21.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)①會(huì)用描點(diǎn)法畫出畫出二次函數(shù)的圖象，會(huì)利用些特殊點(diǎn)畫出二次函數(shù)的草圖；②通過(guò)圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)，知道二次函數(shù)的系數(shù)與圖象形狀和對(duì)稱軸的關(guān)系。③會(huì)根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式求其圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；④會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，能由此得出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說(shuō)出圖象的開(kāi)口方向，畫出圖象的對(duì)稱軸，得出二次函數(shù)的最大值或最小值，并能確定相應(yīng)自變量的值，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)1：①會(huì)用描點(diǎn)法畫出畫出二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象，總結(jié)圖象的特點(diǎn)，通過(guò)圖象了解二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)；②能說(shuō)出圖象的開(kāi)口方向，畫出圖象的對(duì)稱軸，得出二次函數(shù)的最大值或最小值。課時(shí)2：①會(huì)熟練畫出二次函數(shù)y=ax2+k(a≠0)的圖象，能根據(jù)圖象識(shí)記y=ax2+k(a≠0)的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值以及增減性；②理解拋物線y=ax2+k(a≠0)是由拋物線y=ax2(a≠0)平移得到的，能準(zhǔn)確說(shuō)出平移方式。課時(shí)3：①熟練畫出二次函數(shù)y=a(x-h)2(a≠0)的圖象，根據(jù)圖象確定開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值（并能確定相應(yīng)自變量的值）、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及增減性；②理解y=ax2(a≠0)與y=a(x-h)2(a≠0)的關(guān)系，能準(zhǔn)確說(shuō)出由y=ax2(a≠0)得到y(tǒng)=a(x-h)2(a≠0)的平移方式。課時(shí)4：①熟練畫出二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象，能根據(jù)圖象確定y=a(x-h)2+k(a≠0)的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、最值（并能確定相應(yīng)自變量的值）、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及增減性；②理解y=ax2(a≠0)與y=a(x-h)2+k(a≠0)的關(guān)系，能準(zhǔn)確說(shuō)出由y=ax2(a≠0)得到y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0)的平移方式。課時(shí)5：①會(huì)用配方法或公式法將一般式y(tǒng)=ax2+bx+c化成項(xiàng)點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，從而確定開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；②會(huì)利用特殊點(diǎn)畫出y=ax2+bx+c的草圖；③理解二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)，理解其對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為?！n時(shí)6：①了解方程組與二次函數(shù)之間的關(guān)系；②會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=ax2+bx+c；③會(huì)聯(lián)立方程組求二次函數(shù)拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+b的交點(diǎn)坐標(biāo)。（說(shuō)明：知識(shí)點(diǎn)按照課時(shí)順序進(jìn)行編排）知識(shí)點(diǎn)01畫二次函數(shù)的圖象①列表-描點(diǎn)-連線五點(diǎn)法作二次函數(shù)的圖象：是一條拋物線。②拋物線的主要特征：有開(kāi)口方向、有對(duì)稱軸、有頂點(diǎn)?！炯磳W(xué)即練1】在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出下列函數(shù)的圖象：①；②；③；④,從圖象對(duì)比，說(shuō)出解析式中二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)拋物線的形狀有什么影響？【答案】作圖見(jiàn)解析，的絕對(duì)值相同，兩條拋物線的形狀就相同；越大，開(kāi)口越小【詳解】解：列表如下：012410148202800描點(diǎn)：見(jiàn)表中的數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中描出，連線：用平滑的線連接，如圖所示：由圖象可知：的絕對(duì)值相同，兩條拋物線的形狀就相同；越大，開(kāi)口越?。R(shí)點(diǎn)02二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)y=ax2對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)圖象增減性開(kāi)口方向開(kāi)口大小a>0y軸（0，0）x>0，y隨x的增大而增大;x<0，y隨x的增大而減小開(kāi)口向上圖象在x軸上方/a/的越大，拋物線開(kāi)口越小，圖象越靠近y軸。a<0x>0，y隨x的增大而減小;x<0，y隨x的增大而增大開(kāi)口向下圖象在x軸下方【即學(xué)即練2】在二次函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，則的值為（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【詳解】解：∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，∴點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，且，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴．故選：A．【即學(xué)即練3】（23-24九年級(jí)上·安徽滁州·期末）二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，若拋物線開(kāi)口向上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵二次函數(shù)開(kāi)口向上，∴，即，故選：B．【即學(xué)即練4】已知二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，∴點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，且，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴．故選：A．【即學(xué)即練5】在同一坐標(biāo)系中，作，，的圖象，它們的共同特點(diǎn)是（

）A．拋物線的開(kāi)口方向向上B．都是關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線，且隨的增大而增大C．都是關(guān)于鈾對(duì)稱的拋物線，且隨的增大而減小D．都是關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線，有公共的頂點(diǎn)【答案】D【詳解】解：函數(shù)，的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，函數(shù)的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：D.【即學(xué)即練6】如圖，①，②，③，④，比較a．b．c．d的大小，用“”連接．

【答案】【詳解】解：因?yàn)橹本€與四條拋物線的交點(diǎn)從上到下依次為，

所以，．故答案為：．【即學(xué)即練7】拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)為何值時(shí)，的值隨著的增大而增大？【答案】(1)(2)【詳解】（1）把點(diǎn)代入中得：這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為；（2）拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為軸時(shí)，的值隨著的增大而增大．知識(shí)點(diǎn)03二次函數(shù)y=ax2+k的圖象與性質(zhì)y=ax2+ka>0a<0圖象對(duì)稱軸：y軸頂點(diǎn)坐標(biāo)：（0，k）增減性x>0，y隨x的增大而增大;x<0，y隨x的增大而減小x>0，y隨x的增大而減小;x<0，y隨x的增大而增大開(kāi)口方向開(kāi)口向上（圖象在直線y=k的上方）開(kāi)口向下（圖象在直線y=k的下方）開(kāi)口大小/a/的越大，拋物線開(kāi)口越小，圖象越靠近y軸最值x=0時(shí)，取得最小值kx=0時(shí)，取得最大值ky=ax2+k與y=ax2圖象之間的關(guān)系k>0，y=ax2向上平移/k/個(gè)單位得到y(tǒng)=ax2+kk<0，y=ax2向下平移/k/個(gè)單位得到y(tǒng)=ax2+k【即學(xué)即練8】已知拋物線，下列說(shuō)法正確的是（

）A．開(kāi)口向下 B．關(guān)于y軸對(duì)稱 C．頂點(diǎn)是 D．y有最大值【答案】B【詳解】解：∵，，∴拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為；綜上：只有選項(xiàng)B是正確的；故選B．【即學(xué)即練9】（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期中）已知點(diǎn)，在二次函數(shù)上，且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】C【詳解】解：由得對(duì)稱軸為軸，，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，，；故選：C．【即學(xué)即練10】已知拋物線，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．【答案】【詳解】解：，時(shí)，隨的增大而減小，，時(shí)，的最大值；當(dāng)時(shí)，最?。娜≈捣秶牵蚀鸢笧椋海R(shí)點(diǎn)04二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象與性質(zhì)y=a(x-h)2a>0a<0圖象對(duì)稱軸：x=h頂點(diǎn)坐標(biāo)：（h，0）增減性x>h，y隨x的增大而增大;x<h，y隨x的增大而減小x>h，y隨x的增大而減小;x<h，y隨x的增大而增大開(kāi)口方向開(kāi)口向上（圖象在x軸的上方）開(kāi)口向下（圖象在x軸的下方）開(kāi)口大小/a/的越大，拋物線開(kāi)口越小，圖象越靠近直線x=h最值x=h時(shí)，取得最小值0x=h時(shí)，取得最大值0y=a(x-h)2與y=ax2圖象之間的關(guān)系h>0，y=ax2向右平移/h/個(gè)單位得到y(tǒng)=a(x-h)2h<0，y=ax2向左平移/h/個(gè)單位得到y(tǒng)=a(x-h)2【即學(xué)即練11】（2024·安徽宿州·二模）對(duì)于二次函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．開(kāi)口向上 B．對(duì)稱軸是直線C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大【答案】D【詳解】解：A、因?yàn)槎魏瘮?shù)的表達(dá)式為，所以拋物線的開(kāi)口向上．故此選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；B、拋物線的對(duì)稱軸是直線，故此選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；C、因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故此選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；D、因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線，且開(kāi)口向上，所以當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故此選項(xiàng)說(shuō)法不正確，符合題意；故選：D．【即學(xué)即練12】（22-23九年級(jí)上·安徽蚌埠·期中）若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則，，大小關(guān)系為．【答案】/【詳解】∵二次函數(shù)為：∴∴二次函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為：，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而減小，∵，∴，故答案為：知識(shí)點(diǎn)05二次函數(shù)y=a(x-h)2+k圖象與性質(zhì)y=a(x-h)2+ka>0a<0圖象k>0,h>0k>0,h<0k<0,h>0k<0,h<0k>0,h<0k>0,h>0k<0,h>0k<0,h<0對(duì)稱軸：x=h頂點(diǎn)坐標(biāo)：（h，k）增減性x>h，y隨x的增大而增大;x<h，y隨x的增大而減小x>h，y隨x的增大而減小;x<h，y隨x的增大而增大開(kāi)口方向開(kāi)口向上（圖象在直線y=k的上方）開(kāi)口向下（圖象在直線y=k的下方）開(kāi)口大小/a/的越大，拋物線開(kāi)口越小，圖象越靠近直線x=h最值x=h時(shí)，取得最小值kx=h時(shí)，取得最大值ky=a(x-h)2+k與y=ax2圖象之間的關(guān)系(二次函數(shù)的平移)拋物線的形狀不變，頂點(diǎn)位置由（0，0）平移到（h，k）【即學(xué)即練13】（2024·湖南衡陽(yáng)·一模）已知拋物線，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．拋物線的開(kāi)口向上 B．拋物線的對(duì)稱軸為直線C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小D．將拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，則得到的拋物線解析式為【答案】D【詳解】拋物線中，，拋物線開(kāi)口向上，A選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；由解析式得，拋物線的對(duì)稱軸為直線，B選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，C選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；將拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，則得到的拋物線解析式為，即，D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選D．【即學(xué)即練14】將某二次函數(shù)的圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后得到新的二次函數(shù)的圖象，則原二次函數(shù)的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為圖象向上平移2個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由于平移不改變圖形的形狀與大小，則平移前的拋物線表達(dá)式為；故選B．【即學(xué)即練15】下列圖象中，可能是的圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】解：∵，∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)為，觀察圖象，則C選項(xiàng)符合題意，故選：C．【即學(xué)即練16】（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線上任意兩點(diǎn)．（1）若對(duì)于，有，則；（2）若對(duì)于，都有，求的取值范圍．【答案】3【詳解】解：（1）∵對(duì)于，有，∴，解得：；故答案為：3（2）∵，∴，∵，，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，點(diǎn)距離對(duì)稱軸的距離小于點(diǎn)距離對(duì)稱軸的距離，且點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，∴．故答案為：【技巧與方法】a>0,離對(duì)稱軸越近的店其函數(shù)值越??；a<0，離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)，其函數(shù)值越大。知識(shí)點(diǎn)06二次函數(shù)三種形式表達(dá)式之間的關(guān)系二次函數(shù)的解析式有三種形式：①一般式：，②頂點(diǎn)式：利用配方法把二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k：其中h=，k=※③兩根式：當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根和存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示?！炯磳W(xué)即練17】（1）將二次函數(shù)配方后變成，對(duì)稱軸是直線．（2）將二次函數(shù)配方后變成，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取值范圍是．（3）二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為．（4）將二次函數(shù)配方后變成，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是；當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)有最小值，最小值為．【答案】（1）、；（2）、、、、；（3）、、；（4）、、、、【詳解】解：（1），對(duì)稱軸是直線；故答案為：，；（2），頂點(diǎn)坐標(biāo)是．∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取值范圍是；故答案為：，，，，；（3），則對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為．故答案為：，，，；（4），對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值，最小值為．故答案為：，，，，．【即學(xué)即練18】（22-23九年級(jí)上·安徽安慶·期末）拋物線上的點(diǎn)到x軸的最短距離為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴拋物線開(kāi)口向上，∴拋物線有最低點(diǎn)，∴拋物線上的點(diǎn)到x軸的最短距離為2．故選：D．【即學(xué)即練19】（23-24九年級(jí)上·安徽滁州·期中）如果一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，那么該拋物線的對(duì)稱軸是直線．【答案】【詳解】解：∵一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，∴該拋物線的對(duì)稱軸是直線；故答案為：知識(shí)點(diǎn)07二次函數(shù)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c的系數(shù)與圖象的關(guān)系y=ax2+bx+ca>0，開(kāi)口向上a<0，開(kāi)口向下對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，），與y軸的交點(diǎn)（0，c）最值x=時(shí)，有最小值：x=時(shí)，有最大值：增減性當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大；簡(jiǎn)記左減右增；當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減??；簡(jiǎn)記左增右減；【即學(xué)即練20】已知二次函數(shù)（1）若則函數(shù)的最大值為．（2）若，當(dāng)時(shí)，的最大值為5，則的值為．【答案】41或【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)為，∵，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，最大值為．故答案為：；（2）∵，∴該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線．當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．∵x軸上到的距離比到的距離大，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，最大值為，∴，解得：．綜上可知a的值為或．故答案為：1或．【注意】對(duì)稱軸不確定時(shí)，需要分類討論函數(shù)的最大值【即學(xué)即練21】（2024·安徽合肥·三模）二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，都在函數(shù)圖象上．（1）；（2）若，則的取值范圍為．【答案】1或【詳解】解：（1）二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，，故答案為：1；（2）點(diǎn)，都在二次函數(shù)的圖象上，，，即，或．故答案為：或．【即學(xué)即練22】（23-24九年級(jí)上·安徽馬鞍山·期中）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【詳解】解：∵拋物線開(kāi)口向下，∴，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴，∴，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，∴，∴，①錯(cuò)誤．∵時(shí)，，∴，②錯(cuò)誤．∵拋物線對(duì)稱軸為直線，時(shí)，∴時(shí)，，③正確．∵，∴，∴，∵，∴，④錯(cuò)誤．∵時(shí)y取最大值，∴，即，⑤正確．故選：A．【總結(jié)】熟練掌握拋物線的性質(zhì)和各系數(shù)表示的意義可解此類問(wèn)題：根據(jù)拋物線開(kāi)口方向，對(duì)稱軸位置，拋物線與y軸交點(diǎn)位置,拋物線對(duì)稱性及賦值x，可得a、b、c的數(shù)量關(guān)系，·分類討論——根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論確定未知參數(shù)的范圍根據(jù)最值和增減性討論自變量未知參數(shù)的范圍：先確定對(duì)稱軸和增減性，再聯(lián)系圖象進(jìn)行分類討論最值，繼而確定自變量中參數(shù)的范圍。案例：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，求t的值．根據(jù)，得出當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。嘣搾佄锞€的對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。弋?dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，求函數(shù)取得最值時(shí)自變量的取值：把代入，得，解得，．再根據(jù)二次函數(shù)的增減性，進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得最大值，解得；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得最大值．∴t的值為或2．·數(shù)形結(jié)合與代數(shù)消元——利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱性確定函數(shù)的值根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，到對(duì)稱軸距離相等的點(diǎn)的y值（函數(shù)值）相等?，F(xiàn)給出點(diǎn)A(x1，y1)、點(diǎn)B（x2，y2），根據(jù)坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)之間中點(diǎn)坐標(biāo)的表示，可知當(dāng)y1=y2時(shí)，案例：對(duì)于二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，已知點(diǎn)都在該函數(shù)圖象上，y1=y2。①求對(duì)稱軸：根據(jù)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是0，可知該函數(shù)的對(duì)稱軸，即可求出a的值為，解析式：②利用及對(duì)稱軸表示進(jìn)行消元：先代數(shù)表示函數(shù)值得到，，進(jìn)而得到，，最后應(yīng)用：在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)上的點(diǎn)、滿足．①若，比較和的大小，并說(shuō)明理由；②求的取值范圍．【答案】①，見(jiàn)解析；②【詳解】①，，．函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為．，，在對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，且．．②，當(dāng)時(shí)，有最大值，．【題型一：一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷】例1．（23-24八年級(jí)下·福建福州·期末）直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，那么的圖像大致為(

)A．B．C． D．【答案】B【詳解】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，，，二次函數(shù)的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故選：B．變式1-1（2024·河南周口·三模）直線與拋物線在同一坐標(biāo)系里的大致圖象正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】解：、由一次函數(shù)的圖象可知，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知圖象，，故選項(xiàng)不符合題意；、由一次函數(shù)的圖象可知，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知圖象，，故選項(xiàng)不符合題意；、由一次函數(shù)的圖象可知，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知圖象，，，而拋物線對(duì)稱軸位于軸右側(cè)，則，故選項(xiàng)不符合題意；、由一次函數(shù)的圖象可知，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知圖象，，對(duì)稱軸位于軸左側(cè)，則，故選項(xiàng)符合題意；故選：．變式1-2．（2024·廣東深圳·三模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像可能是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：A、由拋物線可知，，，得，由直線可知，，，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由拋物線可知，，，得，由直線可知，，，故本選項(xiàng)符合題意；C、由拋物線可知，，，得，由直線可知，，，故本選項(xiàng)不符合題意；D、由拋物線可知，，，得，由直線可知，，，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．變式1-3．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）若將拋物線向右平移個(gè)單位，得到拋物線，則函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵將拋物線向右平移個(gè)單位，得到拋物線，∴對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，且交于y軸的正半軸，∴，∴的圖象過(guò)第一、二、四象限．故選：C【方法技巧與總結(jié)】①根據(jù)一次函數(shù)圖象確定參數(shù)k、b得正負(fù)情況；②再結(jié)合拋物線的圖象與其各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系從而判斷出函數(shù)開(kāi)口方向，對(duì)稱軸的位置；【題型二：二次函數(shù)圖象的平移變換】例2．（2024·安徽阜陽(yáng)·三模）若將拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度或向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵將拋物線向左平移1個(gè)單位或向右平移3個(gè)單位后都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，，，故選：D．變式2-1.（23-24九年級(jí)上·安徽滁州·期中）將拋物線先向右平移4個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，得到拋物線的表達(dá)式為．【答案】【詳解】解：依題意，因?yàn)閽佄锞€先向右平移4個(gè)單位，所以因?yàn)橄蛳缕揭?個(gè)單位，所以，故答案為：變式2-2．將拋物線的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】將拋物線的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，故選：D．【方法技巧與總結(jié)】將拋物線的平移問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)平移進(jìn)行解題，坐標(biāo)平移滿足“左減右加”的原則?！绢}型三：二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換】例3．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）與拋物線關(guān)于y軸成軸對(duì)稱關(guān)系的拋物線是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與拋物線關(guān)于y軸成軸對(duì)稱關(guān)系的拋物線是．故選：C．變式3-1.拋物線與拋物線的相同點(diǎn)是（

）A．頂點(diǎn)相同 B．對(duì)稱軸相同 C．拋物線形狀相同 D．頂點(diǎn)都在軸上【答案】D【詳解】解：A．拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．拋物線的對(duì)稱軸是，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．∵拋物線與的a的值不同，拋物線形狀不同，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是，頂點(diǎn)都在軸上，故選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．【技巧與方法】將圖象的對(duì)稱變換轉(zhuǎn)化為特殊點(diǎn)的對(duì)稱變化：利用頂點(diǎn)坐標(biāo)的變化確定拋物線的變換．根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)、縱坐標(biāo)相同，求出對(duì)稱后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)【題型四：己知拋物線上對(duì)稱的兩點(diǎn)表示對(duì)稱軸】例4．（22-23九年級(jí)上·安徽合肥·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)，其中．此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線；【答案】/0.5【詳解】二次函數(shù)，函數(shù)經(jīng)過(guò)和，是對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，故答案為：變式4-1．（22-23九年級(jí)上·安徽合肥·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)，其中．已知點(diǎn)和在此函數(shù)的圖象上，若，則的取值范圍是；【答案】【詳解】二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，又和在此函數(shù)的圖象上，對(duì)稱軸為直線，畫出圖象如下圖，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)，，點(diǎn)應(yīng)在線段下方部分的拋物線上（包括點(diǎn)、），，故答案為：【方法技巧與總結(jié)】利用對(duì)稱軸解決問(wèn)題：①找對(duì)稱點(diǎn)，表示出對(duì)稱軸；②根據(jù)對(duì)稱軸和二次項(xiàng)系數(shù)，作拋物線的草圖，結(jié)合圖象解決問(wèn)題?！绢}型五：綜合判斷含參數(shù)的二次函數(shù)的性質(zhì)】例5．（23-24九年級(jí)上·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）．A．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．當(dāng)時(shí)，若，則隨的增大而減小D．無(wú)論取何值，函數(shù)圖象部經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)【答案】C【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，，隨的增大而增大，故A正確，不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故B正確，不符合題意；C、當(dāng)時(shí)，，∴若，則隨的增大而增大，故C錯(cuò)誤，符合題意；D、，當(dāng)時(shí)，的值與m無(wú)關(guān)，此時(shí)，即該函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故D正確，不符合題意；故選：C．變式5-1（2024·安徽合肥·三模）直線與拋物線位于同一坐標(biāo)系內(nèi)，下列關(guān)于它們的說(shuō)法不正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大B．當(dāng)時(shí)，的圖像一定不過(guò)第三象限C．當(dāng)時(shí)，與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍是D．與的圖像一定有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】C【詳解】解：，故當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，A選項(xiàng)正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，過(guò)二，四象限，由于直線必定過(guò)，故直線過(guò)一，二，四象限，不過(guò)第三象限，B選項(xiàng)正確，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，故在拋物線內(nèi)部，故與的圖像一定有兩個(gè)交點(diǎn)，且與交點(diǎn)分在的兩側(cè)，故D選項(xiàng)正確，不符合題意；由此可知，C選項(xiàng)不正確，符合題意；故選：C．變式5-2（2024·安徽合肥·二模）拋物線的頂點(diǎn)為A，過(guò)A點(diǎn)作y軸的平行線交直線于點(diǎn)B，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．拋物線的對(duì)稱軸為直線B．拋物線過(guò)定點(diǎn)C．若拋物線與直線在第一象限有交點(diǎn)，則D．線段的最小值為1【答案】C【詳解】A、拋物線的對(duì)稱軸為：直線，故A選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，，故B選項(xiàng)不符合題意；C、如圖，當(dāng)過(guò)時(shí)，∴，∴，∴拋物線與直線在第一象限有交點(diǎn)，則；故C符合題意；D、由題意得：，則，，時(shí)，有最小值1，故D選項(xiàng)不符合題意，故選：C．【總結(jié)】靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，排除法作選擇題?！绢}型六：根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷各項(xiàng)系數(shù)及其代數(shù)式的符號(hào)】例6．（2024·安徽池州·三模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】A、拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，，即，故A錯(cuò)誤；B、拋物線開(kāi)口方向向上，，由拋物線與y軸的交點(diǎn)可知，，故B錯(cuò)誤；C、拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，，即，故C錯(cuò)誤；D、由圖象可知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，即，故D正確．變式6-1．如圖是二次函數(shù)圖像的一部分，對(duì)稱軸為直線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，D．若，，在該函數(shù)圖像上，則【答案】B【詳解】解：如圖：根據(jù)拋物線對(duì)稱性補(bǔ)全圖象得：∵拋物線開(kāi)口方向向下，交軸于正半軸，∴，，又∵對(duì)稱軸為直線，即，∴，∴，故B錯(cuò)誤，不符合題意；由函數(shù)圖象可得，當(dāng)時(shí)，，即，故A正確，符合題意；∴由函數(shù)圖象可得當(dāng)當(dāng)時(shí)，有可能，C錯(cuò)誤，不合題意；由函數(shù)圖象對(duì)稱性可得，當(dāng)與時(shí)，函數(shù)值相同，∵，∴由函數(shù)的增減性可得：，D錯(cuò)誤，不合題意；故選A．變式6-2．二次函數(shù)的圖象如圖所示，與x軸左側(cè)交點(diǎn)為，對(duì)稱軸是直線．下列結(jié)論：①；②；③；④（m為實(shí)數(shù)）．其中結(jié)論正確的為（）A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【詳解】解：由圖象可知，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，與軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，，、異號(hào)，，，，①結(jié)論正確；拋物線對(duì)稱軸是直線，，，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，，②結(jié)論錯(cuò)誤；由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，，又，，③結(jié)論錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，為最小值，，，④結(jié)論正確，故選：A．變式6-3.（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，）與的圖象如圖所示，給出下面4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．上述結(jié)論中、所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①③④【詳解】①由圖象可知：拋物線與軸無(wú)交點(diǎn)，即故此選項(xiàng)正確；②由圖象可知：拋物線過(guò)點(diǎn)，即當(dāng)時(shí),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；③由圖象可知：二次函數(shù)拋物線的圖象過(guò)點(diǎn)和，當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),，，故③正確；④由圖象可知，當(dāng)時(shí)，拋物線在直線的下方,即當(dāng)時(shí),，故此選項(xiàng)正確；故答案為:①③④.【方法技巧與總結(jié)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的開(kāi)口方向，當(dāng)時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)與同號(hào)時(shí)（即），對(duì)稱軸在軸左；當(dāng)與異號(hào)時(shí)（即），對(duì)稱軸在y軸右．（簡(jiǎn)稱：左同右異）；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與軸交點(diǎn)，拋物線與y軸交于；x=1時(shí)，判斷a+b+c的符號(hào)；x=-1時(shí)，判斷a-b+c的符號(hào).【題型七：待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達(dá)式】例7．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、D（在的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C，且，，對(duì)稱軸是直線，求二次函數(shù)的解析式．【答案】【詳解】解：由題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，又拋物線過(guò)，，對(duì)稱軸是直線，∴解得，∴拋物線的解析式為變式7-1．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)解析式．【答案】【詳解】解：將，代入可得:，解得：，所以拋物線的函數(shù)解析式為．變式7-2．（23-24九年級(jí)上·安徽六安·期末）已知拋物線過(guò)點(diǎn)，求拋物線的解析式．【答案】【詳解】解：拋物線過(guò)點(diǎn)，，即，得：，，把代入①得：，拋物線的解析式為：．例8．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）已知拋物線的圖象頂點(diǎn)為，且過(guò)，試求a、b．c的值．【答案】，，【詳解】解：由題意設(shè)拋物線為；

把代入，得：解得：

∴∴，，變式8-1．二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如表：x…012…y…5005…求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.【答案】【詳解】由題意，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為，即．【技巧與方法】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：①若已知拋物線上任意兩點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，就先設(shè)二次函數(shù)的解析式為，然后將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入解析式，再結(jié)合對(duì)稱軸是直線，求出a，b，c；②若已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和任意一點(diǎn)坐標(biāo)，就設(shè)兩點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)；③若已知若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和任意一點(diǎn)坐標(biāo)就設(shè)頂點(diǎn)式?！绢}型八：根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性求最短路徑】例9．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，已知P是拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】【詳解】由于A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接交直線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求，

令，則，解得：∴，，當(dāng)時(shí)，，∴設(shè)直線的解析式為，帶入得，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為變式9-1．如圖所示，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)．在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得的值最小，若存在，清求出點(diǎn)P的坐標(biāo)并求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】．【詳解】假設(shè)存在點(diǎn)，使得的值最小∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴拋物線的對(duì)稱軸與的交點(diǎn)就是使得的值最小的點(diǎn)的位置，如圖，∵，∴．又∵，，∴直線的解析式為：，又∵點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上，將代入直線的解析式，得到：，∴又∵，∴,即，的最小值為．變式9-2.（2021·安徽安慶·二模）已知拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A(0，3)，與x軸分別交于B(1，0)、C(5，0)兩點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（3）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M動(dòng)身，先抵達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再抵達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．（P可在平面坐標(biāo)系內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)），求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出最短總路徑的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路徑為，此時(shí)，【詳解】（1）將A(0，3)，B(1，0)、C(5，0)代入y＝ax2+bx+c，，解得：，∴；（2）∵M(jìn)為OA的中點(diǎn)，∴，作與M關(guān)于x軸對(duì)稱，∴，設(shè)A與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且在拋物線上，∴，連接，∵兩點(diǎn)間線段最短，且由對(duì)稱性可知，，∴當(dāng)，E，F(xiàn)，四點(diǎn)在一條直線上時(shí)，路徑最短，∴即為最短路徑，設(shè)解析式為，代入，得，，解得：，∴解析式為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短路徑為，此時(shí)，．【方法技巧與總結(jié)】求三點(diǎn)之間的最短距離問(wèn)題，關(guān)鍵是軸對(duì)稱性質(zhì)：作已知一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化線段，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，三點(diǎn)共線時(shí)即為所求最短距離．【題型九：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)范圍】例10．（23-24九年級(jí)上·安徽宣城·期末）已知點(diǎn)、、、，若拋物線與四邊形的邊沒(méi)有交點(diǎn)，則a的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【詳解】解：如圖所示：把代入得，，把代入得，拋物線的開(kāi)口越小，的絕對(duì)值越大，拋物與四邊形的邊沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍為：或故選C．變式10-1.（2024·陜西西安·一模）若拋物線（m是常數(shù)）的頂點(diǎn)到x軸的距離為2，則m的值為（）A． B． C．﹣或 D．或【答案】D【詳解】解：，∴拋物線（m是常數(shù)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵頂點(diǎn)到x軸的距離為2，∴，即或，解得或，故選：D．變式10-2．（2024·安徽宿州·二模）拋物線（a，b，c是常數(shù)且）經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，下列結(jié)論可能成立的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，∴，．∵，∴，整理，得：，故B和D錯(cuò)誤；∵，∴當(dāng)時(shí)，，即，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可能成立，即可能成立，故C正確．故選C．例11.（22-23九年級(jí)上·安徽合肥·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)，其中．（1）此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線；（2）已知點(diǎn)和在此函數(shù)的圖象上，若，則的取值范圍是；【答案】/0.5【詳解】（1）二次函數(shù)，函數(shù)經(jīng)過(guò)和，是對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，故答案為：（2）二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，又和在此函數(shù)的圖象上，對(duì)稱軸為直線，畫出圖象如下圖，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)，，點(diǎn)應(yīng)在線段下方部分的拋物線上（包括點(diǎn)、），，故答案為：變式11-1．（2024·安徽馬鞍山·一模）設(shè)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都滿足，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，將代入，得：，化簡(jiǎn)得：，即，故選：D．【思想方法】數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、消元【題型十：在二次函數(shù)與圖形綜合問(wèn)題中利用兩點(diǎn)間的距離表示線段的長(zhǎng)】例12.平移拋物線，平移后的圖象記為圖象，其頂點(diǎn)在拋物線上，直線分別與拋物線和函數(shù)圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的最大值．【答案】【詳解】解：平移拋物線，其頂點(diǎn)始終在二次函數(shù)上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故平移后的解析式為，，直線分別與拋物線和函數(shù)圖象G交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，（），，

當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)的最大值為．變式12-1．如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)相交于兩點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且平行于軸，求在移動(dòng)過(guò)程中，線段的最大值．【答案】2【詳解】解：設(shè)，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為2．變式12-2.（2024·安徽淮北·三模）拋物線，與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為．若點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為t，作軸，且點(diǎn)Q位于一次函數(shù)的圖像上．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度隨t的增大而增大，則t的取值范圍是．【答案】1【詳解】解：（1）由題意，將代入中，得，解得，故答案為：1；（2）由（1）得拋物線的表達(dá)式為，聯(lián)立方程組，解得或，∴拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度隨t的增大而減小，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度隨t的增大而增大，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度隨t的增大而減小，故答案為：．【技巧與方法】①先根據(jù)條件表示出線段端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用函數(shù)表達(dá)式表示端點(diǎn)的縱坐標(biāo)；③利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出線段的長(zhǎng)（一般情況下是建立一個(gè)新的二次函數(shù)）例13．（2024·安徽蕪湖·三模）如圖，拋物線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)，，，連接，已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，．(1)求，的值．(2)若點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)作，交拋物線于點(diǎn)，求線段的最大值．(3)若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)，，，為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)；(3)或．【詳解】（1）由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，解得；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∵，∴，∴為等腰直角三角形，，∵點(diǎn)在拋物線上，∴設(shè)，∴∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，∴的最大值為；（3）設(shè)，情況一：如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，∵，，∴，解得（舍去），，∴，，∴，；情況二：如圖，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)F，，∵，，∴，解得（舍去），，∴，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．變式13-1.已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線，分別交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)面積為，面積為，求的值

【答案】【詳解】解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，，，

解得，∴拋物線的解析式為；設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，

，

，∴；【技巧與方法】①設(shè)而不求代數(shù)法；②聯(lián)立直線（一次函數(shù)表達(dá)式）和拋物線（二次函數(shù)表達(dá)式）構(gòu)造方程組，確定直線和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)。一、選擇題1．（23-24九年級(jí)上·安徽六安·期中）拋物線的圖象一定經(jīng)過(guò)（

）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】A【詳解】解：∵拋物線的圖象得對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，開(kāi)口向上，∴拋物線的圖象一定經(jīng)過(guò)第一、二象限．故選：A2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行于x軸的直線，與二次函數(shù)，分別交于A、B和C、D，若，則a為（

）

A．4 B．2 C． D．【答案】D【詳解】解：時(shí)，函數(shù)，∴∴函數(shù),∴∴∴.故選：D3．（23-24九年級(jí)上·安徽滁州·期中）下列對(duì)于二次函數(shù)，說(shuō)法不正確的是（）A．最小值為3 B．圖象與y軸沒(méi)有公共點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小 D．其圖象的對(duì)稱軸是y軸【答案】B【詳解】解：A.開(kāi)口向上，最小值為3，說(shuō)法正確；B.圖象與y軸交于，說(shuō)法錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，說(shuō)法正確；D.其圖象的對(duì)稱軸是y軸，說(shuō)法正確；故選B．4．二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，下列關(guān)于該拋物線的說(shuō)法正確的是（

）A．開(kāi)口向上 B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是C．對(duì)稱軸是直線 D．拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】B【詳解】解：∵，，∴拋物線開(kāi)口向下，故A錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是，故B正確；∵拋物線的對(duì)稱軸是y軸，故C錯(cuò)誤；∵，∴拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：B．5．對(duì)于二次函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法不正確的是（）A．開(kāi)口向上 B．對(duì)稱軸是直線C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大【答案】D【詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)的表達(dá)式為，所以拋物線的開(kāi)口向上，故A說(shuō)法正確；又拋物線的對(duì)稱軸是直線，故B說(shuō)法正確；因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故C說(shuō)法正確；因?yàn)閽佄锞€對(duì)稱軸為直線，且開(kāi)口向上，所以當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。蔇說(shuō)法不正確；故選：D．6．（23-24九年級(jí)上·安徽蚌埠·期末）關(guān)于二次函數(shù)下列說(shuō)法正確的是（

）A．拋物線開(kāi)口向上 B．當(dāng)時(shí)，有最大值C．拋物線的對(duì)稱軸是直線 D．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是【答案】A【詳解】解：由題意可得，二次函數(shù)的頂點(diǎn)為：，對(duì)稱軸為直線，故C，D選項(xiàng)錯(cuò)誤不符合題意，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，開(kāi)口向上，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意，A選項(xiàng)正確，符合題意，故選：A．7．（22-23九年級(jí)上·安徽亳州·期末）拋物線的對(duì)稱軸是直線（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，把解析式配成頂點(diǎn)式，即可得答案．【詳解】解：∵，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，故選：A．8．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期中）若點(diǎn)，，都在拋物線上，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，在處有最大值，到的距離為，到的距離為，，故選：D．9．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）把一拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移個(gè)單位得到的解析式為，則原拋物線的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移個(gè)單位得到的解析式為，∴向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到原拋物線，∴原拋物線的函數(shù)解析式為．故選：D．10．（23-24九年級(jí)上·安徽宣城·期末）把二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】把二次函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得，再向下平移個(gè)單位，所得到的圖象對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式是．故選：C．二、填空題11．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】【詳解】解：，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．故答案為：．12．（23-24九年級(jí)上·安徽滁州·期中）將拋物線先向右平移4個(gè)單位，再向下平移5個(gè)單位，得到拋物線的表達(dá)式為．【答案】【詳解】解：依題意，因?yàn)閽佄锞€先向右平移4個(gè)單位，所以因?yàn)橄蛳缕揭?個(gè)單位，所以，故答案為：三、解答題13.一個(gè)二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)B，求其關(guān)系式．【答案】【詳解】把點(diǎn)代入中得：這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為；14．拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)在此拋物線上，求的值．【答案】【詳解】解：把點(diǎn)代入得：，∴，∴，把代入得：，∴．15．拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，，，它的對(duì)稱軸為直線，求該拋物線的表達(dá)式．【答案】【詳解】解：將和代入得：，解得，拋物線的表達(dá)式為；16．已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求拋物線的函數(shù)解析式；【答案】拋物線的函數(shù)解析式為【詳解】解：∵拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，∴可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為．

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得．

∴拋物線的函數(shù)解析式為17．已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】二次函數(shù)的解析式為【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為．18．如圖，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C．(1)求b，c的值；(2)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）解：由圖象可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則，解得，即b、c的值分別是2，3；（2）由（1）知，，，，該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，圖象開(kāi)口向下，由對(duì)稱性可知，圖象過(guò)點(diǎn)，所畫的函數(shù)圖象如圖所示；19．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）已知二次函數(shù)．(1)將二次函數(shù)化成的形式；(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出的大致圖象，并根據(jù)圖象直接寫出時(shí)，的取值范圍．【答案】(1)(2)圖象見(jiàn)解析，【詳解】（1）；（2）由（1）得頂點(diǎn)坐標(biāo)是；當(dāng)時(shí)，，，可知拋物線與x軸的交點(diǎn)是，．畫出圖像如圖所示．當(dāng)時(shí)，．20．（23-24九年級(jí)上·安徽淮北·期末）二次函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．(1)判斷點(diǎn)是否在該拋物線上．(2)求該二次函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）．(3)若將該二次函數(shù)圖像向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值為_(kāi)_______．（直接寫出答案）【答案】(1)在(2)或(3)【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)在該拋物線上；（2），∴該二次函數(shù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；（3）將該二次函數(shù)圖像向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線為，則拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，∵，∴，故：所得拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是．故答案為：．21．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)A、B，與軸相交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作軸，交該圖象于點(diǎn)．若、．

(1)求該拋物線的對(duì)稱軸；(2)求的面積．【答案】(1)(2)的面積【詳解】（1）解：∵軸，∴，兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，∴此拋物線的對(duì)稱軸為直線：，即（2）解：連接，∵，關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，拋物線的對(duì)稱軸為直線：，∴，∴，∴的面積．22．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上．若存在，恰好使．比較的大小，并說(shuō)明理由．【答案】，理由見(jiàn)解析【詳解】設(shè)拋物線對(duì)稱軸為直線，則拋物線上點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，存在，恰好使．，即．拋物線開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸的左側(cè)隨增大而減小．又關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為且，點(diǎn)都在對(duì)稱軸左側(cè)，且，．23．如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)相交于兩點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且平行于軸，求在移動(dòng)過(guò)程中，線段的最大值．【答案】2【詳解】解：設(shè)，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為2．24．（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)和點(diǎn)，且二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，一次函數(shù)的圖象與拋物線交于、兩點(diǎn)．(1)請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)請(qǐng)利用圖象直接寫出時(shí)x的取值范圍．(3)請(qǐng)利用圖象直接寫出當(dāng)兩函數(shù)的函數(shù)值的積小于0時(shí)的自變量取值范圍．【答案】(1)；(2)或；(3)．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，且二次函數(shù)的對(duì)稱軸直線，∴；（2）解：由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，；（3）解：由圖象可知，兩函數(shù)的函數(shù)值的積小于0時(shí)的自變量取值范圍是．25．（23-24九年級(jí)上·北京門頭溝·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，為拋物線上任意兩點(diǎn)，其中．

(1)若拋物線的對(duì)稱軸為，當(dāng)為何值時(shí)，；(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為，若對(duì)于，都有，求t的取值范圍．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：∵，∴，，∴或，∵，∴，∵，∴，；（2）解：由題意可得：，，，，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．一、選擇題1．（2024·安徽亳州·三模）二次函數(shù)與一次函數(shù)（，是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵二次函數(shù)∴對(duì)稱軸為直線，故B，D不符合題意；∵當(dāng)時(shí)，，，∴二次函數(shù)與一次函數(shù)交于y軸上的點(diǎn)，故C不符合題意，A符合題意．故選：A．2．（2024·安徽合肥·二模）一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】A、根據(jù)一次函數(shù)圖象分布，得到即，根據(jù)拋物線的圖象，得，矛盾，不符合題意；B、根據(jù)一次函數(shù)圖象分布，得到即，根據(jù)拋物線的圖象，得，即，，矛盾，不符合題意；C、根據(jù)一次函數(shù)圖象分布，得到即，，根據(jù)拋物線的圖象，得，即，矛盾，不符合題意；D、根據(jù)一次函數(shù)圖象分布，得到即，，根據(jù)拋物線的圖象，得，即，一致，符合題意；故選D3．（2024·安徽·二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：代入，得，得，解得∵∴，∴，當(dāng)時(shí)，；∵，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．4．如圖，二次函數(shù)（）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．若拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，則C． D．對(duì)任意實(shí)數(shù)t，總有【答案】B【詳解】解：由圖知開(kāi)口向下，，與交于正半軸，，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，，則，故B選項(xiàng)正確；，，由圖知，當(dāng)時(shí)，，不成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，有，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．5．（23-24九年級(jí)上·安徽宿州·期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，；④；⑤若，且，則．其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【詳解】解：由圖象知，拋物線開(kāi)口向上，則；圖象與y軸交于y軸負(fù)半軸，則；對(duì)稱軸為直線，即，則，故①正確；由，得，故②錯(cuò)誤；由于二次函數(shù)當(dāng)時(shí)取得最小值，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，，故有，故③正確；由圖象知，時(shí)的函數(shù)值與時(shí)的函數(shù)值相等，所以當(dāng)時(shí)，，故④正確；由于，且，即，表明自變量取時(shí)，二次函數(shù)的函數(shù)值相等，由拋物線的對(duì)稱性得：，即，故⑤正確；因此正確的有①③④⑤三個(gè)．故選：C．二、填空題6．（2024·安徽蚌埠·三模）已知二次函數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時(shí)，y的最大值為7；當(dāng)時(shí)，y的最大值為3，則．【答案】【詳解】解：（1）當(dāng)、時(shí)，，∴該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵正中，，∴拋物線開(kāi)口向下，∵當(dāng)時(shí)，y的最大值為7；當(dāng)時(shí)，y的最大值為3，∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在第二象限，即，解得：，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，解得：，∴．故答案為：，．7.（23-24九年級(jí)上·安徽六安·期中）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，以為對(duì)角線作正方形．則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，正方形周長(zhǎng)的最小值是．【答案】【詳解】解：∵，∴拋物線，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；∵四邊形是正方形，∴，∵點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)處時(shí)，的最小，∴當(dāng)時(shí)，，則有最小值，∴的最小值是，正方形周長(zhǎng)的最小值為．8．（21-22九年級(jí)上·安徽馬鞍山·期末）二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）圖象的對(duì)稱軸是直線，其中圖象的一部分如圖所示．對(duì)于下列說(shuō)法：①；②當(dāng)時(shí)，；③；④．其中正確的是（把正確說(shuō)法的序號(hào)都填上）．【答案】①③④【詳解】解：①∵開(kāi)口向下，∴，∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴，∴，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴，∴，故正確；②如圖，當(dāng)時(shí)，y不只是大于0．故錯(cuò)誤；③∵對(duì)稱軸為直線，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)在2與3之間，∴另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0與之間；∴當(dāng)時(shí)，，故正確；④∵對(duì)稱軸，∴，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴，故正確；∴正確的有3個(gè)．故答案為：①③④．三、解答題9．（2024·河南鄭州·三模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)為拋物線上任意一點(diǎn)，將點(diǎn)向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在拋物線上，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，若點(diǎn)，均在拋物線上，且，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)