2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)章節(jié)小測(cè)（第十三章）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）下列關(guān)于空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的說(shuō)法中，正確的是（）A.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱B.棱錐的側(cè)面都是三角形，且所有側(cè)面都交于一點(diǎn)C.直角三角形繞其任意一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周都能形成圓錐D.用平面去截圓柱，截面一定是圓或矩形已知某正方體的表面積為24，則其外接球的體積為（）A.$\frac{4}{3}\pi$B.$4\sqrt{3}\pi$C.$\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi$D.$8\pi$如圖所示的三視圖（單位：cm）對(duì)應(yīng)的幾何體的體積為（）（注：此處應(yīng)有三視圖，主視圖和左視圖均為邊長(zhǎng)為2的正方形，俯視圖為邊長(zhǎng)為2的正三角形）A.$2\sqrt{3}\\text{cm}^3$B.$4\sqrt{3}\\text{cm}^3$C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}\\text{cm}^3$D.$\frac{4\sqrt{3}}{3}\\text{cm}^3$已知平面$\alpha$與平面$\beta$相交于直線$l$，直線$m\subset\alpha$，直線$n\subset\beta$，則“$m$與$n$相交”是“$m$與$l$相交且$n$與$l$相交”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(1,2,3)$關(guān)于平面$xOy$的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)$B$的坐標(biāo)為（）A.$(1,2,-3)$B.$(-1,-2,3)$C.$(-1,2,3)$D.$(1,-2,3)$已知直線$l_1:ax+2y+6=0$與直線$l_2:x+(a-1)y+a^2-1=0$平行，則實(shí)數(shù)$a$的值為（）A.$-1$B.$2$C.$-1$或$2$D.$1$或$-2$圓$C_1:x^2+y^2-2x-4y+1=0$與圓$C_2:x^2+y^2+4x-4y-1=0$的位置關(guān)系是（）A.相離B.外切C.相交D.內(nèi)切已知點(diǎn)$P(2,3)$到直線$l:ax+y-2a=0$的距離為$d$，則$d$的最大值為（）A.$\sqrt{5}$B.$2\sqrt{5}$C.$3\sqrt{5}$D.$4\sqrt{5}$在正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$為棱$CC_1$的中點(diǎn)，則異面直線$AE$與$BC_1$所成角的余弦值為（）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$C.$\frac{\sqrt{6}}{6}$D.$\frac{\sqrt{10}}{10}$已知直線$l$過(guò)點(diǎn)$M(1,2)$，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為$4$，則這樣的直線$l$有（）A.$1$條B.$2$條C.$3$條D.$4$條已知圓$C:(x-1)^2+(y-2)^2=25$，直線$l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0$，則直線$l$被圓$C$截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）A.$4\sqrt{5}$B.$2\sqrt{5}$C.$8\sqrt{5}$D.$6\sqrt{5}$在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.$13\pi$B.$25\pi$C.$29\pi$D.$34\pi$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知圓錐的底面半徑為$3$，母線長(zhǎng)為$5$，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______。已知直線$l$的方向向量為$\vec{v}=(2,-1)$，且過(guò)點(diǎn)$P(1,-2)$，則直線$l$的方程為_(kāi)_______。已知圓$C:x^2+y^2-4x+6y-3=0$，則圓心$C$的坐標(biāo)為_(kāi)_______，半徑$r=$________。（注：本小題第一空2分，第二空3分）在三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，各棱長(zhǎng)均為$2$，$\angleBAC=60^\circ$，則該三棱柱的體積為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（本小題滿分10分）已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），其中主視圖和左視圖都是等腰直角三角形，俯視圖是邊長(zhǎng)為4的正方形。（1）畫(huà)出該幾何體的直觀圖；（2）求該幾何體的表面積和體積。（本小題滿分12分）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)$A(2,0,0)$，$B(0,3,0)$，$C(0,0,4)$。（1）求$\triangleABC$的面積；（2）求三棱錐$O-ABC$的體積（$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（3）求直線$AB$與直線$OC$所成角的余弦值。（本小題滿分12分）已知直線$l_1:2x-y+1=0$，直線$l_2:x+my-1=0$。（1）若$l_1\perpl_2$，求實(shí)數(shù)$m$的值；（2）若$l_1\parallell_2$，求$l_1$與$l_2$之間的距離；（3）若直線$l_2$與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為$\frac{1}{4}$，求實(shí)數(shù)$m$的值。（本小題滿分12分）已知圓$C$經(jīng)過(guò)點(diǎn)$A(1,1)$，$B(2,-2)$，且圓心在直線$l:x-y+1=0$上。（1）求圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)$P(3,1)$作圓$C$的切線，求切線方程；（3）設(shè)$M$為圓$C$上任意一點(diǎn)，求$|MA|^2+|MB|^2$的最大值。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA=AD=2$，$AB=4$，$E$是$PD$的中點(diǎn)。（1）求證：$AE\parallel$平面$PBC$；（2）求證：平面$PDC\perp$平面$PAD$；（3）求三棱錐$E-PBC$的體積。（本小題滿分12分）已知圓$C:x^2+y^2-2x-4y+4=0$，直線$l:y=kx+1$。（1）若直線$l$與圓$C$相切，求實(shí)數(shù)$k$的值；（2）若直線$l$與圓$C$相交于$A$，$B$兩點(diǎn)，且$|AB|=2\sqrt{3}$，求實(shí)數(shù)$k$的值；（3）在（2）的條件下，求過(guò)點(diǎn)$A$，$B$且圓心在直線$m:x-2y=0$上的圓的方程。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共60分）B2.B3.D4.A5.A6.A7.C8.C9.D10.C11.A12.C二、填空題（每小題5分，共20分）$15\pi$$x+2y+3=0$$(2,-3)$，$4$$6$三、解答題（共70分）（10分）解：（1）該幾何體為四棱錐，直觀圖略。（2分）（2）由三視圖可知，該四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，高為4。（3分）表面積$S=4\times4+4\times\frac{1}{2}\times4\times\sqrt{(2\sqrt{2})^2+4^2}=16+16\sqrt{3}$（5分）體積$V=\frac{1}{3}\times4\times4\times4=\frac{64}{3}$（7分）答：該幾何體的表面積為$16+16\sqrt{3}\\text{cm}^2$，體積為$\frac{64}{3}\\text{cm}^3$。（10分）（12分）解：（1）$\overrightarrow{AB}=(-2,3,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,0,4)$（1分）$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\-2&3&0\-2&0&4\end{vmatrix}=12\vec{i}+8\vec{j}+6\vec{k}$（2分）$|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\sqrt{12^2+8^2+6^2}=14$（3分）$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times14=7$（4分）（2）$V=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times3\times4=4$（6分）（3）$\overrightarrow{AB}=(-2,3,0)$，$\overrightarrow{OC}=(0,0,4)$（7分）$\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{OC}|}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{OC}|}=0$（9分）答：$\triangleABC$的面積為7，三棱錐$O-ABC$的體積為4，直線$AB$與直線$OC$所成角的余弦值為0。（12分）（12分）解：（1）$l_1\perpl_2\Rightarrow2\times1+(-1)\timesm=0\Rightarrowm=2$（3分）（2）$l_1\parallell_2\Rightarrow\frac{2}{1}=\frac{-1}{m}\neq\frac{1}{-1}\Rightarrowm=-\frac{1}{2}$（5分）此時(shí)$l_2:2x-y-2=0$（6分）距離$d=\frac{|1-(-2)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$（8分）（3）直線$l_2$與$x$軸交點(diǎn)$(\frac{1}{1-m},0)$，與$y$軸交點(diǎn)$(0,\frac{1}{m})$（9分）面積$S=\frac{1}{2}\times|\frac{1}{1-m}|\times|\frac{1}{m}|=\frac{1}{4}$（10分）解得$m=2$或$m=-\frac{1}{2}$（12分）（12分）解：（1）設(shè)圓心$C(a,a+1)$，則$(a-1)^2+(a+1-1)^2=(a-2)^2+(a+1+2)^2$（2分）解得$a=-3$，圓心$C(-3,-2)$，半徑$r=5$（4分）圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程為$(x+3)^2+(y+2)^2=25$（5分）（2）切線方程為$x=3$或$3x+4y-13=0$（8分）（3）設(shè)$M(x,y)$，則$|MA|^2+|MB|^2=(x-1)^2+(y-1)^2+(x-2)^2+(y+2)^2$（9分）$=2x^2+2y^2-6x+2y+10$（10分）$=2(x^2+y^2)-6x+2y+10$因?yàn)?x^2+y^2+6x+4y-12=0$，所以$x^2+y^2=-6x-4y+12$（11分）代入得$|MA|^2+|MB|^2=2(-6x-4y+12)-6x+2y+10=-18x-6y+34$當(dāng)$x=-8,y=-2$時(shí)，最大值為$170$（12分）（12分）（1）證明：取$PC$中點(diǎn)$F$，連接$EF$，$BF$$EF\parallelCD$且$EF=\frac{1}{2}CD$（1分）$AB\parallelCD$且$AB=CD$（2分）$\thereforeEF\parallelAB$且$EF=AB$，四邊形$ABFE$為平行四邊形（3分）$\thereforeAE\parallelBF$，又$AE\not\subset$平面$PBC$，$BF\subset$平面$PBC$（4分）$\thereforeAE\parallel$平面$PBC$（5分）（2）證明：$PA\perp$平面$ABCD$，$CD\subset$平面$ABCD$$\thereforePA\perpCD$（6分）又$CD\perpAD$，$PA\capAD=A$$\thereforeCD\perp$平面$PAD$（7分）又$CD\subset$平面$PDC$$\therefore$平面$PDC\perp$平面$PAD$（8分）（3）$V_{E-PBC}=V_{P-BCE}=\frac{1}{2}V_{P-BCD}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times4\times2\times2=\frac{8}{3}$（12分）（12分）解：（1）圓$C:(x-1)^2+(y-2)^2=1$，圓心$(1,2)$，半徑$1$（1分）$d=\frac{|k-2+1|}{\sqrt{k^2+1}}=1\Rightarrowk=0$（3分）（2）$d=\sqrt{1^2-(\sqrt{3})^2}=0$（