第1章三角形第3課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)與判定1.5等腰三角形

等邊三角形的概念1.(2025江蘇宿遷泗陽(yáng)期中)如圖,等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)

為2cm,點(diǎn)D,E分別在BC,AC上,將△CDE沿直線DE折疊,點(diǎn)C

落在點(diǎn)C'處,且點(diǎn)C'在△ABC的外部,則圖中三個(gè)陰影部分的

周長(zhǎng)之和為

cm.6解析設(shè)C'E與AB交于點(diǎn)F,C'D與AB交于點(diǎn)H,如圖,由題意得AB=BC=AC=2cm,由折疊的性質(zhì)得C'E=CE,C'D=CD,進(jìn)而得AE+EF+C'F=AC=2cm,BD+DH+C'H=BC=2cm,AF+FH+BH=AB=2cm,由此可得出圖

中三個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)之和為AF+FH+BH+AE+EF+C'F+BD

+DH+C'H=AB+AC+BC=6cm.故答案為6.

等邊三角形的性質(zhì)和判定2.(2023甘肅金昌中考)如圖,BD是等邊△ABC的邊AC上的高,

以點(diǎn)D為圓心,DB的長(zhǎng)為半徑作弧交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則∠DEC=

()A.20°

B.25°

C.30°

D.35°

C

解析在等邊△ABC中,∠ABC=60°,∵BD是AC邊上的高,

∴BD平分∠ABC,∴∠CBD=

∠ABC=30°.∵BD=ED,∴∠DEC=∠CBD=30°.故選C.3.(2024山東泰安中考)如圖,直線l∥m,等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B,C分別落在直線l,m上,若∠ABE=21°,則∠ACD的度數(shù)是()

A.45°B.39°

C.29°D.21°B解析如圖,過點(diǎn)A作AF∥l,∵直線l∥m,∴AF∥m,∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=60°,∵AF∥l,∴∠BAF=∠ABE,∵∠ABE=21°,∴∠BAF=21°,∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=60°-21°=39°,∵AF∥m,∴∠ACD=∠CAF=39°,故選B.4.(2025江蘇常州期中)如圖,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D在△ABC外部,且DA=DC,連接BD,交AC于點(diǎn)G.(1)求證:BD垂直平分AC.(2)在BC上取點(diǎn)E,連接DE,交AC于點(diǎn)F,若EB=ED,試判斷△CEF的形狀,并說明理由.解析

(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴BA=BC,∴點(diǎn)B在線段AC的垂直平分線上,∵DA=DC,∴點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上,∴BD垂直平分AC.(2)△CEF是等邊三角形.理由如下:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵BD⊥AC,∴∠DBC=

∠ABC=30°,∵EB=ED,∴∠EDB=∠DBC=30°,∴∠FEC=∠EDB+∠DBC=60°,又∵∠ACB=60°,∴△CEF是等邊三角形.

5.(2025廣東汕尾陸河期中聯(lián)考,★★☆)如圖,在直線AB的同一側(cè)分別作兩個(gè)等邊△ABD和△BCE,連接AE,CD,交于點(diǎn)H,連接BH,GF,有以下結(jié)論:①△ABE≌△DBC;②AG=DH;③HB平分∠AHC;④△GBF是等邊三角形.其中正確的有

()A.①③④B.①②③

C.②③④D.①②④A解析利用等邊三角形的性質(zhì)得到BA=BD,BE=BC,∠ABD=

∠EBC,進(jìn)而得到∠ABE=∠DBC,即可證明△ABE≌△DBC,所以結(jié)論①正確;根據(jù)△ABE≌△DBC得∠EAB=∠CDB,由△ABD和△BCE均為等邊三角形,可知∠ABD=∠CBE=60°,所以∠DBE=60°=∠ABG,結(jié)合AB=BD可證明△AGB≌△DFB

(ASA),則AG=DF>DH,所以結(jié)論②錯(cuò)誤;過點(diǎn)B作BM⊥AE于M,

BN⊥CD于N,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形面積公式得到

AE·BM=

CD·BN,由△ABE≌△DBC得AE=CD,所以BM=BN,即可判斷③正確;由△AGB≌△DFB得GB=FB,又由∠DBF=60°,即可證明④正確.綜上可知,正確的結(jié)論是①③④.6.(2025江蘇南京玄武期中,★★☆)如圖,已知△ABC是等邊三

角形,BC=BD,∠CBD=80°,則∠1的度數(shù)是___.80°解析∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°,AB=BC,∵∠CBD=80°,∴∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°+80°=140°,∴∠BAD+∠ADB=180°-∠ABD=40°,∵BC=BD,∴AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=20°,∵∠1=∠BAD+∠ABC,∴∠1=20°+60°=80°.7.(2025江蘇南京玄武期中,★★☆)如圖,點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)

一點(diǎn),∠AOB=110°,∠BOC=α,△ADC≌△BOC,連接OD.(1)求證:△COD是等邊三角形.(2)當(dāng)AO=AD時(shí),α為多少度?解析

(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°,∵△ADC≌△BOC,∴CO=CD,∠DCA=∠OCB,∴∠DCO=∠ACB=60°,∴△COD是等邊三角形.(2)∵△ADC≌△BOC,∴∠ADC=∠BOC=α,∵△COD是等邊三角形,∴∠COD=∠CDO=60°,∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α,∠ADO=∠ADC-∠CDO=α-60°,∵AO=AD,∴∠ADO=∠AOD,∴α-60°=190°-α,解得α=125°.8.(2025江蘇南京秦淮期中,★★☆)閱讀材料:如圖1,△ABC中,

AB=AC,P為底邊BC上任意一點(diǎn),點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1,r2,

腰上的高為h,連接AP,則S△ABP+S△ACP=S△ABC,即

AB·r1+

AC·r2=

AB·h,∴r1+r2=h(定值),即PE+PF為定值.(1)深入探究如圖2,將“△ABC中,AB=AC,P為底邊BC上任意一點(diǎn)”改成

“P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)”,作PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥

BC,BG⊥AC,垂足分別為E,F,M,G,有類似結(jié)論嗎?請(qǐng)寫出結(jié)論

并證明.(2)理解與應(yīng)用如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時(shí),PE,PF,PM和BG之間又有怎樣的

關(guān)系?說明理由.解析

(1)PE+PF+PM=BG.證明:如圖,連接PA,PB,PC,則S△ABP+S△ACP+S△BCP=S△ABC,

∵三角形ABC是等邊三角形,∴AB=AC=BC,∵PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC,∴

AB·PE+

AB·PF-

AB·PM=

AB·BG,∴PE+PF+PM=BG.(2)PE+PF-PM=BG.理由:如圖,連接PA,PB,PC,則S△ABP+S△ACP-S△BCP=S△ABC,∴

AB·PE+

AC·PF+

BC·PM=

AC·BG,∵三角形ABC是等邊三角形,∴AB=AC=BC,∵PE⊥AB,PF⊥AC,PM⊥BC,BG⊥AC,∴

AB·PE+

AC·PF-

BC·PM=

AC·BG,∴

AB·PE+

AB·PF-

AB·PM=

AB·BG,∴PE+PF-PM=BG.

9.【新課標(biāo)·推理能力】(2025江蘇蘇州相城月考)如圖,△ABC

中,AB=BC=AC=12cm,現(xiàn)有兩點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出

發(fā),沿三角形的邊運(yùn)動(dòng),已知點(diǎn)M的速度為1cm/s,點(diǎn)N的速度為

2cm/s.當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí),M,N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).(1)點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí),M,N兩點(diǎn)重合?(2)點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí),可得到等邊三角形AMN?(3)當(dāng)點(diǎn)M,N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),能否得到以MN為底邊的等腰三

角形AMN?如存在,請(qǐng)求出此時(shí)M,N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.解析

(1)設(shè)點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)x秒時(shí),M,N兩點(diǎn)重合,x·1+12=2x,解得x=12.(2)設(shè)點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)t秒時(shí),可得到等邊三角形AMN,如圖1,AM=t×1=t,AN=AB-BN=12-2t,∵三角形AMN是等邊三角形,∴t=12-2t,解得t=4,∴點(diǎn)M,N運(yùn)動(dòng)4秒時(shí),可得到等邊三角形AMN.(3)當(dāng)點(diǎn)M,N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),可以得到以MN為底邊的等腰三

角形,由題意知12秒時(shí)M,N兩點(diǎn)重合,恰好在C處,如圖2,假設(shè)△AMN是等腰三角形,

∴AN=AM,∴∠AMN=∠ANM,∴∠AMC=∠ANB,∵AB=BC=AC,∴△ACB是等邊三角形,∴∠C=∠B,在△ACM和△ABN中,∵

∴△ACM≌△ABN(AAS),∴CM=BN,設(shè)當(dāng)點(diǎn)M,N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),M,N運(yùn)動(dòng)y秒(從出發(fā)開始計(jì)算),

△AMN是等腰三角形,∴CM=y-12,NB=36-2y,故y-12=36-2y,解得y=16.∴當(dāng)點(diǎn)M,N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN,此時(shí)M,N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒.微專題共頂點(diǎn)的等腰三角形如圖,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,BE,CF交于M,連

接AM.(1)求證:BE=CF.(2)若∠BAC=90°,求證:BE⊥CF.例題解析

(1)證明:∵∠BAC=∠EAF,∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,∴∠BAE=∠CAF.在△CAF和△BAE中,

,∴△CAF≌△BAE(SAS),∴BE=CF.(2)設(shè)AC與BE交于O.由(1)知△CAF≌△BAE,∴∠ABE=∠ACF.∵∠BAC=90°,∴∠ABO+∠BOA=90°.∵∠BOA=∠COM,∴∠COM+∠ACF=90°,∴∠CMO=180°-90°=90°,∴BE⊥CF.變式如圖,在△ABC中,分別以AC,BC為邊向外作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,連接AE,BD交于點(diǎn)O,則∠AOB的度

數(shù)為____________.

120°

解析設(shè)AC與BD交于點(diǎn)H.∵△A