上海上海62中學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷及答案一、壓軸題1．如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1s后，BP=cm，CQ=cm．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1s后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（4）若點(diǎn)Q以（3）中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇？2．直角三角形中，，直線過(guò)點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，分別過(guò)點(diǎn)和作直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，與是否全等，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)，時(shí)，如圖2，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿路徑運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為，點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，各自達(dá)到相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求的值．3．如圖1，在等邊△ABC中，E、D兩點(diǎn)分別在邊AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于點(diǎn)F．（1）求∠AFE的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE于H，求證：2FH+FD=CE；（3）如圖2，延長(zhǎng)CE至點(diǎn)P，連接BP，∠BPC=30°，且CF=CP，求的值．（提示：可以過(guò)點(diǎn)A作∠KAF=60°，AK交PC于點(diǎn)K，連接KB）4．（閱讀材科）小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的項(xiàng)角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．（深入探究）（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．(將所有正確的序號(hào)填在橫線上)．（延伸應(yīng)用）（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．5．問(wèn)題情景：數(shù)學(xué)課上，老師布置了這樣一道題目，如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，且滿足∠ADE＝60°，DE交等邊三角形外角平分線于點(diǎn)E．試探究AD與DE的數(shù)量關(guān)系．操作發(fā)現(xiàn)：（1）小明同學(xué)過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于F，通過(guò)構(gòu)造全等三角形經(jīng)過(guò)推理論證就可以解決問(wèn)題，請(qǐng)您按照小明同學(xué)的方法確定AD與DE的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．類比探究：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)(除B、C外)，其他條件不變，試猜想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．拓展應(yīng)用：（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且滿足CD＝BC，在圖3中補(bǔ)全圖形，直接判斷△ADE的形狀(不要求證明)．6．已知和都是等腰三角形，，，．（初步感知）（1）特殊情形：如圖①，若點(diǎn)，分別在邊，上，則__________．（填＞、＜或=）（2）發(fā)現(xiàn)證明：如圖②，將圖①中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在外部，點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，求證：．（深入研究）（3）如圖③，和都是等邊三角形，點(diǎn)，，在同一條直線上，則的度數(shù)為_(kāi)_________；線段，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．（4）如圖④，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)、、在同一直線上，為中邊上的高，則的度數(shù)為_(kāi)_________；線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．（拓展提升）（5）如圖⑤，和都是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、．當(dāng)，時(shí)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與的面積和的最大值為_(kāi)_________．7．學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊的其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．（初步思考）我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．（深入探究）第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根據(jù)______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是鈍角．求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角．請(qǐng)你用直尺在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等，并作簡(jiǎn)要說(shuō)明．8．閱讀并填空：如圖，是等腰三角形，，是邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，在邊上且聯(lián)接交于，如果，那么，為什么？解：過(guò)點(diǎn)作交于所以（兩直線平行，同位角相等）（________）在與中所以，（________）所以（________）因?yàn)椋ㄒ阎┧裕╛_______）所以（等量代換）所以（________）所以9．如圖，中，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，作且．（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，連結(jié)交于點(diǎn)，若，，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)．（3）當(dāng)點(diǎn)在射線上，連結(jié)與直線交于點(diǎn)，若，，則______．（直接寫(xiě)出結(jié)果）10．在等邊△ABC的頂點(diǎn)A、C處各有一只蝸牛，它們同時(shí)出發(fā)，分別以每分鐘1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點(diǎn)時(shí)，另一只也停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t分鐘后，它們分別爬行到D、E處，請(qǐng)問(wèn)：（1）如圖1，在爬行過(guò)程中，CD和BE始終相等嗎，請(qǐng)證明？（2）如果將原題中的“由A向B和由C向A爬行”，改為“沿著AB和CA的延長(zhǎng)線爬行”，EB與CD交于點(diǎn)Q，其他條件不變，蝸牛爬行過(guò)程中∠CQE的大小保持不變，請(qǐng)利用圖2說(shuō)明：∠CQE=60°；（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著B(niǎo)C的延長(zhǎng)線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，如圖3，則爬行過(guò)程中，證明：DF=EF11．如圖，以直角三角形AOC的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)C，OA所在直線為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0，a），C（b，0）滿足．（1）a=；b=；直角三角形AOC的面積為．（2）已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O勻速移動(dòng)，Q點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)O點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．AC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，3），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問(wèn)：是否存在這樣的t，使得△ODP與△ODQ的面積相等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）在（2）的條件下，若∠DOC=∠DCO，點(diǎn)G是第二象限中一點(diǎn)，并且y軸平分∠GOD．點(diǎn)E是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接接CE交OD于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論(三角形的內(nèi)角和為180)．12．某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，請(qǐng)你寫(xiě)出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點(diǎn)P，則∠BPC=゜，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，∠ECQ的平分線與BP的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R，則∠R=゜．13．已知，如圖1，直線l2⊥l1，垂足為A，點(diǎn)B在A點(diǎn)下方，點(diǎn)C在射線AM上，點(diǎn)B、C不與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D在直線11上，點(diǎn)A的右側(cè)，過(guò)D作l3⊥l1，點(diǎn)E在直線l3上，點(diǎn)D的下方．（1）l2與l3的位置關(guān)系是；（2）如圖1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，則∠CED＝°，∠ADC＝°；（3）如圖2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分線，交BD于F，交AD于G．試說(shuō)明：∠DGF＝∠DFG；（4）如圖3，若∠DBE＝∠DEB，點(diǎn)C在射線AM上運(yùn)動(dòng)，∠BDC的角平分線交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，探索∠N:∠BCD的值是否變化，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出比值．14．如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)重合），連接AD，作，DE交邊AC于點(diǎn)E．（1）當(dāng)時(shí)，，（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．小敏與同桌小穎在課下學(xué)習(xí)中遇到這樣一道數(shù)學(xué)題：“如圖（1），在等邊三角形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，試確定線段與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由”．小敏與小穎討論后，進(jìn)行了如下解答：（1）取特殊情況，探索討論：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖（2），確定線段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論：_____（填“”，“”或“”），并說(shuō)明理由．（2）特例啟發(fā)，解答題目：解：題目中，與的大小關(guān)系是：_____（填“”，“”或“”）．理由如下：如圖（3），過(guò)點(diǎn)作EF∥BC，交于點(diǎn)．（請(qǐng)你將剩余的解答過(guò)程完成）（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題：在等邊三角形中，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，且，若△的邊長(zhǎng)為，，求的長(zhǎng)（請(qǐng)你畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出結(jié)果）．16．（閱讀材料）：（1）在中，若，由“三角形內(nèi)角和為180°”得．（2）在中，若，由“三角形內(nèi)角和為180°”得．（解決問(wèn)題）：如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C是x軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．已知軸，交y軸于點(diǎn)E，連接CE，CF是∠ECO的角平分線，交AB于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)D．過(guò)E點(diǎn)作EM平分∠CEB，交CF于點(diǎn)M．（1）試判斷EM與CF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，過(guò)E點(diǎn)作PE⊥CE，交CF于點(diǎn)P．求證：∠EPC=∠EDP；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，作EN平分∠AEP，交OC于點(diǎn)N，如圖③．請(qǐng)問(wèn)隨著C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，∠NEM的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，求出其值：若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會(huì)利用一些變形技巧來(lái)簡(jiǎn)化式子，解答問(wèn)題．材料一：在解決某些分式問(wèn)題時(shí)，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運(yùn)用約分化簡(jiǎn)，以達(dá)到計(jì)算目的．例：已知：，求代數(shù)式x2+的值．解：∵，∴＝4即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14材料二：在解決某些連等式問(wèn)題時(shí)，通?？梢砸?yún)?shù)“k”，將連等式變成幾個(gè)值為k的等式，這樣就可以通過(guò)適當(dāng)變形解決問(wèn)題．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）則根據(jù)材料回答問(wèn)題：（1）已知，求x+的值．（2）已知，（abc≠0），求的值．（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．18．如圖，在中，為的中點(diǎn)，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是．（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)位于線段的垂直平分線上時(shí)，求出的值；（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求出的值；（3）是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問(wèn)題．例如：若，求的值．解：因?yàn)樗运缘茫鶕?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問(wèn)題：（1）若，求的值；（2）①若,則；②若則；（3）如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．20．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)．如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)、、均在同一直線上，連接．①求證：．②求的度數(shù)．③線段、之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．（2）拓展探究．如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)、、在同一直線上，為中邊上的高，連接．①請(qǐng)判斷的度數(shù)為_(kāi)___________．②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______．（直接寫(xiě)出結(jié)論，不需證明）【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、壓軸題1．（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由詳見(jiàn)解析；（3）；（4）經(jīng)過(guò)s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．【解析】【分析】（1）速度和時(shí)間相乘可得BP、CQ的長(zhǎng)；（2）利用SAS可證三角形全等；（3）三角形全等，則可得出BP=PC，CQ=BD，從而求出t的值；（4）第一次相遇，即點(diǎn)Q第一次追上點(diǎn)P，即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)的路程比點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程多10+10=20cm的長(zhǎng)度．【詳解】解：（1）BP=3×1=3㎝，CQ=3×1=3㎝（2）∵t=1s，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP(SAS)（3）∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，∴BP與CQ不是對(duì)應(yīng)邊，即BP≠CQ∴若△BPD≌△CPQ，且∠B=∠C，則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=s，∴cm/s；（4）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．由題意，得x=3x+2×10，解得∴經(jīng)過(guò)s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵還是全等的證明和利用，將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題視為定點(diǎn)問(wèn)題來(lái)分析可簡(jiǎn)化思考過(guò)程．2．（1）全等，理由見(jiàn)解析；（2）t=3.5秒或5秒【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理證明△ACD≌△CBE；（2）分點(diǎn)F沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)F沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)兩種情況，根據(jù)等腰三角形的定義列出算式，計(jì)算即可；【詳解】解：（1）△ACD與△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直線l，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）由題意得，AM=t，F(xiàn)N=3t，則CM=8-t，由折疊的性質(zhì)可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t，點(diǎn)N在BC上時(shí)，△CMN為等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)N沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，8-t=3t-6，解得，t=3.5，當(dāng)點(diǎn)N沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，8-t=18-3t，解得，t=5，綜上所述，當(dāng)t=3.5秒或5秒時(shí)，△CMN為等腰直角三角形；【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．3．（1）∠AFE=60°；（2）見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明得到對(duì)應(yīng)角相等，等量代換推導(dǎo)出；（2）由（1）得到，則在中利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，等量代換可得；（3）通過(guò)在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF，作輔助線證明和全等，利用對(duì)應(yīng)邊相等，等量代換得到比值.(通過(guò)將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°也是一種思路.)【詳解】（1）解：如圖1中．∵為等邊三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在和中，，∴（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）證明：如圖1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF，連接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK為等邊三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在和中，，∴(SAS)，∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴，∴，∵∴.【點(diǎn)睛】掌握等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，及三角形全等的判定通過(guò)一定等量代換為本題的關(guān)鍵.4．（1）證明見(jiàn)解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用對(duì)頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC=60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，進(jìn)而得出∠AOE=60°，再判斷出BF＜CF，進(jìn)而判斷出∠OBC＞30°，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進(jìn)而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正確，∠ADB=∠AEC，記AD與CE的交點(diǎn)為G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正確，在OB上取一點(diǎn)F，使OF=OC，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正確，連接AF，要使OC=OE，則有OC=CE，∵BD=CE，∴CF=OF=BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而沒(méi)辦法判斷∠OBC大于30度，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長(zhǎng)DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點(diǎn)睛】此題考查三角形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．5．（1）AD＝DE，見(jiàn)解析；（2）AD＝DE，見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析，△ADE是等邊三角形，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，通過(guò)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)證明即可得解；（2）根據(jù)題意，通過(guò)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)證明即可得解；（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及等邊三角形的判定定理進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）如下圖，數(shù)量關(guān)系：AD＝DE.證明：∵是等邊三角形∴AB＝BC，∵DF∥AC∴，∠BDF＝∠BCA∴∴是等邊三角形，∴DF＝BD∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴BD＝CD∴DF＝CD∵CE是等邊的外角平分線∴∵是等邊三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴AD⊥BC∴∵∴在與中∴∴AD＝DE；（2）結(jié)論：AD＝DE.證明：如下圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交AB于F∵是等邊三角形∴AB＝BC，∵DF∥AC∴∴∴是等邊三角形，∴BF＝BD∴AF＝DC∵CE是等邊的外角平分線∴∵∠ADC是的外角∴∵∴∠FAD＝∠CDE在與中∴∴AD＝DE；（3）如下圖，是等邊三角形.證明：∵∴∵CE平分∴CE垂直平分AD∴AE=DE∵∴是等邊三角形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握三角形綜合解決方法是解決本題的關(guān)鍵.6．（1）=；（2）證明見(jiàn)解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7【解析】【分析】（1）由DE∥BC，得到，結(jié)合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△DAB≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出結(jié)論；（4）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（5）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中△ADE的面積始終保持不變，而在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△ADC的AC始終保持不變，即可．【詳解】[初步感知]（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案為：=，（2）成立．理由：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE；[深入探究]（3）如圖③，設(shè)AB，CD交于O，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠BOD=∠AOC，∴∠BDC=∠BAC=60°；（4）∵△DAE是等腰直角三角形，∴∠AED=45°，∴∠AEC=135°，在△DAB和△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE，∵∠ADE=45°，∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，∵△ADE都是等腰直角三角形，AM為△ADE中DE邊上的高，∴AM=EM=MD，∴AM+BD=CM；故答案為：90°，AM+BD=CM；【拓展提升】（5）如圖，由旋轉(zhuǎn)可知，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中△ADE的面積始終保持不變，△ADE與△ADC面積的和達(dá)到最大，∴△ADC面積最大，∵在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，AC始終保持不變，∴要△ADC面積最大，∴點(diǎn)D到AC的距離最大，∴DA⊥AC，∴△ADE與△ADC面積的和達(dá)到的最大為2+×AC×AD=5+2=7，故答案為7．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中面積變化分析，解本題的關(guān)鍵是三角形全等的判定．7．（1）HL；（2）見(jiàn)解析；（3）如圖②，見(jiàn)解析；△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DE交DE的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；（3）以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可．【詳解】（1）在直角三角形中一條斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等運(yùn)用的是HL．（2）證明：如圖①，分別過(guò)點(diǎn)C、F作對(duì)邊AB、DE上的高CG、FH，其中G、H為垂足．∵∠ABC、∠DEF都是鈍角∴G、H分別在AB、DE的延長(zhǎng)線上．∵CG⊥AG，F(xiàn)H⊥DH，∴∠CGA＝∠FHD＝90°．∵∠CBG＝180°－∠ABC，∠FEH＝∠180°－∠DEF，∠ABC＝∠DEF，∴∠CBG＝∠FEH．在△BCG和△EFH中，∵∠CGB＝∠FHE，∠CBG＝∠FEH，BC＝EF，∴△BCG≌△EFH．∴CG＝FH．又∵AC＝DF．∴Rt△ACG≌△DFH．∴∠A＝∠D．在△ABC和△DEF中，∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF．（3）如圖②，△DEF就是所求作的三角形，△DEF和△ABC不全等．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，閱讀量較大，審題要認(rèn)真仔細(xì)．8．見(jiàn)解析【解析】【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到角的關(guān)系，然后證明，寫(xiě)出證明過(guò)程和依據(jù)即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交于，∴（兩直線平行，同位角相等），∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），在與中，∴，（）∴（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∵（已知）∴（等邊對(duì)等角）∴（等量代換）∴（等角對(duì)等邊）∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)正確找到證明三角形全等的條件，從而進(jìn)行證明.9．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）或【解析】【分析】（1）證明△AFD≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AC，等量代換證明結(jié)論；（2）作FD⊥AC于D，證明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的長(zhǎng)，得到答案；（3）過(guò)F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=GD，AD=CE=7，代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）證明：∵FD⊥AC，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，同理，∠CAE+∠DAF=90°，∴∠DFA=∠CAE，在△AFD和△EAC中，，∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，∵AC=BC，∴FD=BC；（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，F(xiàn)D=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，，∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG=CG=1，∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E點(diǎn)為BC中點(diǎn)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴CG=DG=1.5，∴，同理，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，，故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．（1)相等，證明見(jiàn)解析；（2)證明見(jiàn)解析；（3)證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）先證明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性質(zhì)即可證得CD=BE；（2）先證明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G，根據(jù)等邊三角形的三邊相等，可以證得AD=DG=CE；進(jìn)而證明△DGF和△ECF全等，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）解：CD和BE始終相等，理由如下：如圖1，AB=BC=CA，兩只蝸牛速度相同，且同時(shí)出發(fā)，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD與△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始終相等；（2）證明：根據(jù)題意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行過(guò)程中，DF始終等于EF是正確的，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG為等邊三角形，∴AD=DG=CE，在△DGF和△ECF中，∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC∴△DGF≌△EDF（AAS），∴DF=EF.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)；題弄懂題中所給的信息，再根據(jù)所提供的思路尋找證明條件是解答本題的關(guān)鍵．11．（1）6；8；24；（2）存在時(shí)，使得△ODP與△ODQ的面積相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC，見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用非負(fù)性即可求出a，b即可得出結(jié)論,即可求出△ABC的面積；（2）先表示出OQ，OP，利用那個(gè)面積相等，建立方程求解即可得出結(jié)論；（3）先判斷出∠OAC=∠AOD，進(jìn)而判斷出OG∥AC，即可判斷出∠FHC=∠ACE，同理∠FHO=∠GOD，即可得出結(jié)論．【詳解】解：(1)解：（1）∵，∴a-6=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A（0，6），C（8，0）；∴S△ABC=6×8÷2=24,故答案為（0，6），（8，0）；6；8；24(2)∵由時(shí),∴存在時(shí),使得△ODP與△ODQ的面積相等(3)）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x軸⊥y軸，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°∴∠OAC+∠ACO=90°又∵∠DOC=∠DCO∴∠OAC=∠AOD∵y軸平分∠GOD∴∠GOA=∠AOD∴∠GOA=∠OAC∴OG∥AC，如圖，過(guò)點(diǎn)H作HF∥OG交x軸于F，∴HF∥AC∴∠FHC=∠ACE同理∠FHO=∠GOD，∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．∴∠GOD+∠ACE=∠OHC．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了非負(fù)性的性質(zhì)，三角形的面積公式，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．12．（1）122°；（2）；（3）；（4）119，29；【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用與表示出，再利用與表示出，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出與，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）根據(jù)（1），（3）的結(jié)論可以得出∠BPC的度數(shù)；根據(jù)（2）的結(jié)論可以得到∠R的度數(shù)．【詳解】解：（1）、分別平分和，，，，，，，，故答案為：；（2）如圖2示，和分別是和的角平分線，，，又是的一外角，，，是的一外角，；（3），，，，，結(jié)論．（4）由（3）可知，，再根據(jù)（1），可得；由（2）可得：;故答案為：119，29．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．13．（1）互相平行；（2）35，20；（3）見(jiàn)解析；（4）不變，【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（4）根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）直線l2⊥l1，l3⊥l1，∴l(xiāng)2∥l3，即l2與l3的位置關(guān)系是互相平行，故答案為：互相平行；（2）∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE＝BCD，∵∠BCD＝70°，∴∠DCE＝35°，∵l2∥l3，∴∠CED＝∠DCE＝35°，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；故答案為：35，20；（3）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠BCF+∠AGC＝90°，∵CD⊥BD，∴∠DCF+∠CFD＝90°，∴∠AGC＝∠CFD，∵∠AGC＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG；（4）∠N:∠BCD的值不會(huì)變化，等于；理由如下：∵l2∥l3，∴∠BED＝∠EBH，∵∠DBE＝∠DEB，∴∠DBE＝∠EBH，∴∠DBH＝2∠DBE，∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，∵∠N+∠BDN＝∠DBE，∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，∵DN平分∠BDC，∴∠BDC＝2∠BDN，∴∠BCD＝2∠N，∴∠N:∠BCD＝．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合題，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確的識(shí)別圖形進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．14．（1）30，100；（2），見(jiàn)解析；（3）可以，或【解析】【分析】（1）根據(jù)平角的定義，可求出∠EDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)和定理，即可求出∠DEC；（2）當(dāng)AB=DC時(shí)，利用AAS可證明ΔABD?ΔDCE，即可得出AB=DC=3；（3）假設(shè)ΔADE是等腰三角形，分為三種情況討論：①當(dāng)DA=DE時(shí)，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDA即可；②當(dāng)AD=AE時(shí)，∠ADE=∠AED=40°，根據(jù)∠AED>∠C，得出此時(shí)不符合；③當(dāng)EA=ED時(shí)，求出∠DAC，求出∠BAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADB．【詳解】（1）在△BAD中，∵∠B=50°,∠BDA=100°，∴，．故答案為，．（2）當(dāng)時(shí)，，理由如下：∵，∴∵，∴∵∴在和中∴（3）可以，理由如下：∵，∴分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，∵，∴∴∵∴②當(dāng)時(shí)，∵∴又∵∴∴點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意．③當(dāng)時(shí)，∴∵∴綜上所述，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或時(shí)，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．15．（1），理由詳見(jiàn)解析；（2），理由詳見(jiàn)解析；（3）3或1【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，證明△≌△即可；（3）注意區(qū)分當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)兩種情況，不要遺漏．【詳解】解：（1），理由如下：，∵△是等邊三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，；故答案為：；（2），理由如下：如圖3：∵△為等邊三角形，且EF∥BC，，，；；，，，在△與△中，，∴△≌△（AAS），，∴△為等邊三角形，，．（3）①如圖4，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作EF∥BC，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)：則，；，；∵△為等邊三角形，，，，；而，，；在△和△中，，∴△≌△（AAS），；∵△為等邊三角形，，，；②如圖5，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作EF∥BC，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)：類似上述解法，同理可證：，，．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，構(gòu)造合適的全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．（1）EM⊥CF，理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）不變，且∠NEM=45°，理由見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）EM⊥CF，分別利用角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求證即可；（2）根據(jù)垂直定義和三角形的內(nèi)角和定理證得∠DCO+∠CDO=90°，∠ECP+∠EPC=90°，再利用等角的余角相等和對(duì)頂角相等即可證得結(jié)論；（3）不變，且∠NEM=45°，先利用平行線的性質(zhì)得到∠AEC=∠ECO=2∠ECP，進(jìn)而有∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP，再由角平分線的定義∠NEP=∠AEN=45°+∠ECP，再根據(jù)同角的余角相等得到∠ECP=∠MEP，然后等量代換證得∠NEM=45°，是定值．【詳解】解：(1)EM⊥CF，理由如下：∵CF平分∠ECO，EM平分∠FEC，∴∠ECF=∠FCO=，∠FEM=∠CEM=∵AB∥x軸∴∠ECO+∠CEF=180°∴∠EMC=180°-（∠CEM+∠ECF）=180°-90°=90°∴EM⊥CF（2）由題得，∠EOC=90°∴∠DCO+∠CDO=180°-∠EOC=180°-90°=90°∵PE⊥CE∴∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=180°-∠CEP=180°-90°=90°∵∠DCO=∠ECP∴∠CDO=∠EPC又∵∠CDO=∠EDP∴∠EPC=∠EDP(3)不變，且∠NEM=45°，理由如下：∵AB∥x軸∴∠AEC=∠ECO=2∠ECP∴∠AEP=∠CEP+∠AEC=90°+2∠ECP∵EN平分∠AEP∴∠NEP=∠AEN===45°+∠ECP∵∠CEP=90°∴∠ECP+∠EPC=90°又∵∠EMC=90°∴∠MEP+∠EPC=90°∴∠ECP=∠MEP∴∠NEP=∠NEM+∠MEP=∠NEM+∠ECP又∵∠NEP=45°+∠ECP∴∠NEM=45°