離趨于零,則稱l為曲線c

的漸近線.漸近線分為水平漸近線、鉛直漸近線和斜漸近線.

3.6.1

漸近線描繪函數(shù)的圖形的一般步驟如下:

(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域、奇偶性、周期性等.

(2)求出曲線的一階導(dǎo)數(shù)f'(x)和二階導(dǎo)數(shù)f″(x)的全部零點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),用這些點(diǎn)把定義域分成幾個(gè)區(qū)間.

(3)討論函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性與極值、凹凸性與拐點(diǎn).

(4)求出曲線的漸近線.

(5)適當(dāng)計(jì)算幾個(gè)函數(shù)值,如極值、拐點(diǎn)的函數(shù)值,確定曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),再適當(dāng)補(bǔ)充幾個(gè)函數(shù)值.

(6)根據(jù)以上討論作圖.

3.6.2

函數(shù)圖形的描繪圖3-14圖3-16一般來說,商品的需求量D、供給量S

與價(jià)格p

有著緊密的聯(lián)系.當(dāng)價(jià)格下降時(shí),需求量會(huì)上升,供給量會(huì)下降;當(dāng)價(jià)格上升時(shí),需求量會(huì)下降,供給量會(huì)上升.當(dāng)市場上某種商品的供給量與需求量相等時(shí),商品的供需達(dá)到平衡,此時(shí)的價(jià)格稱為均衡價(jià)格,記為p0,(p0,Q0)稱為供需平衡點(diǎn)(圖3-17).

3.7.1

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)1.需求函數(shù)與供給函數(shù)圖3-17常用的需求函數(shù)為線性函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)常用的供給函數(shù)為線性函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)總成本是生產(chǎn)和經(jīng)營一定數(shù)量產(chǎn)品的總費(fèi)用,通常用C

來表示.一般用q

來表示產(chǎn)量或銷售量,在不計(jì)市場其他因素的前提下,C

可表示為q的函數(shù),記為C=C(q).總成本包括固定成本C0

和可變成本C1,其中固定成本C0

為一常數(shù),C1

為產(chǎn)量或銷量的函數(shù),即C=C0+C1(q),C

為q

的單增函數(shù).當(dāng)q=0時(shí),C=C0.總收益是生產(chǎn)者出售一定量的產(chǎn)品的總收入,用q

表示銷售產(chǎn)品的數(shù)量,R

表示總收益,R

表示平均收益,則若產(chǎn)品的售價(jià)為p,則2.成本函數(shù)3.收益函數(shù)總收益與總成本之差為總利潤,用L表示,即L(q)稱為利潤函數(shù).生產(chǎn)單位在時(shí)間T

內(nèi)對物品的總需求量為Q,均勻地分n

次進(jìn)貨,每次進(jìn)貨量為q=,進(jìn)貨周期為若每件物品貯存單位時(shí)間的費(fèi)用為C1,每次進(jìn)貨費(fèi)用為C2,每次進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨時(shí)間間隔相同,勻速消耗貯存貨物,則平均庫存為在時(shí)間T

內(nèi)總費(fèi)用為4.利潤函數(shù)5.庫存成本函數(shù)

定義1設(shè)y=f(x)是一個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù),若f'(x)存在,則稱導(dǎo)數(shù)f'(x)為f(x)的邊際函數(shù),f'(x0)為x

在x0

處的邊際函數(shù)值.由上一章學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)的概念可知:表示的是Δx→0時(shí),函數(shù)f(x)在x0處的瞬時(shí)變化率.但在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中,x

的變化值Δx往往以1為變化單位,因此用微分來考察一下.設(shè)在x=x0

處,