2025年福建省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求

的,

1.（4分）下列實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-1B.0C.V2D.2

2.（4分）中國(guó)古算詩(shī)詞歌賦較多.古算詩(shī)詞題，是反映數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律的種文學(xué)浪

漫形式.下列分別是古算詩(shī)詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其

中既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形的是（）

3.（4分）若77=1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的值可以是（）

A.-2B.-1C.0D.2

4.（4分）福建博物院收藏著一件“鎮(zhèn)館之寶”一一云紋青銅大鏡，如圖1.云紋青銅大鏡是西周樂(lè)器，

鼓飾變形獸面紋，兩側(cè)飾云雷紋，渾大厚重，作風(fēng)穩(wěn)重古樸，代表了福建占代青銅文化曾經(jīng)的歷史和輝

煌.圖2為其示意圖，它的主視圖是（）

圖1圖2

A.B.

A.01234

——i------1------------1-----1-------?

B.01234

IIII,

C.01234

I1alI,

D.01234

6.（4分）在分別寫(xiě)有?1,1,2的三張卡片中，不放回地隨機(jī)抽取兩張，這兩張卡片上的數(shù)恰好互為相

反數(shù)的概率是（）

1112

A.-B.-C.-D.—

4323

7.（4分）某數(shù)學(xué)興趣小組為探究平行線的有關(guān)性質(zhì)，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點(diǎn)A,E,

C,尸在同一條直線上，NBAC=NEDF=90°,NB=45°,ZDEF=60°.當(dāng)AO〃4c時(shí)，ZADE

的大小為（）

A.5°B.15°C.25°D.35°

8.（4分）為加強(qiáng)勞動(dòng)教育，增加學(xué)生實(shí)踐機(jī)會(huì)，某校擬用總長(zhǎng)為5米的籬笆，在兩邊都足夠長(zhǎng)的直角圍

墻的一角，圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實(shí)踐基地，如圖所示.設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意

可列方程（）

A.5?=6B.5（l+x2）=6C.x（5-x）=6D.5（i+x）2=6

9.（4分）如圖，布與。。相切于點(diǎn)A,夕。的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)C.AB//PC,且交。。于點(diǎn)從若NP

=30°,則尸的大小為（）

10.（4分）已知點(diǎn)A（-2,），i），B（I,在拋物線丁=3/+公+1上，若3V*4,則下列判斷正確的

是（）

A.1<y\<y2B.y\<1<y2C.1Vy2V_y1D._y2<l<_yi

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

II.（4分）為響應(yīng)“體重管理年”有關(guān)倡議，小敏對(duì)自己的體重進(jìn)行了跟蹤統(tǒng)計(jì).為方便記錄，他將體重

增加1.5依記作+1.5,那么體重減少I版應(yīng)記作.

12.（4分）某房梁如圖所示，立柱AO_LBC,E,尸分別是斜梁A8,AC的中點(diǎn).若A8=AC=8m,則。月

的長(zhǎng)為m.

13.（4分）若反比例函數(shù)y的圖象過(guò)點(diǎn)（-2,1）,則常數(shù)太=.

14.（4分）如圖，菱形4BC。的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,EF過(guò)點(diǎn)。且與邊AB,CO分別相交于點(diǎn)E,F.若

OA=2,OD=\,則AAOE與△O。尸的面積之和為.

15.（4分）某公司為選拔英語(yǔ)翻譯員，舉行聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)綜合測(cè)試，其中聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)各項(xiàng)成績(jī)（百

分制）按4：3：2：1的比例計(jì)算最終成績(jī).參與選拔的甲、乙兩位員工的聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)各項(xiàng)測(cè)試成

績(jī)及最終成績(jī)?nèi)绫?

項(xiàng)目聽(tīng)說(shuō)讀寫(xiě)最終成績(jī)

員工

甲A70809082

乙B90807082

山以上信息，可以判斷A,6的人小關(guān)系是A6.（填”或“V”）

16.（4分）彈簧秤是根據(jù)胡克定率并利用物體的重力來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的.胡克定律為：在彈性限度內(nèi)，彈

簧彈力尸的大小與彈簧伸長(zhǎng)（或壓縮）的長(zhǎng)度x成正比，即F=kx,其中&為常數(shù)，是彈簧的勁度系數(shù)；

質(zhì)量為m的物體重力為mg，其中g(shù)為常數(shù).如圖，一把彈簧秤在不掛任何物體時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為6厘米.在

其彈性限度內(nèi)：當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為。5千克時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為6.5厘米，那么，當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為6.8厘米

時(shí)，所掛物體的質(zhì)量為千克.

三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（8分）計(jì)算;20i|l-V2|

18.（8分）如圖，點(diǎn)￡,尸分別在A3,A。的延長(zhǎng)線上，ZCBE=ZCDF,ZACB=ZACD.求證：AB=

AD.

先化簡(jiǎn)，再求值：（2+寧）+攻料工其中〃=病一1.

19.（8分）

20.（8分）甲、乙兩人是新華高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組成員.以下是他們?cè)趨⒓痈咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)備隊(duì)員集訓(xùn)

期間的測(cè)試成績(jī)及當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)信息.

信息一：甲、乙兩人集訓(xùn)期間的測(cè)試成績(jī)（單位：分）

日期2月10FI2月213月53月143月25日4月7R4月17日4月27日5月85月20日

隊(duì)員月日日日

甲75807381908385929596

乙82838682928387868485

其中，甲、乙成績(jī)的平均數(shù)分別是宣爐=85,xz=85；方差分別是s甲2=58.4,s乙2=a.

信息二：當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線（單位：分）

年份20202021202220232024

獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線9089908990

試根據(jù)以上信息及你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，解決以下問(wèn)題：

（1）計(jì)算〃的值，并根據(jù)平均數(shù)與方差對(duì)甲、乙的成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)；

（2）計(jì)算當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)，并說(shuō)明：若要從中選擇一人參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)

賽，選誰(shuí)更合適；

（3）若要從中選擇一人參加進(jìn)一步的培養(yǎng)，從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，你認(rèn)為選誰(shuí)更合適？為什么？

21.（8分）如圖，△ABC是等邊三角形，。是A8的中點(diǎn)，CE±BC,垂足為C,后戶是由CZ）沿CE方向

平移得到的.已知EF過(guò)點(diǎn)A,BE交CD于兔G.

（1）求NQCE的大?。?/p>

（2）求證：4CEG是等邊三角形.

22.（10分）如圖，矩形中，AB<AD.

（1）求作正方形EFGH,使得點(diǎn)￡,G分別落在邊A。，6c上，點(diǎn)、F,〃落在6。上；（要求：尺規(guī)作

圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）若4B=2,AD=4,求（I）中所作的正方形的邊長(zhǎng).

23.30分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)2的圖象過(guò)點(diǎn)A（I,/）,B（2,/）.

(i)求*的值;

(2)已知二次函數(shù)｝，=&[+歷-2的最大值為l-|a2.

(i)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(ii)若M(xi,m),N(X2,小)為該二次函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，且〃[W0,求證：&"=±二.

mxx-2

24.(12分)閱讀材料，回答問(wèn)題.

【主題】?jī)蓚€(gè)正數(shù)的積與商的位數(shù)探究.

【提出問(wèn)題】小明是一位愛(ài)思考的小學(xué)生.一次，在完成多位數(shù)的乘法時(shí)，他根據(jù)提出算式“46X2=

92；35X21=735；663X11=7293：186X362=67332”，猜想：機(jī)位的正整數(shù)與“位的正整數(shù)的乘積是

一個(gè)(m+n-1)位的正整數(shù).

【分析探究】問(wèn)題1小明的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明；否則，請(qǐng)舉出反例.

【推廣延伸】

小明的猜想激發(fā)了初中生小華的探究熱情.為了使問(wèn)題的研究推廣到有理數(shù)的乘法，進(jìn)而遷移到對(duì)除法

的研究，小華將數(shù)的“位數(shù)”與“數(shù)字”的概念進(jìn)行推廣，規(guī)定：如果一個(gè)正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為。

X1(T,則稱這個(gè)數(shù)的位數(shù)是盟+1,數(shù)字是a.

借此，小華研究了兩個(gè)數(shù)乘積的位數(shù)問(wèn)題，提出并證明了以下命題.

命題：若正數(shù)A,B,。的位數(shù)分別為〃?，〃，p,數(shù)字分別為小b,c,且4X8=C,則必有。2〃且c

2人，或c'Va旦c'VZ>.并且，當(dāng)c'a且c?5b時(shí)，p=m+n-1；當(dāng)eV”旦eV方時(shí)，p=m+n.

證明：依題意知，A,B,C用科學(xué)記數(shù)法可分別表示為aXl(r—,hXIO〃7,cXlMl其中a,b,c

均為正數(shù).由AXB=C,得abXiy+ejXlWl

BP—=10p~m-n+1.(*)

c

,___,aab—aba1?，1ab,,、，a匕

當(dāng)且c2b時(shí)，—<1,所以一</?<10,又一>—>一,所以一V—<10.由(*)知，一=1,

cccc1010cc

所以〃=/〃+〃-1；

信與1件WbVIOab

當(dāng)〃且eV0時(shí)，〈:，所以《；，所以IV學(xué)VIO,與(*)矛盾，不合題意；

(\7C>1c>a>1

當(dāng)cVa且c，b時(shí)，①；

當(dāng)cV〃且eV〃時(shí)，②.

綜上所述，命題成立.

A

【拓展遷移】問(wèn)題2若正數(shù)小。的位數(shù)分別為小，那么工的位數(shù)是多少？證明你的結(jié)論.

(1)解決問(wèn)題1;

(2)請(qǐng)把①②所缺的證明過(guò)程補(bǔ)充完整:

(3)解決問(wèn)題2.

25.(14分)如圖，四邊形/WC。內(nèi)接于AD,3c的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,AC,8。相交于點(diǎn)F.G是

A8上一點(diǎn)，GD交AC于點(diǎn)H,且A8=AC,BG=DG.

(1)求證：ZABC=ZDBE+ZE；

(2)求證：AH2=HF*HC；

(3)若(an/ABC=V5,AD=2DE,CD=瓜,求△AGH的周長(zhǎng).

2025年福建省中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案A.DDACBBCCA

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求

的，

1.（4分）下列實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.-1B.0C.V2D.2

【解答】解：,:-

???最小的數(shù)是：-1.

故選：A.

2.（4分）中國(guó)古算詩(shī)詞歌賦較多.古算詩(shī)詞題，是反映數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律的一種文學(xué)浪

漫形式.下列分別是古算詩(shī)詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其

中既不是軸對(duì)稱圖形也不是中心對(duì)稱圖形的是（）

【解答】解：A.既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意;

B.既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

3.（4分）若/E在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的值可以是（)

A.-2B.-IC.0D.2

【解答】解：由題意，得x-120,

???實(shí)數(shù)x的值可以是2.

故選：D.

4.（4分）福建博物院收藏著一件“鎮(zhèn)館之寶”一一云紋青銅大鏡，如圖1.云紋青銅大鏡是西周樂(lè)器，

鼓飾變形獸面紋，兩側(cè)飾云雷紋，渾大厚重，作風(fēng)穩(wěn)重占樸，代表了福建占代青銅文化曾經(jīng)的歷史和輝

煌.圖2為其示意圖，它的主視圖是（

【解答】解：從正面看，可得選項(xiàng)A的圖形.

故選：A.

5.（4分）不等式號(hào)+1W2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

A.01234

B.01234

C.0234

D.01234

【解答】解：,.,y+lW2,

1

-1,

2

1

-xWI,

2

則xW2,

故選：C.

6.（4分）在分別寫(xiě)有-1,I,2的三張卡片中，不放回地隨機(jī)抽取兩張，這兩張卡片上的數(shù)恰好互為相

反數(shù)的概率是（）

1112

A.—B.-C.一D.—

4323

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

-I12

1A2-1A2-1A1

共有6種等可能的結(jié)果，其中這兩張卡片上的數(shù)恰好互為相反數(shù)的結(jié)果有2種，

???這兩張卡片上的數(shù)恰好互為相反數(shù)的概率是:=J

63

故選：B.

7.（4分）某數(shù)學(xué)興趣小組為探究平行線的有關(guān)性質(zhì)，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點(diǎn)A,E,

C,尸在同一條直線上，NBAC=N￡7?'=90°,N/3=45°,ZDEF=60".當(dāng)AO〃4c時(shí)，NADE

的大小為（）

【解答】解：根據(jù)題意得，ZACB=45°,

'：AD//BC,

：.ZDAC=ZACB=45°,

VZDEF=ZDAC+ZADE=6^,

AZADE=\50，

故選：B.

8.（4分）為加強(qiáng)勞動(dòng)教育，增加學(xué)生實(shí)踐機(jī)會(huì)，某校擬用總長(zhǎng)為5米的籬笆，在兩邊都足夠長(zhǎng)的直角圍

墻的一角，圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實(shí)踐基地，如圖所示.設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意

可列方程（）

B.5(l+x2)=6C.x(5-x)=6D.5(1+x)2=6

【解答】解：由題意可得，x（5-x）=6,

故選：C.

9.（4分）如圖，氏與。0相切于點(diǎn)4,P0的延長(zhǎng)線交。0于點(diǎn)C.AB//PC,且交于點(diǎn)從若NP

=30°,則N8CP的大小為（)

45°C.60°D.75°

【解答】解：如圖，連接。4、OB,

???以與OO相切于點(diǎn)A,

???N4OP=90°-ZP=90°-30°=60°,

?:AB"PC,

???NOA8=/AOP=60°,

*：OA=OB,

???△A08為等邊三角形,

，NAO8=60°，

，N8OC=1800-ZAOP-ZAOB=6()°,

?：OB=OC,

???△8OC為等邊三角形,

AZBCP=60°，

故選：C.

10,（4分）已知點(diǎn)A（-2,），i）,B（1,”）在拋物線丁=3?+必+1上，若3V6V4,則下列判斷正確的

是（）

A.1<yi<>?2C.1<*勺D.y2<1<y\

【解答】解：,??y=3?+/?x+l.

?當(dāng)x=O時(shí)，y=l,

.拋物線過(guò)點(diǎn)（0,1）,

bb

?拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為無(wú)=

2x3一『

.拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大,

?3VY4,

2b1

-2+1?____1b-2+0b

-------=-1

22626

?點(diǎn)A（?2,產(chǎn)）到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)（0,1）到對(duì)稱軸的距離，小于8（1,”）到對(duì)稱軸的距離,

故選：A.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

U.（4分）為響應(yīng)“體重管理年”有關(guān)倡議，小敏對(duì)自己的體宣進(jìn)行了跟蹤統(tǒng)計(jì).為方便記錄，他將體重

增加1.5依記作+1.5,那么體重減少1版應(yīng)記作7.

【解答】解：為方便記錄，他將體重增加1.5奴記作+1.5,那么體重減少1依應(yīng)記作-1.

故答案為：-1.

12.（4分）某房梁如圖所示，立柱AD_L8C,E,尸分別是斜梁A8,4c的中點(diǎn).若A8=AC=8m，則DE

的長(zhǎng)為4m.

A

【解答】解：???4。_18。，

??./4。8=90°,

???￡是A3的中點(diǎn)，

??.QE=2AB=*X8=4（w）.

故答案為：4.

13.（4分）若反比例函數(shù)y=[的圖象過(guò)點(diǎn)（?2,1）,則常數(shù)-2.

【解答】解：???反比例函數(shù)y=（的圖象過(guò)點(diǎn)（?2,1）,

；?k=-2X1=-2,

故答案為：?2.

14.（4分）如圖，菱形A3C。的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,￡尸過(guò)點(diǎn)。且與邊CO分別相交于點(diǎn)￡F.若

OA=2,OD=1,則與△。。產(chǎn)的面積之和為].

【解答】解：???四邊形A8CD是菱形，

：,DO=BO=\,CD//AB,

：./ODF=/OBE,ZOFD=ZOEB,

：./\DOF^^BOE（A4S）,

???/\DOF的面枳=Z\8O￡的面枳，

，AAOE與△。。尸的面積之和=Z\8Q4的面積=1x2Xl=l,

故答案為：1.

15.（4分）某公司為選拔英語(yǔ)翻譯員，舉行聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)綜合測(cè)試，其中聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)各項(xiàng)成績(jī)（百

分制）按4：3：2：I的比例計(jì)算最終成績(jī).參與選拔的甲、乙兩位員工的聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)各項(xiàng)測(cè)試成

績(jī)及最終成績(jī)?nèi)绫恚?/p>

項(xiàng)目聽(tīng)說(shuō)讀寫(xiě)最終成績(jī)

員工

甲A70809082

乙B90807082

由以上信息，可以判斷A,8的大小關(guān)系是A>B.（填=”或"V"）

44+70X3+80X2+90X1

【解答】解：由題意得:------------------------------=82,解得4=90,

44-3+2+1

4B4-90X3+80X2+70X1

解得B=80,

44-3+2+1

V90>80,

???A>B,

故答案為：>.

16,（4分）彈簧秤是根據(jù)胡克定律并利用物體的重力來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的.胡克定律為：在彈性限度內(nèi)，彈

簌彈力廠的大小與彈簧伸長(zhǎng)（或用縮）的長(zhǎng)度r成正比,即F="其中〃為常數(shù)，是彈簧的勁度系數(shù)：

質(zhì)量為m的物體重力為〃吆，其中g(shù)為常數(shù).如圖,一把彈簧秤在不掛任何物體時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為6厘米.在

其彈性限度內(nèi)：當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為0.5千克時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為6.5厘米，那么，當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為6.8厘米

時(shí)，所掛物體的質(zhì)量為0.8千克.

【解答】解：將尸=0.5g,x=6.5-6=0.5代入尸=履，

得0.5g=0.5Z,

解得k=g,

，尸與x的函數(shù)關(guān)系式為F=gx,

將x=6.8-6=0.8,F=mg代入F=gx,

得mg=0.8g,

解得〃?=0.8,

???當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為6.8厘米時(shí)，所掛物體的質(zhì)量為0.8千克.

故答案為：0.8.

三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（8分）計(jì)算:2。+|1-3

【解答】解：原式=1+&-1-2a

=1-14-^-272

=-企.

18.（8分）如圖，點(diǎn)石，尸分別在AB,AO的延長(zhǎng)線上，NCBE=NCDF,ZACB=ZACD.求證:AB=

AD.

.\1800-ZCTE=180°-NCDF,

???/4BC=180°-NCBE,ZADC=180°-NCDF,

???ZABC=ZADC,

在△ABC和△AOC中，

（ZABC=ZADC

]Z-ACB=/LACD，

14c=AC

：.AABC^AADC（AAS）,

：,AB=AD.

19.（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（2+寧）+七等±1,其中。=病一1.

2

【解答】解：原式=（當(dāng)+L）+色護(hù)

_a+1a

~Q（a+1）2

1

=o+T,

當(dāng)（1=V5-1時(shí)，

1

原式=

75-1+1

1

=西

_/5

5,

20.（8分）甲、乙兩人是新華高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組成員.以下是他們?cè)趨⒓痈咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)備隊(duì)員集訓(xùn)

期間的測(cè)試成績(jī)及當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽的相關(guān)信息.

信息一：甲、乙兩人集訓(xùn)期間的測(cè)試成績(jī)（單位：分）

日期2月10日2月213月53月143月25日4月7日4月17日4月27日5月85月20日

隊(duì)員月□0日

甲75807381908385929596

乙82838682928387868485

其中，甲、乙成績(jī)的平均數(shù)分別是元甲=85,=85；方差分別是s甲2=58.4,s乙2=a.

信息二：當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線（單位：分）

年份20202021202220232024

獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線9089908990

試根據(jù)以上信息及你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，解決以下問(wèn)題：

（1）計(jì)算。的值，并根據(jù)平均數(shù)與方差對(duì)甲、乙的成績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)；

（2）計(jì)算當(dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線的平均數(shù)，并說(shuō)明：若要從中選擇?人參加高中數(shù)學(xué)聯(lián)

賽，選誰(shuí)更合適；

（3）若要從中選擇一人參加進(jìn)一步的培養(yǎng)，從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，你認(rèn)為選誰(shuí)更合適？為什么？

【解答】解：（1）由題總得：〃二書(shū)X[2X（82-85）2+2X（83-85）2+（84-85）2+（85-85）2+2

X（86-85）2+（87-85）2+（92-85）2]=8.2,

兩人的平均數(shù)相同，但乙的方差比甲小，所以乙的成績(jī)更穩(wěn)定；

（2）選甲更合適，理由如下：

因?yàn)楫?dāng)?shù)亟迥旮咧袛?shù)學(xué)聯(lián)賽獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線都在89分或89分以上，在兩個(gè)10次成績(jī)中，甲有4次超過(guò)

89分，乙只有1次超過(guò)89分，所以甲獲獎(jiǎng)的概率更高，所以選甲更合適；

（3）選甲更合適，理由如下：

因?yàn)樵趦蓚€(gè)10次成績(jī)中，甲有4次達(dá)到90分或90以上，乙只有1次達(dá)到90分或90以上，所以選甲

更合適.

21.（8分）如圖，△ABC是等邊三角形，。是AB的中點(diǎn)，CELBC,垂足為C,￡尸是由CZ）沿CE方向

平移得到的.已知E尸過(guò)點(diǎn)A,BE交CD于點(diǎn)G.

（1）求NQCE的大??；

（2）求證：△CEG是等邊三角形.

【解答】（1）解：「△ABC是等邊三角形，

???NAC8=60°.

??,。是43的中點(diǎn)，

AZDCB=ZDCA=^ZACB=1x60°=30°.

\-CE±BC,

:?/BCE=90。,

???N〃CE=N4C￡-NOC8=50".

（2）證明：由平移可知：CD//EF,

，NE4C=NOCA=30°,

又???NECAuNBCE-NAC8=30°,

???NE4C=/ECA,

：?AE=CE,ZAEC=\20°,

又?:AB=CB,

???3E垂直平分AC,

/.ZGEC=^ZAEC=1x120°=60°,

由（1）知，ZGCE=6（r,

AZEGC=60°,

JNGEC=NGCE=/EGC,

???△CEG是等邊三角形.

22.（10分）如圖，矩形A8C。中，AB<AD.

（1）求作正方形EFG”，使得點(diǎn)￡,G分別落在邊4。，8C上，點(diǎn)F,”落在8。上；（要求：尺規(guī)作

圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）若44=2,AD=4,求（1）中所作的正方形的邊長(zhǎng).

（2）???四邊形八以第是矩形,

，乙4=90°，

：.BD=\/AB2+AD2=V22+42=2A/5,

：.OB=OD=V5,

????tan4/0A八8D=_而"B=_前OE,

：.OE=堂,

丁四邊形EFG"是正方形,

：.OE=OH=與EOLOHt

:?EH=y[2OE=孚，

.二正方形EFGH的邊長(zhǎng)為出

2

23.（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=af+Zu-2的圖象過(guò)點(diǎn)A（1,Q,B（2,r）.

（1）求色的值；

a

（2）已知二次函數(shù)），=加+歷?2的最大值為1一我一

（/）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（行）若“（箱，機(jī)），N3,?。樵摱魏瘮?shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，且小#0,求證：（X1~1）2=叁三.

mXi~2

【解答】⑴解：二次函數(shù)尸ad+版?2的圖象的對(duì)稱軸為直線“一其

???點(diǎn)A（1,Z）,B（2,r）在該函數(shù)的圖象上,

???2_（_而）=_而-1，

.b_3

9,~2a=2f

b

A-=—3；

a

（2）①解：由（1）可得，

?:b=-3a,

，該函數(shù)的表達(dá)式為-3ar-2,

9

-Q

???函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn),4-2)

???函數(shù)的最大值為1一餐2,

QO

aV0,且一/Q—2=1-4a之，

解得4=-1,或4=4（舍去），

，該二次函數(shù)的表達(dá)式為），=-x1+3x-2,

②證明：?.?點(diǎn)M（xi,/〃）在函數(shù)y=-/+3x-2的圖象上，

m=-xf+34]—2,

由①知，點(diǎn)M（xi,m）,N（X2,?。╆P(guān)于宜線x=a對(duì)稱，不妨設(shè)加＜4,

33

-

2-2--即Xl+.V2=3,

.（31-1）2_%2_2_（七-1）2（久1—2）—??1（第2—2）

m工廠2皿3]—2）

一①一1）（勺一2）（，1—1）一皿*2-2）

m（x「2）

_（后一3與+2）（勺-1）一皿外一2）

皿勺-2）

一771（X]—1）—771（工2一2）

一皿/―2）

_一m（巧+丫2-3）

租（必一2）

=0,

.（MT）2_%2-2

,?mxr-2

24,（12分）閱讀材料，回答問(wèn)題.

【主題】?jī)蓚€(gè)正數(shù)的積與商的位數(shù)探究.

【提出問(wèn)題】小明是一位愛(ài)思考的小學(xué)生.一次，在完成多位數(shù)的乘法時(shí)，他根據(jù)提出算式“46X2=

92；35X21=735；663X11=7293；186X362=67332猜想：/n位的正整數(shù)與〃位的正整數(shù)的乘積是

一個(gè)（〃?+〃-1）位的正整數(shù).

【分析探究】問(wèn)題1小明的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明；否則，請(qǐng)舉出反例.

【推廣延伸】

小明的猜想激發(fā)了初中生小華的探究熱情.為了使問(wèn)題的研究推廣到有理數(shù)的乘法，進(jìn)而遷移到對(duì)除法

的研究，小華將數(shù)的“位數(shù)”與“數(shù)字”的概念進(jìn)行推廣，規(guī)定：如果一個(gè)正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為。

Xi（y\則稱這個(gè)數(shù)的位數(shù)是什1,數(shù)字是

借此，小華研究了兩個(gè)數(shù)乘積的位數(shù)問(wèn)題，提出并證明了以下命題.

命題：若正數(shù)A,B,。的位數(shù)分別為〃?，〃，p,數(shù)字分別為a,b,c,且4X8=C,則必有且c

2人，或且eV/?.并且，當(dāng)且c2b時(shí)，p=m+n-1：當(dāng)eV”且eV〃時(shí)，〃=〃?+〃.

證明：依題意知，A,B,。用科學(xué)記數(shù)法可分別表示為。xi（y〃1〃XI0〃7,cXl伊1其中小b,c

均為正數(shù).由AXB=C,得abXl（y〃+〃-2=cX

即竺=10p-,n-n+1.（*）

c

,a~,ab一QbQ1~,1ab,,ab

當(dāng)且c2b時(shí)，一Wl,所以一<b<10,又一>—>一，所以一<一<10.由（*）知，一=1?

cccc1010cc

所以〃=/〃+〃-1；

信工1件Wb<10h

當(dāng)cNa且c<b時(shí)，］:，所以《；，所以IV字<10,與（*）矛盾，不合題意；

《>1>a>1

X.Cc

償〉d,ah

當(dāng)c<a且時(shí)，①當(dāng)cV〃且c2b時(shí)，可得，c.,得［V華V10,不合題意；

償WaVlO,

當(dāng)eV”且eV〃時(shí)，②當(dāng)eV”且cV>時(shí)，可得”可得IV”<100,得”=10,即得〃

Cc

=〃1+〃.

綜上所述，命題成立.

A

【拓展遷移】問(wèn)題2若正數(shù)小B的位數(shù)分別為機(jī)，加那么!的位數(shù)是多少？證明你的結(jié)論.

（1）解決問(wèn)題1:

（2）請(qǐng)把①②所缺的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；

（3）解決問(wèn)題2.

【解答】解：（1）小明的猜想不正確，

反例：3X4=12；

Z以

:上

>

I

c

C

①所以

K

:

b

意；

不合題

盾，

⑴矛

0,與

"V1

以IV

,所

M

I

<

二-

k

T

10,

<a<

00,

弛V1

以IV

O,所

VIO

WQb

又竺