3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)1.教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課聚焦人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)3.2.2雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第2課時(shí)，核心是深化雙曲線幾何性質(zhì)應(yīng)用與綜合問題解決.通過例題解析，鞏固雙曲線離心率、漸近線相關(guān)計(jì)算，掌握利用性質(zhì)求雙曲線方程的方法，學(xué)會(huì)分析直線與雙曲線的位置關(guān)系（聯(lián)立方程判斷判別式符號(hào)）.同時(shí)，結(jié)合實(shí)際問題滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用雙曲線性質(zhì)解決距離、最值等綜合問題，提升邏輯推理與運(yùn)算求解能力，形成對(duì)雙曲線幾何性質(zhì)的完整認(rèn)知與靈活運(yùn)用能力2.內(nèi)容解析本節(jié)課是人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)雙曲線幾何性質(zhì)的第2課時(shí)，屬于性質(zhì)應(yīng)用與綜合提升階段.承接上一課時(shí)對(duì)雙曲線范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等基礎(chǔ)性質(zhì)的認(rèn)知，本節(jié)課聚焦核心知識(shí)的深化應(yīng)用：一方面鞏固離心率與漸近線的關(guān)聯(lián)計(jì)算，強(qiáng)化“由性質(zhì)求方程”“由方程析性質(zhì)”的雙向轉(zhuǎn)化邏輯；另一方面突破直線與雙曲線位置關(guān)系這一重點(diǎn)難點(diǎn)，通過聯(lián)立方程、分析判別式符號(hào)，讓學(xué)生掌握相交、相切、相離的判定方法.課程融入數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合實(shí)際問題與綜合題型，引導(dǎo)學(xué)生將單一性質(zhì)轉(zhuǎn)化為解題工具，解決距離、最值等復(fù)雜問題，既銜接了圓錐曲線的通用研究方法，又為后續(xù)拋物線性質(zhì)學(xué)習(xí)及解析幾何綜合應(yīng)用奠定基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、運(yùn)算求解及知識(shí)遷移能力.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：掌握雙曲線離心率、漸近線的綜合應(yīng)用及直線與雙曲線位置關(guān)系的判定方法.1.教學(xué)目標(biāo)（1）掌握雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)并進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．（2）掌握直線被雙曲線截取的弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)弦方程.（3）掌握直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.（4）會(huì)判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系，并解決實(shí)際問題.2.目標(biāo)解析（1）該目標(biāo)是對(duì)前一課時(shí)基礎(chǔ)性質(zhì)的鞏固與延伸，要求學(xué)生熟練掌握雙曲線離心率、漸近線等核心性質(zhì)，能實(shí)現(xiàn)“性質(zhì)與方程”的雙向轉(zhuǎn)化.通過簡(jiǎn)單應(yīng)用訓(xùn)練，強(qiáng)化知識(shí)記憶與基礎(chǔ)運(yùn)算能力，為后續(xù)復(fù)雜綜合問題解決筑牢根基，是本節(jié)課的知識(shí)鋪墊目標(biāo).（2）這是本節(jié)課的核心技能目標(biāo)，聚焦弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦兩大高頻考點(diǎn).要求學(xué)生理解公式推導(dǎo)邏輯，并非機(jī)械記憶，能通過聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理靈活運(yùn)用公式.培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)運(yùn)算與數(shù)形結(jié)合的核心素養(yǎng)，是解析幾何解題能力的關(guān)鍵提升點(diǎn).（3）該目標(biāo)側(cè)重方法掌握與思維培養(yǎng)，直接法是軌跡方程求解的基礎(chǔ)方法.要求學(xué)生能分析動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，再進(jìn)行化簡(jiǎn)整理.既銜接解析幾何“幾何問題代數(shù)化”的核心思想，又為后續(xù)學(xué)習(xí)其他軌跡求法提供方法參考.（4）這是知識(shí)應(yīng)用與能力遷移的綜合目標(biāo)，要求學(xué)生通過判別式分析直線與雙曲線的位置關(guān)系.結(jié)合實(shí)際問題，將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生抽象建模、邏輯推理能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，同時(shí)提升學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決復(fù)雜問題的能力.學(xué)生已掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及范圍、離心率、漸近線等基礎(chǔ)幾何性質(zhì)，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的性質(zhì)與方程互化，但對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力較弱.此前學(xué)習(xí)過直線與橢圓的位置關(guān)系，具備一定的聯(lián)立方程、運(yùn)用韋達(dá)定理的經(jīng)驗(yàn)，不過運(yùn)算熟練度不足，處理復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算易出錯(cuò).?預(yù)估教學(xué)困難：困難一是弦長(zhǎng)公式與中點(diǎn)弦方程的推導(dǎo)邏輯理解不透徹，易機(jī)械記憶；困難二是判斷直線與雙曲線位置關(guān)系時(shí)，忽略二次項(xiàng)系數(shù)為零的特殊情況；困難三是直接法求軌跡方程時(shí)，難以準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化幾何條件為代數(shù)方程.解決方法：一是通過分步推導(dǎo)公式、板書關(guān)鍵步驟，強(qiáng)化邏輯認(rèn)知；二是對(duì)比直線與橢圓的位置關(guān)系，突出雙曲線的特殊性，結(jié)合例題專項(xiàng)突破；三是引導(dǎo)學(xué)生先分析動(dòng)點(diǎn)幾何特征，再逐步轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式，加強(qiáng)變式訓(xùn)練.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：雙曲線弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦方程的靈活運(yùn)用，及直線與雙曲線位置關(guān)系的綜合判定.視頻導(dǎo)入：觀看雙曲線的應(yīng)用之美,教師：PPT展示復(fù)習(xí)的內(nèi)容，并要求學(xué)生自主完成填空.雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)(－c，0)，(_____，0)(0，－c)，(0，c)焦距________范圍_______，y∈R_______，x∈R對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)(－a，0)，(a，0)(0，_____)，(0，a)軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)＝________，虛軸長(zhǎng)＝________離心率e＝____>1漸近線____________________y＝±eq\f(a,b)x等軸雙曲線定義____和____等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線方程形式x2－y2＝λ(λ≠0)，λ>0時(shí)，焦點(diǎn)在____軸上；λ<0時(shí)，焦點(diǎn)在____軸上性質(zhì)①離心率：e＝________②漸近線方程：________________學(xué)生：按要求自主完成填空，并做好分享答案的準(zhǔn)備，由學(xué)生代表分享答案，師生共同完善補(bǔ)充.教師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了雙曲線的幾何性質(zhì)，熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，這也是解答雙曲線基本問題的法寶，這節(jié)課我們將在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，并運(yùn)用它們解決有關(guān)直線與雙曲線的綜合問題.設(shè)計(jì)意圖：借助廣州塔視頻激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，通過復(fù)習(xí)填空鞏固舊知，建立新舊知識(shí)關(guān)聯(lián)，自然引出本節(jié)課直線與雙曲線綜合問題的學(xué)習(xí)主題.教學(xué)建議：視頻控制在12分鐘，聚焦雙曲線應(yīng)用場(chǎng)景；復(fù)習(xí)題突出離心率、漸近線核心考點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生自主糾錯(cuò)，強(qiáng)化知識(shí)銜接為新課鋪墊.例4雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（圖3.210（1））．它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高為55m．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1m)．學(xué)生：思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準(zhǔn)備.化簡(jiǎn)得解方程③得方法總結(jié)：雙曲線有關(guān)的簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用問題根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；結(jié)合雙曲線的定義，及相關(guān)幾何條件，求出a,b,c的值寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，及根據(jù)題意求出相關(guān)的量將所求的量，“翻譯”成實(shí)際問題的解答牛刀小試：師生：學(xué)生自主完成練習(xí)，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；預(yù)設(shè)：以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線為軸，垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)計(jì)意圖：通過典例解析，歸納基本題型，幫助學(xué)生形成基本解題思路，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).學(xué)生：思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準(zhǔn)備.預(yù)設(shè)：設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是點(diǎn)的集合由此得將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)得即方法總結(jié)：直接法求軌跡方程判斷方法：若求動(dòng)點(diǎn)軌跡的題干中有一個(gè)明顯的等式關(guān)系，可優(yōu)先考慮直接法設(shè)動(dòng)點(diǎn)：比如設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)等式：找到題干中的一個(gè)“等式關(guān)系”符號(hào)化：將第二步中的“等式關(guān)系”進(jìn)行數(shù)學(xué)符號(hào)化處理，表示成關(guān)于x,y的式子.標(biāo)準(zhǔn)化：將以上式子等價(jià)變形，變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式的方程下結(jié)論：將不滿足題意的點(diǎn)剔除掉，并寫出方程或圖形牛刀小試：師生：學(xué)生自主完成練習(xí)，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；曲線C為焦點(diǎn)在x軸上，焦距為10，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線.思考：將例5與橢圓一節(jié)中得例6比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生：學(xué)生回顧之前的例題，然后進(jìn)行觀察對(duì)比，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；學(xué)生：思考并與同桌交流，共同得出答案，做好分享準(zhǔn)備.思考：是否有不把x1,x2具體的值計(jì)算出來，就能求出弦長(zhǎng)的方法呢？學(xué)生：學(xué)生自主嘗試著想想與做做，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；數(shù)學(xué)里重要數(shù)學(xué)思想：設(shè)而不求的重要數(shù)學(xué)思想.弦長(zhǎng)公式：學(xué)生：嘗試著用以上弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)所以，或者：牛刀小試：師生：學(xué)生自主完成練習(xí)，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；方法總結(jié)：雙曲線中有關(guān)弦長(zhǎng)問題的解決方法與橢圓中類似．解決中點(diǎn)弦問題常用判別式法和點(diǎn)差法，注意所求參數(shù)的取值范圍．題型一：求共焦點(diǎn)的雙曲線方程例題與橢圓x212+y2A．x25?C．y25?預(yù)設(shè)：因?yàn)闄E圓x212+y2又因?yàn)樗鶠殡p曲線與雙曲線y2所以設(shè)所求雙曲線y210則c2=?10λ?8λ=9，解得所以所求雙曲線為x2故選：B題型二：求雙曲線的中點(diǎn)弦方程預(yù)設(shè)：設(shè)Ax1,y1，方法總結(jié)：點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦方程題型三：直接法求軌跡方程題型四：求弦長(zhǎng)題型五：直線與雙曲線的位置關(guān)系問題(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)；因?yàn)橹本€l與雙曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足題意．方法總結(jié)：利用直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍：當(dāng)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)：（1）直線與雙曲線相切，聯(lián)立方程，一元二次方程?=0（2）所求直線與漸近線平行當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)：直線與雙曲線相交，聯(lián)立方程，一元二次方程?>0當(dāng)沒有交點(diǎn)時(shí)：直線與雙曲線相離，聯(lián)立方程，一元二次方程?<0題型六：雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用1．（2223高二上·遼寧營(yíng)口·期末）過點(diǎn)2,3且與橢圓5x2+9A．x2?y23=1 B．x預(yù)設(shè)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y2設(shè)雙曲線的方程為x2故4a2?故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故選:A.2．（2425高二上·四川成都·期末）設(shè)A,B為雙曲線x2?y22=1上的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為A．5 B．25 C．10 D．預(yù)設(shè)：設(shè)雙曲線x2?y22=1上的點(diǎn)A(x則x12?兩式相減，得(x1+則直線AB斜率k=y1?y2由y=2x?2x2?y22=1|AB|=1+故選：B3．（高二上·河北保定·期中）已知點(diǎn)A(2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為12，記M的軌跡為曲線C(1)求C的方程，并說明C是什么曲線；(2)若直線l:y=x?3和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求|EF|.預(yù)設(shè)：（1）解：設(shè)M(x,y)，則AM,BM的斜率分別為k1=y由已知得yx+2化簡(jiǎn)得x2即曲線C的方程為x2曲線C是一個(gè)雙曲線，除去左右頂點(diǎn).（2）聯(lián)立x24?y2設(shè)E(x1,y1EF==1+4．（2425高三上·北京·期末）直線y=kx?3與雙曲線x24?y預(yù)設(shè)：直線過定點(diǎn)3,0，直線與雙曲線圖象如圖所示，又雙曲線的兩條漸近線為y=±1因?yàn)橹本€y=kx?3與雙曲線x所以由圖可知，k∈?故答案為：?5．（高二上·北京·期末）如圖是等軸雙曲線形拱橋，現(xiàn)拱頂離水面5m，水面寬AB=30m.若水面下降5m，則水面寬是（

）(結(jié)果精確到0.1m)(參考數(shù)值：2≈1.41，5A．43.8m B．44.8m C．52.3m預(yù)設(shè)：如圖：建系，因?yàn)楣皹蚴堑容S雙曲線，則設(shè)雙曲線方程y2a2又因?yàn)锳B=30，CD=5，則將B代入雙曲線方程，可得?a?52a2?15當(dāng)水面下降5m，縱坐標(biāo)yN=?a?10∴MN故選：B1．弦長(zhǎng)公式已知直線y=kx+m與雙曲線E:x2a2?y2．直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷已知直線y=kx+m，雙曲線E:x2a2?（1）當(dāng)時(shí)，①僅有一個(gè)解，此時(shí)直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)k≠±ba，若①對(duì)應(yīng)的判別式為當(dāng)Δ>0時(shí)，①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，此時(shí)直線與雙曲線有當(dāng)Δ=0時(shí)，①有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，此時(shí)直線與雙曲線有當(dāng)Δ<0時(shí)，①無解，此時(shí)直線與雙曲線作業(yè)1：完成教材：第127頁(yè)練習(xí)1,2,3,4,6.作業(yè)2：配套輔導(dǎo)資料對(duì)應(yīng)的《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第2課時(shí)》.

3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第2課時(shí)）2.直接法求軌跡方程3.中點(diǎn)弦4.數(shù)學(xué)思想：設(shè)而不求思想5.例題區(qū)：（學(xué)生板演區(qū)域）本節(jié)課聚焦雙曲線幾何