2/37專題01平面及其基本性質(zhì)題型一：平面分空間題型二：平面基本性質(zhì)及其辨析題型三：點（線）確定平面?zhèn)€數(shù)題型四：空間中點（線）共面題型五：空間中點共線問題題型六：空間中線共點問題題型七：由平面基本性質(zhì)做截面圖題型八：斜二測畫法下相關(guān)的計算問題題型一：平面分空間1．三個不互相重合的平面將空間分成個部分，則不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，可得出三個不互相重合的平面將空間所分成的部分數(shù)，即可得出的值.【詳解】按照三個平面中平行的個數(shù)來分類：（1）三個平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成部分；（2）兩個平面平行，第三個平面與這兩個平行平面相交，如圖2，可將空間分成部分；

（3）三個平面中沒有平行的平面：（i）三個平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成部分；（ii）三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，如圖4，可將空間分成部分.

（iii）三個平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成部分；

綜上，可以為、、、部分，不能為部分，故選：B.2．空間三個平面最多將空間分成個部分（填數(shù)字）.【答案】【分析】對三個平面的位置進行分類討論，作出相應的圖形，即可得出結(jié)論.【詳解】三個平面兩兩平行時，這三個平面將空間分為部分；兩平面平行，第三個平面與這兩個平面都相交，則這三個平面將空間分為部分；三個平面兩兩相交，且交于同一條直線，則這三個平面將空間分為部分；三個平面兩兩相交，且交線兩兩平行時，如三棱柱的三個側(cè)面所在的平面，這三個平面將空間分為部分；三個平面兩兩相交，且交線交于一點，則這三個平面將空間分為部分.因此，空間三個平面最多將空間分成個部分.故答案為：.3．一個平面把空間分為部分；兩個平面把空間分為部分；三個平面把空間分為部分．【答案】或或或或【分析】根據(jù)空間中平面與平面的位置關(guān)系判斷即可；【詳解】一個平面把空間分為部分；兩個平行平面將空間分成部分，兩個相交平面可以將空間分成部分，故兩個平面將空間分成或部分；當三個平面互相平行時，將空間分成部分，如圖1所示；當有兩個平面平行，第三個平面與這兩個面都相交，此時將空間分成部分，如圖2所示；當三個平面兩兩相交于一條直線時，可以把空間分成部分，如圖3所示；當三個平面兩兩相交，且三條直線互相平行時，將空間分成部分，如圖4所示；當兩個平面豎著相交，第三個平面與這兩個平面相交，即三個平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點時，此時可將空間分成部分，如圖5所示；綜上可得三個平面把空間分為或或或部分.

故答案為：；或；或或或4．在平面上畫條直線，假設其中任意2條直線都相交，且任意3條直線都不共點，設條直線將平面分成了個區(qū)域，那么條直線可把平面分成個區(qū)域．【答案】/【分析】根據(jù)題意，依次分析的值，由此類推，歸納可得答案.【詳解】條直線把平面分成個區(qū)域，條直線把平面分成個區(qū)域，則有，同理，條直線把平面分成個區(qū)域，則有，條直線把平面分成個區(qū)域，則有，條直線把平面分成個區(qū)域，則有，依次類推，第條直線與前條直線都相交，則第條直線有個交點，被分為段，每段都會把對應的平面分為兩部分，則增加了個平面，即．故答案為：.題型二：平面基本性質(zhì)及其辨析5．下列命題中：①空間中三個點可以確定一個平面；②直線和直線外的一點，可以確定一個平面；③如果三條直線兩兩相交，那么這三條直線可以確定一個平面；④如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線可以確定一個平面；⑤如果兩個平面有無數(shù)個公點，那么這兩個平面重合．真命題的個數(shù)為個．【答案】1【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系可直接判斷各命題.【詳解】命題①：空間中不共線三個點可以確定一個平面，錯誤；命題②：直線和直線外的一點，可以確定一個平面，正確；命題③：三條直線兩兩相交，若三條直線相交于一點，則無法確定一個平面，所以命題③錯誤；命題④：如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線不能確定一個平面，所以命題④錯誤；命題⑤：兩個平面有無數(shù)個公共點，則兩平面可能相交，所以命題⑤錯誤；故答案為：16．有下列四個說法：①過三點確定一個平面；②有三個角為直角的四邊形是矩形；③三條直線兩兩相交則確定一個平面；④兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域.其中錯誤說法的序號是.【答案】①②③【分析】根據(jù)空間中平面的性質(zhì)，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于①，過不共線的三點確定一個平面；故①錯誤，對于②,有三個角為直角的四邊形可能是空間四邊形，故②錯誤，對于③，若三條直線相交于一點，則可以確定3個平面；故③錯誤，對于④,兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域,④正確，故答案為：①②③7．正方體中，平面與平面的交線是．【答案】【分析】利用平面基本事實推理即得.【詳解】在正方體中，平面，平面，且直線，直線，因此直線平面，同理直線平面，所以平面與平面.故答案為：8．對于空間三條直線，有下列四個條件：①三條直線兩兩相交且不共點②三條直線兩兩平行③三條直線共點④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交．其中，哪些是使三條直線確定一個平面的充分條件（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【分析】根據(jù)確定平面的依據(jù)，即可判斷選項.【詳解】①三條直線兩兩相交且不共點，則三條直線可以確定一個平面，故①正確；②三條直線兩兩平行，有可能確定三個平面，故②錯誤；③三條直線共點，有可能確定三個平面，故③錯誤；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交，則三條直線確定一個平面，故④正確.故選：D9．如圖，若，A，，，且AB與l不平行，試畫出平面ABC與平面，的交線.【答案】作圖見解析【分析】利用平面的性質(zhì)即可得解.【詳解】A，，是平面ABC與的交線，延長BA交l于D，則平面ABC，因為，所以，又，是平面ABC與的交線，則對應的圖示如圖，.題型三：點（線）確定平面?zhèn)€數(shù)10．空間5點，其中有4點共面，這5個點最多可以確定個平面．【答案】7【分析】同一平面的四個點一定能兩兩連線，最多可連6條線，由三點確定一平面知任意一條線加上第五個點都會形成一個面，因此有6個面，再加上4點確定的面總共是7個面．【詳解】由題意空間中有五個點，其中有四個點在同一平面內(nèi)，要使確定的平面最多,則沒有任何三點共線，同一平面的四個點一定能兩兩連線，最多可連6條線，由三點確定一平面知任意一條線加上第五個點都會形成一個面，因此有6個面，再加上4點確定的面總共是7個面．故答案為：7.11．空間任意五點最多可確定個平面．【答案】【分析】要使平面最多，則任意三點不能共線，再根據(jù)任意三個不共線的點確定一個平面即可得解.【詳解】要使平面最多，則任意三點不能共線，設這五個點分別為，任取三個點有共種，又任意三個不共線的點確定一個平面，所以空間任意五點最多可確定個平面.故答案為：.12．一條直線和直線外的三點所確定的平面?zhèn)€數(shù)是．【答案】或或【分析】對直線外三點與直線的位置關(guān)系進行分類討論，結(jié)合基本事實1及其推論可得出結(jié)果.【詳解】分以下三種情況討論：（1）直線外三點與直線共面，此時可確定個平面；（2）直線外三點只有兩點與直線共面，此時可確定個平面；（3）直線外三點任意兩點都不與直線共面，此時可確定個平面.綜上所述，一條直線和直線外的三點所確定的平面?zhèn)€數(shù)是或或.故答案為：或或.13．空間中過直線外一點與該直線平行的平面有（

）個A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)過直線外一點可作一條直線與已知直線平行，而過這條直線的平面有無數(shù)個，即可得出答案.【詳解】因為過直線外一點可作一條直線與已知直線平行，而過所作直線的平面與已知直線平行，則有無數(shù)個平面，所以過直線外一點和這條直線平行的平面有無數(shù)個，故選：D.14．不共面的四點最多可確定（

）個平面A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)平面的基本定理求解．【詳解】四點中任意三個點都不共線時，確定的平面的個數(shù)最多，結(jié)合三棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知，確定個平面.故選：B．題型四：空間中點（線）共面15．如圖，在空間四邊形ABCD中，點E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點，且，則（）A．EF與GH互相平行B．EF與GH異面C．EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點M一定在直線AC上【答案】D【分析】根據(jù)題意，由線面的平行關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】因為F，G分別是邊BC，CD上的點，且＝＝，所以，且.因為點E，H分別是邊AB，AD的中點，所以，且，所以，且，所以EF與GH相交，設其交點為M，則平面ABC，同理平面ACD.又平面平面，所以M在直線AC上．故選:D.16．下列選項中，，，，分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空間中平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷ABC正確，根據(jù)異面直線的定義可判斷D錯誤.【詳解】在A圖中，分別連接，由正方體可得四邊形為矩形，則，因為為中點，故，則，所以四點共面.在B圖中，設為所在棱的中點，分別連接，由A的討論可得，故四點共面，同理可得，故，同理可得，故平面，平面，所以六點共面.在C圖中，由為中點可得，同理，故，所以四點共面.在D圖中，為異面直線，四點不共面.故選：D.17．如圖，在正方體中，分別是棱的中點.求證：四點共面.【答案】證明見解析【分析】取的中點，連接，利用平行關(guān)系可得四點共面，四點共面，再根據(jù)過不共線的三點的平面具有唯一性，即可證明.【詳解】如圖，取的中點，連接，因為分別是棱的中點，所以，，所以，四點共面，又，，所以，四點共面，又因為過不共線的三點的平面具有唯一性，則平面與平面重合，故四點共面.18．如圖所示，在空間四面體中，、分別是、的中點，、分別是、上的點，且，.求證：、、、四點共面；【答案】證明見解析【分析】連接，，利用條件證明即可.【詳解】連接，，因為、分別是、的中點，所以，又、分別是、上的點，且，，，，、、、四點共面.19．如圖，在長方體中，，，，分別是，的中點，證明：四點共面．【答案】證明見解析【分析】符合同一原理，可以用同一法證明三點構(gòu)成一個平面．【詳解】假設面與棱交于．平面，平面與其相交，，為中點，為中點，與重合，即四點共面．題型五：空間中點共線問題20．如圖所示，，，，與，分別在平面的兩側(cè)，，．求證：，，三點共線.【答案】證明見解析【分析】推導出、、是平面與平面的公共點，由此能證明，，三點共線．【詳解】證明：，，，與，分別在平面的兩側(cè)，，、、、構(gòu)成一個平面，，．，，、、是平面與平面的公共點，、、都在平面與平面的交線上，，，三點共線．21．如圖，在空間四邊形中，分別在上，與交于點，求證：三點共線.

【答案】證明見解析【分析】由基本事實3，證明點在兩平面的交線上即可.【詳解】平面，平面，同理，平面.是平面與平面的公共點.又平面平面，,三點共線.

22．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，可得以及，所以，進而得出四點共面；（2）因為是平面和平面的交線，只需證明點是平面和平面的交點，即可證得，進而得到三點共線.【詳解】（1）因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以.在中，因為，所以，所以，所以.所以E，F(xiàn)，G，H四點共面.（2）因為，所以.由已知可得，，，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以平面ABC.同理，平面ADC，平面ADC.所以為平面ABC與平面ADC的一個公共點.又平面平面，所以，所以P，A，C三點共線.23．如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點．(1)求證：三線交于點P；(2)在（1）的結(jié)論中，G是上一點，若FG交平面ABCD于點H，求證：P，E，H三點共線．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）連接，，可得到且，則EC與相交，設交點為P，則能得到P平面ABCD，平面，結(jié)合平面平面，即可得證；（2）可證明P，E，H都在平面與平面ABCD的交線上，即可得證【詳解】（1）證明：連接，，正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點，∴且，∵且，∴且，∴EC與相交，設交點為P，∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；又∵，平面，∴平面，∴P為兩平面的公共點，∵平面平面，∴，∴三線交于點P；（2）在（1）的結(jié)論中，G是上一點，F(xiàn)G交平面ABCD于點H，則FH平面，∴平面，又平面ABCD，∴平面平面ABCD，同理，平面平面ABCD，平面平面ABCD，∴P，E，H都在平面與平面ABCD的交線上，∴P，E，H三點共線．24．如圖，在空間四邊形中，分別是的中點，分別在上，且(1)求證：四點共面；(2)設與交于點，求證：三點共線.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，利用中位線定理和線段成比例，先證明，進而證明問題；（2）先證明平面，平面，進而證明點P在兩個平面的交線上，然后證得結(jié)論.【詳解】（1）連接分別是的中點，.在中，.所以四點共面.（2），所以，又平面平面，同理：，平面平面，為平面與平面的一個公共點.又平面平面，即三點共線.題型六：空間中線共點問題25．如圖，在多面體中，四邊形和四邊形均為正方形，四邊形和四邊形均為梯形，其中，，且．

(1)證明：B，D，E，G四點共面.(2)證明：三條直線交于一點.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）作出輔助線，利用平行的傳遞性證明，進而可得四點共線；（2）延長，設它們交于一點，由已知可得，則，同理可得，則S和Q是同一個點，所以三條直線交于一點.【詳解】（1）如圖，取的中點分別為S,T，連接，則,因為四邊形和四邊形均為正方形，，且，，所以四邊形均為平行四邊形，即，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以B，D，E，G四點共面.（2）

延長，設它們交于一點S，因為，且，所以，則，同理，延長，設它們交于一點Q，因為四邊形和四邊形均為正方形，，則，又，所以，則，因此S和Q是同一個點，所以三條直線交于一點.26．如圖所示，已知四面體中，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的點，G，H分別是BC，CD上的點，且四邊形是以EF，GH為底的梯形．求證：直線EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點．【答案】證明見解析【分析】先設兩腰EG，F(xiàn)H的延長線相交于一點，再應用平面的基本性質(zhì)證明三條線交于一點.【詳解】四邊形是梯形，其兩腰所在直線必相交．設兩腰EG，F(xiàn)H的延長線相交于一點，平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD．又平面平面，，故直線EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點．27．如圖，在正四棱柱中，，，E為的中點，經(jīng)過BE的截面與棱，分別交于點F，G，直線BG與EF不平行．證明：直線BG，EF，共點.【答案】證明見解析【分析】先設與有一公共點，再根據(jù)基本事實3證明該公共點在直線上即可【詳解】四點共面，不平行于，設，又平面，平面，均不平行于，P為平面與的公共點，∵平面平面，∴根據(jù)基本事實3可得，∴直線BG，EF，共點.28．如圖，已知空間四邊形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，G，H分別在CD和AD上，且滿足.求證：(1)，，，四點共面；(2)，，三線共點．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)利用三角形的中位線平行于第三邊，平行線分線段成比例，得到分別平行于和，利用平行線的傳遞性，即可得到，即可證明四點共面；（2）利用分別在兩個平面內(nèi)的點在兩個平面的交線上，即可證得三線共點.【詳解】（1）因為，分別為，的中點，所以.又因為，所以.所以，所以E，F(xiàn)，G，H四點在同一平面內(nèi)，即E，F(xiàn)，G，H四點共面．（2）因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以，.由題意知＝，，，所以四邊形為梯形，直線和必相交，設交點為M，即，因為平面，所以點平面，同理可得點平面.又因為平面平面，所以點直線，所以直線，，三線共點．29．如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點，，分別在，上，且，求證：

(1)，，，四點共面；(2)與的交點在直線上．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）推導出，，從而，由此能證明，，，四點共面．（2）推導出，且，從而與必相交，設交點為，由此能證明與的交點在直線上．【詳解】（1）：：：，，，分別為，的中點，，，，，，四點共面．（2）、不是、的中點，，且，與必相交，設交點為，平面，平面，平面，且平面，平面平面，，與的交點在直線上．題型七：由平面基本性質(zhì)做截面圖30．如圖，正方體的棱長為1，P為的中點，Q為線段上的動點，過點A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S，給出下列四個結(jié)論：①當時，S為四邊形；②當時，S為等腰梯形；③當時，S的面積為；④當時，S與的交點R滿足.以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】做截面的常用兩種方法：作平行線和作延長線.對于本題，過點A作PQ的平行線即可得到截面.【詳解】①當時，如圖（1），是四邊形，故①正確；②當時，如圖（2），是等腰梯形，故②正確；③當時，如圖（3），此時截面為菱形，兩條對角線的長分別為所以，③正確.④當時，如下圖，延長至，使，連接交于，連接交于，連接，則，由，可得，所以，故④正確；故選：D31．如圖，在棱長為6的正方體中，分別是棱的中點，過三點的平面與正方體各個面所得交線圍成的平面圖形的周長為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面的基本事實作出截面，再求出截面多邊形周長.【詳解】直線與直線分別交于點，連接分別交于是，連接，則五邊形是過三點的平面截正方體所得截面，如圖，顯然，，則，，，而，所以五邊形的周長為.故答案為：【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.32．如圖，在長方體，P為棱的中點，畫出由，，P三點所確定的平面與長方體表面的交線．

【答案】畫圖見解析【分析】畫平面與長方體不同的表面的交線，只需找到兩平面的兩個公共點，兩點確定交線即可.【詳解】如圖，由于P是上的點，所以平面，且平面，所以平面平面=，同理，平面平面=，平面平面=，所以平面與長方體表面的交線是，，.作法：連接，，，它們就是平面與長方體表面的交線（如圖）．

33．如圖，正方體的棱長為6，是的中點，點在棱上，且.作出過點，，的平面截正方體所得的截面，寫出作法；【答案】答案見解析【分析】由平面的基本性質(zhì)作圖.【詳解】如圖所示，五邊形即為所求截面.作法如下：連接并延長交的延長線于點，連接交于點，交的延長線于點，連接交于點，連接，，所以五邊形即為所求截面.題型八：斜二測畫法下相關(guān)的計算問題34．用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示，軸，軸，，則的原圖形的面積為（

）

A．5 B．10 C． D．【答案】B【分析】法一：先將直觀圖還原為原圖，再求面積；法二：根據(jù)原圖的面積等于直觀圖面積的倍直接求解.【詳解】法一：如圖所示，根據(jù)斜二測畫法可知，軸，且，

原圖形為，其中，且，則的面積為．法二：直觀圖面積為，原圖形的面積等于直觀圖面積的倍，所以原圖形的面積為．故選：B35．如圖一個水平放置的圖形的斜二測直