2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)兩角差的余弦公式推導(dǎo)試題一、兩角差的余弦公式推導(dǎo)過程（一）單位圓法推導(dǎo)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心作單位圓，設(shè)角α和β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A和點(diǎn)B。根據(jù)三角函數(shù)的定義，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（cosα，sinα），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（cosβ，sinβ）。此時(shí)，向量OA和向量OB的夾角為α-β，根據(jù)向量數(shù)量積的定義，OA·OB=|OA||OB|cos(α-β)。由于OA和OB都是單位向量，其模長均為1，因此OA·OB=cos(α-β)。同時(shí)，向量數(shù)量積也可以用坐標(biāo)表示為OA·OB=cosαcosβ+sinαsinβ，由此可得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，這就是兩角差的余弦公式，簡記為C(α-β)。（二）幾何法推導(dǎo)在直角坐標(biāo)系中構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，利用幾何關(guān)系推導(dǎo)公式。設(shè)角α和β為銳角，且α>β，在單位圓上取點(diǎn)P（cosα，sinα），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，過點(diǎn)M作角β的終邊的垂線，垂足為N。通過構(gòu)建輔助線，利用三角函數(shù)的定義和直角三角形中的邊角關(guān)系，可以證明cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ。這種方法直觀地展示了公式的幾何意義，幫助學(xué)生理解公式的來源。二、兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特征與使用條件（一）結(jié)構(gòu)特征兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)可以概括為“余余正正，符號相同”，即公式右邊是兩角的余弦值相乘加上兩角的正弦值相乘。公式中的α和β都是任意角，既可以是一個(gè)單獨(dú)的角，也可以是幾個(gè)角的組合，例如cos(2α-β)可以看作是α'=2α，β'=β時(shí)的兩角差余弦公式，即cos(α'-β')=cosα'cosβ'+sinα'sinβ'=cos2αcosβ+sin2αsinβ。（二）使用條件公式對于任意角α和β都成立，沒有特定的限制條件。在應(yīng)用公式時(shí)，需要注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響，例如當(dāng)角在第二象限時(shí)，余弦值為負(fù)，正弦值為正。同時(shí)，要避免出現(xiàn)cos(α-β)=cosα-cosβ這樣的錯(cuò)誤，雖然在某些特殊情況下可能成立，如α=0°，β=60°時(shí)，cos(0°-60°)=cos0°-cos60°，但這只是個(gè)別情況，不能作為一般規(guī)律。三、兩角差的余弦公式的應(yīng)用（一）給角求值這類問題主要是將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差，然后利用公式進(jìn)行計(jì)算。例1：求cos15°的值。解：15°可以表示為45°-30°，根據(jù)兩角差的余弦公式可得：cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=（√2/2）×（√3/2）+（√2/2）×（1/2）=√6/4+√2/4=（√6+√2）/4例2：計(jì)算cos75°cos15°+sin75°sin15°的值。解：觀察式子結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)符合兩角差的余弦公式的逆用形式，即cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)，所以：cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60°=1/2（二）給值求值已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，需要注意角之間的關(guān)系，通過拆角或湊角來應(yīng)用公式。例3：已知sinα=3/5，α∈（π/2，π），cosβ=-5/13，β∈（π，3π/2），求cos(α-β)的值。解：因?yàn)棣痢剩é?2，π），所以cosα=-√(1-sin2α)=-√(1-(3/5)2)=-4/5。因?yàn)棣隆剩é校?π/2），所以sinβ=-√(1-cos2β)=-√(1-(-5/13)2)=-12/13。則cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=（-4/5）×（-5/13）+（3/5）×（-12/13）=20/65-36/65=-16/65。例4：已知cos(α+β)=-1/3，cos2α=-5/13，α、β均為銳角，求cos(α-β)的值。解：因?yàn)棣?、β均為銳角，所以α+β∈（0，π），2α∈（0，π）。由cos(α+β)=-1/3，可得sin(α+β)=√(1-cos2(α+β))=√(1-(-1/3)2)=2√2/3。由cos2α=-5/13，可得sin2α=√(1-cos22α)=√(1-(-5/13)2)=12/13。因?yàn)棣?β=2α-(α+β)，所以cos(α-β)=cos(2α-(α+β))=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=（-5/13）×（-1/3）+（12/13）×（2√2/3）=5/39+24√2/39=（5+24√2）/39。（三）給值求角已知三角函數(shù)值求角，需要先確定角的范圍，再根據(jù)公式計(jì)算出角的三角函數(shù)值，最后求出角的大小。例5：已知cosα=1/3，cos(α+β)=-1/3，且α、β∈（0，π/2），求β的值。解：因?yàn)棣?、β∈?，π/2），所以α+β∈（0，π）。由cosα=1/3，可得sinα=√(1-cos2α)=√(1-(1/3)2)=2√2/3。由cos(α+β)=-1/3，可得sin(α+β)=√(1-cos2(α+β))=√(1-(-1/3)2)=2√2/3。則cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=（-1/3）×（1/3）+（2√2/3）×（2√2/3）=-1/9+8/9=7/9。因?yàn)棣隆剩?，π/2），所以β=arccos(7/9)。例6：已知sinα=√5/5，sinβ=√10/10，且α、β為銳角，求α+β的值。解：因?yàn)棣?、β為銳角，所以cosα=√(1-sin2α)=√(1-(√5/5)2)=2√5/5，cosβ=√(1-sin2β)=√(1-(√10/10)2)=3√10/10。則cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=（2√5/5）×（3√10/10）-（√5/5）×（√10/10）=6√50/50-√50/50=5√50/50=√2/2。因?yàn)棣?、β為銳角，所以α+β∈（0，π），又因?yàn)閏os(α+β)=√2/2，所以α+β=45°。四、兩角差的余弦公式的正用、逆用與變形應(yīng)用（一）正用正用是指從公式的左邊到右邊進(jìn)行展開，例如計(jì)算cos(α-β)時(shí)，直接代入公式cosαcosβ+sinαsinβ。例7：計(jì)算cos(30°-45°)的值。解：cos(30°-45°)=cos30°cos45°+sin30°sin45°=（√3/2）×（√2/2）+（1/2）×（√2/2）=√6/4+√2/4=（√6+√2）/4。（二）逆用逆用是指從公式的右邊到左邊進(jìn)行化簡，例如遇到cosαcosβ+sinαsinβ的形式時(shí)，可以逆用公式化為cos(α-β)。例8：化簡cos20°cos70°+sin20°sin70°。解：根據(jù)兩角差的余弦公式的逆用，可得cos20°cos70°+sin20°sin70°=cos(20°-70°)=cos(-50°)=cos50°。（三）變形應(yīng)用變形應(yīng)用是指對公式進(jìn)行移項(xiàng)等變形，以適應(yīng)不同的問題情境。例如cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ，這一變形在已知α+β和β的三角函數(shù)值求α的余弦值時(shí)非常有用。例9：已知cos(α+β)=3/5，cosβ=5/13，且α、β均為銳角，求cosα的值。解：因?yàn)棣?（α+β）-β，所以cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ。因?yàn)棣痢ⅵ戮鶠殇J角，所以α+β∈（0，π），由cos(α+β)=3/5，可得sin(α+β)=4/5；由cosβ=5/13，可得sinβ=12/13。則cosα=（3/5）×（5/13）+（4/5）×（12/13）=15/65+48/65=63/65。五、典型例題解析（一）給角求值問題例10：求cos105°的值。解：105°=60°+45°，但也可以表示為180°-75°，不過利用兩角差的余弦公式，105°=135°-30°，則cos105°=cos(135°-30°)=cos135°cos30°+sin135°sin30°=（-√2/2）×（√3/2）+（√2/2）×（1/2）=-√6/4+√2/4=（√2-√6）/4。（二）給值求值問題例11：已知sinα=3/5，α∈（π/2，π），cosβ=-5/13，β∈（π，3π/2），求cos(α+β)的值。解：因?yàn)棣痢剩é?2，π），所以cosα=-4/5；因?yàn)棣隆剩é校?π/2），所以sinβ=-12/13。cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=（-4/5）×（-5/13）-（3/5）×（-12/13）=20/65+36/65=56/65。（三）給值求角問題例12：已知tanα=1/2，tanβ=1/3，且α、β均為銳角，求α+β的值。解：首先求出tan(α+β)的值，tan(α+β)=（tanα+tanβ）/（1-tanαtanβ）=（1/2+1/3）/（1-1/2×1/3）=（5/6）/（5/6）=1。因?yàn)棣痢ⅵ戮鶠殇J角，所以α+β∈（0，π），又因?yàn)閠an(α+β)=1，所以α+β=45°。六、易錯(cuò)點(diǎn)分析與注意事項(xiàng)（一）易錯(cuò)點(diǎn)分析忽略角的范圍：在計(jì)算三角函數(shù)值時(shí)，沒有考慮角所在的象限，導(dǎo)致三角函數(shù)值的符號錯(cuò)誤。例如，已知sinα=3/5，α∈（π/2，π），此時(shí)cosα應(yīng)為負(fù)數(shù)，如果錯(cuò)誤地取cosα=4/5，會(huì)導(dǎo)致后續(xù)計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。公式記憶錯(cuò)誤：將兩角差的余弦公式記為cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ，或者混淆兩角和與差的公式，這會(huì)直接導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。拆角、湊角不當(dāng)：在給值求值問題中，不能正確地將所求角表示為已知角的和或差，例如將β表示為α-(α-β)，從而無法應(yīng)用兩角差的余弦公式。（二）注意事項(xiàng)牢記公式結(jié)構(gòu)：通過多次練習(xí)和總結(jié)，熟練掌握兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特征，避免記憶錯(cuò)誤。關(guān)注角的范圍：在解題過程中，始終注意角的范圍，根據(jù)角所在的象限確定三角函數(shù)值的符號。靈活進(jìn)行角的變換：學(xué)會(huì)觀察已知角和所求角之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用拆角、湊角的方法，將未知角轉(zhuǎn)