2025年高一數(shù)學試卷復數(shù)題及答案題目1.已知復數(shù)\(z=(m^2m6)+(m^22m15)i\)，\(m\inR\)，當\(m\)為何值時：\(z\)是實數(shù)；\(z\)是純虛數(shù)；\(z\)對應的點在復平面內(nèi)的第二象限。2.計算\(\frac{(1+i)^2}{1i}\)。3.已知復數(shù)\(z_1=2+i\)，\(z_2=12i\)，若\(z=\frac{z_1}{z_2}\)，求\(z\)的共軛復數(shù)\(\overline{z}\)。4.已知\(z\)是復數(shù)，且\(z+2i\)，\(\frac{z}{2i}\)均為實數(shù)（\(i\)為虛數(shù)單位），求復數(shù)\(z\)。答案1.若\(z\)是實數(shù)，則虛部為\(0\)，即\(m^22m15=0\)。因式分解得\((m5)(m+3)=0\)，解得\(m=5\)或\(m=3\)。若\(z\)是純虛數(shù)，則實部為\(0\)且虛部不為\(0\)。由\(m^2m6=0\)，因式分解得\((m3)(m+2)=0\)，解得\(m=3\)或\(m=2\)。又因為\(m^22m15\neq0\)，即\((m5)(m+3)\neq0\)，解得\(m\neq5\)且\(m\neq3\)。所以\(m=3\)或\(m=2\)時，\(z\)是純虛數(shù)。若\(z\)對應的點在復平面內(nèi)的第二象限，則實部小于\(0\)且虛部大于\(0\)。\(\begin{cases}m^2m6\lt0\\m^22m15\gt0\end{cases}\)解\(m^2m6\lt0\)，因式分解得\((m3)(m+2)\lt0\)，解得\(2\ltm\lt3\)。解\(m^22m15\gt0\)，因式分解得\((m5)(m+3)\gt0\)，解得\(m\gt5\)或\(m\lt3\)。兩個不等式?jīng)]有公共解，所以不存在這樣的\(m\)值使\(z\)對應的點在復平面內(nèi)的第二象限。2.先化簡\((1+i)^2\)，根據(jù)完全平方公式\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，這里\(a=1\)，\(b=i\)，則\((1+i)^2=1+2i+i^2\)。因為\(i^2=1\)，所以\((1+i)^2=1+2i1=2i\)。則\(\frac{(1+i)^2}{1i}=\frac{2i}{1i}\)，為了將分母實數(shù)化，給分子分母同時乘以\(1+i\)，得到\(\frac{2i(1+i)}{(1i)(1+i)}\)。根據(jù)平方差公式\((ab)(a+b)=a^2b^2\)，\((1i)(1+i)=1i^2=1(1)=2\)。\(2i(1+i)=2i+2i^2=2i2=2+2i\)。所以\(\frac{(1+i)^2}{1i}=\frac{2+2i}{2}=1+i\)。3.已知\(z_1=2+i\)，\(z_2=12i\)，則\(z=\frac{z_1}{z_2}=\frac{2+i}{12i}\)。給分子分母同時乘以\(1+2i\)進行分母實數(shù)化，\(z=\frac{(2+i)(1+2i)}{(12i)(1+2i)}\)。\((2+i)(1+2i)=2+4i+i+2i^2=2+5i2=5i\)，\((12i)(1+2i)=1(2i)^2=1(4)=5\)。所以\(z=i\)，根據(jù)共軛復數(shù)的定義，實部相同，虛部互為相反數(shù)，\(\overline{z}=i\)。4.設\(z=a+bi\)，\(a,b\inR\)。則\(z+2i=a+(b+2)i\)，因為\(z+2i\)是實數(shù)，所以其虛部為\(0\)，即\(b+2=0\)，解得\(b=2\)。\(\frac{z}{2i}=\frac{a+bi}{2i}=\frac{(a+bi)(2+i)}{(2i)(2+i)}\)。\((a+bi)(2+i)=2a+ai+2bi+bi^2=(2ab)+(a+2b)i\)，\((2i)(2+i)=4i^2=5\)。所以\(\frac{z}{2i}=\frac{(2ab)+(a+2b)i}{5}=\frac{2ab}{5}+\frac{a+2b}{5}i\)。因為\(\frac{z}{2