專題13一元線性回歸模型及其應(yīng)用一、考情分析二、考點(diǎn)梳理1．相關(guān)關(guān)系與回歸分析回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法；判斷相關(guān)性的常用統(tǒng)計(jì)圖是：散點(diǎn)圖；統(tǒng)計(jì)量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù)．在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)；在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)；如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，稱兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系．2．線性回歸方程：（1）最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．（2）回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：，其回歸方程為，則注意：線性回歸直線經(jīng)過定點(diǎn)．（3）相關(guān)系數(shù)：．【技能方法】（1）利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較直觀簡(jiǎn)便的方法．如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．若點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則正相關(guān)．（2）利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng)．當(dāng)殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)越大，相關(guān)性越強(qiáng)．（3）在分析實(shí)際中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，也可計(jì)算相關(guān)系數(shù)進(jìn)行判斷．若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值．（4）正確運(yùn)用計(jì)算的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵．并充分利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心進(jìn)行求值．【易錯(cuò)指導(dǎo)】1．回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的線性回歸方程才有實(shí)際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義．根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值．

三、題型突破重難點(diǎn)題型突破01相關(guān)系數(shù)與回歸分析例1．（1）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接由散點(diǎn)圖判斷相關(guān)系數(shù)的正負(fù)及大小即可.【詳解】由題中的散點(diǎn)圖可以看出，圖1和圖3是正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)大于0，則，，圖2和圖4是負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)小于0，則，，圖3和圖4的點(diǎn)相對(duì)于圖1和圖2更加集中，所以相關(guān)性較強(qiáng)，所以更接近于1，更接近于，由此可得．故選：A．（2）（多選題）某公司大力推進(jìn)科技創(chuàng)新發(fā)展戰(zhàn)略，持續(xù)加大研發(fā)投入（單位：萬元），不斷提升公司的創(chuàng)新能力2016年至2020年該公司的研發(fā)投入如下表所示：年份20162017201820192020年份編號(hào)x12345研發(fā)投入y/萬元5193m175211若y與x線性相關(guān)，由上表數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程為，則一下結(jié)論正確的是（

）A． B．y與x正相關(guān)C．該公司平均每年增加研發(fā)投入約11.4萬元 D．2018年該公司的研發(fā)投入的殘差為【答案】BD【分析】直接由相關(guān)系數(shù)的正負(fù)，回歸方程過樣本中心點(diǎn)以及殘差的定義依次判斷即可.【詳解】由線性回歸方程為知：y與x正相關(guān)，B正確；該公司平均每年增加研發(fā)投入約40.2萬元，C錯(cuò)誤；，代入，解得，即，解得，A錯(cuò)誤；將代入求得，又由上知，故殘差為，D正確.故選：BD.（3）習(xí)近平總書記在十九大報(bào)告中指出，必須樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，這將進(jìn)一步推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.根據(jù)近幾年我國(guó)某新能源汽車的年銷售量的調(diào)研，做出如圖所示的散點(diǎn)圖，給出與銷售的兩種回歸模型①，②，你認(rèn)為哪個(gè)模型更適宜_________.（從①②中選一個(gè)填到空格處）【答案】②【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷即可；【詳解】解：根據(jù)散點(diǎn)圖知，更適宜作為年銷量關(guān)于年份代碼的回歸方程；故答案為：②【變式訓(xùn)練1-1】下列有關(guān)樣本相關(guān)系數(shù)說法不正確的是（

）A．，且越接近1，相關(guān)程度越大B．，且越接近0，相關(guān)程度越小C．，且越接近1，相關(guān)程度越大D．相關(guān)系數(shù)用來衡量變量x與y的線性相關(guān)程度【答案】A【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義和性質(zhì)判斷.【詳解】由相關(guān)系數(shù)的定義可得，A錯(cuò)，由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)越接近0，相關(guān)程度越小，B對(duì)，越接近1，相關(guān)程度越大，C對(duì)，相關(guān)系數(shù)與x與y的線性相關(guān)程度有關(guān)，D對(duì)，故選：A.【變式訓(xùn)練1-2】（多選題）甲公司從某年起連續(xù)7年的利潤(rùn)情況如下表所示．第年1234567利潤(rùn)（億元）2.93.33.64.45.25.9根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，則以下正確的是（

）A． B．相關(guān)系數(shù)C．第8年的利潤(rùn)預(yù)計(jì)大約為8.3億元 D．第6個(gè)樣本點(diǎn)的實(shí)際值比預(yù)測(cè)值小0.1【答案】ABD【分析】根據(jù)線性回歸方程，逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由表可知，，，根據(jù)回歸直線的性質(zhì)，樣本中心點(diǎn)必須在直線上，

，解得m=4.8，故A正確；由表可知，y是隨著x的增加而增加的，即是正相關(guān)，故B正確；將x=8帶入回歸方程，得，故C錯(cuò)誤；將x=6帶入回歸方程，得，由表可知，實(shí)際值為5.2，故D正確；故選：ABD.【變式訓(xùn)練1-3】（多選題）對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后得到的散點(diǎn)圖如圖，關(guān)于其線性相關(guān)系數(shù)的結(jié)論正確的是(

)A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)y與x成正相關(guān)或負(fù)相關(guān)可判斷相關(guān)系數(shù)的正負(fù)，根據(jù)點(diǎn)的密集程度可比較相關(guān)性的大小，從而比較相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值的大?。驹斀狻坑缮Ⅻc(diǎn)圖可知，線性相關(guān)系數(shù)的圖像表示y與x成負(fù)相關(guān)，故-1<<0，故A正確；線性相關(guān)系數(shù)的圖像表示y與x正相關(guān)，故1>，故B錯(cuò)誤；∵線性相關(guān)系數(shù)的點(diǎn)較線性相關(guān)系數(shù)的點(diǎn)密集，故>，故，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．重難點(diǎn)題型突破02“直線型”回歸方程的應(yīng)用例2．自公安部交通管理局部署全國(guó)公安交管部門開展“一盔一帶”安全守護(hù)行動(dòng)以來，德州市電動(dòng)自行車安全頭盔平均佩戴率大幅提升．下表是德州市一主干路段對(duì)電動(dòng)車駕駛?cè)撕统俗恕安慌宕靼踩^盔”人數(shù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份89101112不佩戴安全頭盔人數(shù)1601201007050附：回歸方程中，斜率和截距最小二乘法估計(jì)公式分別為，．相關(guān)系數(shù)，．(1)請(qǐng)利用相關(guān)系數(shù)說明“不佩戴安全頭盔”與月份有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（系數(shù)精確到0.01）；(2)求y關(guān)于x的回歸方程．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）計(jì)算的值，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式求得相關(guān)系數(shù)，即可說明“不佩戴安全頭盔”與月份有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（2）利用最小二乘法估計(jì)公式求得回歸方程的系數(shù)，即得答案.(1)由題意得，，，，，，則，故不佩戴頭盔與月份有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．(2)，，所以y與x之間線性回歸方程為.【變式訓(xùn)練2-1】小李準(zhǔn)備在某商場(chǎng)租一間商鋪開服裝店，為了解市場(chǎng)行情，在該商場(chǎng)調(diào)查了20家服裝店，統(tǒng)計(jì)得到了它們的面積x（單位：）和日均客流量y（單位：百人）的數(shù)據(jù)，并計(jì)算得，，，.(1)求y關(guān)于x的回歸直線方程；(2)已知服裝店每天的經(jīng)濟(jì)效益，該商場(chǎng)現(xiàn)有的商鋪出租，根據(jù)（1）的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，要使單位面積的經(jīng)濟(jì)效益Z最高，小李應(yīng)該租多大面積的商鋪?附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.【答案】(1)(2)小李應(yīng)該租的商鋪【分析】（1）由已知條件結(jié)合回歸直線公式可求出回歸直線方程，（2）根據(jù)題意得，，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大值，從而可求出Z的最大值(1)由已知可得，，，，所以回歸直線方程為.(2)根據(jù)題意得，.設(shè)，令，，則，當(dāng)，即時(shí)，取最大值，又因?yàn)閗，，所以此時(shí)Z也取最大值，因此，小李應(yīng)該租的商鋪.重難點(diǎn)題型突破03“曲線型”回歸方程的應(yīng)用例3．某生物研究所為研究某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度的關(guān)系，經(jīng)過一段時(shí)間觀察，收集到如下數(shù)據(jù)：產(chǎn)卵數(shù)以該種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度為變量，作出如圖所示的散點(diǎn)圖，現(xiàn)分別用模型①與模型②進(jìn)行分析．(1)請(qǐng)利用模型②建立兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系式（系數(shù)保留兩位小數(shù)）；(2)已知模型①的回歸直線方程為，模型②的樣本相關(guān)系數(shù)，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)系數(shù)判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好；(3)該種昆蟲的防治以噴灑殺蟲劑為主，其防治成本與溫度和產(chǎn)卵數(shù)的關(guān)系為，用（2）中得出的擬合效果最好的模型計(jì)算，當(dāng)溫度（取整數(shù)）為何值時(shí)，昆蟲的防治成本的預(yù)估值最??？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、…、，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，樣本相關(guān)系數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，設(shè)，則，．【答案】(1)(2)模型②的擬合效果更好(3)【分析】（1）由已知可得，求出的值，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可計(jì)算出、的值，即可得出模型②的回歸方程；（2）根據(jù)最小二乘法公式可求得的值，計(jì)算出模型①的相關(guān)系數(shù)，比較大小后可得出結(jié)論；（3）計(jì)算出函數(shù)的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.(1)解：已知，則，，則，，所以，模型②的回歸方程為.(2)解：已知模型①的回歸直線方程為，則，所以，，所以，模型①的樣本相關(guān)系數(shù)，所以，模型②的擬合效果更好.(3)解：該種昆蟲的防治成本：，當(dāng)時(shí)，防治成本的預(yù)估值最?。咀兪接?xùn)練3-1】根據(jù)黨中央規(guī)劃的“精準(zhǔn)發(fā)力，著力提高脫貧攻堅(jiān)成效”的精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧路徑，某農(nóng)業(yè)機(jī)械上市公司為強(qiáng)化現(xiàn)代農(nóng)業(yè)的基礎(chǔ)支撐，不斷投入資金對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行研發(fā)，從而提升農(nóng)機(jī)裝備的應(yīng)用水平.通過對(duì)該公司近幾年的年報(bào)公布的研發(fā)費(fèi)用x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下表：年份2015201620172018201920202021年份編號(hào)123456723468101315222740485460根據(jù)數(shù)據(jù)，可建立y關(guān)于x的兩個(gè)回歸模型：模型①：；模型②：．(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，分別求出模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小（保留三位有效數(shù)字）；(2)根據(jù)（1）選擇擬合精度更高、更可靠的模型，若2022年該公司計(jì)劃投入研發(fā)費(fèi)用17億元，預(yù)測(cè)可為該公司帶來多少直接收益.附：相關(guān)指數(shù)，.回歸模型模型①模型②79.1318.86【答案】(1)，(2)72.93億元【分析】（1）先計(jì)算，再求，然后由公式直接計(jì)算可得；（2）比較相關(guān)系數(shù)，選擇擬合精度更高、更可靠的模型計(jì)算可得.(1)因?yàn)樗詣t模型①的相關(guān)指數(shù)模型②的相關(guān)指數(shù)(2)由（1）知，所以模型②的擬合精度更高、更可靠，由回歸方程可得，當(dāng)時(shí)，所以若2022年該公司計(jì)劃投入研發(fā)費(fèi)用17億元，大約可為該公司帶來72.93億元直接收益.【變式訓(xùn)練3-2】為了構(gòu)筑“綠色長(zhǎng)城”，我國(guó)開展廣泛的全民義務(wù)植樹活動(dòng)，有力推動(dòng)了生態(tài)狀況的改善.森林植被狀況的改善，不僅美化了家園，減輕了水土流失和風(fēng)沙對(duì)農(nóng)田的危害，而且還有效提高了森林生態(tài)系統(tǒng)的儲(chǔ)碳能力.某地區(qū)統(tǒng)計(jì)了2011年到2020年十年中每年人工植樹成活數(shù)（，2，3，…，10）（單位：千棵），用年份代碼（，2，3，…，10）表示2011年，2012年，2013年，…，2020年，得到下面的散點(diǎn)圖：對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析發(fā)現(xiàn)，有兩個(gè)不同的回歸模型可以選擇，模型一：，模型二；，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷所給哪個(gè)模型更適宜作為每年人工植樹成活數(shù)y與年份代碼x相關(guān)關(guān)系的回歸分析模型（給出判斷即可，不必說明理由）；(2)根據(jù)（1）中選定的模型，求出y關(guān)于x的回歸方程；(3)利用（2）中所求回歸方程，預(yù)測(cè)從哪一年開始每年人工植樹成活棵數(shù)能夠超過5萬棵？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.參考數(shù)據(jù)：，，，設(shè)（，2，3，…，10），，，，.【答案】(1)模型二(2)(3)年【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀為非線性，即可判斷應(yīng)選模型二；（2）令，則可以轉(zhuǎn)化為，分別求出和，即可求出回歸方程；（3）利用所求出的回歸方程依據(jù)題意列出不等式即可求解.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可知，呈指數(shù)式增長(zhǎng)，故應(yīng)選模型二，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；(2)由已知得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，令，則，由，，，可知，，，∴，∴；(3)令，即，解得，預(yù)測(cè)從年開始人工植樹成活棵樹能超過萬棵.四、課堂訓(xùn)練1．2021年春季．新冠肺炎疫情在印度失控．下圖是印度某地區(qū)在60天內(nèi)感染新冠肺炎的累計(jì)病例人數(shù)y（萬人）與時(shí)間t（天）的散點(diǎn)圖．則下列最適宜作為此模型的回歸方程的類型是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由選項(xiàng)的圖象特征即可得到答案.【詳解】由的圖象應(yīng)顯示為直線，故A錯(cuò)誤；的圖象應(yīng)該向下彎折，故B錯(cuò)誤；的圖象可以如圖所示，故C正確；的圖象應(yīng)向右彎折，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．將一組數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為y和x的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢(shì)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的增長(zhǎng)變化的特征選定正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，為開口向上的二次函數(shù)，不符合，當(dāng)，為開口向下的二次函數(shù)，，則在為減函數(shù)，不符合，對(duì)于C，散點(diǎn)圖不呈現(xiàn)正弦函數(shù)關(guān)系，故不符合，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，不符合，當(dāng)，在為增函數(shù)，但會(huì)趨近于一個(gè)常數(shù)值，故不符合散點(diǎn)的變化趨勢(shì)，故D錯(cuò)誤，對(duì)于A，，為增函數(shù)，則，當(dāng)增大時(shí)，在減小，即函數(shù)各點(diǎn)切線斜率減小，即增長(zhǎng)速度變慢，且散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)符合型函數(shù)，故A正確，故選：A.3．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．用相關(guān)系數(shù)r來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱時(shí)，越接近于1，相關(guān)性越弱B．當(dāng)相關(guān)系數(shù)時(shí)，表明兩變量負(fù)相關(guān)C．當(dāng)相關(guān)系數(shù)時(shí)，表明兩變量線性不相關(guān)D．當(dāng)相關(guān)系數(shù)時(shí)，表明兩變量有較強(qiáng)的線性相關(guān)程度【答案】A【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)r的含義判斷即可.【詳解】用相關(guān)系數(shù)r來衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱時(shí)，越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，故A錯(cuò)誤；由相關(guān)系數(shù)r的含義易知B，C正確，對(duì)D，很接近于1，故有較強(qiáng)的線性相關(guān)程度，故D正確，故選：A4．對(duì)某位同學(xué)5次體育測(cè)試的成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到如下表格：第x次12345測(cè)試成績(jī)y3940484850根據(jù)上表，可得y關(guān)于x的線性回歸方程為，下列結(jié)論不正確的是（

）A．B．這5次測(cè)試成績(jī)的方差為20.8C．y與x的線性相關(guān)系數(shù)D．預(yù)測(cè)第6次體育測(cè)試的成績(jī)約為54【答案】C【分析】由已知數(shù)據(jù)求平均數(shù)和方差，再由回歸方程的性質(zhì)求出，由此預(yù)測(cè)第6次體育測(cè)試的成績(jī)，根據(jù)所得結(jié)果判斷各選項(xiàng).【詳解】由已知，，所以這5次測(cè)試成績(jī)的方差為，B正確，又y關(guān)于x的線性回歸方程為，點(diǎn)在直線上，所以，所以，所以，取可得，，所以A，D對(duì)，因?yàn)椋耘c成正相關(guān)關(guān)系，故相關(guān)系數(shù)，C錯(cuò)，故選：C.5．（多選題）根據(jù)變量與的對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程，則下列說法正確的是（

）A．與正相關(guān)且相關(guān)性較弱B．與負(fù)相關(guān)且相關(guān)性很強(qiáng)C．每增加1個(gè)單位時(shí)平均減少0.6D．若，則【答案】BC【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義可判斷AB，由線性回歸方程的斜率可判斷C，因?yàn)榛貧w方程過中心點(diǎn)，故將代入回歸方程即可判斷D．【詳解】因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)，線性回歸方程，則與負(fù)相關(guān)且相關(guān)性很強(qiáng)；因?yàn)榫€性回歸方程的斜率為，則每增加1個(gè)單位時(shí)平均減少0.6；故A錯(cuò)，BC正確；因?yàn)榛貧w方程過中心點(diǎn)，若，則，故D錯(cuò)．故選：BC6．（多選題）“中國(guó)最具幸福感城市調(diào)查推選活動(dòng)”由新華社《瞭望東方周刊》、瞭望智庫共同主辦，至今已連續(xù)舉辦15年，累計(jì)推選出80余座幸福城市，現(xiàn)某城市隨機(jī)選取30個(gè)人進(jìn)行調(diào)查，得到他們的收入、生活成本及幸福感分?jǐn)?shù)（幸福感分?jǐn)?shù)為0~10分），并整理得到散點(diǎn)圖（如圖），其中x是收入與生活成本的比值，y是幸福感分?jǐn)?shù)，經(jīng)計(jì)算得回歸方程為.根據(jù)回歸方程可知（）A．y與x成正相關(guān)B．樣本點(diǎn)中殘差的絕對(duì)值最大是2.044C．只要增加民眾的收入就可以提高民眾的幸福感D．當(dāng)收入是生活成本3倍時(shí)，預(yù)報(bào)得幸福感分?jǐn)?shù)為6.044【答案】ABD【分析】根據(jù)給定散點(diǎn)圖，利用相關(guān)性的意義判斷A；計(jì)算殘差判斷B；舉例說明判斷C；利用回歸方程計(jì)算判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，由散點(diǎn)圖知，當(dāng)x增大時(shí)，y也增大，y與x成正相關(guān)，A正確；對(duì)于B，由圖知，點(diǎn)A是殘差絕對(duì)值最大的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則殘差，所以殘差的絕對(duì)值最大是2.044，B正確；對(duì)于C，若增加民眾的收入，而生活成本增加的更多，收入與生活成本的比值x反而減小，幸福感分?jǐn)?shù)y減小，C不正確；對(duì)于D，收入是生活成本的3倍，即，則，幸福感分?jǐn)?shù)預(yù)報(bào)值為6.044，D正確.故選：ABD7．有一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和，根據(jù)數(shù)據(jù)建立了如下的兩個(gè)模型：①，②.通過殘差分析發(fā)現(xiàn)第①個(gè)線性模型比第②個(gè)線性模型擬合效果好.若分別是相關(guān)指數(shù)和殘差平方和，則下列結(jié)論正確的是________.①＞，②＜，③＜，④＞.【答案】①③【分析】殘差平方和越小越好，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高，越大，模型的擬合效果越好，相關(guān)指數(shù)越大，模型的擬合效果越好．【詳解】解：用相關(guān)指數(shù)的值判斷模型的擬合效果，越大，說明殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，因?yàn)榈冖賯€(gè)線性模型比第②個(gè)線性模型擬合效果好，所以，；故答案為：①③8．已知一種植物一年生長(zhǎng)的高度y與發(fā)芽期的平均溫度x的關(guān)系可以用模型（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)，其變換后得到一組數(shù)據(jù)：x2023252730z22.4334.6由上表可得線性回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，估計(jì)該植物一年生長(zhǎng)的高度y的值為______．【答案】【分析】利用回歸直線過樣本中心可得，進(jìn)而可得，即求.【詳解】由表格數(shù)據(jù)可得，，代入，得，所以，即，從而有，當(dāng)時(shí)，．故答案為：.9．一家物流公司的管理人員想研究貨物的運(yùn)送距離和運(yùn)送時(shí)間的關(guān)系.為此，他抽取該公司最近10輛卡車的運(yùn)貨記錄作為隨機(jī)樣本，得到如下數(shù)據(jù)：運(yùn)送距離x/km825215107055048092013503256701215運(yùn)送時(shí)間y/天3.51.04.02.01.03.04.51.53.05.0(1)繪制運(yùn)送距離和運(yùn)送時(shí)間的散點(diǎn)圖，判斷二者之間的關(guān)系形態(tài)；(2)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，說明這兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度；(3)利用最小二乘法求出這兩個(gè)變量之間的回歸直線方程.【答案】(1)散點(diǎn)圖見解析，成正相關(guān)關(guān)系；(2)0.9489，兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度很強(qiáng)；(3).【分析】（1）利用數(shù)據(jù)即得，由圖可得；（2）利用相關(guān)系數(shù)公式即求；（3）利用最小二乘法即得.(1)散點(diǎn)圖如圖，由圖可知二者成線性正相關(guān)關(guān)系；(2)由數(shù)據(jù)可知，，，，，，∴相關(guān)系數(shù)為，故兩個(gè)變量之間的相關(guān)程度很強(qiáng)；(3)設(shè)回歸直線方程為，則，由，所以回歸直線方程為.10．2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵(lì)外來務(wù)工人員選擇就地過年.某市統(tǒng)計(jì)了該市4個(gè)地區(qū)的外來務(wù)工人數(shù)與就地過年人數(shù)（單位：萬），得到如下表格：A區(qū)B區(qū)C區(qū)D區(qū)外來務(wù)工人數(shù)x/萬3456就地過年人數(shù)y/萬2.5344.5(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求關(guān)于的線性回歸方程.(2)假設(shè)該市政府對(duì)外來務(wù)工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼.（i）若該市E區(qū)有2萬名外來務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額；（ii）若A區(qū)的外來務(wù)工人員中甲?乙選擇就地過年的概率分別為，，該市政府對(duì)甲?乙兩人的補(bǔ)貼總金額的期望不超過1500元，求的取值范圍.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】(1)說明答案見解析，(2)（i）（萬元）；（ii）【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，線性回歸模型的擬合效果越好，即可以根據(jù)直接計(jì)算相關(guān)系數(shù)的值來判斷與之間的線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱；關(guān)于的線性回歸方程直接用參考公式求解.（2）（i）將代入（1）中的線性回歸方程，即可求出E區(qū)就地過年的人數(shù)；（ii）由X的所有可能取值為0，1，2，并分別求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列，然后求出期望，最后列出不等式求出的取值范圍.(1)（1）由題，，，，，，所以相關(guān)系數(shù)，因?yàn)閥與x之間的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與x之間的線性相關(guān)程度非常強(qiáng)，所以可用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系.，，故y關(guān)于x的線性回歸方程為.（2）（i）將代入，得，故估計(jì)該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額為（萬元）.（ii）設(shè)甲?乙兩人中選擇就地過年的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2，，，.所以，所以，由，得，又，所以，故的取值范圍為.專題13一元線性回歸模型及其應(yīng)用A組基礎(chǔ)鞏固1．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y（單位：萬元）之間有下表關(guān)系134573040605070y與x的線性回歸方程為，當(dāng)廣告支出5萬元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為（

）A．20 B．-10 C．10 D．-6.5【答案】D【分析】利用線性回歸方程，令，求得，再求殘差即可.【詳解】解：因?yàn)閥與x的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)廣告支出5萬元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為-6.5，故選：D2．2021年初以來，5G技術(shù)在我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G手機(jī)的銷量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了1月-5月以來5G手機(jī)的實(shí)際銷量，如下表所示：月份x1月2月3月4月5月銷售量y（千只）0.50.61.01.41.7若y與x線性相關(guān)，且求得線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（

）A．由題中數(shù)據(jù)可知，變量x和y正相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)一定小于1B．由題中數(shù)據(jù)可知，6月份該商場(chǎng)5G手機(jī)的實(shí)際銷量為2（千只）C．若不考慮本題中的數(shù)據(jù)，回歸直線可能不過中的任一個(gè)點(diǎn)D．若不考慮本題中的數(shù)據(jù)，，則回歸直線過點(diǎn)【答案】B【分析】對(duì)于A，樣本點(diǎn)不全在上，所以相關(guān)系數(shù)一定小于1；對(duì)于B，將代入得到的是6月份該商場(chǎng)5G手機(jī)的銷量預(yù)測(cè)值；對(duì)于CD，回歸直線可能不過樣本點(diǎn)中的任何一個(gè)點(diǎn)，且回歸直線一定過樣本中心，據(jù)此判斷CD.【詳解】對(duì)于A，樣本點(diǎn)不全在上，所以相關(guān)系數(shù)一定小于1，所以A正確；對(duì)于B，將代入得，所以6月份該商場(chǎng)5G手機(jī)的銷量預(yù)測(cè)值為2（千只），所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，回歸直線可能不過樣本點(diǎn)中的任何一個(gè)點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D，回歸直線一定過樣本中心，所以D正確；故選：B.3．為研究變量x，y的相關(guān)關(guān)系，收集得到下面五個(gè)樣本點(diǎn)：x56.5788.5y98643若由最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為，則據(jù)此計(jì)算殘差為0的樣本點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出回歸方程的樣本中心點(diǎn)，從而可求得，再根據(jù)殘差的定義可判斷.【詳解】解：由題意可知，，，所以回歸方程的樣本中心點(diǎn)為，因此有，所以，在收集的5個(gè)樣本點(diǎn)中，一點(diǎn)在上，故計(jì)算殘差為0的樣本點(diǎn)是.故選：C.4．從非洲蔓延到東南亞的蝗蟲災(zāi)害嚴(yán)重威脅了國(guó)際農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，影響了人民生活.世界性與區(qū)域性溫度的異常、旱澇頻繁發(fā)生給蝗災(zāi)發(fā)生創(chuàng)造了機(jī)會(huì).已知蝗蟲的產(chǎn)卵量y與溫度x的關(guān)系可以用模型（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）擬合，設(shè)，其變換后得到一組數(shù)據(jù)：x2023252730z22.4334.6由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則當(dāng)x＝60時(shí)，蝗蟲的產(chǎn)卵量y的估計(jì)值為（

）A． B．10 C．6 D．【答案】D【分析】根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)求出，由此可求，【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：，，因?yàn)閿?shù)對(duì)滿足，得，∴，即，∴，∴x＝60時(shí)，，故當(dāng)x＝60時(shí)，蝗蟲的產(chǎn)卵量y的估計(jì)值為，故選：D.5．（2022·河南洛陽·高二期中（文））某種產(chǎn)品的廣告支出費(fèi)用x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）之間有如下關(guān)系：x24568y3040705060已知y與x的線性回歸方程為，則當(dāng)廣告支出費(fèi)用為5萬元時(shí)，殘差為（

）A．40 B．30 C．20 D．10【答案】C【分析】根據(jù)回歸方程求出時(shí)的值，即可求出殘差.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以殘差為.故選：C.6．下圖是某地區(qū)2001年至2021年環(huán)境保護(hù)建設(shè)投資額（單位：萬元）的折線圖．根據(jù)該折線圖判斷，下列結(jié)論正確的是（

）A．為預(yù)測(cè)該地2022年的環(huán)境保護(hù)建設(shè)投資額，應(yīng)用2001年至2021年的數(shù)據(jù)建立回歸模型更可靠B．為預(yù)測(cè)該地2022年的環(huán)境保護(hù)建設(shè)投資額，應(yīng)用2010年至2021年的數(shù)據(jù)建立回歸模型更可靠C．投資額與年份負(fù)相關(guān)D．投資額與年份的相關(guān)系數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)折線圖數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)，結(jié)合回歸分析思想即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】因2009年之前與2010年之后投資額變化較大，故為預(yù)測(cè)該地2022年的環(huán)境保護(hù)建設(shè)投資額，應(yīng)用2010年至2021年的數(shù)據(jù)建立回歸模型更可靠，所以A錯(cuò)誤，B正確；隨年份的增長(zhǎng)，投資額總體上在增長(zhǎng)，所以投資額與年份正相關(guān)，，故CD錯(cuò)誤．故選：B．7．以下說法錯(cuò)誤的是（

）A．用樣本相關(guān)系數(shù)r來刻畫成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度時(shí)，若越大，則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)B．經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定經(jīng)過點(diǎn)C．用殘差平方和來刻畫模型的擬合效果時(shí)，若殘差平方和越小，則相應(yīng)模型的擬合效果越好D．用相關(guān)指數(shù)來刻畫模型的擬合效果時(shí)，若越小，則相應(yīng)模型的擬合效果越好【答案】D【分析】根據(jù)回歸分析的相關(guān)依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，樣本相關(guān)系數(shù)r來刻畫成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度，當(dāng)越大，則成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，殘差平方和越小，則相應(yīng)模型的擬合效果越好，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，相關(guān)指數(shù)來刻畫模型的擬合效果時(shí)，若越大，則相應(yīng)模型的擬合效果越好，故錯(cuò)誤.故選：D8．（多選題）下列命題正確的是（

）A．若且，則B．對(duì)于隨機(jī)事件A和B，若，則事件A與事件B獨(dú)立C．回歸分析中，若相關(guān)指數(shù)越接近于1，說明模型的擬合效果越好；反之，則模型的擬合效果越差D．用等高條形圖粗略估計(jì)兩類變量X和Y的相關(guān)關(guān)系時(shí)，等高條形圖差異明顯，說明X與Y無關(guān)【答案】BC【分析】A由正態(tài)分布的對(duì)稱性求概率；B利用條件概率公式轉(zhuǎn)化判斷；C、D根據(jù)相關(guān)指數(shù)的實(shí)際意義、等高條形圖的性質(zhì)判斷【詳解】A：由，根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性，錯(cuò)誤；B：由題意，即，故事件A與事件B獨(dú)立，正確；C：相關(guān)指數(shù)的實(shí)際意義知：相關(guān)指數(shù)越接近于1，說明模型的擬合效果越好；反之，則模型的擬合效果越差，正確；D：由等高條形圖與列聯(lián)表關(guān)系，差異明顯表明X與Y相關(guān)可能很大，錯(cuò)誤.故選：BC9．年初以來，技術(shù)在我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，手機(jī)的銷量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了近個(gè)月來手機(jī)的實(shí)際銷量，如下表所示：月份年月年月年月年月年月月份編號(hào)銷量/千部若與線性相關(guān)，且求得線性回歸方程為，則下列說法：①；②與正相關(guān)；③與的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)；④月份該手機(jī)商城的手機(jī)銷量約為萬部．其中正確的是________．（把正確的序號(hào)填在橫線上）【答案】①②【分析】將月份編號(hào)的平均數(shù)代入線性回歸方程，則可計(jì)算出銷量的平均數(shù)，利用總銷量可得值；由回歸方程中的的系數(shù)為正可知，與正相關(guān)；將代入，可得7月份該手機(jī)商城的手機(jī)銷量．【詳解】由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得，∴，于是得，解得，則①正確，由回歸方程中的的系數(shù)為正可知，與正相關(guān)，且其相關(guān)系數(shù)，則②正確，③錯(cuò)誤，月份時(shí)，，（萬部），則④錯(cuò)誤，故答案為：①②10．有如下四個(gè)命題：①甲乙兩組數(shù)據(jù)分別為甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；乙：29，34，35，48，42，46，55，53，55，67.則甲乙的中位數(shù)分別為45和44.②相關(guān)系數(shù)，表明兩個(gè)變量的相關(guān)性較弱.③若由一個(gè)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得的觀測(cè)值，那么有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān).④用最小二乘法求出一組數(shù)據(jù)的回歸直線方程后要進(jìn)行殘差分析，相應(yīng)于數(shù)據(jù)的殘差是指.以上命題“錯(cuò)誤”的序號(hào)是___________（）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】①②【分析】依次判斷各項(xiàng)正誤，進(jìn)行求解.【詳解】①由甲的數(shù)據(jù)可知它的中位數(shù)為45，乙的中位數(shù)為，故①錯(cuò)誤；②相關(guān)系數(shù)時(shí)，兩個(gè)變量有較強(qiáng)的相關(guān)性，故②錯(cuò)誤；③由于的觀測(cè)值，滿足，故有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)，故③正確；④用最小二乘法求出一組數(shù)據(jù)的回歸直線方程后要進(jìn)行殘差分析，相應(yīng)于數(shù)據(jù)的殘差是指，故④正確.故答案為：①②.11．某設(shè)備的使用年數(shù)x與所支出的維修總費(fèi)用y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：使用年數(shù)x（單位：年）23456維修總費(fèi)用y（單位：萬元）1.54.55.56.57.5根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.現(xiàn)有一對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)，則該數(shù)據(jù)的殘差為______萬元.【答案】【分析】根據(jù)回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，先求出，在根據(jù)殘差的定義求解.【詳解】由表格，得，，因?yàn)榛貧w直線方程為，所以，則，即，時(shí)，，∴殘差為.故答案為：.B組能力提升12．近期新冠病毒奧密克戎毒株全球蔓延，傳染性更強(qiáng)、潛伏期更短、防控難度更大．為落實(shí)動(dòng)態(tài)清零政策下的常態(tài)化防疫，某高中學(xué)校開展了每周的核酸抽檢工作：周一至周五，每天中午13：00開始，當(dāng)天安排450位師生核酸檢測(cè)，五天時(shí)間全員覆蓋．(1)該校教職工有410人，高二學(xué)生有620人，高三學(xué)生有610人，①用分層抽樣的方法，求高一學(xué)生每天抽檢人數(shù)；②高一年級(jí)共15個(gè)班，該年級(jí)每天抽檢的學(xué)生有兩種安排方案，方案一：集中來自部分班級(jí)；方案二：分散來自所有班級(jí)．你認(rèn)為哪種方案更合理，并給出理由．(2)學(xué)校開展核酸抽檢的第一周，周一至周五核酸抽檢用時(shí)記錄如下：第天12345用時(shí)（小時(shí)）1.21.21.11.01.0①計(jì)算變量和的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并說明兩變量線性相關(guān)的強(qiáng)弱；②根據(jù)①中的計(jì)算結(jié)果，判定變量和是正相關(guān)，還是負(fù)相關(guān)，并給出可能的原因．參考數(shù)據(jù)和公式：，相關(guān)系數(shù)．【答案】(1)①人，②方案二，理由見解析(2)①，線性相關(guān)性很強(qiáng)；②負(fù)相關(guān)，理由見解析；【分析】（1）①首先求出高一年級(jí)的總?cè)藬?shù)，即可求出高一學(xué)生每天抽檢人數(shù)；②顯然分散抽檢更合理；（2）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出，即可判斷線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的正負(fù)判斷即可，再給出合理解析即可；(1)解：①高一學(xué)生每天抽檢人數(shù)為（人）；②方案二更合理，因?yàn)樾鹿诓《緤W密克戎毒株傳染性更強(qiáng)、潛伏期更短，分散抽檢可以全面檢測(cè)年級(jí)中每班學(xué)生的狀況，更有利于防控篩查工作；(2)解：①，，所以，，變量和的相關(guān)系數(shù)為，因?yàn)?，可知兩變量線性相關(guān)性很強(qiáng)；②由可知變量和是負(fù)相關(guān)，可能的原因：隨著抽檢工作的開展，學(xué)校相關(guān)管理協(xié)調(diào)工作效率提高，因此用時(shí)縮短；13．“不關(guān)注分?jǐn)?shù)，就是對(duì)學(xué)生的今天不負(fù)責(zé)：只關(guān)注分?jǐn)?shù)，就是對(duì)學(xué)生的未來不負(fù)責(zé).”為鍛煉學(xué)生的綜合實(shí)踐能力，長(zhǎng)沙市某中學(xué)組織學(xué)生對(duì)雨花區(qū)一家奶茶店的營(yíng)業(yè)情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到的數(shù)據(jù)如下：月份x24681012凈利潤(rùn)（萬元〕y0.92.04.23.95.25.1(1)設(shè).試建立y關(guān)于x的非線性回歸方程和（保留2位有效數(shù)字）；(2)從相關(guān)系數(shù)的角度確定哪一個(gè)模型的擬合效果更好，并據(jù)此預(yù)測(cè)次年2月（）的凈利潤(rùn)（保留1位小數(shù)）.附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為；②參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)和；(2)模型的擬合效果更好，次年2月凈利潤(rùn)為萬元【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)和公式直接計(jì)算可得；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)和公式計(jì)算出相關(guān)系數(shù)即可求出.(1)，，，，所以，，所以模型的方程為，，，，所以，，所以模型的方程為；(2)，所以，，因?yàn)楦咏?，所以模型的擬合效果更好，則次年2月凈利潤(rùn)為萬元.14．年月日，第四屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海開幕，共計(jì)多家參展商參展，多項(xiàng)新產(chǎn)品，新技術(shù)，新服務(wù)在本屆進(jìn)博會(huì)上亮相．某投資公司現(xiàn)從中選出種新產(chǎn)品進(jìn)行投資．為給下一年度投資提供決策依據(jù)，需了解年研發(fā)經(jīng)費(fèi)對(duì)年銷售額的影響，該公司甲、乙兩部門分別從這種新產(chǎn)品中隨機(jī)地選取種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品被甲、乙兩部門是否選中相互獨(dú)立．(1)求種新產(chǎn)品中產(chǎn)品被甲部門或乙部門選中的概率；(2)甲部門對(duì)選取的種產(chǎn)品的年研發(fā)經(jīng)費(fèi)（單位：萬元）和年銷售額（單位：十萬元）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．根據(jù)散點(diǎn)圖現(xiàn)擬定關(guān)于的回歸方程為.求、的值（結(jié)果精確到）；(3)甲、乙兩部門同時(shí)選中了新產(chǎn)品，現(xiàn)用擲骰子的方式確定投資金額．若每次擲骰子點(diǎn)數(shù)大于，則甲部門增加投資萬元，乙部門不增加投資；若點(diǎn)數(shù)小于，則乙部門增加投資萬元，甲部門不增加投資，求兩部門投資資金總和恰好為萬元的概率．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，，.【答案】(1)；(2)，；(3).【分析】（1）利用組合計(jì)數(shù)原理、古典概型的概率公式以及對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）令，計(jì)算出、的值，利用最小二乘法公式結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)可求得、的值；（3）設(shè)投資資金總和恰好為萬元的概率為，則投資資金總和恰好為萬元的概率為，推導(dǎo)出數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，利用累加法可求得的值.,(1)解：種新產(chǎn)品中產(chǎn)品沒有被甲部門和乙部門同時(shí)選中的概率，所以產(chǎn)品被甲部門或乙部門選中的概率為．(2)解：令，由題中數(shù)據(jù)得，，，，，．(3)解：由題意知，擲骰子時(shí)甲部門增加投資萬元發(fā)生的概率為，乙部門增加投資萬元發(fā)生的概率為．設(shè)投資資金總和恰好為萬元的概率為，則投資資金總和恰好為萬元的概率為．所以，因?yàn)椋?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以投資資金總和恰好為萬元的概率是．15．發(fā)展清潔能源，是改善能源結(jié)構(gòu)、保障能源安全、推進(jìn)生態(tài)文明建設(shè)的重要任務(wù).十三五以來，我國(guó)加快調(diào)整能源結(jié)構(gòu)，減少煤炭消費(fèi)、穩(wěn)定油氣供應(yīng)、大幅增加清潔能源比重，風(fēng)電、光伏等可再生能源發(fā)電效率不斷提高.據(jù)資料整理統(tǒng)計(jì)我國(guó)從2015年到2019年的年光伏發(fā)電量如表：年份20152016201720182019編號(hào)x12345年光伏發(fā)電量（億千瓦時(shí)）395665117817752243其中.（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)r說明是否可用線性回歸模型擬合年光伏發(fā)電量y與x的關(guān)系；（2）建立年光伏發(fā)電量y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2021年年光伏發(fā)電量（結(jié)果保留整數(shù)）.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為,

,【答案】（1）可用線性回歸模型進(jìn)行擬合；（2）回歸方程為，億千瓦時(shí)【分析】（1）首先求出，再根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出相關(guān)系數(shù)，即可判斷；（2