專題10概率一、考情分析二、考點(diǎn)梳理考點(diǎn)一、條件概率1.條件概率一般地,當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P(B)>0),已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率,稱為條件概率,記作P(A|B),而且P(A|B)=P(2.概率的乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個(gè)事件A與B，若P（A）>0，則P（AB）=P（A）P（B|A）.我們稱上式為概率的乘法公式（multiplicationformula）.3.條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè)P（A）>0，則（1）P（Ω|A）=1；（2）如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P（BUC|A）=P（B|A）+P（C|A）；（3）設(shè)B和B互為對立事件，則P（B

|A）=1?考點(diǎn)二、全概率公式1.全概率公式一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)=eq\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))P(Ai)P(B|Ai)我們稱上面的公式為全概率公式．2.*貝葉斯公式：三、題型突破重難點(diǎn)題型突破1條件概率（1）已知表示在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件概率的計(jì)算公式可得.【詳解】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式知.故選：D（2）（多選）有兩個(gè)箱子，第1個(gè)箱子有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，第2個(gè)箱子有4個(gè)白球，4個(gè)紅球，現(xiàn)從第1個(gè)箱子中隨機(jī)地取1個(gè)球放到第2個(gè)箱子里，再從第2個(gè)箱子中隨機(jī)取1個(gè)球放到第1個(gè)箱子里，則下列判斷正確的是（

）A．從第2個(gè)箱子里取出的球是白球的概率為B．從第2個(gè)箱子里取出的球是紅球的概率為C．從第2個(gè)箱子里取出的球是白球前提下，則再從第1個(gè)箱子里取出的是白球的概率為D．兩次取出的球顏色不同的概率為【答案】ABC【分析】對于ABD，根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式求解，對于C，根據(jù)條件概率的公式求解即可【詳解】從第2個(gè)箱子里取出的球是白球的概率為，故選項(xiàng)A正確；從第2個(gè)箱子里取出的球是紅球的概率為，故選項(xiàng)B正確；設(shè)從第2個(gè)箱子取出的球是白球?yàn)槭录購牡?個(gè)箱子取出的球是白球?yàn)槭录?，則，故選項(xiàng)C正確；兩次取出的球顏色不同的概率為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABC.【變式訓(xùn)練1-1】從3個(gè)“0”和3個(gè)“1”中任選3個(gè)組成三位數(shù)組，若用A表示“第二位數(shù)字為‘0’的事件”，用B表示“第一位數(shù)字為‘0’的事件”，則等于（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件概率的計(jì)算公式即可求解.【詳解】解：由“0”“1”組成的三位數(shù)組共有（個(gè)），第一位數(shù)字為“0”的三位數(shù)組有（個(gè)），則，第一位和第二位數(shù)字均為“0”的三位數(shù)組有2個(gè)，則，所以.故選：C.【變式訓(xùn)練1-2】（多選）甲罐中有5個(gè)紅球，5個(gè)白球，乙罐中有3個(gè)紅球，7個(gè)白球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機(jī)取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結(jié)論正確的是（

）A．、為對立事件 B．C． D．【答案】AB【分析】只需注意到事件B是在事件或發(fā)生之后可解.【詳解】因?yàn)榧坠拗兄挥屑t球和白球，所以A正確；當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有4個(gè)紅球，7個(gè)白球，此時(shí)B發(fā)生的概率為，故B正確；當(dāng)發(fā)生時(shí)，乙罐中有3個(gè)紅球，8個(gè)白球，此時(shí)B發(fā)生的概率為，故D不正確；，故C不正確.故選：AB例2、拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，記事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，求：(1)事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率；(2)事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率．【答案】(1)(2)【分析】先求出所有可能的事件的總數(shù)，及事件，事件，事件包含的基本事件個(gè)數(shù)，代入條件概率計(jì)算公式，可得答案．(1)解：拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，事件總數(shù)為，事件的基本事件數(shù)為，（A），由于，，，，所以事件的基本事件數(shù)為，（B），事件同時(shí)發(fā)生的概率為，，由條件概率公式，得；(2)解：由（1）得．【變式訓(xùn)練2-1】已知某電器市場由甲、乙、丙三家企業(yè)占有，其中甲廠產(chǎn)品的市場占有率為40％，乙廠產(chǎn)品的市場占有率為36％，丙廠產(chǎn)品的市場占有率為24％，甲、乙、丙三廠產(chǎn)品的合格率分別為，，．(1)現(xiàn)從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，求這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率；(2)現(xiàn)從市場中隨機(jī)購買一臺該電器，則買到的是合格品的概率為多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）由相互獨(dú)立事件的概率可得；（2）根據(jù)各產(chǎn)品的市場占有率和合格率，由條件概率公式計(jì)算可得.(1)記隨機(jī)抽取甲乙丙三家企業(yè)的一件產(chǎn)品，產(chǎn)品合格分別為事件，，，則三個(gè)事件相互獨(dú)立，恰有兩件產(chǎn)品合格為事件D，則．故從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，則這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率是．(2)記事件B為購買的電器合格，記隨機(jī)買一件產(chǎn)品，買到的產(chǎn)品為甲乙丙三個(gè)品牌分別為事件，，，，，，，，，．故在市場中隨機(jī)購買一臺電器，買到的是合格品的概率為．重難點(diǎn)題型突破2全概率公式例3.（1）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批，假定每一批產(chǎn)品中的次品數(shù)最多不超過4件，且具有如下的概率：一批產(chǎn)品中的次品數(shù)01234概率0.10.20.40.20.1現(xiàn)進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，從每批中隨機(jī)取出10件來檢驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格，則一批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率為（

）A．0.814 B．0.809 C．0.727 D．0.652【答案】A【分析】利用條件概率以及全概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】以Ai表示一批產(chǎn)品中有i件次品，i=0，1，2，3，4，B表示通過檢驗(yàn)，則由題意得，P(A0)=0.1，P(B|A0)=1，P(A1)=0.2，P(B|A1)==0.9，P(A2)=0.4，P(B|A2)=≈0.809，P(A3)=0.2，P(B|A3)=≈0.727，P(A4)=0.1，P(B|A4)=≈0.652．由全概率公式，得P(B)=P(Ai)P()=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814．故選：A（2）袋中裝有編號為1，2，…，N的N個(gè)球，先從袋中任取一球，如該球不是1號球就放回袋中，是1號球就不放回，然后再摸一次，則取到2號球的概率為________．【答案】【分析】設(shè)A＝“第一次取到1號球”，則＝“第一次取到的是非1號球”；B＝“最后取到的是2號球”，分別求出P(A)，P()，且P(B|A)，P(B|)，再根據(jù)全概率公式即可得解.【詳解】解：設(shè)A＝“第一次取到1號球”，則＝“第一次取到的是非1號球”；B＝“最后取到的是2號球”，顯然P(A)＝，P()＝，且P(B|A)＝，P(B|)＝，∴P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|)P()＝＝.故答案為：（3）已知一批產(chǎn)品中96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率是0.02，一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率是0.05，則在檢查后認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率為________．(精確到0.001)【答案】0.998【分析】根據(jù)全概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)A＝任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢查是合格品，B＝任取一產(chǎn)品確是合格品，則A＝BA＋AP(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.96×0.98＋0.04×0.05＝0.9428，故所求概率為：P(B|A)＝.故答案為：0.998【變式訓(xùn)練3-1】設(shè)有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由三家工廠生產(chǎn)，其中甲廠生產(chǎn)，乙、丙兩廠各生產(chǎn)，而且各廠的次品率依次為2%，2%，4%，現(xiàn)從中任取一件，則取到次品的概率為（

）A．0.025 B．0.08 C．0.07 D．0.125【答案】A【分析】利用全概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】設(shè)A1，A2，A3分別表示甲、乙、丙工廠的產(chǎn)品，B表示次品，則P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025．故選：A．【變式訓(xùn)練3-2】（多選）在某一季節(jié)，疾病D1的發(fā)病率為2%，病人中40%表現(xiàn)出癥狀S，疾病D2的發(fā)病率為5%，其中18%表現(xiàn)出癥狀S，疾病D3的發(fā)病率為0.5%，癥狀S在病人中占60%．則（

）A．任意一位病人有癥狀S的概率為0.02B．病人有癥狀S時(shí)患疾病D1的概率為0.4C．病人有癥狀S時(shí)患疾病D2的概率為0.45D．病人有癥狀S時(shí)患疾病D3的概率為0.25【答案】ABC【分析】根據(jù)全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】P(D1)=0.02，P(D2)=0.05，P(D3)=0.005，P(S|D1)=0.4，P(S|D2)=0.18，P(S|D3)=0.6，由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02．由貝葉斯公式得：P(D1|S)===0.4，P(D2|S)===0.45，P(D3|S)===0.15．故選：ABC例4．學(xué)生在做一道有4個(gè)選項(xiàng)的選擇題時(shí)，如果他不知道問題的正確答案，就做隨機(jī)猜測．現(xiàn)從卷面上看題是答對了，試在以下情況下求學(xué)生確實(shí)知道正確答案的概率．（1）學(xué)生知道正確答案和胡亂猜想的概率都是；（2）學(xué)生知道正確答案的概率是0.2．【答案】（1）0.8；（2）0.5.【分析】記事件A為“題答對了”，事件為“知道正確答案”，根據(jù)題意求得，，（1）此時(shí)有，由貝葉斯公式即可得出答案；（2）此時(shí)有，，由貝葉斯公式即可得出答案.【詳解】解：記事件A為“題答對了”，事件為“知道正確答案”，則按題意有，．（1）此時(shí)有，所以由貝葉斯公式得．（2）此時(shí)有，，所以由貝葉斯公式得．【變式訓(xùn)練4-1】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個(gè)地區(qū)感染此病的比例分別為，，．現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)任抽取一個(gè)人，假設(shè)每個(gè)人來自三個(gè)地區(qū)的可能性相同．（1）求此人感染此病的概率；（2）若此人感染此病，求此人來自乙地區(qū)的概率．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）應(yīng)用全概率公式，求所抽取的人感染此病的概率即可；（2）利用貝葉斯概率公式可得，即可求概率.【詳解】（1）由題意，所抽取的人感染此病的概率.（2）若分別表示來自甲、乙、丙的事件，表示感染此病的事件，∴此人感染此病且來自乙地區(qū)的概率.【變式訓(xùn)練4-2】壇子里放著5個(gè)相同大小，相同形狀的咸鴨蛋，其中有3個(gè)是綠皮的，2個(gè)是白皮的．如果不放回地依次拿出2個(gè)鴨蛋，求：(1)第一次拿出綠皮鴨蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到綠皮鴨蛋的概率；(3)在第1次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第2次拿出綠皮鴨蛋的概率．【答案】(1);(2);(3).【分析】設(shè)第一次拿出綠皮鴨蛋為事件，第2次拿到綠皮鴨蛋為事件，則第1次和第2次都拿到綠皮鴨蛋為事件，（1）從5個(gè)鴨蛋不放回地依次拿出2個(gè)鴨蛋基本事件數(shù)為，，由古典概型可得結(jié)果；（2）求得，利用古典概型求解即可；（3）利用（1）、（2），根據(jù)條件概率公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)第一次拿出綠皮鴨蛋為事件，第2次拿到綠皮鴨蛋為事件，則第1次和第2次都拿到綠皮鴨蛋為事件，（1）從5個(gè)鴨蛋不放回地依次拿出2個(gè)鴨蛋基本事件數(shù)為，，（2）因?yàn)椋?，?）由（1）（2）可得，在第一次拿出綠皮鴨蛋的條件下，第二次拿出綠皮鴨蛋的概率為.

四、課堂訓(xùn)練（30分鐘）1．第24屆冬奧會(huì)奧運(yùn)村有智能餐廳A、人工餐廳B，運(yùn)動(dòng)員甲第一天隨機(jī)地選擇一餐廳用餐，如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.7；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8．運(yùn)動(dòng)員甲第二天去A餐廳用餐的概率為（

）A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38【答案】A【分析】第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響，可根據(jù)第1天可能去的餐廳，將樣本空間表示為“第1天去A餐廳”和“第1天去B餐廳”兩個(gè)互斥事件的并，利用全概率公式求解.【詳解】設(shè)“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，則，且與互斥，根據(jù)題意得：，，，則.故選：A.2．某種疾病的患病率為0.5%，通過驗(yàn)血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人驗(yàn)血結(jié)果為陽性，患者中有2%的人驗(yàn)血結(jié)果為陰性，隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗(yàn)血，則其驗(yàn)血結(jié)果為陽性的概率為（

）A．0.0689 B．0.049 C．0.0248 D．0.02【答案】C【分析】根據(jù)全概率公式即可求出．【詳解】隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗(yàn)血，則其驗(yàn)血結(jié)果為陽性的概率為0.0248．故選：C．3．設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各10名，15名和25名考生的報(bào)名表，其中女生報(bào)名表分別為3份、7份和5份，隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后取出兩份，則先取到的一份為女生表的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)A＝“先取到的是女生表”，Bi＝“取到第i個(gè)地區(qū)的表”，i＝1,2,3，∴P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝×＋×＋×＝.4．已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，現(xiàn)隨機(jī)選一人，則此人恰是色盲的概率是（

）A．0.01245 B．0.05786 C．0.02625 D．0.02865【答案】C【分析】用事件A，B分別表示隨機(jī)選一人是男人或女人，用事件C表示此人恰好患色盲，則Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×5%＋×0.25%＝0.02625.5．有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占50%，三廠生產(chǎn)的占20%.又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%，1%，1%，則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是（

）A．0.013 B．0.04 C．0.002 D．0.003【答案】A【分析】設(shè)事件A為“任取一件為次品”，事件Bi為“任取一件為i廠的產(chǎn)品”，i＝1，2，3,利用全概率公式P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)即得解【詳解】設(shè)事件A為“任取一件為次品”，事件Bi為“任取一件為i廠的產(chǎn)品”，i＝1，2，3，則Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3兩兩互斥，易知P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01.∴P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)·P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.故選：A6．一道考題有4個(gè)，要求學(xué)生將其中的一個(gè)正確選擇出來．某考生知道正確的概率為，而亂猜正確的概率為．在亂猜時(shí)，4個(gè)都有機(jī)會(huì)被他選擇，如果他答對了，則他確實(shí)知道正確的概率是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全概率公式，結(jié)合貝葉斯公式進(jìn)行求解即可.【詳解】[設(shè)A＝“考生答對”，B＝“考生知道正確”，由全概率公式：．又由貝葉斯公式：．故選：B7．已知在所有男子中有5%患有色盲癥，在所有女子中有0.25%患有色盲癥，隨機(jī)抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，其為男子的概率為（

）(設(shè)男子和女子的人數(shù)相等)A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)“男子”，“女子”，“這人有色盲”，分別求得,結(jié)合公式，即可求解.【詳解】設(shè)“男子”，“女子”，“這人有色盲”，則,可得.故選：B.8．考慮恰有兩個(gè)小孩的家庭.若某家第一個(gè)是男孩，則這家有兩個(gè)男孩（相當(dāng)于第二個(gè)也是男孩）的概率為______（假定生男生女為等可能）.【答案】【分析】利用列舉法求得正確答案.【詳解】依題意，家庭有兩個(gè)小孩，基本事件有：（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女），共種情況.若家庭第一個(gè)是男孩，則事件為（男，男）、（男，女），則第二個(gè)也是男孩的概率為.故答案為：9．2021年5月15日，天問一號探測器在火星烏托邦平原南部預(yù)選著陸區(qū)著陸，我國首次火星探測任務(wù)著陸火星取得成功，極大地鼓舞了天文愛好者探索宇宙奧秘的熱情.某校航天科技小組決定從甲、乙等6名同學(xué)中選出4名同學(xué)參加市舉行的“我愛火星”知識競賽，已知甲被選出，則乙也被選出的概率為______.【答案】【分析】利用條件概率公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)“甲同學(xué)被選出”記為事件，“乙同學(xué)被選出”記為事件，則在甲同學(xué)被選出的情況下，乙同學(xué)也被選出的概率.故答案為：10．某人外出出差，委托鄰居給家里植物澆一次水，設(shè)不澆水，植物枯萎的概率為0.8，澆水，植物枯萎的概率為0.15．鄰居記得澆水的概率為0.9．則該人回來植物沒有枯萎的概率為______．【答案】0.785【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】記A為事件“植物沒有枯萎”，W為事件“鄰居記得給植物澆水”，則根據(jù)題意，知，，，，因此．故答案為：0.785．11．2022年北京冬奧會(huì)的志愿者中，來自甲、乙、丙三所高校的人數(shù)分別為：甲高校學(xué)生志愿者7名，教職工志愿者2名；乙高校學(xué)生志愿者6名，教職工志愿者3名；丙高校學(xué)生志愿者5名，教職工志愿者4名.(1)從這三所高校的志愿者中各抽取一名，求這三名志愿者中既有學(xué)生又有教職工的概率；(2)先從三所高校中任選一所，再從這所高校的志愿者中任取一名，求這名志愿者是教職工志愿者的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出這三名志愿者全是學(xué)生和全是教職工的概率，再由對立事件的概率關(guān)系可得答案（2）設(shè)事件D為這名志愿者是教職工志愿者，事件為選甲高校，事件為選乙高校，事件為選丙高校,由全概率公式可得答案.(1)設(shè)事件A為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者全是學(xué)生，則；設(shè)事件B為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者全是教職工，則；設(shè)事件C為從三所高校的志愿者中各抽取一名，這三名志愿者中既有學(xué)生又有教職工，則.(2)設(shè)事件D為這名志愿者是教職工志愿者，事件為選甲高校，事件為選乙高校，事件為選丙高校.，，，.所以這名志愿者是教職工志愿者的概率為：12．如圖，有三個(gè)外形相同的箱子，分別編號為1，2，3，其中1號箱裝有1個(gè)黑球和3個(gè)白球，2號箱裝有2個(gè)黑球和2個(gè)白球，3號箱裝有3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同．小明先從三個(gè)箱子中任取一箱，再從取出的箱中任意摸出一球，記事件表示“球取自第i號箱”，事件B表示“取得黑球”．(1)分別求，，和的值；(2)若小明取出的球是黑球，判斷該黑球來自幾號箱的概率最大？請說明理由．【答案】(1)，，，.(2)來自3號箱的概率最大,理由見解析.【分析】（1）利用條件概率公式,計(jì)算即可求得，，；三式求和即得；（2）利用條件概率公式分別計(jì)算，，，最大者即為所求箱號.(1)由已知可得,,∴，，，∴.(2)，，，最大，即若小明取出的球是黑球，該黑球來自3號箱的概率最大.專題10概率A組基礎(chǔ)鞏固1．某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】基本事件總數(shù)，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率．【詳解】某校高三年級要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），在男生甲被選中的情況下，基本事件總數(shù)，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)：，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是．故選：C.2．2021年6月14日是我國的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”.這天，王華的媽媽煮了五個(gè)粽子，其中兩個(gè)蜜棗餡，三個(gè)豆沙餡，王華隨機(jī)拿了兩個(gè)粽子，若已知王華拿到的兩個(gè)粽子為同一種餡，則這兩個(gè)粽子都為蜜棗餡的概率為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)事件為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個(gè)粽子都為蜜棗餡”，計(jì)算(A)、的值，從而．【詳解】由題意，設(shè)事件為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個(gè)粽子都為蜜棗餡”，則(A)，，．故選：A．3．口袋中裝有大小形狀相同的紅球3個(gè)，白球3個(gè)，小明從中不放回的逐一取球，已知在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.75【答案】C【分析】求出第一次取得紅球的事件、第一次取紅球第二次取白球的事件概率，再利用條件概率公式計(jì)算作答.【詳解】記“第一次取得紅球”為事件A，“第二次取得白球”為事件B，則，，于是得，所以在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為0.6.故選：C4．某一電子集成塊有三個(gè)元件a，b，c并聯(lián)構(gòu)成，三個(gè)元件是否有故障相互獨(dú)立．已知至少1個(gè)元件正常工作，該集成塊就能正常運(yùn)行．若每個(gè)元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的情況下，有且僅有一個(gè)元件出現(xiàn)故障的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個(gè)元件出現(xiàn)故障，進(jìn)而結(jié)合對立事件的概率公式得，再根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】解：記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個(gè)元件出現(xiàn)故障，則為該集成塊不能正常工作，所以，，所以故選：A5．地面上現(xiàn)有標(biāo)號為1—10號的一個(gè)游戲方格，某人投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若硬幣正面朝上，則他連續(xù)向前走2格，若反面朝上，則他連續(xù)向前走3格，他從起始位置開始出發(fā)，若他超過10號位置，則游戲結(jié)束，那么他在8號位置停留的條件下，恰好已經(jīng)投擲了四次硬幣的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件概率列式求解即可.【詳解】設(shè)“他在8號位置停留”為事件A，“恰好已經(jīng)投擲了四次硬幣”為事件B，事件A：投擲三次，一個(gè)正面兩個(gè)反面，或者投擲四次全部為正面，事件：AB：投擲四次全部為正面.則所求為.故選：D..6．已知事件A，B相互獨(dú)立，，則（

）A．0.24 B．0.8 C．0.3 D．0.16【答案】B【分析】利用事件獨(dú)立性的概率乘法公式及條件概率公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，所以，所以故選：B7．某同學(xué)參加學(xué)校數(shù)學(xué)考試，數(shù)學(xué)考試分為選填題和解答題兩部分，選填題及格的概率為，兩部分都及格概率為，則在選填題及格的條件下兩部分都能及格的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】選填題及格記為事件，，兩部分都及格概率記為事件，，則在選填題及格的條件下兩部分都能及格的概率.故選：C.8．設(shè)A，是兩個(gè)事件，且發(fā)生A必定發(fā)生，，給出下列各式，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合和事件、積事件的概念及條件概率公式，即可求解．【詳解】解：發(fā)生必定發(fā)生，（A），（B），故A，D錯(cuò)誤，，故B錯(cuò)誤，，故C正確．故選：C．9．學(xué)校有，兩個(gè)餐廳，如果王同學(xué)早餐在餐廳用餐，那么他午餐也在餐廳用餐的概率是，如果他早餐在餐廳用餐，那么他午餐在餐廳用餐的概率是，若王同學(xué)早餐在餐廳用餐的概率是，那么他午餐在餐廳用餐的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)表示早餐去A餐廳用餐，表示早餐去B餐廳用餐，表示午餐去A餐廳用餐，然后依次求出相關(guān)概率，結(jié)合全概率公式即可直接求解.【詳解】設(shè)表示早餐去A餐廳用餐，表示早餐去B餐廳用餐，表示午餐去A餐廳用餐，且，根據(jù)題意得,由全概率公式可得，故選：A.10．英國數(shù)學(xué)家貝葉斯（1701-1763）在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷等做出了重要貢獻(xiàn)．根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，事件，，（的對立事件）存在如下關(guān)系：．若某地區(qū)一種疾病的患病率是，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病，已知該試劑的準(zhǔn)確率為，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現(xiàn)陽性，該試劑的誤報(bào)率為，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測，有5%的可能會(huì)誤報(bào)陽性．現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，用該試劑來檢驗(yàn)，結(jié)果呈現(xiàn)陽性的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)貝葉斯概率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)用該試劑檢測呈現(xiàn)陽性為事件，被檢測者患病為事件，未患病為事件，則，，，，故所求概率．故選：A.11．設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的.且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為（

）A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2【答案】A【分析】利用條件概率公式即可求解.【詳解】以A1，A2，A3分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，B表示取得的X光片為次品，P=，P=，P=，P=，P=，P=；則由全概率公式，所求概率為P=P+P+P=×+×+×=0.08.故選：A12．2021年6月14日是中國的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”，這天人們會(huì)吃粽子、賽龍舟．現(xiàn)有七個(gè)粽子，其中三個(gè)是臘肉餡，四個(gè)是豆沙餡，小明隨機(jī)取兩個(gè)，記事件A為“取到的兩個(gè)為同一種餡”，事件B為“取到的兩個(gè)都是豆沙餡”，則______．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，可知．故答案為：.13．已知某次數(shù)學(xué)期末試卷中有8道4選1的單選題，學(xué)生小王能完整做對其中5道題，在剩下的3道題中，有2道題有思路，還有1道完全沒有思路，有思路的題做對的概率為，沒有思路的題只好從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)答案．小王從這8題中任選1題，則他做對的概率為___________．【答案】【分析】合理設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)小王從這8題中任選1題，且作對為事件A，選到能完整做對的5道題為事件B，選到有思路的兩道題為事件C，選到完全沒有思路為事件D，則，，，由全概率公式可得：PA=PB?PA14．對正在橫行全球的“新冠病毒”，某科研團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一款新藥用于治療，為檢驗(yàn)藥效，該團(tuán)隊(duì)從“新冠”感染者中隨機(jī)抽取100名，檢測發(fā)現(xiàn)其中感染了“普通型毒株”，“德爾塔型毒株”、“其他型毒株”的人數(shù)占比為．對他們進(jìn)行治療后，統(tǒng)計(jì)出該藥對“普通型毒株”、“德爾塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分別為82%、60%、75%，那么你預(yù)估這款新藥對“新冠病毒”的總體有效率是________．【答案】74%【分析】根據(jù)題意，結(jié)合概率的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意，感染了“普通型毒株”，“德爾塔型毒株”、“其他型毒株”的人數(shù)占比為且該藥對“普通型毒株”、“德爾塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分別為82%、60%、75%，所以這款新藥對“新冠病毒”的總體有效率為.故答案為：.15．某人從15米高的樓層把一個(gè)成熟的椰子扔向地面，第一次未摔裂的概率為0.4，當(dāng)?shù)谝淮挝此ち褧r(shí)第二次也未摔裂的概率為0.3，則這個(gè)椰子從15米高的樓層扔向地面兩次后仍未摔裂的概率是___________.【答案】0.12【分析】根據(jù)題意利用概率公式即可求出.【詳解】設(shè)表示第次扔向地面椰子沒有摔裂，，2，則，，因此，.故這個(gè)椰子從15米高的樓層扔向地面兩次后仍未摔裂的概率為0.12.故答案為：0.12.16．某份資料顯示，人群中患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，則不吸煙者中患肺癌的概率是______.【答案】【分析】記“患肺癌”為事件C，“吸煙”為事件A，根據(jù)題設(shè)寫出對應(yīng)事件的概率，再應(yīng)用全概率公式列方程，即可求不吸煙者中患肺癌的概率.【詳解】記“患肺癌”為事件C，“吸煙”為事件A，由題意得，，，由全概率公式得：，將數(shù)據(jù)代入，得，解得.故答案為：

B組能力提升17．（多選）骰子通常作為桌上游戲的小道具.最常見的骰子是六面骰，它是一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體，六個(gè)面上分別寫有數(shù)字1、2、3、4、5、6.現(xiàn)有一款闖關(guān)游戲，共有關(guān)，規(guī)則如下：在第關(guān)要拋擲六面骰次，每次觀察向上面的點(diǎn)數(shù)并做記錄，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算闖過第關(guān)，.假定每次闖關(guān)互不影響，則(

)A．直接挑戰(zhàn)第關(guān)并過關(guān)的概率為B．連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)，至多過一關(guān)的概率為C．若直接挑戰(zhàn)第關(guān)，設(shè)“三個(gè)點(diǎn)數(shù)之和等于”，至少出現(xiàn)一個(gè)點(diǎn)”，則D．若直接挑戰(zhàn)第關(guān)，則過關(guān)的概率是【答案】ACD【分析】選項(xiàng)AD：由題意利用分類討論的方法，求出滿足題意的基本事件數(shù)以及基本事件總數(shù)即可求解；選項(xiàng)B：首先求出和時(shí)過關(guān)的概率，并結(jié)合對立事件性質(zhì)即可求解；選項(xiàng)C：首先求出事件和事件的概率，然后利用條件概率公式求解即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閽仈S2次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于6的情況有21種，從而直接挑戰(zhàn)第關(guān)并過關(guān)的概率為，故A正確；對于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，拋擲1次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于3的情況有3種，從而直接挑戰(zhàn)第1關(guān)并過關(guān)的概率為，故連續(xù)挑戰(zhàn)前兩關(guān)，至多過一關(guān)的概率為，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：由題意可知，拋擲3次共有個(gè)基本事件，故事件共有個(gè)基本事件，所以，又因?yàn)槭录灿?個(gè)基本事件：拋擲3次，點(diǎn)數(shù)都為5的共1種；拋擲3次中，僅有1次點(diǎn)數(shù)為5的共6種，所以，故，故C正確；對于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，基本事件總數(shù)共個(gè)，而“點(diǎn)數(shù)之和大于20”等價(jià)于拋擲4次中，至少有1次點(diǎn)數(shù)為6，即包含以下35種基本事件：拋擲4次，有1次點(diǎn)數(shù)為6的，共有4種；拋擲4次，有2次點(diǎn)數(shù)為6的，共有18種；拋擲4次，有3次點(diǎn)數(shù)為6的，共有12種；拋擲4次，有4次點(diǎn)數(shù)都為6的，共有1種，所以，故D正確.故選：ACD.18．（多選）下列說法正確的是（

）A． B．是可能的C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)條件概率公式及性質(zhì)相關(guān)知識逐一判斷，即可求解.【詳解】由條件概率公式及，知，故A錯(cuò)誤．當(dāng)事件包含事件時(shí)，有，此時(shí)，故B正確．由于，，故C，D正確．故選：BCD．19．（多選）甲和乙兩個(gè)箱子中各有質(zhì)地均勻的9個(gè)球，其中甲箱中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球，2個(gè)黑球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入到乙箱中，分別以，，表示從甲箱中取出的球是紅球、白球、黑球的事件，再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示取出的球是紅球的事件，則（

）A．B與相互獨(dú)立 B．，，兩兩互斥C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷A，根據(jù)互斥事件的定義判斷B，由條件概率公式計(jì)算出概率判斷C，由互斥事件與獨(dú)立事件概率公式計(jì)算概率判斷D．【詳解】事件的發(fā)生與事件的發(fā)生有影響，因此事件的發(fā)生與事件不獨(dú)立，A錯(cuò)；中任何兩個(gè)事件都不可能同時(shí)發(fā)生，因此它們兩兩互斥，B正確；，C正確；，D錯(cuò)．故選：BC．20．（多選）甲箱中有個(gè)白球和個(gè)黑球，乙箱中有2個(gè)白球和個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，分別以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以表示從乙箱中取出的球是黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．兩兩互斥 B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．【答案】AD【分析】根據(jù)條件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知識，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】因?yàn)槊看稳∫磺?，所以是兩兩互斥的事件，故A項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；又，所以，故D項(xiàng)正確.從甲箱中取出黑球，放入乙箱中，則乙箱中黑球變?yōu)?個(gè)，取出黑球概率發(fā)生變化，所以事件B與事件不相互獨(dú)立，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AD21．一個(gè)口袋裝有兩個(gè)白球和兩個(gè)黑球，把“從中任意摸出一個(gè)球，得到白球”記作事件A，把“從剩下的三個(gè)球中任意摸出一個(gè)球，得到白球”記作事件B．(1)在先摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？(2)在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是多少？(3)事件A與B是獨(dú)立的嗎？【答案】(1)(2)(3)不獨(dú)立【分析】（1）利用條件概率的計(jì)算公式直接求解；（2）利用條件概率的計(jì)算公式直接求解；（3）利用定義法進(jìn)行判斷.(1)由題意可得：，，所以.(2)由題意可得：，，所以.(3)顯然，事件A和事件B不獨(dú)立，事件B發(fā)生的情況隨事件A發(fā)生的情況而變化.22．盒子里放著三張卡片，一張卡片兩面都是紅色，一張卡片兩面都是黑色，剩下的一張卡片一面是紅色一面是黑色．現(xiàn)在隨機(jī)抽出一張卡片，并展示它的一面的顏色．假設(shè)是紅色，那么剩下的一面也是紅色的概率是多少？考察下面的解法：隨意從三張卡片中抽出一張，抽到任何一張都是等概率的．如果抽出的這張展示的一面是紅色，那么這張卡片有可能是兩面全是紅色的那張，也可能是一面紅一面黑的那張，因此抽到的是兩面全紅的那張卡片的概率是．好像很簡單，但請?jiān)贀Q個(gè)問題研究一下：如果展示出來的那一面是黑色，由上面的思路可得抽到兩面全是黑色的卡片的概率也是．所以，不管我們看到的是什么顏色，抽到兩面同色的卡片的概率都是．這意味著雖然三張卡片中只有兩張是同色的卡片，但隨機(jī)抽到其中任何一張的概率都是．肯定什么地方出錯(cuò)了．請問：上述解法中，哪里出現(xiàn)錯(cuò)誤呢？【答案】沒有考慮條件概率，答案為，說明見詳解.【分析】結(jié)合條件概率的知識即可得解.【詳解】沒有考慮到已經(jīng)抽出并展示出抽出的這張的一面為紅色或黑色，即題目屬于條件概率，我們以抽出的這張展示的一面是紅色為例，正確的方法是：設(shè)抽出的這張展示的一面是紅色為事件A，抽出的卡片兩面全是紅色為事件B，如果展示的一面是紅色，且這張卡片是兩面全是紅色的那張為事件AB，因?yàn)椋?，由條件概率可得：，當(dāng)然抽出的這張展示的一面是黑色也是如此，概率為.23．某技術(shù)部門招工需經(jīng)過四項(xiàng)考核，已知能夠通過第一、二、三、四項(xiàng)考核的概率分別為0.6，0.8，0.9和0.65，各項(xiàng)考核是相互獨(dú)立的.每個(gè)應(yīng)聘者都要經(jīng)過四項(xiàng)考核，只要有一項(xiàng)考核不通過即被淘汰.（1）求該部門招工的淘汰率；（2）求通過第一、三項(xiàng)考核但是仍被淘汰的概率；（3）假設(shè)考核按第一項(xiàng)到第四項(xiàng)的順序進(jìn)行，應(yīng)聘者一旦經(jīng)某項(xiàng)考核不合格即被淘汰（不再參加后面的