2023-2025北京高一（上）期末數(shù)學匯編

函數(shù)的應(yīng)用（一）（人教B版）

一、單選題

1.（2024北京東城高一上期末）把長為8cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正方形，那么這兩個正方形

面積之和的最小值是（）

A.4cm2B.3cm2C.2V2cm2D.2cm2

2.（2024北京東城高一上期末）某品牌可降解塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量y與時間f（單位：年）之間的關(guān)

系為'=%?小.其中為為初始量，人為降解系數(shù).已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的75%.若該

品牌塑料袋需要經(jīng)過〃年，使其殘留量為初始量的10%,則"的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2。0.301,

lg3-0.477）

A.20B.16C.12D.7

二、填空題

3.（2024北京朝陽高一上期末）已知函數(shù)/1（x）=2x+b,g（尤）為偶函數(shù)，且當xNO時,g（x）=x2-4x,記

函數(shù)年）=陽f(x)Ng(x)

給出下列四個結(jié)論:

①當6=0時，7（無）在區(qū)間［-2,+o＞）上單調(diào)遞增;

②當，=_8時，T（x）是偶函數(shù)；

③當6＜0時，T（x）有3個零點;

④當628時，對任意xeR,都有T（x）＞0.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

4.（2024北京平谷高一上期末）在早高峰，某路口通過的車輛機與時間，的關(guān)系近似地符合

1

m(t)=+10/e|5,9]

,在早高峰這段時間內(nèi).給出下列四個結(jié)論:

—(?-6.5)2+—

2520

①通過該路口的車輛數(shù)機隨著時間t逐漸增多；

②早上6時和早上7時通過該路口的車輛數(shù)加相等；

③在任意時刻，通過路口的車輛機不會超過35輛；

④在任意時刻，通過路口的車輛機不會低于14輛.

依據(jù)上述關(guān)系式，其中所有正確結(jié)論的序號是.

5.（2023北京海淀高一上期末）請閱讀以下材料，并回答后面的問題:

材料1：人體成分主要由骨骼、肌肉、脂肪等組織及內(nèi)臟組成，肌肉是最大的組織，且肌肉的密度相比脂肪而

言要大很多.肌肉和脂肪在體重中占比個體差異較大，脂肪占體重的百分比（稱為體脂率，記為F%）經(jīng)常作

為反映肥胖程度的一個重要指標，但是不易于測量.

材料2：體重指數(shù)BMI（BodyMassIndex的縮寫）計算公式為：體重指數(shù)BMI=77（6為體重，單位：千克；

h

，為身高，單位：米），是衡量人體整體胖瘦程度的一個簡單易得的重要指標.1997年，世界衛(wèi)生組織經(jīng)過大

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范圍的調(diào)查研究后公布：BMI值在18.5~24.9為正常；BMIN25為超重；BMI230為肥胖.由于亞洲人與歐

美人的體質(zhì)有較大差異，國際肥胖特別工作組經(jīng)調(diào)查研究后，于2000年提出了亞洲成年人BMI值在

18.5~22.9為正常.中國肥胖問題工作組基于中國人體質(zhì)特征，于2003年提出中國成年人BMI值在

18.5~23.9為正常；BMI224為超重；BMI228為肥胖.30歲的小智在今年的體檢報告中，發(fā)現(xiàn)體質(zhì)指數(shù)

BMI值為24.8,依照標準屬于超重.因為小智平時還是很注意體育鍛煉的，正常作息，且每周去健身房有大

約2小時的健身運動，周末還經(jīng)常會和朋友去打籃球，所以小智對自己超重感覺很困惑.

請你結(jié)合上述材料，從數(shù)學模型的視角，幫小智做一下分析（包括：是否需要擔心？為什么？）：.

三、解答題

6.（2025北京西城高一上期末）45兩地相距520km,貨車從N地勻速行駛到3地，全程限速100km/h.已

知貨車每小時的運輸成本（單位：元）由固定成本和可變成本組成：固定成本為400元，可變成本與車速x

的平方成正比，比例系數(shù)為M后＞°）.

（1）把貨車的全程運輸成本了（單位：元）表示為車速尤（km/h）的函數(shù)；

（2）為使全程運輸成本最小，貨車應(yīng)以多大速度行駛？

7.（2025北京清華附中高一上期末）2024年1月11日，我國太原衛(wèi)星發(fā)射中心在山東海陽附近海域使用

引力一號遙一商業(yè)運載火箭，將搭載的云遙一號18-20星3顆衛(wèi)星順利送入預定軌道，飛行試驗任務(wù)獲得圓

滿成功，引力一號運載火箭首飛即采用難度較高的海上發(fā)射，刷新了全球運力最大固體運載火箭、我國運

力最大民營商業(yè)運載火箭紀錄，進一步豐富了我國運載火箭型譜.1903年前蘇聯(lián)（俄羅斯）航天之父齊奧爾

M

科夫斯基推導出火箭的理想速度公式為：v=%ln詞其中/°為火箭初始質(zhì)量，M上為火箭燃燒完畢熄火后

剩余質(zhì)量，票稱為火箭質(zhì)量比，%為火箭發(fā)動機噴氣速度.至今多年來所有大小火箭都遵循齊奧爾科夫斯

基公式基本規(guī)律.現(xiàn)已知某型號火箭的發(fā)動機的噴氣速度為7900m/s.

（1）當該型號火箭的質(zhì)量比為10時，求該型號火箭的理想速度；

（2）經(jīng)過改進后，該火箭發(fā)動機噴氣速度變?yōu)樵瓉?倍，火箭質(zhì)量比變?yōu)樵瓉淼男?，若使火箭的理想速度?/p>

加3950m/s,求該火箭在技術(shù)和材料改進前的質(zhì)量比.（兩問結(jié)果均保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

InlO?2.30,2.718,1.649）

8.（2024北京昌平高一上期末）某旅行社不定期組成旅游團去風景區(qū)旅游，若旅游團人數(shù)在30或30以下

（不低于20）,則收取費用180元/人；若旅游團人數(shù)大于30,則給予如下優(yōu)惠：每多1人，費用每人減少

3元，直到達到滿額50人為止（大客車限乘51人，含司機）.旅行社每次需支出成本費用3000元.

（1）若旅游團人數(shù)為40,求每人應(yīng)交的費用；

（2）設(shè)旅游團人數(shù)為x時每人應(yīng)交的費用為y元，求出y與x之間的關(guān)系式；

（3）求旅游團人數(shù)x為多少時，旅行社可獲得的利潤L最大.

9.（2024北京豐臺高一上期末）2023年9月23日第十九屆亞運會在杭州開幕，本屆亞運會吉祥物是“琮琮”、

“蓮蓮”、“宸宸”.某商家成套出售吉祥物掛件，通過對銷售情況統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：在某個月內(nèi)（按30天計），每套

吉祥物掛件的日銷售價格/（x）（單位：元）與第x天。WxW30,xeN）的函數(shù)關(guān)系滿足〃x）=30+g（左為

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常數(shù)，且后＞0）,日銷售量g（x）（單位：套）與第x天的部分數(shù)據(jù)如下表所示:

X15202530

g(x)650645650655

設(shè)該月吉祥物掛件的日銷售收入為M（x）（單位：元），已知第15天的日銷售價格為32元.

⑴求人的值；

（2）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，若用函數(shù)模型g（x）=a|x-M+b來描述該月日銷售量g（x）與第x天的變化關(guān)系，求

函數(shù)g（x）的解析式；

（3）利用（2）中的結(jié)論，求M（x）的最小值.

10.（2024北京東城高一上期末）某地要建設(shè)一座購物中心，為了減少能源損耗，計劃對其外墻建造可使用

30年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層的建造成本為9萬元.該建筑物每年的能源消耗費用P（單位：萬

元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：尸=:々（0＜x＜10）.若不建隔熱層，每年能源消耗費用

為6萬元.設(shè)S為隔熱層建造費用與30年的能源消耗費用之和.

（1）求出S關(guān)于尤的函數(shù)解析式；

（2）若使隔熱層建造費用與30年的能源消耗費用之和S控制在90萬元以內(nèi)，隔熱層的厚度不能超過多少厘

米？隔熱層的厚度為整數(shù)）

11.（2023北京西城高一上期末）設(shè)函數(shù)的定義域為。，對于區(qū)間/=［。）］（。＜仇/=。），若滿足以下

兩條性質(zhì)之一，則稱/為的一個區(qū)間”.

性質(zhì)1:對任意X&I,有/（x）6I;

性質(zhì)2：對任意xe/,有/（無）?/.

⑴分別判斷區(qū)間［1,2］是否為下列兩函數(shù)的“。區(qū)間”（直接寫出結(jié)論）；

@y=^-X;@y=-.

X

⑵若［0,旬（%＞。）是函數(shù)〃X）=-f+2》的“Q區(qū)間”，求用的取值范圍；

（3）已知定義在R上,且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)“X）滿足:對任意為戶2eR,且x產(chǎn)超，有-?。家?.求

x2-xt

證：〃尤）存在區(qū)間”，且存在X°WR,使得X。不屬于/（X）的所有“Q區(qū)間”.

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參考答案

1.D

【分析】設(shè)鐵絲的一段長度為xcm,則另一段鐵絲長為(10-x)cm,得到>=(令2+(手2,結(jié)合二次函數(shù)

的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】設(shè)鐵絲的一段長度為無cm,(其中0<x<8),則另一段鐵絲長為(10-x)cm,

兩個正方形的面積之和為yen?,

根據(jù)題意，可得好(。2+(=)2=*_4)2+2,

448

當且僅當x=4時，了取得最小值，最小值為2cm，

故選：D.

2.B

31

【分析】由e?丁:可得2左=ln3-21n2,再代入屋=白，求解即可.

410

T.

【詳解】根據(jù)題意可得為看上=%?；，

貝b2#=—，2^=ln-=ln3-21n2,

44

則經(jīng)過"年時，有％?e*=%―1，

即e*=口,則“或uln1-=-lnlO,

1010

~一nnk-klO-10

所以一二—=---------?--------------=8,

22kIg3-21g20.477-2x0.301

則n=16.

故選：B.

3.①③

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)/(力名(無)的解析式，利用函數(shù)的新定義，結(jié)合函數(shù)的圖象、函數(shù)的零點的

定義，逐項判定，即可求解.

【詳解】因為g(x)為偶函數(shù)，且當X"時，g(x)=x2-4x,

當x<0時，可得g(x)=g(-x)=f+4無，所以

[x+4x,x<0

對于①中，當b=0時，/(x)=2x,令/(x)=g(x),解得％=0,x=—2,%=6,

x2+4x,x<-2

如圖所示，=<2x,-2<x<2,

x2-4x,x>2

結(jié)合圖象，可得函數(shù)7(x)在區(qū)間上[-2,+句單調(diào)遞增，所以①正確；

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對于②中，當6=-8時,可得〃力=2%-8,

令/一4、=2%-8,即一一6%+8=0,解得％=-2或%=4,

當％<2時，可得T(x)=g(x)；當2?x?4時，可得T(x)=/(x)；

當%>4時，可得T(x)=g(x),

x2+4x,x<0

x2-4x,0<x<2

即T(x)=<其中/(—3)=—3J(3)=—2,

2x-8,2<x<4

x2-4x,x>4

所以/(-3)W/(3),所以當b=-8時，函數(shù)T(x)不是偶函數(shù)，所以②不正確;

對于③中，當b<0時，令/(%)=0,即2x+b=0,解得x=_g〉。，

當％<0時，令g(x)=0,IPx2+4x=0,角牟得x=T,

當％20時，令g(x)=0,即％2_4X=O,解得x=0或％=4,

若0<一54時，函數(shù)7卜)有三個零點，分別為x=-4,x=0,x=gh

若-(=4時，即6=-8時，函數(shù)T(x)有三個零點，分別為x=-4,x=0,x=4；

若-?>4時，即6<-8時，函數(shù)T(x)有三個零點，分別為x=-4,x=0,x=4；

綜上可得，當6<0時，函數(shù)有三個零點，所以③正確；

對于④中，當x<0時，令g(無)=0,即一+4》=0,解得x=T,

將點(-4,0)代入函數(shù)y=f(x),可得2x(-4)+6=0,解得6=8,

如圖所示，當?shù)?時，函數(shù)7(x"0,所以④不正確.

故答案為：①③.

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4.②③④

【分析】因為分母是二次函數(shù)，通過分析二次函數(shù)的單調(diào)性來分析整個函數(shù)的單調(diào)性，可判斷①②的正確

性；通過自變量t的范圍分析分母的范圍，從而得出整個函數(shù)的值域，可判斷③④的正確性.

1

4-10,/G|5,9]

【詳解】對于①，因為11

H---

2520

令/⑺=石(%-6.5)2+__t5,目；

則出在向5,6.5］內(nèi)單調(diào)遞減，在(6.5,9］內(nèi)單調(diào)遞增，

所以機0)=七+10先增后減，命題①錯誤；

JV/

對于②，因為7。)是二次函數(shù)，函數(shù)圖象的對稱軸是x=6.5,所以〃6)=/(7),

所以加⑹=加(7),命題②正確；

對于③，因為/⑶的最小值是"6.5)=，，

所以機(。的最大值是加(6.5)=20+10=30,

即在任意時刻，通過路口的車輛加不會超過35輛，命題③正確；

對于④，因為〃5)=(X(5-6.5)2+：=0」4,

2

/(9)=-LX(9-6.5)+^-=0.3,且〃5)＜/(9),所以儂。的最小值為皿9)=磊+10=言+10”13.3,

NDNUJU.J

即在任意時刻，通過路口的車輛相不會低于14輛，命題④正確.

綜上，所有正確結(jié)論的序號是②③④.

故答案為：②③④.

【點睛】結(jié)論點睛：

(1)函數(shù)/=〃")在區(qū)間/上單調(diào)，函數(shù)〃=g(x)在區(qū)間。上單調(diào)，并且〃=g(x)在。上函數(shù)值集合包含于

區(qū)間/,則函數(shù)y=/(g(x))在區(qū)間。上單調(diào)；

(2)如果＞=/(?)與U=g(x)單調(diào)性相同，那么＞=/(g(x))是增函數(shù)，如果＞=/(")與U=g(x)單調(diào)性相反,

那么y=〃g(x))是減函數(shù).

5.答案見解析

【分析】根據(jù)材料結(jié)合條件分析即得.

【詳解】因為小智平時注意鍛煉，肌肉占比相對高，意味著身體密度大，相同體型和身高情況下，BMI值

與密度成正比(或者說，體重更大)，

所以他的BMI值就會偏高，如果小智體型基本正常(或者說身高遠高于中國人平均值)，就不必擔心.

故答案為：如果小智體型基本正常(或者說身高遠高于中國人平均值)，他的BMI值就會偏高，就不必擔心,

因為小智平時注意鍛煉，肌肉占比相對高，意味著身體密度大，相同體型和身高情況下，BMI值與密度成

正比(或者說，體重更大).

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6.(1)y—520(丘H------),0<%W100；

x

（2）答案見解析.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出貨車每小時的運輸成本及行駛時間即可得函數(shù)關(guān)系.

（2）借助對勾函數(shù)單調(diào)性探討最小值，即可得解.

520

【詳解】（1）依題意，貨車每小時的運輸成本的可變成本為履2,固定成本為400元，行駛時間——小時,

x

所以歹=---(kx2+400)=520(AxH-------),0<x100.

xx

竺22020

（2）由（1）知，。八%,k、在（0,?。┥蠁握{(diào)遞減，在（丁，+8）上單調(diào)遞增,

歹=52。左（工+---）yjksjk

X

而0<xW100,則當?shù)恰?00,即止（時，X號,y取得最小值；

當半>100,即0“<J_時，x=100,V取得最小值，

〃25

所以當左上工時，貨車應(yīng)以罕km/h的速度行駛，全程運輸成本最小;

當0〈左時，貨車應(yīng)以100km/h的速度行駛，全程運輸成本最小.

7.（l）18170m/s；

（2）6.6

【分析】（1）將給定數(shù)據(jù)代入公式計算即得；

（2）利用給定信息列出不等式求解.

【詳解】（1）依題意，v=voln—=7900In10?7900x2.30=18170m/s；

（2）技術(shù)改進前的理想速度匕=%心色=7900In

MkMk

MM

技術(shù)改進后的理想速度"2=2v0ln—^=2x7900In—,

2乂卜Mk

要使火箭的理想速率至少增加3950m/s,

-V.=2x79001n^--79001n-^>3950,即41n^^-21n,

2MtMk2MkMk

,Ml+41n2

41n—^-41n2-21n—^>1,In—2n->

MkMkMk2

Ml+41n2

所以-->e2=-eln4=6.6,

Mk

所以該火箭在技術(shù)和材料改進前的質(zhì)量比為6.6

8.（1）1507C;

第7頁/共10頁

_J180,20<x<30,xeN

(2)-V-[270-3x,30<x<50,xeN；

⑶45.

【分析】(1)根據(jù)題意計算即可；

(2)根據(jù)自變量x的取值范圍，分20W尤W30或30<xV50歹U出函數(shù)解析式即可；

(3)利用題中的函數(shù)解析式，結(jié)合自變量的取值范圍和配方法，分段求最值，即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)若旅游團人數(shù)為40,每人應(yīng)交的費用為：180-3(40-30)=150元；

(2)當204x430時，y=180,

當30<x450時，y-180—3(x—30)=270—3x,

_J180,20<X<30?XGN

即，-j270-3x,30<xW50,xeN；

(3)當20VxW30時，Z=180x-3000,

當30<xW50時，L=x(270—3x)—3000=—3x2+270x—3000,

[180x-3000,20<x<30

即2

[-3x2+270x-3000,30<x<50

當20W30時，￡=180x-3000中￡隨、的增大而增大，

所以％=30時，Zmax=2400,

當30<xW50時，L=-3x2+270x-3000=-3(x-45『+3075,

即％=45時，4ax=3075>2400.

所以當旅游團人數(shù)為45時，旅行社可獲得的利潤￡最大.

9.⑴左=30

(2)g(x)=|x-20|+645,l<x<30,xeN.

(3)20280元

【分析】⑴將x=15j=32代入〃x)=30+：,即可求得答案；

(2)結(jié)合表格中數(shù)據(jù)確定機的值，再解方程，即可求得答案；

(3)求出M(x)的表達式，討論x的取值范圍，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及基本不等式，即可求得答案.

【詳解】(1)由題意得/。5)=32,所以30+3=32,解得左=30.

(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)以及g(尤)=a|x-加|+6,可知0>0,當》=加時，g(x)取得最小值；

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得初=20,g(20)=645,

由g(20)=645,g(25)=650得，a=1,6=645,

所以g(x)=|x-20|+645,其中1VXV30,xeN.

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(3)由(1)(2)可知M(x)=/(x)g(x)=[30+1j(|尤-20|+645),l<x<30,xeN,

當14x420時,A/(x)=30|1+-|(-x+665)=30x+664

可知M（x）在1V尤V20,xeN時隨著x的增大而減小，

所以當14x420時M（x）的最小值為M（20）=20317.5；

當20<xV30時，M(^)=30(l+-j(^+625)=30|—+X+626

因為殷+x22/殷?x=50,當且僅當x=25時，等號成立，

xYX

所以當20<xV30時M（x）的最小值為M（25）=20280,

綜上所述，當x=25時，該月日銷售收入的最小值為20280元.

10.（1）5=9%+-^-,0<x<10

4%+5

（2）6

【分析】（1）利于給定條件，求出機的值，進而可得能源消耗費用與隔熱層建造成本之和.

（2）根據(jù)條件建立不等式，解出后進一步分析即可.

YY]

【詳解】（1）依題意，當x=0時，P=—=6,所以加=30,

30

所以尸0<x<10,

4x+5

貝|S=9x+型-（萬元），0<x<10.

4x+5

（2）若S=9x+-^-490,

4x+5

不等式化為4/-35x+50<0,

解得35-5后小產(chǎn)+5萬

88

▽35+5而’…

乂--------x6.95,

8

所以隔熱層的厚度不能超過6厘米.

11.（1）①是，②不是；

⑵加e[1,2]；

（3）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)新定義直接判斷即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)[0,"〃（〃”0）是函數(shù)/（幻=--+2》的“。區(qū)間”確定其滿足性質(zhì)1,據(jù)此分類討論求二次函數(shù)值域,

檢驗即可得解；

（3）由所給函數(shù)性質(zhì)分析出滿足性質(zhì)2,轉(zhuǎn)化為〃x）=x不恒成立，/（x）存在“。區(qū)間，，，再構(gòu)造函數(shù)

第9頁/共10頁

g(x)=/(x)-x,證明有唯一零