第十五章二次根式

15.1二次根式

第1課時(shí)二次根式及其化簡

教學(xué)目標(biāo)

1.了解二次根式的概念和二次根式的非負(fù)性；

2.理解和掌握二次根式的性質(zhì)，并能利用它們進(jìn)行化簡或計(jì)算.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：二次根式的概念和二次根式的非負(fù)性；

難點(diǎn)：理解和掌握二次根式的性質(zhì)，并能利用它們進(jìn)行化簡和計(jì)算.

教學(xué)過程

舊知回顧

1.什么叫平方根?如何表示？

2.什么叫算術(shù)平方根?如何表示?

導(dǎo)入新課

問題情境引入“二次根式”

問題情境一：2,18,卷，卷的算術(shù)平方根是怎樣表示的？

回答:瓜V18,居金

非負(fù)數(shù)如p+q,的算術(shù)平方根又是怎樣表示的？

回答：y[m,yjp+q,Vt2-1

問題情境二：學(xué)校要修建一個(gè)占地面積為6m2的圓形噴水池，它的半徑應(yīng)為多

少米?如果在這個(gè)圓形噴水池的外圍增加一個(gè)占地面積為an?的環(huán)形綠化帶，

那么所成大圓的半徑應(yīng)為多少米？

設(shè)噴水池的半徑為「米，大圓的半徑為R米

7ir2=立則戶=—,r

71

RR2=力+。,貝！JR2=

答：噴水池的半徑為R大圓的半徑為絲

N兀v71

通過前面兩個(gè)實(shí)例，我們發(fā)現(xiàn)在日常生活中，常會用到一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根.

一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根有什么特征和性質(zhì)呢？

我們一起來探究吧……教師板書課題.

探究新知

一、二次根式的概念

思考1:下列是問題情境中的式子，說說它們在表達(dá)形式上有什么共同特征?

也抽，患，居必，2-1，J|，舟

引導(dǎo)學(xué)生分析得出：1.都含有“廠”，根指數(shù)都為2；2.被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

思考2：如果我們將上述式子定義為二次根式，同學(xué)們類比整式、分式，說說二

次根式的定義？

引導(dǎo)學(xué)生概括二次根式的定義：在上面的問題中，我們得到了遮，V18,聆,

點(diǎn)，標(biāo)，廊西，VtM,用等式子，它們分別表示某個(gè)非負(fù)數(shù)的算

術(shù)平方根.一般地，我們把形如迎(介0)的式子叫做二次根式.

總結(jié)：二次根式的必備條件：

①含根號且根指數(shù)為2(通常省略不寫)；

②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

知識拓展

(1)二次根式的被開方數(shù)a可能為整式，也可能為分式，因此要分清。所代表的

式子類型.

⑵歷本身作分母時(shí)，要注意只能大于0,不能等于0.

(3)要注意7^不1,衣廠TT等，這時(shí)無論。取何值都有意義.

練習(xí)：判斷下列各式是否為二次根式，并說明理由.

(1)764;(2)7^+!；(3)7^；(4)①+l(a>0);(5)(6)J-(Q-4產(chǎn)

學(xué)生分析：判斷二次根式的條件：①含根號且根指數(shù)為2(通常省略不寫)；

②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

解：(1):?歸根指數(shù)是3,???洞不是二次根式；

(2)不論x為何值，都有封+1>0,...五E是二次根式；

(3)當(dāng)一5a20,即aW0時(shí)，產(chǎn)而是二次根式；當(dāng)a>0時(shí)，-5a<0,則產(chǎn)而不

是二次根式?不一定是二次根式.

(4)而+l(a>0)只能稱為含有二次根式的代數(shù)式，不能稱為二次根式；

(5)當(dāng)x=-3時(shí)，狂三無意義，?,?小樂也無意義；

當(dāng)"—3時(shí),看>。，；?忌是二次根式?二小總不一定是二次根式?

(6)當(dāng)a=4,即a—4=0時(shí)，J-(a-4>是二次根式;

當(dāng)aH4時(shí)，一(a—4)2V0,???J—(a—4尸不是二次根式.

???J一(a-4尸不一定是二次根式.

概念解析：

(1)二次根式的定義是從代數(shù)式的形式上界定的，必須含有二次根號“廠”；

(2)被開方數(shù)?？梢允且粋€(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)含有字母的代數(shù)式，但是a必須大

于或等于0;

(3)在具體問題中，已知二次根式血，就有了a20這一隱含條件；

(4)形如b仿(a20)的式子也是二次根式.b與遮是相乘的關(guān)系，若6為帶分?jǐn)?shù),

則要寫成假分?jǐn)?shù)的形式.

易錯(cuò)提示：

(1)二次根式是從形式上定義的，不能從化簡結(jié)果上判斷，如：血是二次根式.

(2)像迎+l(a>0)這樣的式子只能稱為含有二次根式的式子，不能稱為二次根

式.

二、二次根式的簡單性質(zhì)

大家談?wù)?/p>

小亮和小穎對二次根式“五(GO)”分別有如下的觀點(diǎn).你認(rèn)同小亮和小穎的觀

點(diǎn)嗎?請舉例說明.

小亮的觀點(diǎn)：因?yàn)檎硎镜氖欠秦?fù)數(shù)。的算術(shù)平方根，所以，根據(jù)算術(shù)平方

根的意義，有Va>0.

小穎的觀點(diǎn)：因?yàn)橛硎镜氖欠秦?fù)數(shù)。的算術(shù)平方根，所以，根據(jù)算術(shù)平方

根和被開方數(shù)的關(guān)系，有(6)2=。

學(xué)生討論舉例后得出小亮和小穎的觀點(diǎn)都正確.

教師總結(jié)：(1)點(diǎn)(至0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即迎具有雙重非負(fù)性，一是被開方數(shù)是非

負(fù)數(shù)，二是它的結(jié)果是非負(fù)數(shù)；(2)(歷)2=以至0),即非負(fù)數(shù)。的算術(shù)平方根的平

方等于a.

做一做(填空，并試著歸納其中的規(guī)律)

(1)722=；(2)7122=；

(3)V(-2)2=;(4)7(-1.2)2=；

教師點(diǎn)評：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：

亞=2；VL22=1.2；J(—2)2=2；7(-l-2)2=1.2.

思考：1.⑴與(3)、(2)與(4)這兩組題的被開方數(shù)下乘方的底數(shù)有什么聯(lián)系？

2.每組題的結(jié)果與它們的被開方數(shù)下乘方的底數(shù)有什么關(guān)系？

學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生得出：1.互為相反數(shù)；2.底數(shù)的絕對值

想一想：根據(jù)上面的計(jì)算，你能得到什么結(jié)論？

學(xué)生討論得出，一般地，V^=a(a>0).

探究：與(迎)2(a>0)的異同點(diǎn)

表達(dá)式7^(Va)2

取值范圍a為全體實(shí)數(shù)a>0

運(yùn)算順序先平方后開方先開方后平方

不同點(diǎn)

5⑷J"°)'

運(yùn)算結(jié)果(y[a)2=a(a>0)

1—a(a<0),

相同點(diǎn)與(7^)2均為非負(fù)數(shù)，當(dāng)(2>0時(shí)，Vo5-=(Va)2

總結(jié)：平方在外面，直接去根號；平方在里面，得到絕對值，分類來討論

做一做：

化簡：（i）（遮）2；（2）（52；⑶府；（4）jg）2

解：⑴（圾2=3

（3）府=5

學(xué)生分析：

例化簡：（1）也的；

學(xué)生分析：0.04=0.22,1=（9,可以利用值=以位0）化簡.

解：（I）①M(fèi)=VU^=O.2.

?---*

課堂練習(xí)

1.下列等式正確的是（）

A.（"）2=3B"=3C，7（-3）2=-3D.（-后=-3

2.心運(yùn)有意義，則加的取值范圍是.

m—1

3.當(dāng)K0時(shí)，化簡?_x）2+J（3-x）2=.

4.已知Jq-5+-a-b+3,貝！Ja=,b=.

5.10-J16-a的最大值是，止匕時(shí)。=.

參考答案

l.A2.mN-2且旭#13.24.5,-35.10,16

課堂小結(jié)

1.二次根式的定義

一般地，把形如遍（位0）的式子叫做二次根式.

判斷一個(gè)式子是不是二次根式，一定要緊扣定義，看所給的式子是否同時(shí)具備如

下兩個(gè)特征：

（1）帶有二次根號“「"，即根指數(shù)是2；

（2）被開方數(shù)不小于零.

只有同時(shí)滿足上述兩個(gè)特征，才是二次根式，如果不滿足其中任何一個(gè)特征，就

不是二次根式.

2.二次根式的基本性質(zhì)：

⑴當(dāng)a>0時(shí)，（迎）2=。；（2）當(dāng)tz>0時(shí),yfa^=a.

布置作業(yè)

完成教材習(xí)題A組、B組.

板書設(shè)計(jì)

15.1二次根式

第1課時(shí)二次根式及其化簡

-概念：我們把形如（生。）的式子叫做二次根式

二次根式

性質(zhì)：（1）雙重非負(fù)性：即壯0,>0；

（2）當(dāng)壯0時(shí)，（份）2=〃

（3）當(dāng)a>0時(shí)，y[c^=a.

第十五章二次根式

15.1二次根式

第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

1.理解和掌握積（商）的算術(shù)平方根的性質(zhì)；

2.會利用積（商）的算術(shù)平方根的性質(zhì)對根式進(jìn)行化簡；

3.理解最簡二次根式的概念，并能把一個(gè)不是最簡二次根式的二次根式化為

最簡二次根式.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：二次根式的性質(zhì)及最簡二次根式的概念.

難點(diǎn)：會利用二次根式的性質(zhì)化簡二次根式.

教學(xué)過程

舊知回顧

二次根式已經(jīng)具備哪些性質(zhì)？

(l)Va>0fa>0)；(2)(遍)2=a；(3)V^=|a|.

探究新知

一、二次根式的性質(zhì)

1.積的算術(shù)平方根

問題1：計(jì)算下列各組算式，對比它們的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論?請根據(jù)你得到的結(jié)論,

對-6和后7^(e0,厄0)的關(guān)系提出你的猜想，并說明理由.

(1)743^9=,V4xV9=；

(2)V25x49=,V25xV49=,

(2)/36x49=,V36xV49=,

學(xué)生計(jì)算,(1)6；6；(2)35；35；(3)42；42,得出(1)(2)(3)中兩式均相等.

當(dāng)至0,厄0時(shí)，對石和歷?歷的關(guān)系提出你的猜想，

因?yàn)楫?dāng)a>Q,b>0時(shí),石)2=a。,(V^V^)2=(VH)2.(V^)2=a.O,所以石

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納得出：積的算術(shù)平方根等于積中各因數(shù)的算術(shù)平方根的積，即

4aJb=y/a-Vb(a>0,Z?>0).

知識拓展

積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以推廣到多個(gè)非負(fù)因數(shù)的情況.

y/abcd=y[a-4b-\/c-Vd(a>0,b>Q,c>0,d>0).

2.商的算術(shù)平方根

問題2：計(jì)算下列各組算式，對比它們的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論?請根據(jù)你得到的結(jié)論,

對和第3Kb方>。)的關(guān)系提出你的猜想，并說明理由.

/16V16

后=------詬=?

叫石=--------，南=-------;

學(xué)生計(jì)算，(1)|;泉(2&京⑶*會得出⑴⑵⑶中兩式均相等.

對照剛才得到的結(jié)論，當(dāng)位0,人>0時(shí)，器與母有什么關(guān)系?并說明理由.

學(xué)生不難猜想得到忐=祟壯0,b>0）.

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)剛才的過程加以證明.

22

解：因?yàn)楫?dāng)位0,。>。時(shí)，（回膏,償）=潴=皋所以,=春

思考：對照積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，你能總結(jié)出商的算術(shù)平方根的性質(zhì)嗎？

引導(dǎo)學(xué)生歸納：商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的

商,即

口=當(dāng)或"a++次）（介0,Z?>0）.

7b7b

歸納二次根式的性質(zhì)：

（1）積的算術(shù)平方根等于積中各因數(shù)的算術(shù)平方根的積，即曲=迎?孤（。加，

厄0）.

（2）商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的商，即

口=平（或+匕=6+逐）（閆）,&>0）.

7b7b

需要注意的幾點(diǎn)：

1.在4I=6XVb（aN0”N0）中被開方數(shù)一定是積的形式，不能出現(xiàn)《。2+爐

=后+花的錯(cuò)誤.

2.最后要檢驗(yàn)開出來的數(shù)（式）及留在根號內(nèi)的數(shù)（式），要保證它們都是非負(fù)數(shù).

例2化簡：（1）府；（2）750.

教師引導(dǎo)，學(xué)生分析：直接利用7^=迎?澗（介0,厄0）進(jìn)行化簡.

解：（1）畫=回石=眄*乃=3痣

（2）V50=V25x2=V25xV2=5V2.

例3化簡：⑴上（2）J|；（3）740^.

教師引導(dǎo)，學(xué)生分析：⑴（2）利用監(jiān)=電（介0,。>0）進(jìn)行化簡；（3）先將分?jǐn)?shù)化

\b7b

為小數(shù),再利用夠=強(qiáng)介0,

。>0）進(jìn)行化簡.

總結(jié)：

（1）被開方數(shù)分成兩部分相乘，第一部分為某數(shù)平方，第二部分中不能含一個(gè)

數(shù)的平方；

（2）當(dāng)分母不是平方數(shù)時(shí)，要給分母湊成最小的平方數(shù)；

（3）當(dāng)被開方數(shù)是小數(shù)時(shí)，先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù).

二、最簡二次根式

觀察上面例題中每個(gè)小題化簡前后被開方數(shù)的變化，請思考：

⑴化簡前，被開方數(shù)是怎樣的數(shù)？

（2）化簡后，被開方數(shù)是怎樣的數(shù)?它們還含有能開得盡方的因數(shù)嗎？

歸納：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方

的因數(shù)或因式.我們把這樣的二次根式叫作最簡二次根式.

說明：二次根式的化簡過程就是將它化為最簡二次根式的過程.

簡記為：根號下（1）不含分母（2）不含小數(shù)（3）不含平方.

練習(xí)

化簡：（1）姬；（2）748；（3）J]-（4）7^5.

學(xué)生自主完成，教師進(jìn)行評價(jià).

答案：（1）舊=夜又=⑺x/

（2）V48=V16X3;V16xV3=4V3

課堂練習(xí)

1.在下列根式：4百，百，揚(yáng)，府中，最簡二次根式有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

2.若即可正可=如與.7^2則X的取值范圍是()

A.x>—3B.x>2C.x>_3D.x>2

3.化簡：

⑴后⑵斤7)x(一14);⑶忌⑷.

參考答案

l.C2.B

3.解：fl)V125=7s2x5=5A/5;

(2)7(-7)x(-14)=V7x14=J72x2=76；

L4I4xI22x2yJx

⑶19%J(3x)23x，

(4)J-44=02x/x(-%)=—2%V—%.

課堂小結(jié)

1.積的算術(shù)平方根等于積中各因數(shù)的算術(shù)平方根的積，即孤石=8?歷(近0,后0).

2.商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的商，即

H=孚(或，a+b=VH+VK)(tz>0,Z?>0).

7b7b

3.最簡二次根式

一般地，如果一個(gè)二次根式滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，

②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，我們把這樣的二次根式叫做最簡

二次根式.

布置作業(yè)

完成教材練習(xí)及習(xí)題.

板書設(shè)計(jì)

15.1二次根式

第2課時(shí)二次根式的性質(zhì)

二次根式的性質(zhì)：疝^=樂死(心0,心0)；

=親或V。+b=+VF)(心0力>0)

二次根式

最簡二次根式：一般地，如果一個(gè)二次根式滿足：①被開方

數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含能開得盡方

的因數(shù)或因式，我們把這樣的二次根式叫作最簡二次根式

第十五章二次根式

15.2二次根式的乘除運(yùn)算

教學(xué)目標(biāo)

1.了解二次根式的乘除運(yùn)算法則；

2.會運(yùn)用二次根式的乘除法則進(jìn)行簡單的運(yùn)算；

3.會進(jìn)行分母有理化.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握二次根式的乘除運(yùn)算法則，并會運(yùn)用二次根式的乘除法則進(jìn)行簡

單的運(yùn)算.

難點(diǎn)：會進(jìn)行分母有理化.

教學(xué)過程

探究新知

一、二次根式的乘除

問題1：二次根式具備哪些性質(zhì)？反向利用他們，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（1）積的算術(shù)平方根等于積中各因數(shù)的算術(shù)平方根的積，

即?b=m?&（tz>0,Z>>0）

（2）商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的商，

即=￥Ca-0,5>。）-

反向利用得出：Va-Vb=4cTb（t?>0,厄0）,即為二次根式的乘法

奈=J|（a>0,b>0）,即為二次根式的除法

總結(jié)：（1）二次根式的乘法法則:上證=VaTbda>0,b>0）,即兩個(gè)二次根式

相乘，將它們的被開方數(shù)相乘.

注意：①至0,歷0是公式成立的必要條件；

②公式中的小6既可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但都必須是非負(fù)的；

③此法則也可以推廣為VH?班?A/F?迎=yja-b-c-d(a>0,b>0,c>0,d>

0).

(2)二次根式的除法法則：任=得(a>0,b>0),即二次根式相除，把被

開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.

注意：①至0,6>0是公式成立的必要條件；

②公式中的人人既可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但都必須是非負(fù)的；

二、例題講解

例1計(jì)算下列各式:

(1)V3xV2；(2)V8xV32;(3)V20xV50.

解：⑴巡；

(2)V8xV32=V8x32=7256=16；

(3)V20xV50=V20x50=Vl000=10V10.

對于第(3)個(gè)你還有其他解法嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生觀察:

V20xV50

=2V5x5V2

=2xV5x5xV2

=10V10.

相比較而言，哪個(gè)解法更好？

學(xué)生通過對比發(fā)現(xiàn)第一個(gè)解法更好，先乘再化.

三、分母有理化

例2計(jì)算下列各式:

(2)

_2^7_2V105

V1515'

思考：對于(1)你還有其他想法嗎？學(xué)生獨(dú)立思考，發(fā)表自己的見解.

方法二：⑴解：黑=窯=季

V3V3'V33

問題：觀察原式和化簡后的式子有何不同？

教師總結(jié)：把分母中的根號化去，叫做分母有理化.

歸納：分母有理化的一般步驟：

“一移”，即將分子、分母中能開得盡方的因數(shù)（式）開方后移到根號外;

“二乘”，即將分子、分母同乘分母的有理化因數(shù)（式）；

“三化”，即化簡計(jì)算.

大家談?wù)劊赫埦托∶骱痛髣偡謩e計(jì)算四xW旦寫的做法給予評價(jià)，并談?wù)勀愕?/p>

V3

想法.

小明的做法（先運(yùn)算后化簡）大剛的做法（先化簡后運(yùn)算）

V2xV18必如

=V2x18=V2xV2x~9

=V36=A/2x3A/2

=6.=6.

V273V3、

課堂練習(xí)

1.下列計(jì)算正確的是（）

A.4&x2遍=6V5B.5V2x5V3=5V6

C.2V3x3g=6V3D.3V5x5百=15V15

,,V3-%冷成立,

2,右右二則》的取值范圍是

3.若ab>0,a+匕<0,那么下面各式

其中正確的是，

參考答案

1.D2.-1〈止3

4.解：原式=

4「20V2

=——x5V2=

2727,

課堂小結(jié)

1.二次根式的乘法法則:

兩個(gè)二次根式的積，等于被開方數(shù)的積的算術(shù)平方根，VH-Vb=V^b(a>0,厄0).

2.二次根式的除法法則：

兩個(gè)二次根式的商，等于被開方數(shù)的商的算術(shù)平方根；『出或4g

7a+b)(aN0,b>0).

3.分母有理化：把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.應(yīng)用二次根式的乘

法法則可以將分母有理化.

布置作業(yè)

完成教材練習(xí).

板書設(shè)計(jì)

15.2二次根式的乘除運(yùn)算

二次根式的乘法：后聲=鬧(心o,心0)

二次根式的除法：居=?；?+VF=7a+b)(aM0,b>0)

二次根式的

乘除運(yùn)算

分母有理化

第十五章二次根式

15.3二次根式的加減運(yùn)算

教學(xué)目標(biāo)

1.理解二次根式的加減運(yùn)算的算法；

2.了解、并能識別同類二次根式；

3.會進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：二次根式加、減法則及其應(yīng)用；

難點(diǎn)：會進(jìn)行二次根式的加減混合運(yùn)算.

教學(xué)過程

舊知回顧

1.回憶合并同類項(xiàng)的方法？

(1)將同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為新的系數(shù)；

(2)字母和字母的指數(shù)保持不變

2.回憶整式的加減

計(jì)算下列各式.

(l)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)y+2y+3y；(4)3<72-2tz2+tz2.

學(xué)生課前完成，同桌核對答案.

導(dǎo)入新課

引入“二次根式的加減運(yùn)算”

兩個(gè)二次根式能否相加減呢?如何加減呢?今天我們就來學(xué)習(xí)解決的方法，教

師板書課題.

探究新知

一、二次根式的加減運(yùn)算

問題1：計(jì)算3x+5x,3e+5/，思考兩個(gè)式子有什么區(qū)別？

教師引導(dǎo)，學(xué)生回答：3x+5x=(3+5)x=8x,系數(shù)相加減，字母及其指數(shù)保持不變

類比整式的加減，得3/+5魚=(3+5)奩=8近，系數(shù)相加減，二次根式保持不

變

教師總結(jié)，二次根式的加減，類似整式的加減，運(yùn)用計(jì)算的運(yùn)算律，將被開方數(shù)

相同的二次根式系數(shù)相加減，二次根式不變。

問題2：請嘗試解決下列問題，并將你的做法和同學(xué)進(jìn)行交流.

(1)5V3+2V3;(2)712+V75；(3)6夕一下

請將你的做法和大家交流.

解：(1)573+2V3=(5+2)V3=7V3

(2)值+V75=2V3+5V3=(2+5)g=78

(3)6A/7-Jj=6V7(6-i)V7=

你能總結(jié)二次根式的加減法則嗎？

結(jié)論：

二次根式的加減運(yùn)算，就是將被開方數(shù)相同的項(xiàng)進(jìn)行合并.為此首先應(yīng)將每個(gè)二

次根式化為最簡二次根式，然后將被開方數(shù)相同的最簡二次根式的項(xiàng)進(jìn)行合并.

教師點(diǎn)睛：二次根式的加減運(yùn)算的步驟

1.將各式化為最簡二次根式；

2.合并同類二次根式.

二、例題精講

例1計(jì)算下列各式：

(1)2^-3A/12+5A/27；

解:⑴26-3短+5折

(2)A/8+Jo.5-]Jo.2-

_21y/2A/5

8r

做一做計(jì)算下列各式:

(1)2728-3V63+5V49;(2)V24+

解：(1)2728-3763+5749

=477-977+35

=(4-9)77+35

=-5A/7+35.

2c+-1----2-

65

二||口：病.

注意：1.合并結(jié)果中容易漏掉二次根式部分;

2.合并后根號外的因數(shù)是分?jǐn)?shù)的要寫成假分?jǐn)?shù)形式，不能寫成帶分?jǐn)?shù)形式.

例2計(jì)算下列各式:

(1)2月一3.；

一厲；(2)(A/48-10A/02)-3

解：(1)2A/12-3,；-^27=4y/3-^3-3^3=0.

(2)(屈1

=43-2式-9■+退=5/-11式.

歸納：二次根式的加減法運(yùn)算：

(1)將每個(gè)二次根式都化為最簡二次根式，若被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，則要先化成

假分?jǐn)?shù)；若含有小數(shù)，則要化成分?jǐn)?shù)，進(jìn)而化為最簡二次根式.

(2)原式中若有括號，要先去括號，再應(yīng)用加法交換律、結(jié)合律將被開方數(shù)相同的

最簡二次根式進(jìn)行合并.

練習(xí)：1.下列二次根式中，哪些是同類二次根式.

1

(DA/O02；⑵辰;(3)(4訴；(5)7125；⑹河.

學(xué)生分析：化為最簡二次根式后，被開方數(shù)是否相同;

而血，板,是同類二次根式.

是同類二次根式.

2.計(jì)算下列各式.

(1)2728-3763+5749；(2)扃+相_(44一屈).

3

解(1)原式=4g-9g+35=35-5近；

(2)原式=2斯+迪一點(diǎn)+4鳳2"一行+

33

課堂練習(xí)

1.下列計(jì)算正確的是()

A.&+石="B.2+夜=2近

C.372-72=3D.72-.f=—

V22

2.下列計(jì)算是否正確？

(1)^73=78^3；(2)曰+揚(yáng)=J4+9；(3)3及-應(yīng)=2應(yīng).

3.計(jì)算：

⑴回+(麻一岳)；(2)(后+后)一再_同

參考答案

1.D2.解:(1)錯(cuò)誤；(2)錯(cuò)誤；(3)正確.

3.解：(1)原式=3拒+7夜-3^=100-3g；

(2)原式=2遙+!也」應(yīng)+#=3#+'&.

244

課堂小結(jié)

1.幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式

就可以合并.合并的時(shí)候，只把“系數(shù)”相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.

2.二次根式的加減法的步驟：

(1)如果有括號，根據(jù)去括號法則去括號；

(2)把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡；

(3)合并最簡二次根式.

布置作業(yè)

完成教材習(xí)題A組.

板書設(shè)計(jì)

(實(shí)質(zhì)—合并被開方數(shù)相同的最簡二次根式

“化”：將每個(gè)二用g式化成最簡二娜式；

二個(gè)饕的］步驟‘⑵"找”：找出被開方朝目同的最簡二燒式；

加減■(

(3)“并"：將被開方數(shù)相同的最簡二斕式合并成一項(xiàng).

整式加、減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號、添括號法則在二

＜次根式的加減運(yùn)算中仍然適用.

第十五章二次根式

15.4二次根式的混合運(yùn)算

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序；

2.能運(yùn)用運(yùn)算律和乘法公式等運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算；

3.掌握利用平方差公式進(jìn)行分母有理化的方法.

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：能運(yùn)用運(yùn)算律和乘法公式等運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算;

難點(diǎn)：掌握利用平方差公式進(jìn)行分母有理化的方法.

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

復(fù)習(xí)引入“二次根式的混合運(yùn)算”

問題1：二次根式有哪些性質(zhì)和公式？

(1)壯0時(shí)，Va7=a；(2)(6)2=〃(〃20)；(3)VaF=V^-V6(tz>0,Z?>0)；

(4)H=半或7a+b=*+VF(tz>0,Z?>0).

\b7b

問題2：二次根式的加減實(shí)質(zhì)是：合并同類二次根式(被開方數(shù)相同).

問題3：整式與分式的混合運(yùn)算順序是什么？

運(yùn)算順序：先乘除，后加減.有括號的，先算括號里面的.

那么二次根式的混合運(yùn)算時(shí)怎么進(jìn)行的呢？今天我們就來學(xué)習(xí)解決的方法，教師

板書課題.

探究新知

一、二次根式的混合運(yùn)算

大家談?wù)劇兄椒?/p>

計(jì)算下列各式.

(1)V3x(V6+V10)；(2)(6V2+3V18)-V2；

(3)(V3-2)(V3+2)；(4)(V6-V3)(V6+V3).

觀察各算式的特點(diǎn)，說一說你在運(yùn)算過程中，用到了哪些運(yùn)算律和乘法公式.

學(xué)生分析：第⑴題可直接運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算；第⑵題用括號內(nèi)的每

一項(xiàng)分別除以魚再相加；(3)利用平方差公式直接計(jì)算；(4)利用平方差公式計(jì)算.

學(xué)生在練習(xí)本上完成.

解：(1)百義(代+內(nèi))=百＞代+8*71^=71^+聞=3企+聞.

(2)(672+3718)^-a=6/+V2+3V18+72=6+9=15.

(3)(V3-2)(V3+2)=(V3)2-22=3-4=-l.

(4)(V6-V3)(V6+V3)=(V6)2-(V3)2=6-2=3.

教師強(qiáng)調(diào)：計(jì)算的結(jié)果要化為最簡二次根式或整式，對于(2)你還有其他方法嗎?

鼓勵(lì)學(xué)生可以將3同化成最簡二次根式，再求值.

通過此題總結(jié)：二次根式的混合運(yùn)算

1.運(yùn)算順序：先算乘除，后算加減；如果有括號，要先算括號里面的.

2.運(yùn)算律、乘法公式仍然適用：

平方差公式：(。+6)(。-6)-6?；

完全平方公式：(?！纀p=/土2ab+b1.

二、例題講解

例1計(jì)算下列各式.

(1)V2x(V8-V10)；(2)(724+V50)-V2.

教師指導(dǎo)，學(xué)生分析：(1)把乘法運(yùn)算的結(jié)果化成最簡二次根式或整式，再進(jìn)行

加減運(yùn)算；(2)不是最簡二次根式的可以先化簡，再進(jìn)行計(jì)算.

學(xué)生獨(dú)立思考后完成，教師指兩名學(xué)生板演，全班講評.

解：(1)思路一：V2x(V8-V10)=V16-V20=4-2V5.

思路二：V2x(V8-V10)=V2x(2V2-V2XV5)=4-2V5.

(1)思路一：

(V24+同)+V2=V24+應(yīng)+V50+V2=V12+V25=2V3+5.

思路二：

(V24+同)+V2=(2V6+5V2)^^=2連+V2+5V2+V2=2V3+5.

說明：教師要鼓勵(lì)學(xué)生采用不同的方法進(jìn)行計(jì)算，提倡方法的多樣化.

練習(xí)：選擇合適的算法計(jì)算下列各式.

⑴巧⑵(3屈-2后)+右.

教師指導(dǎo)，學(xué)生分析：(1)用乘法分配律可使計(jì)算簡便.

(2)先計(jì)算括號里面的可使計(jì)算簡便.

⑵原式=(126-6后+布=6導(dǎo)幣=6.

例2計(jì)算下列各式.

(1)(75+V2)(V5-V2)；(2)(V3+1)2.

想一想：(1)(6)2(介0)的值是多少？

(2)本題中的(1)(2)怎樣計(jì)算比較簡便？

分析：可以利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.

解：(1)原式=(通齊(遮)2=5-2=3.

(2)原式=(遮P+2XV3xl+l2=3+2V3+l=4+2V3.

注意：(1)運(yùn)算律仍然適用；

(2)乘法公式仍然適用；

(3)運(yùn)算的結(jié)果可能是二次根式，也可能是有理式，如果是二次根式，要化為最

簡二次根式.

練習(xí)：計(jì)算下列各式.(1)花x(2V5-3V15);(2)(V7-1)2;(3)(73-V2)x(V12+V8).

解：(l)7ix(2括一3A)=3A=10-154.

⑵(近-1)2=(77)2-2x77x1+12=7-2b+l=8-2s.

(3)(V3-72)X(V12+V8)

=(6-亞)x(2百+2行)

=2(6—收)x(6+0)

=2[⑻-(列

=2x(3-2)=2.

二、分母有理化

例3計(jì)算下列各式.

(1)券(2)(5+V3)(V3-3).

引導(dǎo)學(xué)生思考：(1)中怎樣能把其分母有理化？

(2)應(yīng)采用哪種方法計(jì)算.

學(xué)生思考后得出⑴中分子、分母同時(shí)乘(奩+1);(2)利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則

進(jìn)行計(jì)算.

教師巡視指導(dǎo)后展示答案，分析過程.

解：⑴=亮］磬=岳1?

(V2-1)(V2+1)2-1

(2)(5+V3)(V3-3)=5V3-15+(V3)2-3A/3=2V3-12.

分母有理化：把分母中含二次根式的式子化為分母中不含二次根式的式子.像這樣，把分母

中的二次根式化去，叫做分母有理化.

分母有理化的常用方法：

_