27/28專題2.1函數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念；2.體會(huì)集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；3.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)(1)理解函數(shù)的概念；(2)求函數(shù)的定義域和值域.難點(diǎn)：(1)對(duì)函數(shù)概念的理解;(2)求抽象函數(shù)的定義域.知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)的概念（重難）1.初中教材中函數(shù)的定義（傳統(tǒng)定義）在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù).2.集合觀點(diǎn)的函數(shù)定義(近代定義)給定實(shí)數(shù)集中的兩個(gè)非空數(shù)集和,如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系,使對(duì)于集合中的，在集合B中都有和它對(duì)應(yīng),那么就把對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為定義在集合上的一個(gè)函數(shù),記作.其中稱為函數(shù)的定義域,稱為自變量,與值對(duì)應(yīng)的值稱為函數(shù)值,集合稱為函數(shù)的值域.3.函數(shù)的四個(gè)特征(1)非空性:,都是非空數(shù)集,因此定義域或值域?yàn)榭占暮瘮?shù)不存在,如就不是函數(shù);(2)任意性:定義域中的每一個(gè)數(shù)都有函數(shù)值與之對(duì)應(yīng):(3)單值性(唯一性):每一個(gè)自變量都在中有唯一的值與之對(duì)應(yīng);(4)方向性:函數(shù)是一個(gè)從定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如果改變這個(gè)對(duì)應(yīng)方向,那么新的對(duì)應(yīng)關(guān)系就不一定是函數(shù)關(guān)系.【知識(shí)剖析】?jī)煞N定義的比較(1)相同點(diǎn):傳統(tǒng)定義和近代定義強(qiáng)調(diào)的都是兩個(gè)變量之間的關(guān)系，即對(duì)于變量“的每一個(gè)值”以及“中的每一個(gè)數(shù)”都有唯一一個(gè)“的確定的值”及“確定的數(shù)”分別與之對(duì)應(yīng).(2)不同點(diǎn):傳統(tǒng)定義是從變量變化的角度來刻畫兩個(gè)變量之間的關(guān)系，而近代定義是從集合間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的角度來刻畫兩個(gè)變量之間的關(guān)系.【即學(xué)即練】1.下列對(duì)應(yīng)是集合到集合的函數(shù)的是(

)A．，B．，，C．，D．，2.下面圖象中，不能表示函數(shù)的是(

)A．B．C．D．知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)的三要素（重難）函數(shù)的三要素包括定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域.1.定義域函數(shù)的定義域指的是函數(shù)中的集合,即的取值集合.一般情況下,當(dāng)沒有指明函數(shù)的定義域時(shí),就認(rèn)為它的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍,,如的定義域就是.2.對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的本質(zhì)特征,它可以看作是對(duì)“”施加的.例如,就是對(duì)自變量求平方，因此對(duì)應(yīng)關(guān)系可簡(jiǎn)記為“求平方”.3.值域?qū)τ诤瘮?shù),集合稱為函數(shù)的值域.函數(shù)的值域是集合,通常一個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定了,那么它的值域也就隨之確定了.【知識(shí)剖析】f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系f(a)表示當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值，如一次函數(shù)f(x)＝3x＋4，當(dāng)x＝8時(shí)，f(8)＝3×8＋4＝28是一個(gè)常數(shù)．【即學(xué)即練】1.（24-25高一上·廣東江門·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?.（24-25江西六校高一上期中聯(lián)考）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?知識(shí)點(diǎn)03同一個(gè)函數(shù)(易錯(cuò))一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且完全一致，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．【易錯(cuò)警示】(1)定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同一個(gè)函數(shù),即使定義域與值域都相同,也不一定是同一個(gè)函數(shù).如與,它們的定義域和值域都是實(shí)數(shù)集,但不是同一個(gè)函數(shù).(2)函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.例如,與就是同一個(gè)函數(shù).【即學(xué)即練】1．（24-25高一上·重慶·期中）下列選項(xiàng)中是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與知識(shí)點(diǎn)04分段函數(shù)（重點(diǎn)）1.分段函數(shù)的定義(1)在自變量的不同取值范圍內(nèi),有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,需要用來表示的函數(shù)叫作分段函數(shù).例如是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).(2)生活中有很多可以用分段函數(shù)描述的實(shí)際問題,如出租車的計(jì)費(fèi)、個(gè)人所得稅稅率、電價(jià)的階梯收費(fèi)等.【即學(xué)即練】1．（24-25高一上·河南信陽·期中）設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)05復(fù)合函數(shù)與抽象函數(shù)（拓展）1.復(fù)合函數(shù)的概念如果函數(shù)的定義域?yàn)?函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?且,則稱函數(shù)為函數(shù)與在上的復(fù)合函數(shù),其中叫作中間變量,叫作內(nèi)層函數(shù),叫作外層函數(shù).2.抽象函數(shù)的概念沒有給出的函數(shù),稱為抽象函數(shù).【即學(xué)即練】1.已知函數(shù)，設(shè)則.題型01判斷函數(shù)關(guān)系【典例】下列各式中，y是x的函數(shù)的是（）①y=x?2；②A.①②B.①③C.②③D.①②③函數(shù)關(guān)系的判斷方法1．判斷兩個(gè)變量之間是否存在確定關(guān)系，只需看一個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)，另一個(gè)變量是否是唯一的會(huì)隨之變化．2．可以一對(duì)多，不可以多對(duì)一.【變式1-1】(多選)托馬斯說：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花”，根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列關(guān)系屬于集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是(

)A．B．C．D．【變式1-2】（24-25高一上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期末）下列所示的圖形中，可以作為函數(shù)的圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

題型02相等（同一個(gè)）函數(shù)的判斷【典例】（多選）（24-25高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）下列函數(shù)是同一函數(shù)的是（

）A．和 B．和C．和 D．和判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)判斷兩個(gè)函數(shù)是不是同一個(gè)函數(shù)時(shí),要遵循定義域優(yōu)先的原則，即要先求定義域若定義域不同,則不是同一個(gè)函數(shù),若定義域相同,再恒等化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同.看定義域，定義域不同,則兩函數(shù)不同;再看對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，則兩函數(shù)不同；只有定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，兩函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù).【變式2-1】（24-25高一上·江西贛州·開學(xué)考試）下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【變式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期末）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與題型03求具體函數(shù)的函數(shù)值【典例1】（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）已知函數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函數(shù)(1)求的值．(2)求證：是定值．(3)求的值．函數(shù)求值的方法(1)已知f(x)的表達(dá)式,只需用a替換表達(dá)式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a))的值應(yīng)遵循由內(nèi)向外的原則.【變式3-1】（24-25高一上·天津·期中）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．3【變式3-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【變式3-3】（2026高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則．【變式3-4】（24-25高一上·江蘇徐州·期中）已知函數(shù)滿足，則.【變式3-5】（24-25高一上·廣東佛山·期末）已知，若對(duì)一切實(shí)數(shù)，均有，則.題型04求抽象函數(shù)的函數(shù)值【典例】（24-25高一上·福建福州·期末改編）函數(shù)的定義域?yàn)?，，，且，則，.求抽象函數(shù)的函數(shù)值的方法求抽象函數(shù)的函數(shù)值的方法就是兩個(gè)字——賦值，即恰當(dāng)賦值，構(gòu)造所求函數(shù)值的方程（組），利用方程思想求解.【變式4-1】（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)不恒為零，且滿足，若，則（

）A．0 B．-2 C．2 D．4【變式4-2】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（

）A． B． C． D．題型05由函數(shù)值求參【典例1】（24-25高一上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，且，則（

）A． B．1 C．2 D．【典例2】（23-24高一上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求a的值．由函數(shù)值求參已知函數(shù)值求參數(shù)范圍常用轉(zhuǎn)化法,即根據(jù)函數(shù)定義域的含義構(gòu)建方程(組)或不等式(組)將問題轉(zhuǎn)化為方程(組)或不等式(組)的解集問題.【變式5-1】（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知，且，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式5-2】（23-24高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知，若，則.【變式5-3】（24-25高一上·廣東廣州·期中）已知函數(shù).(1)點(diǎn)在的圖象上嗎？(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，求的值；題型06求具體函數(shù)的定義域【典例】（24-25高一上·河南商丘·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?求具體函數(shù)定義域的一般原則(1)分式中分母不能為零;(2)二次根式(偶次根式)中的被開方數(shù)不小于零;(3)若f(x)的解析式是由幾個(gè)式子構(gòu)成,則函數(shù)定義域是使幾個(gè)式子都有意義的實(shí)數(shù)集合的交集；(4)f(x)=x0的定義城是x∈R，且x≠0；(5)求函數(shù)定義域一定要根據(jù)最原始的解析式來求解,不能先化簡(jiǎn)再求定義域.【變式6-1】（2025高二下·湖南婁底·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域是（

）A．且B． C． D．且【變式6-2】（24-25高三下·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【變式6-3】（24-25高一上·河北承德·期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．題型07求實(shí)際問題中函數(shù)的定義域【典例】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為10,且底邊長(zhǎng)y關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系為y=10-2x,則函數(shù)的定義域?yàn)?)A．{x|x∈R} B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．求實(shí)際應(yīng)用問題中函數(shù)的定義域?qū)τ趯?shí)際應(yīng)用問題中的函數(shù)定義域，一是要使函數(shù)式本身有意義，二是要使實(shí)際問題有意義，由上述兩點(diǎn)列式求解即可.【變式7-1】（23-24高一上·四川成都·期中）一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過落到地面擊中目標(biāo)．炮彈的射高為，且炮彈距地面的高度（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系為．該函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式7-2】（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知矩形的周長(zhǎng)為定值，設(shè)它的一條邊長(zhǎng)為，則矩形面積的函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式7-3】（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）周長(zhǎng)為定值a的矩形，它的面積S是這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)x的函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．題型08求抽象函數(shù)的定義域【典例1】（24-25高一下·河南鄭州·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【典例2】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)椋Ｒ姷娜N類型抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)定義域的求法(1)已知f(x)的定義域?yàn)锳，求f(φ(x))的定義域,其實(shí)質(zhì)是已知φ(x)的取值范圍為A,求x的取值范圍；(2)已知f(g(x))的定義域?yàn)锽,求f(x)的定義域,其實(shí)質(zhì)是已知f(g(x))中的x的取值范圍為B,求g(x)的取值范圍(值域),此取值范圍就是f(x)的定義域；(3)已知f(g(x))的定義域求f(h(x))的定義域，先求f(x)的定義域，再由f(x)的定義域求f(h(x))的定義域.【變式8-1】（24-25高二下·浙江寧波·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式8-2】（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式8-3】（24-25高一上·湖北·期中）若函數(shù)f(x?1)的定義域是[?1,3]A．[1,5] B．[0,4] C．[1,25] D．[0,16]【變式8-4】（24-25高二下·山東濱州·期中）已知函數(shù)f2x?3的定義域?yàn)?,3，則f題型9常見（一次，二次，反比例）函數(shù)的值域【典例1】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的值域是.【典例2】（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)，；常見（一次、二次、反比例）函數(shù)值域的求法(1)一次函數(shù)、反比例函數(shù)的值域可通過觀察直接求得;(2)二次函數(shù)的值域一般利用配方法并借助函數(shù)圖象求得.【變式9-1】（24-25高一上·云南麗江·階段練習(xí)）函數(shù)在的值域?yàn)?【變式9-2】（24-25高一上·湖南長(zhǎng)沙·期中）函數(shù)的值域?yàn)?【變式9-3】（24-25高一上·福建漳州·階段練習(xí)）函數(shù)的值域.題型10根式函數(shù)的值域【典例1】（24-25高一上·遼寧朝陽·期末）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．根式函數(shù)值域的求法對(duì)于根式函數(shù)的性質(zhì)問題（包括值域問題），常將根式設(shè)為一個(gè)新的變量，通過換元，將原根式函數(shù)轉(zhuǎn)化為非根式函數(shù)，再進(jìn)一步研究其性質(zhì).【變式10-1】（24-25高一上·江蘇·期中）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【變式10-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．題型11分式型函數(shù)的值域【典例1】（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·期中）函數(shù)的值域（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·四川成都·期中）函數(shù)的值域?yàn)椋质叫秃瘮?shù)值域的求法(1)對(duì)于分子、分母均為一次式的分式型函數(shù)，常用分離常數(shù)法求其值域；(2)對(duì)于分子次數(shù)高于分母次數(shù)的分式型函數(shù)，常用分離常數(shù)法求其值域；(3)對(duì)于分子次數(shù)低于分母次數(shù)的分式型函數(shù)，常分子、分母同時(shí)除以分子，即通過作商轉(zhuǎn)化為研究新分母的值域問題;(4)對(duì)于部分分子、分母最高次數(shù)為2的分式型函數(shù)，也可考慮利用根的判別式法求其值域.【變式11-1】（24-25高二下·上?！て谥校┖瘮?shù)的值域是.【變式11-2】（24-25高一上·四川內(nèi)江·期中）函數(shù)的值域是．【變式11-3】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?題型12由函數(shù)值域求定義域【典例】（23-24高一上·河南開封·期末）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的定義域可以是根據(jù)函數(shù)值域求定義域的方法根據(jù)函數(shù)值域求定義域，先將函數(shù)寫成方程或不等式的形式，求解x的取值范圍即可.【變式12-1】（23-24高一上·山東臨沂·期中）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則它的定義域可以是．（寫出其中一個(gè)即可）【變式12-2】（24-25高一上·遼寧朝陽·期中）已知函數(shù)的值域是，則它的定義域可能是．題型13由函數(shù)定義域求參【典例】（2025?陜西西安閻良區(qū)校級(jí)期末）若函數(shù)f(x)=ax2+ax+1的定義域?yàn)锳．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）由函數(shù)定義域求參的策略明確定義域條件，轉(zhuǎn)化為不等式（組），結(jié)合參數(shù)范圍求解，注意端點(diǎn)值驗(yàn)證，優(yōu)先考慮定義域限制.【變式13-1】（24-25高一下·河南濮陽·期末）“函數(shù)的定義域?yàn)镽”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式13-2】（24-25高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)的定義域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型14由函數(shù)值域求參【典例】（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的值為.由函數(shù)值域求參的策略先確定函數(shù)值域表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為方程有解問題，結(jié)合參數(shù)范圍分析，利用函數(shù)單調(diào)性或圖象特征，驗(yàn)證端點(diǎn)值的適配性.【變式14-1】（2025?水富市校級(jí)期中）若函數(shù)f(x)=x?2+m在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]（b＞a≥2），則實(shí)數(shù)A．(14，4] B．[14，4]【變式14-2】（23-24高二下·上海·期末）若函數(shù)的定義域與值域都是，則實(shí)數(shù)．練基礎(chǔ)1．（2025高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·貴州貴陽·階段練習(xí)）下列從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其中y是x的函數(shù)的是（

）A．，對(duì)應(yīng)關(guān)系B．，對(duì)應(yīng)關(guān)系C．，對(duì)應(yīng)關(guān)系D．，對(duì)應(yīng)關(guān)系3．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．4.（24-25高一上·河北石家莊·期中）函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．5．（24-25高三下·湖南·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則（）A． B．1 C． D．6.（24-25高一上·遼寧·期中）函數(shù)的最大值是（

）A． B． C．4 D．7．（24-25高二下·吉林·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．8．（24-25高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)的定義域是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9.（多選）（23-24高一上·四川成都·期中）下列四組函數(shù)中，表示不同函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，10.（多選）（24-25高一上·江西撫州·期中）已知函數(shù)的圖象由如圖所示的兩條曲線組成，則（

）A． B．若，則C．函數(shù)的定義域是 D．函數(shù)的值域是11．（23-24高一上·北京·期末）函數(shù)的值域?yàn)?2.（24-25高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)?四、解答題13．（23-24高一上·天津和平·開學(xué)考試）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)；(3)．14．（24-25高一上·安徽宿州·階段練習(xí)）某學(xué)校為了美化校園環(huán)境，計(jì)劃修建一個(gè)如圖所示的總面積為的矩形花園.圖中陰影部分是寬度相等且為1m的小路，中間，，三個(gè)矩形區(qū)域?qū)⒎N植三種不同的花（其中，區(qū)域的形狀、大小完全相同）.設(shè)矩形花園的一條邊長(zhǎng)為，鮮花種植的總面積為.