???三年(2023-2025)中考真題分類匯編

專題01三角形綜合

考點(diǎn)01全等三角形

1.(2023?呼倫貝爾興安盟?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8坐標(biāo)(8,4),連接08,將08繞點(diǎn)O

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到。8',則點(diǎn)"的坐標(biāo)為.

【答案】(<8)

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)8作助J.X軸于點(diǎn)力，過(guò)點(diǎn)"作B'ULy軸于點(diǎn)C,

???將OB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到O*,

：?￡BOB'=90。,BO=BO,

???UBOC+乙COB'=90c.

^AOB+ZBOC=90°,

???ZAOB=ZCOB'.

乂1/OAB=/OCB'=9Q0,

：.QAB⑶OCB仆AS),

/.OC=OA=S,B,C=AB=4,

??.力(-4,8).

故答案為：（-4,8）.

2.（2023?呼市?中考真題）如圖，在RlZ\,48C中，48C=90。，AB=BC,4c=4后，點(diǎn)夕為力C邊上的

中點(diǎn)，PM交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,PN交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,且PM_LPN.若8W=L則△PA/N的面

積為（）

【答案】D

【詳解】解：如圖，連接BP.

???AB=BC,點(diǎn)、P為AC邊上的中點(diǎn),

BP工力C,NCBP=NABP=LNABC=45。,ZBC/i=45°,BP=CP==AC=2亞.

22

NMBP=4NCP=180°-45°=135°.

vBPIAC,PMA.PN,

.?.N8PM+NMPC=90。，NCPN+/MPC=90°.

：.NBPM=NOW.

又BP=CP,NMBP=/NCP,

:ABMP^ACNP(ASA).

...BM=CN=\,MP=NP.

在RtaAPC中，BC=\JBP2+CP1=4-

???在R14M8N中，MN=yjBM2-￥BN2=J\2+52=>/26.

又在RtZXMPN中，MP=NP,

A原+NP1=MN2.

:.MP=NP=>/\3.

0MN=；MPNP=*

故選：D.

3.12024?通遼?中考真題）【實(shí)際情境】

手工課堂上，老師給每個(gè)制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具.同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝

了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘.

圖I圖2圖3

【模型建立】

（I）如圖1,從花折傘中抽象出“傘形圖”.AM=AN,DM=DN.求證：AAMD=/.AND.

【模型應(yīng)用】

（2）如圖2,△力MC中，ZM/4C的平分線力。交A/C于點(diǎn)Q.請(qǐng)你從以下兩個(gè)條件:

①/4WD=2NC；②/。=4"+4/。中選擇一個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明

過(guò)程.（注：只需選擇一種情況傳答）

【拓展提升】

（3）如圖3,力。為O。的直徑，凝=前,4C的平分線力。交8c于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)。，連接CQ.求

證：AE=2CD.

???ND4M=/DAN,

在和△力ON中，

AM=AN,NDAM=NDAN,AD=AD,

???A/OA/G"ON(SAS),

/.DM=DN,AAMD—/LAND,

,//月MD=2ZC,

:./AND=2ZC=NSV+ZC,

???/CON="，

???DN=CN、

：.DM=CN,

AC=AN+NC,

AAC=AM+MD：

(3)如圖，連接〃。，取力E的中點(diǎn)巴連接",

??DC-BD?

BD=CD,

???4BCD=ZCBD,

???,4。為O。的直徑,

???/力8。=90°,

AAE=2BF=2AF,

Z.ABF=Z.BAF?

???^BAF=NBCD,

，/ABF=NCBD,

?:彘=前，

：.AB=BC，

:.^ABF^ACBD,

???BF=BD=CD,

/.AE=2CD.

考點(diǎn)02相似三角形

1.(2025?內(nèi)蒙古?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△CM8的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是。(0,0),力(2,1),8(1,2),

以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限畫△。4*與△。月8位似，若△04"與的相似比為2:1,則點(diǎn)A的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)H的坐標(biāo)為()

A.(-2,-1)B.(*2)C.(-1,-2)D.(-2,-4)

【答案】B

【詳解】解：???△。/"弓位似，相似比為2:1,

：?OB:OB'=l:2=OA:OA',

???4(2,1),位似中心為原點(diǎn)。，

，2),

故選:B.

2.12024?呼倫貝爾興安盟?中考直題)如圖，點(diǎn)力(0.-2),8(1.0),將線段平移得到線段。C,若

【答案】（4,-4）

【詳解】如圖，過(guò)。作DE工歹軸于點(diǎn)￡,則//瓦）=90。,

由,/：移性質(zhì)可知：AB=CD,AB//CD,

???四邊形48C。是平行四邊形，

???480=900,

???四邊形/BCZ）是矩形，

???/胡。=90°,BC=AD=2AB,

???/。力8+/￡4。=90°,

???/。/4+/。84=90。，

tOBA=NEAD，

???4108=NO￡4=90°,

AOABS^EDA,

.OA=AB=OB

"''ED~~DA~~EA'

???,4（0,-2）,8（1,0）,

OA=2,OB—1,AB=\fs，

.2x/51

??----=----=----9

EDDAEA

設(shè)E/=a,則ED=2a,DA=\[Sa?

***>f5a=2后,解得：a=2,

EA=2ED=4,

二.OE=OA+EA=4,

???點(diǎn)。在第四象限，

???。（4,一4）,

故答案為：（4,-4）.

3.12023?包頭?中考真題）如圖，在中，N4CB=90"=3,BC=1,將V48C繞點(diǎn)4逆時(shí)針?lè)较?/p>

旋轉(zhuǎn)90。，得到△48'C'.連接88',交AC于點(diǎn)則券的值為.

【答案】5

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作。尸1/8于點(diǎn)片

???N4C8=90°,AC=3,ffC=l,

?**AB=V32+l2=V10，

???將VABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到△力8'C’,

:.AB=AB'=M,/848'=90。，

???”88'是等腰直角三角形，

:./488'=45。，

又?：DFLAB,

???2FDB=45。,

，△。尸8是等腰直角三角形，

:.DF=BF,

VS&=—xBCxAD=—xDFxAB,BPAD=VfODF?

ADB22

ZC=ZJro=90°,/CAB=NFAD,

：?"FDfACB，

案嘿,即，…,

又「AF=M-DF,

.__x/io

??Dr9

4

???,4。=而x典=2,CD=3--=-,

4222

5

2

4.12023?包頭?中考真題）如圖，/C/O,CE是正五邊形而CDE的對(duì)角線，4。與CE相交于點(diǎn)尸.下列結(jié)

論：

①CE平分48；②③四邊形"b是菱形；④AB'ADEF

其中止確的結(jié)論是.（填寫所有止確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①③④

【詳解】解：①???正五邊形/8c",

/.ZABC=ZBCD=ZCDE=ZDEA=1SO0X(5Z3Lio§,AB=BC=CD=DE=AE,

5

NBAC=ZBCA=NDAE=ZADE=NDCE=NCED==36°,

2

???/ACE=108°-NBCA-/DCE=36°=NDCE,

???C尸平分乙ICO：正確；

②CE=/DEC=36%乙DFE=Z.AFC,

???ADEFS“CF,

.DFDE

''~AF~~AC'

?：DE=AB,2AB>AC,

即,4產(chǎn)工2Q戶，故②錯(cuò)誤:

③?；NBAC=NACE,/ABC+/BAD=108。+36°+36°=180°,

:,BC〃AD,AB//CE,

???四邊形48c廠是平行四邊形，

?：AB=BC,

???四邊形力8b是菱形；正確；

(4)???NCED=NDAE=36°,/EDF=ZADE,

，4DEFSADAE,

DEEF

~AD~~AE

：?EDAE=ADEF,K|JAB2=ADEF，正確;

故答案為：①③④.

5.（2024?赤峰?中考真題）數(shù)學(xué)課上，老師給出以下條件，請(qǐng)同學(xué)們經(jīng)過(guò)小組討論，提出探究問(wèn)題.如圖1,

在V/8C中，48=力。，點(diǎn)。是,4。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DEJ.BC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)EO交加延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F.

圖1圖2

請(qǐng)你解決下面各組提出的問(wèn)題:

(1)求證：AD=AFx

r）pjn

（2）探究器與7的關(guān)系；

DEDC

某小組探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)孤M需地當(dāng)博4時(shí)，穿

請(qǐng)你繼續(xù)探究:

7直接寫出男的值；

①當(dāng)而7時(shí)rtl’

DE

②當(dāng)仁="時(shí),DF

猜想后的值（用含加，〃的式子表示），并證明;

DCnDE

（3）布展應(yīng)用：在圖1中，過(guò)點(diǎn)尸作尸P，4C,垂足為點(diǎn)P,連接CF,得至IJ圖2,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到使ZJCF=NACB

A?viAp

時(shí)‘若安=7'直接寫出而的值（用含-〃的式子表示）.

【詳解】（1）證明：VAB=A（J,

???NB=NC,

??,DE1BC,

???HBEF=NCED=9M,

???ZF=90°-NB,4CDE=90°-ZC,且Z.CDE=NADF,

/.ZF=ZADF,

:.AD=AF；

（2）解：①當(dāng)（=g時(shí)，竺二.當(dāng)理，時(shí)，空J(rèn)

DE3'DC5DE5

???總結(jié)規(guī)律得：空是空的2倍,

DEDC

,AD7,DF147

??當(dāng)二=7■時(shí)，TTZ=z---=_?，

DC6DE63

②當(dāng)黑DF2m

=%時(shí),猜想=----,

DCnDEn

證明：作4G_LE/十點(diǎn)G,

?；DEtBC,

AAG//CE,

???&AGDs^CED,

..也他

?DC~n*

.GDADm

DEDCn

由(1)知力。=//,又AG1.EF,

:.DG=FG,即。尸=2OG,

.DF2GD2m

''~DE~DE

(3)空=3,理由如下：

AD2m

過(guò)點(diǎn)。作OG_LC產(chǎn)，

F

?：HACF=CACB,DEA.CE,

???DG=DE,

j,八啟、i，ADni..DF2m

由（2）知，當(dāng)==一時(shí)r，—=—,

DCnDEn

?DE-n

“而一茄’

.DGn

??=""""9

DF2m

???PFA.AC,

：.^ACF+^CFP=90°,

??,FEA.BC,

???Z5+ZJFD=90°,

VAB=AC,

???/ACB=NB,

???/B=ZACF,

J^AFD=NCFP,

???4AFD-NPFD=NCFP-NPFD,

???乙4FP=4DFG,

???sinZ^FP=sinZ￡>FG.

?APDG〃

??布一加一就‘

由（1）知力。=力/，

.APAPn

ADAF2m

考點(diǎn)03三角形綜合

1.[2023?通遼?中考真題）如圖，將AABC繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到aADE,旋轉(zhuǎn)角為＜180。），點(diǎn)8

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。恰好落在8c邊上，若。E_L4C,ZCAD=24°,則旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)為（）

E

A

BD

A.24°B.28°C.48。D.66°

【答案】C

:*/肝。=90。，

???ZCJZ)=24°,

???LADE=1800-NCAD-NAFD=66°，

???旋轉(zhuǎn),

NB=Z.ADE=66°,AB=AD，

.../ADB=ZB=66°,

???ABAD=180°-Z5-/ABD=48°,

即旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù)是48。.

故選：C.

2.（2024?赤峰?中考真題）如圖,△ABC中，48=8C=1,NC=72。.將△ABC繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AABC,

點(diǎn)二與點(diǎn)8是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C'與點(diǎn)。是對(duì)應(yīng)點(diǎn).若點(diǎn)。'恰好落在8C邊上，下列結(jié)論：①點(diǎn)8在旋轉(zhuǎn)過(guò)程

中經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是②B'A〃BC；③BD=CD；④空=黑其中正確的結(jié)論是（）

3A（Hl）

B.①②③C.①③④D.②④

【答案】A

【詳解】解：???=ZC=72°,

???Z^C=ZC=72°,/48C=180°-2NC=36°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ZJ8'C=48C=36。，NB，4C'=NBAC=72。,ZJC8=NC=72。，NAC'B'=tADC=72。,

AC=AC,

:.〃CC=NC=72。，

???/C4C'=36。，

???ACAC=ZBAC=36°,

???NV"=72。-36°=36。，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得川?’=4？，

AZ/1^,=Z^^=1(I8(F-303)=72°,

①點(diǎn)B在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是第9=?乃；①說(shuō)法正確;

1ov5

②:NB1B-Z.ABC-36°,B'A〃RC；②說(shuō)法正確:

③ZDC'B=180°-2x72°=36°,

J/DCB=NABC=36°,

:,BD=CD：③說(shuō)法正確;

④?；NBB'D=N4BC=36°,ZB'RD=NBAC=72°,

???MBDSABAC,

今=翳.④說(shuō)法正確;

綜上，①②③④都是正確的,

故選：A.

3.（2023?通遼?中考真題）如圖，等邊三角形力8C的邊長(zhǎng)為6cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)4出發(fā)以2cm/s的速度沿4?向

點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)尸作夕。工48,交邊4c于點(diǎn)。，以產(chǎn)。為邊作等邊三角形PQD,使點(diǎn)4D在PQ異

側(cè)，當(dāng)點(diǎn)。落在4C邊上時(shí)，點(diǎn)尸需移動(dòng)s.

【答案】1

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),由題意得/尸=2x,

BP=AB-AP=6-2x,

?Q1ABy

???Z0PJ=9OO,

??,/\PQD和V"C是等邊三角形，

J4A=NB=4DPQ=60°,PQ=PD,

???/BPD=300,

：.NPDB-9。0,

：.PD1BC,

；."PQgABDP(AAS),

BD=AP=2x,

,/BP=280,

:.6-2x=4x?

解得x=l.

故答案為：1.

4.(2023,呼倫貝爾興安盟?中考真題)如圖，在AABC中，48c=90。，/44。=60。，以點(diǎn)A為圓心，以AB

的長(zhǎng)為半徑畫弧交4C于點(diǎn)。，連接4。，再分別以點(diǎn)8,。為圓心，大于;勵(lì)的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于

點(diǎn)P，作射線力。交于點(diǎn)"，交BC于點(diǎn)E,連接。E,則SSQE：SA°￡的值是()

D

A.1:2B.1:73C,2:5D.3:8

【答案】A

【詳解】解：由尺規(guī)作圖可得，是/比1C的平分線，

???ABAE=NCAE=>NBAC=30°,

2

'：Z.ABC=90°,4BAC=60°,

:.ZC=30°,

AE=CE,

在Rt△48E中，BE=；AE,

：.BE=-EC,即EC=28E,

2

?c,q-io

故選：A.

5.12024?呼倫貝爾興安盟?中考真題）如圖，在AABC中，NC=90。,N8=30。，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為

半徑畫弧分別交484c于點(diǎn)〃和點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于

點(diǎn)P，連接4P并延長(zhǎng)交4C于點(diǎn)O.若"CQ的面積為8,則△力3。的面積是（）

【答案】B

【詳解】解：VZC=9O0,ZB=3O0,

???/C4B=60。，

由作圖知：力。平分NA4O,

，NC/iD=NDAB=30°,

：.CD=-ADZB=4AD，

2t

AD=BD,

:.CD=LBD,

2

「八［

r.—CD'ACCD

...=2______==1

S"BDLBDACBD5

2

又“。。的面積為8,

???△44。的面積是2x8=16,

故選B.

6.12024?呼市?中考真題）如圖，在△月6。中，480=30。，24=105。，將△力4。沿8。翻折180。得到

△CBD,將線段。。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到線段0A點(diǎn)E為/出的中點(diǎn)，連接后尸，ED.若E尸=1，

則ABEO的面積是（）

A1+V3Q2+由「2+Gn1+6

4422

【答案】A

【詳解】解：連接力C與8。相交于點(diǎn)〃，連接力尺BF、FH,

VZJ5D=30°,ZJ=105°,

:.^ADB=180°-30°-105°=45°,

由折疊可得48=CBAD=CD,Z,CDB=NADB=45。，

AAC1BDZADC=450+45°=90°,

???/AHD=/AHB=9/，

???為等腰直角三角形，

AAH=DH,/DAH=45°,

又由旋轉(zhuǎn)得，DF=DC,ZCDF=30°,

:.AD=DF,ZJDF=90°-3(r=6(F,ZFOH=45o-30o=15°,

???4ADF為等邊三角形,

/.AF=DF,ADAF=60°,

???2FAH=60°-45°=15°,/BAF=105°-60°=45°,

???AFAH=4FDH,

在AE4H和AFDH中,

AH=DH

ZFAH=4FDH,

AF=DF

：..FA“處FDH(SAS),

???/.AHF=ZDHF,

???乙"70=90。，

???/AHF=NDHF==OfO。=135。，

2

???乙陽(yáng)/=180。-135。=45。，

/./BAF=/BHF,

???,4、B、F、〃四點(diǎn)共圓，

???/4FB=N4HB=90。,

???480=30。，

AAB=2EF=2,

VZABD=300,

AAH=-AB=\

2t

?.DH=1,BH=AB~—AH2=J22—I2=百?

???80=1+5

,?S^BED-QS.ABD=_X3BDAH=卜卜(1+石$1=L；＞,

故選：A.

考點(diǎn)04銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

1.12023?赤峰?中考真題）為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對(duì)A地和8地之間的一處垃圾填埋場(chǎng)進(jìn)行

改造，把原來(lái)A地去往4地需要繞行到。地的路線，改造成可以直線通行的公路48.如圖，經(jīng)勘測(cè)，AC=6

千米，NCAB=600,NC84=37°,則改造后公路48的長(zhǎng)是千米（精確到0.1千米；參考數(shù)據(jù)：

sin37°?0.60,cos37°?0.80,tail37°?0.75,百。1.73）.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD1AB卜點(diǎn)

在RIA/QC中，4C=6,ZCAB=60°,cosJ=—,sin力=——

ACAC

/.AD=JCxcosA=—x6=3,CD=ACxsinA=—x6=36

22

CD

在RtACOB中，4CBA=37°,CD=35tanZC2?D=—

DB

:.DB=q迎M40

tanZCBDtan37°0.75

：?,48=40+08=3+4\/J=3+4x1.73=9.9（千米）

改造后公路48的長(zhǎng)是9.9千米,

故答案為：9.9.

2.12023?呼市?中考真題）如圖所示，小明上學(xué)途中要經(jīng)過(guò)A,B兩地，由于A,8兩地之間有一片草坪，

所以需要走路線力C，CB.小明想知道A,A兩地間的距離，測(cè)得4。=50m,乙1=45。，ZB=40°,請(qǐng)

幫小明求出兩地間距離力5的長(zhǎng).（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可）

c

I農(nóng)】缶向巖;

m

Itan40°

【詳解】解：過(guò)C作CH_L4?于"，如圖:

在Ra4C〃中，ZJ=45°,AC=50m,

五￡

:.AH=ACcosA=50x-^-=25\5"(m)?CH=ACsinA=50x——=256(m)，

22

在中，ZB=40°,C〃=25&m，

CH_25及

tan400一tan4()。

25x/2+^^

AB=AH+BH=m；

tan400

二?兩地間距離48的長(zhǎng)為25&+m

3.[2025?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，因地形原因，湖泊兩端A,8的距離不易測(cè)量，某科技小組需要用無(wú)人

機(jī)進(jìn)行測(cè)量.他們將無(wú)人機(jī)上升并飛行至距湖面90m的點(diǎn)C處.從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的俯角為60。，測(cè)得8點(diǎn)的

俯角為30。（A,B,。三點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)），則湖泊兩端A,8的距離為m（結(jié)果保留根號(hào)）.

/、、、

/、、

/、、、、、

彳七三三三三步8

【答案】1206

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作CO_L/f4于點(diǎn)。，則CD=90m,

/I、、

力行三HOB

VZMCJ=60°,NNC8=30。，MN//AB,

AZCJD=ZMCJ=60°,NCBD=NNCB=30°,

CDLAB,

￡CDA=NCDB=90°,

5CD90“QBD=———=90百

:?AD=-----——=—?==30V3,tanZ.CBD有

tanACADV3—

3

，AB=AD+BD=1206

故答案為：1206.

4.12024?呼倫貝爾興安盟?中考真題）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度.如圖，

無(wú)人機(jī)在離地面40米的。處，測(cè)得操控者A的俯角為30。，測(cè)得樓夕。樓頂C處的俯角為45。，又經(jīng)過(guò)人工

測(cè)最得到操控者A和大樓8C之間的水平距離是8（）米，則樓8C的高度是多少米？（點(diǎn)4B,C,。都在同

一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：石=1.7）

D

一元FF科一

，/'、、C

/、1

【答案】樓8c的高度為（406-40）米.

【詳解】解：如圖，過(guò)。作。E/48于￡,過(guò)。作C"_LQE于"，則四邊形8c總是矩形，

D

一前y農(nóng)科一

,一‘

/工

AEB

：,CF=BE,BC=EF,

由題意知力E=-^=40石，DF=CF,

tan30°

JDF=CF=BE=AB-AE=80—40百，

???BC=EF-DE-DF^40-(80-406卜40瓦40,

?,?樓BC的高度為卜。石-40）米.

5.12（）24?赤峰?中考真題）綜合實(shí)踐課上，航模小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量古樹(shù)的高度.如圖，點(diǎn)C處與古樹(shù)底

部,4處在同一水平面上，且4。=10米，無(wú)人機(jī)從C處豎直上升到達(dá)。處，測(cè)得古樹(shù)頂部8的俯角為45。，

古樹(shù)底部力的俯角為65。，則古樹(shù)力6的高度約為米（結(jié)果精確到0.1米：參考數(shù)據(jù)：sin65。。0.906,

cos65°?0.423,tan65°?2.145）.

%--

:\、、、

「工

1、、、

：\、B

I\\

?i\\

C：-------------U

【答案】11.5

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作OAH45,交/出的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

D<-----RM

：\'、、：

：\、、、：

1\、一

：\、8

I\\

i\

C'--------U

???四邊形4CD"是矩形，

???DM=/C=10米，

VZ5D/V/=45°,ZADM=65°,NM=90。，

是等腰直角三角形，

:.8M=0M=1O米，

在RtAWM中,-tan=10-tan65°?10x2.145^21.45（米），

A==21.45-10=11.45*11.5（米），

???古樹(shù)43的高度約為11.5米.

故答案為：11.5.

6.12023?包頭?中考真題）為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動(dòng).如圖，A

點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)，分別為A點(diǎn)和。點(diǎn)，行進(jìn)路線為44點(diǎn)在A點(diǎn)的南偏

東25。方向3夜km處，。點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東80。方向，行進(jìn)路線48和8C所在直線的夾角。為45。.

（1）求行進(jìn)路線BC和C力所在直線的夾角ZBCA的度數(shù)；

（2）求檢查點(diǎn)8和C之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）.

【詳解】（1）解：如圖，根據(jù)題意得，NNAC=8G/SAB=25。，4BC=45。,AB=3顯,

?//附S=180。，

NCAB=180°-ZNAC-ASAB=180°-80°-25°=75°.

在V/8C中，ACAB+AABC+ABCA=180°,

NBCA=180°-75°-45°=60°.

答：行進(jìn)路線8。和。所在直線的夾角為60。.

（2）過(guò)點(diǎn)力作力。_Z8C,垂足為力.

ZADB=ZADC=90°,

480=45。，

ZBAD=ZABD=45°.

AD=BD,

在中，

,/sinNABD------

AB

AD=3\/2x^y-=3(km).

8D=4D=3(km),

AD

在RtZs/COHl,/tanZ.BCA="-

CD

a

CD=忑=瓜km),

/.BC=BD+CD=(3)km.

答：檢查點(diǎn)4和C之間的距離為(3+6)km.

7.12023?通遼?中考真題)如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東72。方向，距離燈塔lOOnmile的4處，它沿

正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東40。方向上的B處.這時(shí)，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)

(結(jié)果取整數(shù))？

(參考數(shù)據(jù):sin72°?0.95,cos720?0.31,tan72°?3.08,sin40°?0.64cos400=4).77,tan4004).84.)

【詳解】解：設(shè)48與燈塔P的正東方向相交于點(diǎn)C,

根據(jù)題意，得乙4=72。，ZB=40°,JP=100nmile；

在RtAJPC中,

PC

Vsin/I=—

AP

JPC=AP-sin72°=100x0.95=95；

在RlABPC中，=40c,

PC

Vsin^=—

PB

pr95

PB=—―=--?I48(nmile),

sin4000.64'

答：B處距離?燈塔P大約有148nmile.

8.12023?呼倫貝爾興安盟?中考真題)某數(shù)學(xué)興趣小組借助無(wú)人機(jī)測(cè)量一條河流的寬度8.如圖所示，一

架水平飛行的無(wú)人機(jī)在A處測(cè)得河流左岸。處的俯角為a,無(wú)人機(jī)沿水平線力產(chǎn)方向繼續(xù)飛行12米至8處,

測(cè)得河流右岸力處的俯角為30。，線段4W=24百米為無(wú)人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)C,。在同一條

直線上，其中tana=2.求河流的寬度8（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：百=1.7）.

ABF

*、Q0。

\、

、、、

\、、、

、、、

\、、、

、、、

\、、、

___________、、=0

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)4作于點(diǎn)E.則四邊形是矩形.

ABF

?「jo。

\I、4

*\、

ABE=AM=2473，ME=AB=\2

VAF//MD

Z.ACM=a

在Rt^4WC中，ZAMC=90°

.AM.

..tana=——=2,

MC

?2473.

??--------=2

MC

:?MC=T2g

在中，/BE。=90。，ZD5E=90°-30°=60°

DE

tanNDBE------,

BE

DFr-

tan6°V=24^="，

ADE=24^xx/3=72

CO=￡>￡1-"=OE-（MC-ME）=72-（12百-12）=84-12&84-12x1.7=84-20.4B64米

答：河流的寬度。。約為64米.

9.12024?包頭?中考真題）如圖，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展“實(shí)地測(cè)量教學(xué)樓48的高度”的實(shí)踐活動(dòng).教學(xué)樓

周圍是開(kāi)闊平整的地面，可供使用的測(cè)量工具有皮尺、測(cè)角儀（皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)

間的距離：測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大小）.

（1）請(qǐng)你設(shè)計(jì)測(cè)量教學(xué)樓力8的高度的方案，方案包括畫出測(cè)量平面圖，把應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)記在所畫的圖形上（測(cè)

出的距離用〃?，〃等表示，測(cè)出的角用夕等表示），并對(duì)設(shè)計(jì)正行說(shuō)明;

（2）艱據(jù)你測(cè)量的數(shù)據(jù)，計(jì)算教學(xué)樓力4的高度（用字母表示）.

【詳解】⑴解:如圖，將測(cè)角儀放在。處,用皮尺測(cè)量出。到48的距離為加,用測(cè)角儀測(cè)出/的仰角

為a,測(cè)出8的俯角為￡：

則四邊形CD8E是矩形，NACE=a,4BCE=。,

CE=BD=m，BE=CD>

在RaBCE中，BE=CEtanZ.ECB=mtanp,

在Rt^/ICE中，BE=CE-tanZ.ECA=mtana,

:.AB=4E+BE=m(tana+tan夕),

答：教學(xué)樓的高度為〃?（tana+tan/?）.

10.（2024?通遼?中考真題）在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課上，活動(dòng)小組測(cè)量一棵楊樹(shù)的高度.如圖，從。點(diǎn)測(cè)得

楊樹(shù)底端〃點(diǎn)的仰角是30。，8。長(zhǎng)6米，在距離C點(diǎn)4米處的。點(diǎn)測(cè)得楊樹(shù)頂端力點(diǎn)的仰角為45。，求楊

樹(shù),48的高度（精確到0.1米，48,4C,CO在同一平面內(nèi)，點(diǎn)C,。在同一水平線上.參考數(shù)據(jù)：6=1.73）.

在RaBCE中，ZBCE=30°,BC=6米，

???8E=18C=3米，CE=dBC2-BE2=依-32=3M米,

?.衣=4米，

O￡=QC+CE=1+3月米

在Rta/lEO中，^ADE=45°,

.?.花=?！?卜+3療)米，

48=前-%：=4+3百-3=0+3百)米，

v73a1.73,

48=1+3x1.73^6.19a6.2米.

答：楊樹(shù)43的高度約6.2米.

11.（2024?呼市?中考真題）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑.如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安

裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處.現(xiàn)將左側(cè)的實(shí)驗(yàn)裝置圖抽象成右側(cè)示

意圖，已知試管力8=24cm,48,試管傾斜角48G為12。.

（1）求試管口8與鐵桿OE的水平距離8G的長(zhǎng)度；（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)表示）

（2）實(shí)驗(yàn)時(shí)，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁M