九年級數學上學期期中模擬卷02（人教版）

全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1,本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。

4.測試范圍：人教版九年級上冊第21章一第24章。

第I卷

一、單項選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。）

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

A.x+2y=0B.%2=5C.x2+^=0D,x3+%2=0

【答案】B

【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整

式方程是一元二次方程是解題的關鍵.

【詳解】解；A、％+2y=0是二元一次方程，不符合題意；

B、X2=5是一元二次方程，符合題意；

C、/+：=（）是分式方程，不符合題意；

D、爐+必=0最高次為3次，不符合題意.

故選B.

2.下列與杭州亞運會有關的圖案中，是中心對稱圖形的是（〕

【答案】D

【分析】根據中心對稱圖形的定義進行判斷.

【詳解】解；A,不足中心對稱圖形，故此選項不符合題意;

B.不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C.不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意：

D.是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

故選：D

【點睛】本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉

后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心.

3.方程3x=0的根是（）

A.X/=M=0B.x/=xj=3C.X/=O>孫=3D.勺=0,應=—3

【答案】C

【分析】先將方程左邊提公因式x,可解方程.

【詳解】解：x2-3.v=0,x（A-3）=0,

解得:x/=0?X2=3.

故選C.

【點睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法，屬于基礎題，因式分解法簡便易用，是解一元二

次方程最常用的方法.

4.要得到拋物線y=2（x—4）2—l,可以將拋物線y=2%2：（）

A.向左平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度B.向左平移4個單位長度，再向下平移1個單

位長度

C.向右平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度D.向右平移4個單位長度，再向下平移1個單

位長度

【答案】D

【分析】根據拋物線的平移規(guī)則：左加右減，上加下減，正行判斷即可；

【詳解】解:將拋物線y=2%2先向右平移4個單位，再向下平移1個單位，即可得到拋物線y=2Q-4）2

-1；

故選D.

【點睛】本題考查拋物線的平移.熟練掌握拋物線的平移規(guī)則：左加右減，上加下減，是解題的關鍵.

5.關于工的一元二次方程必+"-1=。根的情況是（）

A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根

C.沒有實數根D.無法確定

【答案】D

【分析】先計算判別式的值,然后根據判別式的意義判斷方程根的情況.解題的關鍵是證得判別式△>（）.

【詳解】解:?元二次方程的根的判別式△=b2-4xlx（-l）=b2+4

vb2>0

:.b2+4>0,即A>0

所以原方程有兩個不相等的實數根.

故選：B.

6.如圖，把含30。的三角板△A8C繞點力逆時針旋轉得到△/WE,使得點E、4、8三點共線，則旋轉角的

度數為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

【答案】D

【分析】題目主要考查旋轉角的計算，理解題意，找準旋轉角是解題關鍵.

【詳解】解：根據題意得N&W=60。，

???點E、A、B三點共線，

.-.^EAC=180°-60°=120°,

故選：D.

7.已知拋物線y=ax?+bx+c,y與x的部分對應值如表所示，下列說法錯誤是（）

X-10123

y0343ra

A.開口向下B.頂點坐標為（1,4）

C.當xv1時，y隨x的增大而減小D.m=0

【答案】C

【分析】本題考查的是拋物線的對稱性，增減性，對稱軸與頂點坐標，熟記二次函數圖象與性質并逐

一分析各選項是解本題的關鍵.

【詳解】解：???當％=0.%=2時的函數值相等，

.?.拋物線的對稱軸為直線X=半=1，

而％=1時的函數值為y=4,

???函數圖象的開口向下，頂點坐標為(1,4),當％VI時，y隨》的增大而增大，

由對稱性可得％=3和％=—1時的函數值相等，可得m=0,

??.C不符合題意：

故選C

8.某校組織一次籃球聯賽，邀請了％個球隊參加比賽，每兩隊之間賽一場，計劃安排15場比賽.可列方程

()

A.x(x+1)=15B.+1)=15C.x(x-1)=15D.1x(x—1)=15

【答案】D

【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出北:次方程，根據比賽的總場次數=2X參賽隊伍數X

(參賽隊伍數-1)列出一元二次方程是解題的關鍵.

【詳解】解：設有力支球隊參加比賽，

根據比賽的總場次數X參賽隊伍數X(參賽隊伍數一1),

列出?元二次方程為夫Q-1)=15,

故選：D.

9.如圖，圓錐的底面半徑r為6cm,高h為8cm,則圓錐的側面積為()

A.30zrcm2B.487rcm2C.607icm2D.807rcm2

【答案】C

【分析】本題主要查了求圓錐的側面積，先根據圓錐的底面半徑和高，利用勾股定理求出圓錐的母線

長；再結合圓錐的底面周長2仃等于圓錐的側面展開扇形的弧長，據此可得出扇形的弧長：最后利用

扇形的面積計算方法，即可.

【詳解】解：由勾股定理得，圓錐的母線長為府謂=10cm,

???圓錐的底面周長為2nr=2nx6=12nrm,

???圓錐的側面展開扇形的弧長為12jrcm.

.,?圓錐的側面積為：Ix127rx10=6071cm2.

故選：C.

10.如圖，一次函數y=kx+b(AH0)與拋物線、=a/+版+C(a不0)相交于4、8兩點，則關于x的不

等式62+bx+c>kx+匕的解集為()

A.x<—2或%>2B.x>2

C.x<2D.-2<x<2

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次函數與不等式的關系，根據函數圖象得出的取值范圍.

【詳解】解：觀察函數圖象可得：XV-2或％>2時，拋物線在直線上方，

???關于x的不等式+取：+，>kx+8的解集為xv—2或％>2,

故選：A.

11.若Q力是方程/+2%—2024=0的兩根，則Q2+3Q+/)=()

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的解.，根與系數的關系，根據題意，得：Q2+2a=2024,Q+b=-2,

整體代入代數式進行計算即可.

【詳解】解：由題意,得：a2+2a-2024=0,a+b=-2

?.a2+2a=2024,

.,.a2+3a+b=a2+2a+a+b=2024—2=2022；

故選A.

12.二次函數、=。%2+旅+(7的圖象如圖所示，對稱軸是x=l,下列結論正確的是().

A.abc>0D.2a+b<0C.3b—2cVOD.3a+c<0

【答案】D

【分析】根據拋物線的性質，對稱軸，圖形的信息，逐一計算判斷即可.

【詳解】?.?一”1>0，

：.ab<0,

???拋物線與y軸交于正半軸，

，c>0,

：.abc<0,

故力不符合題意；

b1

?五二1，

.,.2a+b=0,

故A不符合題意：

,:x=—1時，

y=a-b+c<0^

?.2a-2b+2c<0^

'2a1

--.2a=—b,

?--b-2b+2c<.0,

??3b-2c>0.

故C不符合題意；

，:x——1時，

]=a?b+cV0,

b1

?一五二L

，2Q=—b,

??-3a+c<0,

故。符合題意：

故選O.

【點睛】本題考查了二次函數圖像，拋物線的性質，靈活運用圖像及其性質是解題的關鍵.

第n卷

二、填空題(本題共4小題，每小題3分，共12分.)

13.若拋物線y=4/向左平移1個單位長度，向下平移2個單位長度，則所得的拋物線的解析式是—.

【答案】y=4(無+1)2-2

【分析】本題考杳了二次函數圖象的平移，根據拋物線的平移規(guī)律：上加卜.減，左加右減解答即可.

【詳解】解：拋物線y=4/句左平移1個單位長度，向下平移2個單位長度，則所得的拋物線的解析

式是y=4。+1)2—2,

故答案為：y=4(%+1)2—2.

14.某件羊毛衫的售價為1000元，因換季促銷，在經過連續(xù)兩次降價后，現售價為810元，設平均每次降

價的百分率為x,根據題意可列方程為.

【答案】1000(1—?2=810

【分析】第一次降價后的單價是1000(1-X),第一次降價后的單價是1000(1-x)2,根據題意列出方

程即可.

【詳解】解：由題意得

1000(1-x)2=810

故答案為：1000(1-x)2=810

【點睛】本題考查一元二次方程的應用，理解平均變化率并正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

15.如圖為二次函數丁=Q%2+必+C圖象的一部分，其對稱軸為直線x=l.若其與x軸一交點為4(3,0)，

則由圖象可知，不等式ax2+bx+c<o的解集是.

【答案】-1<%<3

【分析】此題考查了利用二次函數的圖象求不等式的解集，根據二次函數與不等式的關系解答即可,

正確掌握二次函數與不等式的關系是解題的關鍵.

【詳解】解：???拋物線的對稱軸為直線％=1,圖象與x軸一交點為A(3,0),

??.圖象與x軸的另一交點為(一1,0)，

?.?拋物線開口向卜.

???當一1<x<3時y<0,即a/+bx+c<0,

故答案為：-1VXV3.

16.小林在練習投擲實心球，其示意圖如圖，第一次練習時，球從點4處被拋出，其路線是拋物線.點4

距離地面1.6m,當球到。1的水平距離為1m時，達到最大高度為1.8m.那么投擲距離。8為m.

【答案】4

【分析】此題考查了二次函數的實際應用，建立直角坐標系，由題意得：拋物線的頂點坐標為

(1,1.8),設拋物線的解析式為y=1)2+1.8,過點(0,1.6),利用待定系數法求出解析式,當y=0

時求出X的值即可得到。&

【詳解】解：建立如圖所示的直角坐標系，

由題意得：拋物線的頂點坐標為(1,1.8)，

設拋物線的解析式為y=aQ-1)2+1.8,過點(0,1.6),

.,.a+1.8=1.6,

解得a=—0.2,

=-0.2(x—l)2+1.8,

當y=0時,—0.2(%—I)?+1.8=0,

得=4,x=-2(舍去)，

.?.投擲距離OB為4m；

故答案為：4.

三、解答題(本題共7小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(8分)解方程：

(1)4(%—3)=2x(%—3)；

(2)x2—4%—7=0.

【答案】(1)皿=3,2=2

(2)%1=2+VTT,x2=2-V1T

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握解一元二次方程的方法.

(1)利用因式分解法解一元二次方程即可；

(2)利用配方法解一元二次方程即可.

【詳解】(1)解：v4(x-3)=2x(x-3),

???4("3)-2x(%-3)=0,

則(工一3)(4—2%)=0,

x—3=0或4—2x=0,

解得％1=3,%2=2；

(2)解：=0,

x2—4x=7,

則產—4%+4=7+4,即(x-2)z=ll,

x-2=±V11，

???Xi=2+VTT,x2=2-VTT.

18.(10分)在平面直角坐標系中，△48。的三個頂點坐標分別為4(1,4)方(4,2)((3,5)(每個方格的邊長均

為1個單位長度)

(1)請畫出△力8C關于原點對禰的圖形△A$iCi，并寫出力點1，。1三點的坐標.

(2)將△力8C繞點。逆時針旋轉90。，畫出旋轉后得到的△力&金.

【答案】(1)小(7，?4),8/(-4,-2),C；(-3,-5)；

(2)見解析.

【分析】(1)利用關于原點對稱的點的坐標特征寫出小、3八。的坐標，然后描點即可；

(2)根據旋轉的性質作出對應點的位置即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，△/1//G即為所求，小(-1，-4),4/(-4,-2),C,(-3,-5)；

(2)如圖所示，△也處。2即為所求.

yjk

Cl

【點睛】本題考查J'作圖■旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應知都相等都等于旋轉角，對應線段

也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出

旋轉后的圖形.

19.(1()分)已知拋物線y=/+以+。經過點(0,一3),且對稱軸為x=l.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求拋物線與黑軸的交點坐標.

【答案】(l)y=%2—2x—3

(2)(-1,0),(3,0).

【分析】本題考查了待定系數法求解析式，拋物線與x軸的交點坐標：

(1)根據對稱軸公式以及經過點(0,—3),分別求得b,c,即可求解；

(2)由題意，直接令y=0,即可求出拋物線與工軸的交點坐標.

【詳解】(1)解：,??拋物線y=/+以+。經過點(0,一3),且對稱軸為4=1.

c=—3

(b=-2

,(c=-3?

???y=x2—2x—3.

(2)令y=0,

:.x2—2x—3=0.

解得：=-1,x2=3.

???拋物線與工軸的交點坐標是(-1,0),(3,0).

20.(10分)小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭"距地面

0.4m,水柱在距噴水頭P水平距離4m處達到最高，最高點距地面2m；建立如圖所示的平面直角坐標系,

并設拋物線的表達式為丫=成%—八)2+匕其中％(m)是水柱距噴水頭的水平距離，y(m)是水柱距

地面的高度.

(1)求拋物線的表達式.

(2)身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭發(fā)不接觸到水柱時，求她在x軸上的橫坐標x的取值范圍.

【答案】(l)y=—+白+自

(2)2<x<6

【分析1本題考查二次函數的實際應用.

(1)由拋物線頂點(4,2),設幗物線的表達式為y=Q(x-4產+2,用待定系數法可得拋物線的表達式;

(2)當y=1.6時，一32+9+(=16,解得％=2或%=6,進而可得結論.

JLVOO

【詳解】(1)解：由題意知，拋物線頂點為(4,2),

設拋物線的表達式為y=。。-4)2+2,

將(0,0.4)代入得：0.4=16a+2,

解得Q=一卷，

,y=_^(%_4)2+2=_#+、%+,,

???拋物線的表達式為y=—*/+9

(2)解："iy=1.6時，，-^7,x2+7X+7=1.6,

JLUOO

解得％=2或%=6,

結合拋物線圖象可得，當她的頭發(fā)不接觸到水柱時，她在K軸上的橫坐標x的取值范圍為2VXV6.

21.(10分)如圖，43為。。的直徑，。為。。上一點，。為4。的中點，過。作。。的切線交OD的延長線于

E,交力8的延長線于凡連接E4

(1)求證：及4是。。的切線；

(2)若CE=6,CF=4,求O0的半徑.

【答案】(1)見解析

⑵。。的半徑為3

【分析】本題主要考查切線的判定和性質，勾股定理，在(2)中利用勾股定理求得0C的長是解題的關

鍵.

(1)連接。。，則NOCE=90。，由0為中點可知EO1A。，則有CE=AE,可得NE&4=LEAC,且

LOCA=LOAC,利用角的和差可求得"A。=90。，可知EA為切線；

(2)由勾股定理求出小7=8,設。。的半徑為居則。。=。力=居。尸=8一招在Rt^OCF中，有。尸2

-OC2=CF2,BP(8-x)2-r2=42,求出工即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接。C,

???0為AC中點，04=。。，

0E1AC,Z.OAC=Z-OCA,

???0E為4c的垂直平分線，

???EA=EC,

???ILEAC=/LECA,

AZ.OAC+乙EAC=/.OCA+LECA=乙OCE=90°,URzE/lO=90°,

:.OA1AE,

又???04為。。的半徑，

???七力為0。的切線：

(2)解：???￡/為。。切線，

:.乙FCO=90°,

由(1)得AE=EC=6,EF=EC+FC=10,

在Rt△AEF中，有A尸=yjEF2-AE2=8,

設。。的半徑為無,則。C==%,。產=8一%，

在RtaOCF中，有。產一。。2=。產，即(8—%)2-％2=42.

解得，x=3,

即。。的半徑為3

22.(12分)閱讀下面材料，并解決問題：

(1)如圖①等邊內有一點P,若點P到頂點力、B、C的距離分別為3,4,5,求44PB的度數.

為了解決本題，我們可以將AABP繞頂點力旋轉到△4CP處，此時△力CPNA48P,這樣就可以利

用旋轉變換，將三條線段P4PB、尸C轉化到一個三角形中，從而求出乙4。8=；

(2)基本運用

請你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題

已知如圖②，△A8C中，乙CA8=90°,AB=AC,E、尸為5c上的點且乙EA/=45°,求證：EF2=BE2

+FC2；

(3)能力提升

如圖③，在中，4108=90。，AC=1,4/lBC=30。，點。為Rt△48C內一點，連接4。，

BO,CO,R^AOC=/-COB=Z.BOA=120°,求。4+。8+OC的值.

【答案】(1)150。

(2)見解析

⑶V7

【分析】(1)由全等三角形的性質得，N4P8=zAPC,BP=CP=4,Z-BAP=￡.CAP\AP=AP\

再由等邊三角形的性質與判定得，LAP'P=60°,根據勾股定理逆定理得，4Ppe=90。，進而求解即

可；

(2)將力E繞點力逆時針旋轉90。得到A9,連接E'F,由旋轉的性質和等量代換得乙84￡二乙￡4

萬，從而證得ACE',得BE=CE,Z.ECF=90",證得△AE7W△AE'"，得ET?二方凡即可

得證；

(3)將△408繞點4順時針旋轉60。得到△408,連接。0，，由全等三角形的性質和旋轉的性質證得,

△0B0,是等邊三角形，^OA+0B+0C=A'O'+00'+0C=A'C,進而得N4BC=90。，再由直角三

角形的性質和勾股定理求得BC=V3,再利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)解：由題意得，△ACP'三△力BP,

A/.APB=Z-AP'C,BP=CP'=4,Z-BAP=/.CAP,,AP=AP',

???△ABC是等邊三角形，

Z.BAP+LPAC=60°,

Z-PAC+/-CAP'=60°,即，PAP'=60°,

-AP=AP\

.?.△PAP是等邊三角形，

：.PP'=AP=3,LAP'P=60°,

,:PP2+P'C2=PC2,

:ZPPC=90。，

：.Z.APB=^AP'C=^AP'P+LPP'C=60°+90°=150°,

故答案為：150。；

(2)解：如圖，將4E繞點/逆時針旋轉90。得到AE,連接CE\EfF,

:zEAE，=90°,

-Z-CAB=90°,Z-EAF=45°,

.?Z8AE+4E4c=45。，

?:乙FAC+乙CAE'=45°,

：.Z.BAE=Z-CAE',

又"8=AC,AE=AE\

△ADE^△/4CZT(SAS),

:.BE=CE=乙B=乙ACE'=45°,

MB=乙4cB=45°,

：/ECF=LACB+LACE'=90°,

:.Ed+FC2=E'F2,

.-.BE2+FC2=E'F2,

-Z-EAE'=90°,Z.EAF=450,

：.Z.FAE'=Z.EAF=45°,

^-.-AF=AF,AE=AE',

小三△%￡1'尸(SAS),

:.EF=E'F,

：.BE2+FC2=EF2-

BEFC

(3)解:將△40B繞點8順時針旋轉60。得到△AO歸,連接00，,

△/OB三△力'。'8,Z.OBO'=Z.ABA'=60°,

"OB=Z.AOB=120°,AO=4。'，

?：OB=O'B,

.?.△OB。，是等邊三角形，

W0B=LOO'B=60。，00'=OB,

“COB=Z.A'0'B=120°,

點C、。、O\4在?條直線上，

：.OA+OB+OC=A'O'+OO+OC=AC,

-/.ABC=30°,Z.ACB=90°,AC=1,

.,.AB=2AC=2,

:.BC=V22-l2=W，

-Z-A'BC=LA'BA+/.ABC=60。+30°=90°,AB=A'B=2,

-A'C=〃歸2+BC2=J22+(V3)2=V7.

>.0A+OD+OC=A'C=V7.

4

【點睛】本題考查旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、直

角三角形的性質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

23.(12分)如圖，已知拋物線y=。必+以+5與x軸相交于4：一1,0),8(5,0)兩點，與y軸相交于點C.

(1)