【函數(shù)的單調(diào)性】教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期課題函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)目標(biāo)借助函數(shù)圖象，會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，理解單調(diào)性的作用和實(shí)際意義；會(huì)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；通過(guò)單調(diào)性概念教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和邏輯思維能力.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．教學(xué)難點(diǎn)：歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性．教學(xué)過(guò)程一、創(chuàng)設(shè)情境，引出概念下圖是某地一天24小時(shí)氣溫變化曲線圖，觀察圖形，回答問(wèn)題。圖1

圖1問(wèn)題一：你能用語(yǔ)言描述這一天氣溫的變化嗎？問(wèn)題二：氣溫隨時(shí)間變化可以作為一個(gè)函數(shù)圖像嗎？定義域是多少？問(wèn)題三：如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)溫度隨時(shí)間變化的趨勢(shì)呢？老師：在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對(duì)我們的生活是很有幫助的，各位同學(xué)還能舉出生活中其他數(shù)據(jù)的變化情況嗎？學(xué)生：水位高低、燃油價(jià)格、股票價(jià)格等．小結(jié)：用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)這些例子反映的就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小歸納：函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，了解函數(shù)的變化規(guī)律，那么也就基本把握了相應(yīng)事物的變化規(guī)律.這節(jié)課然我們一起探究函數(shù)的這種變化函數(shù)的單調(diào)性。抽象特征，形成概念對(duì)于自變量變化時(shí)，函數(shù)值是變大還是變小，同學(xué)們已經(jīng)有所了解。今天我們的任務(wù)就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.就從我們熟悉的二次函數(shù)開(kāi)始吧！1.觀察二次函數(shù)f(x)=x2的圖象思考：（1）從左至右，函數(shù)f(x)=x2的圖象是上升還是下降？生：圖象在y軸左側(cè)“下降”，在右側(cè)“上升”.(2)用文字語(yǔ)言如何描述函數(shù)的這種變化趨勢(shì)呢？生：在區(qū)間（∞,0）上，y隨x的增大而減小；在區(qū)間（0，+∞）上，y隨x的增大而增大.（3）如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)的這種變化趨勢(shì)呢？（4）你能說(shuō)明為什么f(x1)>f(x2)嗎？師：作差法：比較兩個(gè)二次函數(shù)值的大小，可以比較它們的差值

師結(jié)：我們定義f(x)在區(qū)間（∞,0）上是單調(diào)遞減，那么就可以定義它在（0，+∞）上是單調(diào)遞增.（5）你能仿f(x)=x2在（∞,0）上單調(diào)性的描述，刻畫(huà)它在x∈（0，+∞）上具有的單調(diào)性嗎？任意取x1,x2∈（0，+∞）,得到f(x1)=x12,f(x2)=x22,那么當(dāng)X1=2時(shí)，都有f(x1)<f(x2),這時(shí)我們就說(shuō)函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞增的.同樣，你能說(shuō)明為什么f(x1)<f(x2)嗎？（6）f(x)=x2在x=0處是增還是減？函數(shù)在某一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒(méi)有增減性的變化，不存在單調(diào)性問(wèn)題。說(shuō)明單調(diào)性是針對(duì)區(qū)間而言的.（7）那么能否將區(qū)間（∞,0）改為（∞,0]，函數(shù)f(x)=x2在該區(qū)間上仍是單調(diào)遞減嗎？都可以，不影響單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間只要在端點(diǎn)有意義，開(kāi)閉都可以.（8）函數(shù)f(x)=|x|，f(x)=x2+4x的單調(diào)性如何？你能仿照上述過(guò)程，用嚴(yán)格的符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行刻畫(huà)嗎？生：f(x)=|x|在區(qū)間（∞,0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增；f(x)=x2+4x在區(qū)間（∞,2]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[2，+∞）上是單調(diào)遞減.師：同學(xué)們從圖像是否能判斷？生：可以，圖像，上升說(shuō)明遞增，下降說(shuō)明遞減.師：圖象法是判斷單調(diào)性的一種方法.那如何刻畫(huà)y=f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性呢？請(qǐng)先歸納上述關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性的刻畫(huà)方法.表述函數(shù)的單調(diào)性小結(jié)：設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題連串，啟發(fā)學(xué)生思維.經(jīng)歷研究函數(shù)單調(diào)性的過(guò)程是:引導(dǎo)學(xué)生從具體函數(shù)出發(fā)，先觀察圖象特征到用自然語(yǔ)言描述，再到能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)，從而抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，最后會(huì)進(jìn)行單調(diào)性判定.在這一過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，抽象函數(shù)單調(diào)性的概念，經(jīng)歷從特殊到一般，具體到抽象的過(guò)程，提升數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).2.函數(shù)單調(diào)性的定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI:如果x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù).如果x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2，都有f(x1)>f(x2),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù).如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.思考：（1）設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且?x1,x2∈A，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2),我們能說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增嗎？你能舉例說(shuō)明嗎？（2）函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，你能舉出在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？師小結(jié)：?jiǎn)握{(diào)遞增函數(shù)是指函數(shù)在自變量增加時(shí)，函數(shù)值也隨之增加，且增加的速度越來(lái)越快。也就是說(shuō)，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意的x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，那么這個(gè)函數(shù)就是單調(diào)遞增函數(shù)。

增函數(shù)是指函數(shù)在自變量增加時(shí)，函數(shù)值也隨之增加，但是不一定增加的速度越來(lái)越快。也就是說(shuō)，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意的x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，但是不一定對(duì)于任意的x1<x2<x3，都有f(x1)<f(x2)<f(x3)，那么這個(gè)函數(shù)就是增函數(shù)。

同樣的，單調(diào)遞減函數(shù)和減函數(shù)也是兩個(gè)不同的概念。

單調(diào)遞減函數(shù)是指函數(shù)在自變量減少時(shí)，函數(shù)值也隨之減少，且減少的速度越來(lái)越快。也就是說(shuō)，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意的x1>x2，都有f(x1)<f(x2)，那么這個(gè)函數(shù)就是單調(diào)遞減函數(shù)。

減函數(shù)是指函數(shù)在自變量減少時(shí)，函數(shù)值也隨之減少，但是不一定減少的速度越來(lái)越快。也就是說(shuō)，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意的x1>x2，都有f(x1)<f(x2)，但是不一定對(duì)于任意的x2<x3<x4，都有f(x2)<f(x3)<f(x4)，那么這個(gè)函數(shù)就是減函數(shù)。設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}（1）辨析定義中的“x1,x2∈D……都有…”，加深對(duì)單調(diào)性定義的理解，嘗試突破教學(xué)難點(diǎn).問(wèn)題（2）是為了區(qū)別概念“單調(diào)遞增”與“增函數(shù)”，“單調(diào)遞減”與“減函數(shù)”，加深對(duì)單調(diào)函數(shù)這一概念的理解，注意“定義域上”這一關(guān)鍵詞.（三）概念應(yīng)用,加深理解例1根據(jù)定義證明函數(shù)f(x)＝3x+2是增函數(shù).分析：什么函數(shù)叫增函數(shù)？——函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增.那么這個(gè)函數(shù)f(x)＝3x+2的定義域是什么？——R，故只需證明在R上單調(diào)遞增即可.那如何證明函數(shù)單調(diào)遞增呢？只要在定義域R上任意取兩個(gè)大小不相等的自變量的值，證明較大的值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也較大，即設(shè)x1<x2，,去證明f(x1)<f(x2)，也就是要證明f(x1)f(x2)<0.歸納用定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性的步驟：第一步，取值:在區(qū)間D上任取兩個(gè)自變量的值x1,x2∈D，并規(guī)定x1<x2。第二步，作差變形:作差f(x1)－f(x2)，并進(jìn)行變形,到能判斷整個(gè)差式符號(hào)為止，特別要注意因式分解；第三步，定號(hào)：判斷f(x1)－f(x2)的正負(fù),要注意說(shuō)理的充分性,必要時(shí)要討論；第四步，下結(jié)論：根據(jù)定義得出其單調(diào)性.變式：請(qǐng)判斷函數(shù)f(x)＝kx+b(k≠0)的單調(diào)性.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生熟悉利用定義對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行嚴(yán)格證明的過(guò)程，利用作差后與“0”比較大小來(lái)比較兩個(gè)函數(shù)值的大小，體會(huì)“化難為易”的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及書(shū)寫(xiě)過(guò)程的規(guī)范性.例2物理學(xué)中的玻意耳定律（k為正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.試對(duì)此用函數(shù)的單調(diào)性證明.分析：怎樣來(lái)證明“當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大”呢？根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，只要證明函數(shù)（V∈（0，+∞））是減函數(shù)即可.教師巡視，對(duì)學(xué)生證明中出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行點(diǎn)拔，再次強(qiáng)調(diào)四個(gè)步驟.依據(jù)學(xué)生的問(wèn)題，給出下面的提示：（1）處理分式問(wèn)題一般是進(jìn)行通分，判斷好這幾個(gè)k,V1V2,V2V1式子的符號(hào)；（2）除了作差比較大小，還可以用作商的方法，比較與1的大小即可.師：我們可以用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決物理問(wèn)題.設(shè)計(jì)意圖：例2是物理學(xué)中的一個(gè)公式，建立物理意義與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)到函數(shù)模型可以用來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)可以獲得事物的變化規(guī)律，從而認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性，再次強(qiáng)化代數(shù)證明單調(diào)性的一般方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng).探究：畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象．（1）這個(gè)函數(shù)的定義域I是什么？（2）它是減函數(shù)嗎？生甲：函數(shù)的定義域是（∞,0）U（0，+∞）.因?yàn)樵冢ā?0）以及（0，+∞）上都是單調(diào)遞減，所以它在定義域（∞,0）∪（0，+∞）上單調(diào)遞減.生乙：如果取x1∈（∞,0），x2∈（0，+∞），x1＜x2顯然成立，但是f(x1)＜0，f(x2)>0，顯然有f(x1）<f(x2)，而不是f(x1)>f(x2)，所以這個(gè)函數(shù)不在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞減，不是減函數(shù).師:在區(qū)間（∞,0）和（0，+∞）內(nèi)都是單調(diào)遞減，因此在函數(shù)的幾個(gè)單調(diào)增(減)區(qū)間之間不能用符號(hào)“U”連接.另外，x=0不是定義域中的元素，不能寫(xiě)成閉區(qū)間.思考：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)和[3,5]上都單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間(1,5]上一定也單調(diào)遞增嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這道探究題，可以知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能簡(jiǎn)單合并，以后的應(yīng)用中要避免這種錯(cuò)誤的操作,從而進(jìn)一步加深對(duì)概念的理解，區(qū)別“單調(diào)遞減”與“減函數(shù)”，再次突破難點(diǎn)“x1,x2∈D……都有…”.同時(shí)又可以調(diào)動(dòng)學(xué)生參與討論，讓學(xué)習(xí)氛圍更加濃厚，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，使學(xué)生形成優(yōu)良的學(xué)習(xí)習(xí)慣.（四）課堂總結(jié)，提煉升華通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？（1）什么叫函數(shù)的單調(diào)性？判斷單調(diào)性的方法有哪些？證明單調(diào)性的步驟有哪些？（2）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究?jī)?nèi)容和方法有什么體會(huì)？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生再次把握函數(shù)單調(diào)性定義的要點(diǎn)，理解“任意”、“都有”的含義.體會(huì)從定性到定量的研究思路，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，認(rèn)識(shí)，表達(dá)，理解函數(shù)的單調(diào)性的概念，體會(huì)從特殊到一般，具體到抽象的思想.教學(xué)反思本節(jié)課先從一個(gè)溫度變化入手，再通過(guò)分析熟悉的二次函數(shù)的變化趨勢(shì)，讓學(xué)生直觀感受函數(shù)的單調(diào)性。再通過(guò)多媒體演