2.2.4平方根與立方根（第4課時）教學設計1.教學內(nèi)容本節(jié)課是北師大版《義務教育教科書?數(shù)學》八年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第二章“實數(shù)”2.2.4無理數(shù)的估算與大小比較（4），內(nèi)容包括：掌握無理數(shù)估算的基本方法，學會比較無理數(shù)與有理數(shù)、無理數(shù)與無理數(shù)的大小．2.內(nèi)容解析學生在學習本節(jié)課前，已掌握有理數(shù)的運算（尤其是平方運算）、平方根的基本概念，能識別無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，對“開平方與平方互為逆運算”有初步認識，這為利用平方數(shù)估算無理數(shù)范圍奠定了基礎.但學生正處于從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的階段，對“夾逼法”等抽象估算方法的理解可能存在障礙.本節(jié)內(nèi)容將有理數(shù)與無理數(shù)納入同一比較體系，幫助學生建立“實數(shù)范圍內(nèi)數(shù)的大小關(guān)系”的整體認知，完善數(shù)系知識網(wǎng)絡，為后續(xù)學習實數(shù)的性質(zhì)和運算掃清障礙.??基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為：無理數(shù)估算與比較的核心方法：利用有理數(shù)的平方（或立方）“夾逼”無理數(shù)范圍.1.教學目標（1）掌握無理數(shù)估算的基本方法，學會比較無理數(shù)與有理數(shù)、無理數(shù)與無理數(shù)的大小.（2）經(jīng)歷平方運算估算無理數(shù)范圍的過程，體會轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學中的作用．在“夾逼法”縮小無理數(shù)范圍的過程中，培養(yǎng)數(shù)感和近似計算能力.（3）結(jié)合生活實例，感受無理數(shù)估算在建筑安全、測量等實際場景中的應用，體會“數(shù)學源于生活、用于生活”.2.目標解析（1）掌握無理數(shù)估算的基本方法（如通過平方數(shù)逼近無理數(shù)范圍），能運用“夾逼法”精確到指定精度，并能運用計算器進行開方運算；學會比較無理數(shù)與有理數(shù)、無理數(shù)與無理數(shù)的大小，能結(jié)合具體例子選擇合適的比較方法.?（2）學生在學習過程中，要能夠自主估算出無理數(shù)的大致范圍.能夠借助有理數(shù)來比較無理數(shù)的大小.在這一過程中，逐步滲透逼近思想和轉(zhuǎn)化思想，并提升估算能力與邏輯推理能力.?（3）學生估算無理數(shù)范圍的過程中，感受“估算”這一數(shù)學能力在生活中的必要性感受無理數(shù)估算與大小比較的實際應用價值，體會“數(shù)學源于生活、用于生活”.在“逐步縮小無理數(shù)范圍”的過程中，培養(yǎng)耐心細致的學習習慣與嚴謹?shù)臄?shù)學思維.學生在之前掌握有理數(shù)的概念、大小比較的一些方法（數(shù)軸法、作差法），同時能理解平方根、立方根的定義，會計算簡單的平方根，知道無理數(shù)的定義，但對其具體大小缺乏直觀認知.?不會用夾逼法估算無理數(shù)的范圍；不熟悉平方比較法；缺乏“用無理數(shù)解決生活問題”的經(jīng)驗.1.在進行估算時，用有理數(shù)逐步逼近無理數(shù)”是無理數(shù)的本質(zhì)，而非“近似值”，如學生可能認為“√2≈1.414”就是最終結(jié)果，忽略“無限逼近”的過程.因此，教師在引導時，需要明確估算的精度，更要滲透“無限逼近”的思想.2.在學習“夾逼法”估算的過程中，學生可能因計算繁瑣而放棄，因此在學習的過程中要對學生多進行鼓勵，同時組織小組，進行小組合作交流，培養(yǎng)學生的團隊協(xié)作能力.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：估算的合理性與精度控制：如何快速找到合適的“參考有理數(shù)”.1.溫故知新本節(jié)課將進入無理數(shù)的估算與大小比較的學習，先回顧以下問題：(1)立方根的概念是什么？一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3=a，那么這個數(shù)x就叫作a的立方根．(2)回想一下什么是無理數(shù)？結(jié)合所學的立方根，你能舉例說明嗎？無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，如32就是一個無理數(shù)，因為沒有任何一個有理數(shù)滿足x(3)回想一下我們是如何得出“無限不循環(huán)小數(shù)”這一概念的？通過平方運算不斷確無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，最終發(fā)現(xiàn)這樣的小數(shù)不僅小數(shù)部分沒有規(guī)律，更是無法完全計算出來.通過以上問題，猜測一下：怎樣估算無理數(shù)？無理數(shù)如何與其他數(shù)進行比較？讓我們趕緊進入本節(jié)課的學習吧?。ㄔO計意圖：由學生回憶并回答，為學習本節(jié)的知識做鋪墊）（教學建議：教師提問，指定學生代表回答．回顧無限不循環(huán)小數(shù)的有關(guān)概念，有利于學生類比無限不循環(huán)小數(shù)的學習過程展開估算無理數(shù)的學習）2.情景引入教師在多媒體設備上展示學校將要建造的正方形花壇。問題:學校準備在教學樓前修建一個正方形環(huán)保主題花壇，用于種植綠植和宣傳環(huán)保知識。已知花壇的規(guī)劃面積為30m2，施工隊需要確定花壇的邊長，才能購買合適的瓷磚和劃分施工區(qū)域？“正方形花壇的面積是30m2，邊長是整數(shù)嗎？該如何將它轉(zhuǎn)化為小數(shù)，以便購買材料？”(設計意圖：以校園常見場景為背景，讓學生感受到無理數(shù)的估算與大小比較在實際測量、材料購買中的應用，體現(xiàn)估算的實際應用價值)探究點1無理數(shù)的估算技巧1.某塊地開辟了一塊長方形的荒地，新建一個環(huán)保主題公園。已知這塊荒地的長是寬的2倍，它的面積為m2。（1）公園的寬大約是多少？它有1000m嗎？ 解：設公園的寬為x?m，則長為2x?mx2=200000因為10002=1000000，而所以200000<1000，（2）如果要求結(jié)果精確到10m，它的寬大約是多少？與同伴進行交流.解：計算10的倍數(shù)的平方：4402=193600（4502=202500（因為更接近，所以200000（3）該公園中心有一個圓形花圃，它的面積是800m2，你能估計它的半徑嗎（結(jié)果精確到1m）？解：圓形面積公式S=πr2，得代入S=800?m2r≈800因為152=225，16驗證162×3.14=256×3.14=803.84≈800，所以半徑大約2.在例題中，每一小問都涉及都無理數(shù)的估算，我們發(fā)現(xiàn)估算無理數(shù)時，總是通過找到臨近的數(shù)字在平方，并取更加逼近無理數(shù)的那個數(shù)，你能總結(jié)該過程嗎？（1）確定“夾逼”方向，鎖定整數(shù)范圍：先找兩個鄰近的整數(shù)，使它們的平方（立方，對應開平方、開立方）分別小于、大于被開方數(shù)；（2）細化精度，縮小范圍：若需要更精確的估算，則在第一步的整數(shù)區(qū)間內(nèi)，找一位小數(shù)的平方繼續(xù)“夾逼”；（3）確定近似值（結(jié)合需求取整或截斷）：根據(jù)題目要求的精度（如“精確到1”“精確到0.1”），從夾逼出的范圍中取更接近無理數(shù)的近似值。3.以上步驟稱為“夾逼法”，“夾逼法”的核心是用已知有理數(shù)的冪（平方、立方等），逼近未知無理數(shù)的范圍，通過“大范圍→小范圍”，逐步縮小邊界，最終根據(jù)需求確定近似值。4.請你用夾逼法估算11，結(jié)果精確到小數(shù)點后一位.①首先，尋找兩個整數(shù)，使得它們的平方分別小于和大于11：32=9（42=16（因此，11?的整數(shù)部分是3，即：3<②接下來，在3.0到4.0之間，尋找一位小數(shù)，使得它們的平方分別小于和大于11：試3.3：3.32=10.89（試3.4：3.42=11.56（此時，11?在3.33和3.4之間：3.3<③11-3.33.4由于0.11<0.56，因此11≈3.3（設計意圖：引入無理數(shù)的估算方法——“夾逼法”）（教學建議：教師引導學生通過計算與總結(jié)，引導學生使用并總結(jié)“夾逼法”，培養(yǎng)學生主動參與、合作交流、歸納總結(jié)的意識）探究點2無理數(shù)的大小比較1.（1）下列計算結(jié)果正確嗎？你是怎樣判斷的？與同伴進行交流。0.43≈0.066， 3900≈96， 2536≈60.4解：0.43≈0.066：錯誤.理由：0.0662=0.004356，遠小于0.43，因此0.43應大于0.0663900≈96：錯誤理由：963=，遠大于900，因此3900應遠小于2536≈60.4：錯誤.理由：60.42=3648.16，遠大于2536，因此2536應小于60.4（2）你能估計3900的大小嗎（結(jié)果精確到1解：尋找整數(shù)a和a+1，使得a93=729，103計算中間值的立方，縮小范圍：9.63=884.736，比較差值：900-884.736=15.264，912.673-900=12.673由于9.73更接近900，故3900（3）寬與長之比為5-12的長方形稱為“矩形”。你能比較5-1解：結(jié)論：5理由如下：代數(shù)推理：5>2，因此兩邊除以2：52.經(jīng)過以上的計算，我們對于無理數(shù)的估算已經(jīng)有了方法技巧，在比較大小的時候，我們發(fā)現(xiàn)可以將兩個數(shù)都平方，將他們化為有理數(shù)進行比較.如5與2以上比較方法叫做平方法，適用于有理數(shù)與無理數(shù)或無理數(shù)與無理數(shù)之間的比較.3.平方法：將兩個無理數(shù)平方（或立方）轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，比較平方（或立方）后的結(jié)果（設計意圖：通過解決以上例題，再歸納與總結(jié)，得出用平方法比較無理數(shù)與其他數(shù)的結(jié)論.）（教學建議：引導學生利用無理數(shù)的估算方法逐步完成練習，實現(xiàn)了知識的自然遷移，使學生在自主探索的過程中不知不覺地學到了新知識，理解并掌握了無理數(shù)的估算方法，同時在解決無理數(shù)的比較大小的過程中，總結(jié)出平方法。教學重點得以基本達成，教學難點也取得相應突破．再這一學習過程中，體會轉(zhuǎn)化思想，提升學生的數(shù)感．）典例分析例生活經(jīng)驗表明，靠墻擺放梯子時，若梯子底端到墻的距離約為梯子長度的13，則梯子比較穩(wěn)定。如圖，現(xiàn)有一架長度為6m的梯子，當梯子穩(wěn)定擺放時，它的頂端能抵達5.6m高的墻頭嗎？解：設梯子穩(wěn)定擺放時它的頂端抵達的高度為xm，此時梯子底端到墻的距離恰為梯子長度的13根據(jù)勾股定理，有x2+(6×13)2=62， 即x2=32，x=32因為5.62=31.36＜32，所以32＞5.6;因此，梯子穩(wěn)定擺放時，它的頂端能抵達5.6m高的墻頭。探究點3用計算器進行開方運算1.除了估算，我們也可以利用計算器進行開方運算（1）觀察你的計算器面板，對于開方運算，可能用到哪些按鍵？利用計算器求下列各式的值（結(jié)果精確到0.0001）：①5.89；②3解：常用按鍵：平方根用“√”（或“sqrt”）鍵，立方根用“xy?①5.89：按“√”→輸入“5.89”→按“=”，結(jié)果精確到0.0001為2.4269②3-1285：按“xy”→輸入“1285”→按“x或計算3-1285后加負號，結(jié)果精確到0.0001為（2）任意找一個你認為很大的正數(shù)，利用計算器對它進行開平方運算，對所得結(jié)果再進行開平方運算……隨著開平方次數(shù)的增加，你發(fā)現(xiàn)了什么？改另一個小于1的正數(shù)試一試，看看是否仍有類似的規(guī)律。解：很大的正數(shù)（如10000）：反復開平方→100→10→3.162→1.772→1.331→…→趨近于1。小于1的正數(shù)（如0.0001）：反復開平方→0.01→0.1→0.316→0.562→0.750→…→趨近于1。結(jié)論：無論初始是很大的正數(shù)還是小于1的正數(shù)，反復開平方后結(jié)果均趨近于1。2.計算機開方操作總結(jié).（1）平方根：①按“√”鍵；②輸入被開方數(shù)；③按“=”鍵（2）立方根：①按“xy?”鍵；②輸入被開方數(shù)；③按“xy?”鍵；④輸入根指數(shù)“3”；（設計意圖：通過解決以上問題，自主總結(jié)出計算機開方操作的步驟.）（教學建議：教師引導學生自主操作計算機，使用計算機獨立完成以上例題，并就結(jié)果與同桌交流，培養(yǎng)學生主動參與、合作交流、歸納總結(jié)的意識）物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，叫作第一宇宙速度，它的計算公式為v=gR，其中g(shù)=9.8?m/s2，解：vgR=9.8?m/s要計算6.2426×107，先尋找接近，79002=因此第一宇宙速度約為7900m/s（設計意圖：將無理數(shù)的估算與其他學科結(jié)合，加強鞏固了所學知識的同手，提高數(shù)學運用能力.）（教學建議：學生分組討論探究作答，教師匯總后訂正．提醒學生：此類跨學科結(jié)合其他知識的題目．在求解時，先確定其中的數(shù)量關(guān)系，再用數(shù)學知識進行解答，思路清晰，邏輯嚴密）1.估計下列各數(shù)的大?。海?）13.6（結(jié)果精確到0.1）；（2）3800（結(jié)果精確到1）解：尋找相鄰的一位小數(shù)，使其平方接近13.6：3.62=12.96，13.6-12.96=0.64，13.69-13.6=0.0913.69更接近13.6。結(jié)論：13.62.比較6與2.5的大小。你是怎么做的？解:尋找相鄰的整數(shù)，使其立方接近800：93=729計算中間值的立方：9.33=804.357比較差值：800-778.688=21.312，804.357-800=4.357，9.33更接近結(jié)論：800≈93.利用計算器比較33和2的大小解：用計算器計算：33≈1.442，2≈1.414比較數(shù)值：1.442>1.414.結(jié)論：3設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的理解，還可以及時反饋學習情況，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調(diào)整教學策略.類型一：估算無理數(shù)的近似值1.估算

10的值，精確到0.1.解：確定整數(shù)范圍：32=9<10，42計算一位小數(shù)的平方：3.12=9.61<10，10-9.61=0.39， 10.24-10=0.243.2更接近10，因此10的近似值時3.2類型二：無理數(shù)與有理數(shù)的大小比較2.比較

7

與2.7的大小;3.比較

π與3.1416的大小.2.解：72=7 7<7.29→73.解：π3.1415926535<3.14160→π類型三：兩個無理數(shù)的大小比較4.比較

15

與

17的大小;5.比較

3

與36

的大小4.解：15<17→155.解：統(tǒng)一為6次方（2和3的最小公倍數(shù)）：（（因為36>27，所以

3

<36

類型四：利用估算解決實際問題6、某物體的長度為50

厘米，已知一個盒子的內(nèi)部長度為7.2厘米，這個物體能否放入盒子？解：（50）2=50；因為51.84>50所以50<7.2因此這個物體能夠放入這個盒子。1.（2024?天津）估算10的值在（C）

A.1和2之間 B.2和3之間 C.3和4之間 D.4和5之間2.（2024·重慶）題目：已知m=35，則實數(shù)m的范圍是（ D）A.2<m<3 B.3<m<4 C.4<m<5 D.5<m<6 3.（2024?四川）比較