高中高中階段測試卷（一）數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，下列選項中為的元素的是（）①②③④A.①② B.①③ C.②③ D.②④2.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.3.命題“”的否定是（）A. B.C. D.4.若R，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.設(shè)全集,集合，（）A. B.C. D.6.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A. B.{或}C D.{或}7.已知集合，，若集合真子集的個數(shù)為3，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.或 B.或C.或 D.或8.已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，，則的最大值為（）A. B.2 C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.命題“存在，使得”為假命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.10.已知，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的最大值是C.的最小值是 D.的最小值是11.若，，，則（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則________.13.已知，且滿足，則的最小值為________．14.定義集合的“長度”是，其中a，R.已知集合，，且M，N都是集合的子集，若集合的“長度”大于，則的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文宇說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)集合．（1）當時，求集合、；（2）若，求實數(shù)的取值范圍；16.（1）已知實數(shù)、滿足，.求的取值范圍.（2）已知，求的最小值.17.設(shè)全集，集合，集合．（1）求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍；（3）若命題“，則”是真命題，求實數(shù)的取值范圍．18.如圖，某小區(qū)有一個直角梯形休閑廣場，其中百米，百米.規(guī)劃修建兩條直道將廣場分割為3個區(qū)域：I，II為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），面積分別記為，；III為休閑區(qū)域，面積記為.其中，區(qū)域III是以為底的梯形，點分別在上.（道路寬度忽略不計）（1）若，試確定道路AE長度的取值范圍；（2）記休閑區(qū)域面積與綠化區(qū)域面積比值為“效能比”，求此規(guī)劃下該廣場效能比的最大值.19.已知n元有限集，若，則稱集合A“n元和諧集”.（1）若集合是“二元和諧集”，求m的值；（2）若正數(shù)集是“二元和諧集”，試證明：元素，中至少有一個大于2；（3）是否存在集合中元素均為正整數(shù)的“三元和諧集”？如果有，有幾個？請說明理由.階段測試卷（一）數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，下列選項中為的元素的是（）①②③④A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合元素的定義，判斷所給選項中的元素是否在集合中.【詳解】已知集合，所以集合A有兩個元素：和．故選：B.2.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由補集、交集的概念即可得解.【詳解】已知全集，集合，，則.故選：D.3.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】命題是存在量詞命題，則命題的否定是全稱量詞命題，據(jù)此解答即可．【詳解】命題“”的否定為“”．故選：D．4.若R，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】A.，不成立；B.作差法判斷結(jié)論；C.，可得到；D．時，不成立.【詳解】對于A，當時，不成立，A錯誤對于B，，，，，，即，B正確對于C，，所以若，則，C錯誤對于D，當時，，D錯誤故選：B5.設(shè)全集,集合，（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補集的運算即可解出．【詳解】因為整數(shù)集，，所以，．故選：A．6.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A B.{或}C. D.{或}【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件確定參數(shù)范圍和參數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，將其代入所求不等式計算即得.【詳解】由的解集為，可得，且方程的解為，則，即，故，即，又，即得，解得，即關(guān)于x的不等式的解集為.故選：C.7.已知集合，，若集合的真子集的個數(shù)為3，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再分中的兩個整數(shù)是，和情況討論，分別得到不等式組，計算可得.【詳解】由，即，解得，所以；由，即，解得，所以.若集合的真子集的個數(shù)為3，則集合中的元素個數(shù)為2，若集合中的兩個元素是2，3，則，解得；若集合中的兩個元素是1，2，則，解得；若集合中的兩個元素是0，1，則，解得；綜上，實數(shù)a的取值范圍是或.故選：A.8.已知關(guān)于方程有兩個不相等的實數(shù)根，，則的最大值為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】通過求解判別式確定方程有兩個不相等的實數(shù)根的條件，再通過韋達定理求出兩根的關(guān)系式，再將關(guān)系式代入目標表達式中化簡，通過基本不等式化簡求解即可.【詳解】由題設(shè)，得，且，，，又因為，所以，則，所以，當且僅當時，即時取等號，所以，即的最大值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.命題“存在，使得”為假命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用一元二次不等式的成立問題結(jié)合必要不充分條件的定義判斷各個選項.【詳解】存在，使得為真時，當時，顯然成立；當時，有，解得，當時，存在，使得；所以存在，使得為真時，，命題“存在，使得”為假命題時，時，不一定成立，不合題意；時，不一定成立，不合題意；時，必成立，反之時，推不出，符合題意；時，必成立，反之時，推不出，符合題意；命題“存在，使得”為假命題的一個充分不必要條件是；故選：CD10.已知，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的最大值是C.的最小值是 D.的最小值是【答案】ABD【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)可判斷A；根據(jù)基本不等式判斷BD；結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)判斷C；【詳解】由，得，因為，所以，解得，又，所以，故A正確；因為，故，所以，所以，當且僅當時取等號，故B正確；由，得，所以，當時，取最小值，最小值是，故C錯誤；，當且僅當時，結(jié)合，即取時等號，故D正確.故選：ABD.11.若，，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用作差法，適當放縮比較、和、的大小，得到、、的大小關(guān)系即可求解.【詳解】，，，，所以，，所以，所以，所以B、C、D正確，A錯誤.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)集合的相等確定，求得，進而得到，求得或，代入集合檢驗確定即得答案.【詳解】由題意得，則，即，則，解得或，若，則違背集合元素的互異性，舍去；若，則有，符合要求.綜上所述，，則.故答案為：213.已知，且滿足，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】由已知條件可知，且，由展開利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，，所以，因為，所以，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為，故答案為：.14.定義集合的“長度”是，其中a，R.已知集合，，且M，N都是集合的子集，若集合的“長度”大于，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)區(qū)間長度定義得到關(guān)于的范圍，再根據(jù)并集的區(qū)間長度大于，分類討論得到關(guān)于的不等式，解出即可.【詳解】因為都是集合的子集，所以，解得，又，可知集合M的“長度”為，，要使集合的“長度”大于，若，則，所以，又，所以；若，則，所以，又，所以；則的取值范圍是.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是充分理解區(qū)間長度的定義，再根據(jù)并集的含義得到不等式組，結(jié)合分類討論的思想即可.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文宇說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)集合．（1）當時，求集合、；（2）若，求實數(shù)的取值范圍；【答案】（1），或；（2）【解析】【分析】（1）直接代入解出分式不等式和一元二次不等式即可；（2）求出，或，再根據(jù)并集的含義即可得到不等式組，解出即可.【小問1詳解】當時，或，由，得，則有，解得，所以；【小問2詳解】由，得，解得，所以，由（1）得，則或，由于，所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.16.（1）已知實數(shù)、滿足，.求的取值范圍.（2）已知，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法得出，再利用不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍；（2）由已知條件得出，結(jié)合基本不等式可求得的最小值.【詳解】（1）設(shè)，其中、，所以，解得，，即，因為，，所以，，由不等式的基本性質(zhì)可得，即，因此，的取值范圍是；（2）因為，即，即，由基本不等式可得，所以，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.17.設(shè)全集，集合，集合．（1）求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍；（3）若命題“，則”是真命題，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】（1）由補集的定義求解即可；（2）由“”是“”的充分不必要條件可得是的真子集，再由真子集的定義列不等式，解不等式即可得出答案.（3）由命題“，則”是真命題可得，分類討論和，再由子集的定義列不等式，解不等式即可得出答案.【小問1詳解】因為，所以或.【小問2詳解】由“”是“”的充分不必要條件，得是的真子集，又，，因此或，解得:.所以實數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】命題“，則”是真命題，則有,當時，，解得，符合題意，因此當時，而，則，無解，綜上所述，實數(shù)的取值范圍.18.如圖，某小區(qū)有一個直角梯形休閑廣場，其中百米，百米.規(guī)劃修建兩條直道將廣場分割為3個區(qū)域：I，II為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），面積分別記為，；III為休閑區(qū)域，面積記為.其中，區(qū)域III是以為底的梯形，點分別在上.（道路寬度忽略不計）（1）若，試確定道路AE的長度的取值范圍；（2）記休閑區(qū)域面積與綠化區(qū)域面積的比值為“效能比”，求此規(guī)劃下該廣場效能比的最大值.【答案】（1）大于50米小于100米（2）3【解析】【分析】（1）延長相交于點P，設(shè)可利用三角形相似求出關(guān)系，結(jié)合已知即可求出的表達式，解不等式即可求得答案；（2）求出的表達式，可得效能比的表達式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案.【小問1詳解】延長相交于點P，因為，所以，結(jié)合，所以，則B為PA的中點，所以，則；由區(qū)域Ⅲ是以CD為底的梯形，可得，于是，則，設(shè)，所以，故，由題意知，所以，所以，當時，則，即，所以，或，又因為，所以，所以當?shù)缆稟E大于50米小于100米時，.【小問2詳解】因為，故廣場效能比為，設(shè)，則二次函數(shù)的圖象開口向上，當時，函數(shù)取得最小值，即，所以，所以此規(guī)劃下該廣場效能比的最大值為3.19.已知n元有限集，若，則稱集合A為“n元和諧集”.（1）若集合是“二元和諧集”，求m的值；（2）若正數(shù)集是“二元和諧集”，試證明：元素，中至少有一個大于2；（3）是否存在集合中元素均為正整數(shù)的“三元和諧集”？如果有，有幾個？請說明理由.【答案】（1）（2