第4節(jié)向量中的最值（范圍）問題

題型分析平面向量中的范圍、最值問題是熱點問題，也是難點問題，此類問題綜合性強，體現(xiàn)了知

識的交匯組合，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向

量夾角、系數(shù)的范圍等,解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時向量兼

顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合.

題型一與系數(shù)有關(guān)的最值（范圍）

例1（2025?安徽六校測試）己知正方形A8CQ的邊長為2,中心為O,四個半圓的圓心均為正方形

A8CQ各邊的中點（如圖）,若戶在反■上,且而且通+〃而,50+〃的最大值為.

答案竽

解析如圖，以線段8c所在直線為x軸,線段3c的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則4(-1,2),B(-l,0),C(l,0),D(l,2),

則40=(2,0),48=(0,-2),

設(shè)P(cossin。),[兀,2K],

則4P=(cos0+l,sin0-2),

?：AP=XAB^iAD,

(cos0+1,sin^-2)=z(0,-2)+//(2,0),

ccs8+1

?Jcos2+；=2夕產(chǎn)F-

2-sin8

(sin6-2=-ZA,nX=-----------

2

貝I]2-sinO^cos0+1

22

=|(cos^-sin。+3)=：[V2cos+3],

由6>E[H,2兀]，得9+衿再，》

所以當(dāng)時,

4

則打〃的最大值為竽,

思維建模此類問題的一般解題步驟是

第一步:利用向量的運算將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系;

第二步:運用均值不等式或函數(shù)的性質(zhì)求其最值.

訓(xùn)練1(2025?深圳調(diào)研)設(shè)點A(-2,0),￡?(-p0),C(0,1),若動點。滿足|PA|二2|P8|,且而二2話+〃前,

則1+2〃的最大值為.

答案空

解析設(shè)P(A-,y),則互5=(2A-,丁),而=(--y),

由|可|=2|而

得J(—2—x)2+(-y)2

=2X2

J(-I-)+(一丫/,

整理，得f+)，2=l,

將而二(廿2,).),45=(|,0),Xc=(2,1)

x+2=|a+2〃,

代入AP=〃得

y=〃，

貝IJey+2身+3必/(1+2"),

22

所以7+2〃=：Cr+y+2),

由l=f+），2?2孫,得冷wg,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立，

所以（廿），）2=?+2\）葉〉2W1+1=2,

得x+yW或,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立，

所以"2〃=|a+y+2）w3x（&+2）=WA即2+2"的最大值為紅手.

?5JJJ

題型二與數(shù)量積有關(guān)的最值（范圍）

例2（2024?天津卷）在邊長為1的正方形A8CQ中,E為線段CO的三等分

點,CE=^DE,前二廊+/i阮,則2+〃=尸為線段8E上的動點,G為A/的中點,則萬5?麗的最

小值為.

答案3

318

解析以點A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

則4((),0),B(l,0),C(l,1),0((),1),￡(|,1),

所以麗二(一31),游=(-1,0),而二(0,1),

因為初與瓦5+〃近，

所以(-g1)=2(-1,())+"((),1),

所以z=1,〃=1,所以2+//=^.

由E&1)可得直線BE的方程為

y=-3(x-l),

設(shè)F(a,3-3〃)G<a<1),則G6,等)，

所以Q=(a,3-3a),而若，號5

所以被麗二吟(33).詈

因為G是線段BC上的一個動點,

所以設(shè)質(zhì)二感（0W/W1）,

P^&JG=BG-'BF=tBC-'BF

=t（AC-AB）-^-渾+濟）

備泊+（"源

所以前標(biāo)=（禺荏+［元）.［（；［）荏+G-；）宿

咂Y）研（口）超痔（卜自協(xié)

當(dāng)r=l時,融?前有最大值,且最大值為工

16

題型三與模有關(guān)的最值（范圍）

例3（2025?北京部分區(qū)模擬）已知平行四邊形ABCD的面積為6>/3,N8AD號,且屁二2前.若F為

線段。E上的動點,且而二7肉+：而,則實數(shù)人的值為_______;|酢|的最小值為________.

C

答案|V5

解析AF=）^B^AD

6

=A（AE^EB）-^-AD

6

二點+O）福

由F,E三點共線,得2+：-芻=1,

o3

解得其.

過點A作AG_LBC于點G,以G為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)Bg0),a>0,則A(0,V3f/),

已知%3c。的面積為6>/3,

則|8C|=*故cQ-a,0）,。&昌）

則48=（-〃,而二&0）,

所以存苧而+工荏二仁，，一起Q）,

則麗2=e一滬色

二爭〃2-5N21^-a2-5=5,

QN7aI

當(dāng)且僅當(dāng)即用花時取J”，

QN

所以I成I的最小值為通.

思維建模求向量模的最值（范圍）的方法，通常有：

（1）代數(shù)法,把所求的模表示成某個變量的函數(shù),或通過建立平面直角坐標(biāo)系,借助向量的坐標(biāo)表示;

需要構(gòu)造不等式，利用均值不等式，三角函數(shù)，再用求最值的方法求解；

（2）幾何法（數(shù)形結(jié)合法），弄清所求的模表示的幾何意義，注意題目中所給的垂直、平行，以及其他

數(shù)量關(guān)系,合理的轉(zhuǎn)化,使得過程更加簡單:結(jié)合動點表示的圖形求解.

訓(xùn)練3（2025?中山調(diào)研）已知向量a,b,c滿足⑷=1,|》|二V5,ab=-^<acyb-c>=30°,則|c|的最大值為

（）

A.2V7B.V7

C.2D.V2

答案A

解析設(shè)04=。,OB=b,OC=c,

貝I]a~c=CA,b~c=CB,

由題意cos<〃,6>=凸]=-4，

\a\\b\2

而0°Wva,歷>。180。,則5^>=150°.

又因為v〃-c,b-c>=30°y

所以O(shè),A,B,C四點共圓,

如圖所示.

要使|c|取得最大值,

則0C必過圓心G,

此時在△04B中,

AB2=OA2+OB2-2OAOBCOSZAOB

=l+3-2V3cos150°=7,

即A8二夕，由正弦定理可得

0C=2R=AB=2V7.

sinz.4OD

題型四與夾角有關(guān)的最值（范圍）

例4（2025?濟南調(diào)研）平面向量a,b滿足同=3|回,且臼=4,則a與ab夾角的正弦值的最大值為

（）

A.-B.-

43

CiD.-

3

答案B

解析如圖所示，設(shè)a=OAfb=6W,

A

貝lja-b=BA,

設(shè)步|=/n,悶=3加,1W〃zW2,

|耐仔+|瓦^|2一|而|2

cosZOAB=

2\OA\\BA\

二所+16-m口三口土三二地,當(dāng)且僅當(dāng)巴二三,即〃廠夜時等號成立，

24m33my]33m333m

故NO48￡(0,5

當(dāng)cosNOAB最小時，sinNOAB最大，

故〃與夾角的正弦值的最大值為11-

793

思維建模求夾角的最值(范圍)問題要根據(jù)夾角余弦值的表達式,采用均值不等式或函數(shù)的性質(zhì)進

行.

訓(xùn)練4已知矩形ABCD中,A8=2,,點E,F,G,H分別在邊AB,BC,CD,AD上(包含端點),若

EGHF=2,則前與赤夾角的余弦值的最大值是.

答案:

解析如圖建立直角坐標(biāo)系，則可設(shè)就=(/,1),加=(2,s),-2WfW2,7WsW1,

所以的?蘇=2/+s=2,

cos<FG,喬>二空慕

|EG“HF|

_2_________2________

x/t2+lV4+s2V(5t)2+4t2+S2+4

___________2____________2

V(St；l2-4st+(2t+S)24-4J(s￡)2-4st+8

_2

-J(S￡-2)2+4’

當(dāng)"WO時,(.42)224,

當(dāng)st>0時，由2f+s=2,故5>0,r>0,

2=2f+s22/2s￡,

?，?srW"當(dāng)且僅當(dāng)5=1,時取等號,

???S1最大值為a

2

???(SL2)2的最小值為?—2)W，

此時,2取得最大值為士

"$—2)2+45

即前與而夾角的余弦值的最大值為:

■極化恒等式拓展視野

極化恒等式的證明過程與幾何意義

⑴證明過程:如圖,

設(shè)48=。,AD=b,貝ljAC=a+瓦DB=a-b.

府2=m+b)2=|a|2+2v力+|肝，

|而|2二(。一〃)2二|才一2a力+|力F,

兩式相減得ab=^b)2-(a-b)2],此即極化恒等式.

(2)幾何意義向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線長”與“差對

角線長”平方差的士

4

典例⑴如圖，在三角形ABC中，。是的中點，瓦尸是A。上的兩個三等分

點,JACA=4fBFCF=~\,則露.而值為.

答案I

解析i§DC=a,DF=b,

就謂二麗|2_前|2=9,2_Q2=4,

而存=|而F-前|2=/一02=一］,

解得b2=^a2=llt

88

???BE-CE=\ED\1~\BD\1=4b2-a2=^.

8

（2）（2025?鄭州模擬）已知是正四面體A-BCO的外接球的一條直徑，點P在正四面體表面上運

動,正四面體的棱長是2,則麗?麗的取值范圍為.

答案0

解析如圖，設(shè)A點在平面內(nèi)的射影為E,F為OC的中點，

易知E在8￡上，且AE_L平面BCD,

又正四面體的棱長是2,所以BF=逐

在正三角形BCD中，BE片.

由勾股定理可得,心.一（甯弩.

設(shè)外接球半徑為/?,則（AE-R）2+8/=R2,

22

即（詈R）+（第）常，

解得解當(dāng)

法—易知麗?麗=（同+萬行）?（萬+萬同）=而2+而.（麗0河）+麗.而,

又因為A/N是外接球的一條直徑，

所以麗+前=0,

目而祚而|=當(dāng)

因此麗?麗=1而F-1麗H麗I

=\PO\2-1

易知麗ma、=|AO|岑

\PO\min=\EO\=\AE\-R=^.

6

所以(麗?麗)min=(|而Imin)2M

_1_3__4

"62~3’

2*4

(PA?.pw)max=(|PO|max)-|=|-|=0,

因此可知麗?麗的取值范圍為[-jo].

法二由極化恒等式得麗.麗二麗2_麗2

=PO2-/?2=PO2--,

2

而P。喈，卦

故麗?麗的取值范圍為[一%0.

訓(xùn)練(2022.北京卷)在△ABC中,AC=3,BC=4,NC=90。，為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1,則

麗?麗的取值范圍是()

A.[-5,3]B.[-3,5]

C.[-6,4]D.[-4,6]

答案D

解析法一以C為坐標(biāo)原點,■，而所在直線分別為x軸、)，軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，

則A(3,0),5(0,4).

設(shè)P(x,)，)，則『+尸=1,同=(3—x,-y),

PB=(-xf4->),

所以藥?而二戶3戶9-4)，

2

又(無一1)+(廠2)2表示圓《+32=[卜一點到點(|,2)距離的三方，圓心(0,0)到點(|,2)的距離為|,

所以防而q(|-1)2-擾+1)2-?].

即港.麗￡[-4,6].

法二(極化恒等式)設(shè)的中點為M由與前的夾角為。，

由極化恒等式得港.麗二麗2二胡2

4

=(CM-CP)2-^

=CM2+CP2-2CM^CP--

4

2424

=^+l-5cos。-al-5cos0,

因為cosJ￡[T,1],所以萬不而￡[-4,6].

課時對點精練

一、單選題

1.已知平面向量〃,b,|a|=I,|Z>|=V2,且〃仍=1.若|c|=2,貝ij（a+b>c的最大值為（）

A.2V5B.10

C.2D.5

答案A

解析設(shè)a+b,c的夾角為仇

貝ij(a+〃)?c=|a+例?|c|cos0^：\a+b\-\c\=y/\a\2+\b\2+2a-b-|c|=2>/5,

當(dāng)a+b,c同向，即0=0時取等號.

2.已知△ABC中,43=4,4C=3,cosA=^若。為邊BC上的動點,則荏?通的取值范圍是()

A.[4、②12]B.[8V2,16]

C.[4,16]D.[2,4]

答案C

解析由題意得：

AD=z^+(1-A)ACf()^2^1,

ABAD=AB[^^1-A)AC]

=；AB2+(1-A)|A5|-|XC|COSA

=16A+4-42=122+4e[4,16],

3.(2025?內(nèi)江模擬)己知向量a=(m,〃),b=(cos0,sin0,其中mynf8￡R.若同=4步則當(dāng)。力々恒成立

時，實數(shù)2的取值范圍是()

A.(-8,71)U(V2,+oo)B.(-°°,-2)U(2,+8)

C.(-V2,2)D.(-2,2)

答案B

解析法一V^=(cos<9,sin\a\=4\b\,

/.設(shè)a=4(sina,cosa),

則a?6=4sinacos9+4cosasin9

=4sin(a+0e[-4,4],

若。6<六恒成立，

則乃〉4,解得A>2或A<-2.

法二.”《cos0,sin0),

|Z>|=Vcos204-sin20=1,

又|a|二4|〃|,二4,二。仍的最大值為4,

則廬>4,解得A>2或A<-2.

4.（2025?銅川模擬）在△ABC中，。是A8邊上的點,滿足4。二2。8,E在線段CD上（不含端點）,旦

荏二八泡+）h（X,R）,則9的最小值為（）

A.3+2V2B.4+2V3

C.8+4V3D.8

答案B

解析,??AE=xAB+y^C(xfy￡R).

AD=2DB,

Qy..).......

：.AE=—AD+yAC

2t

又E在線段C。上（不含端點）,

y4y=1,且A>0,y>0,

.x+2y1,2/I,2\(3x,\

=4+色+型24+2點

2yx

當(dāng)且僅當(dāng)

2yx

即日-噂）,二亨時，等號成立,

，詈的最小值為4+2返

5.（2025?南昌測試）如圖，已知正方形A3CO的邊長為4,若動點P在以AB為直徑的半圓上（正方形

ABCD內(nèi)部,含邊界）,則無?麗的取值范圍為（）

A.(0,16)B.[0,16]

C.(0,4)D.[0,4J

答案B

解析法一以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，正方形4BC。的邊長為4,

貝ljC（4,4）,0（0,4）,CD=（-4,0）,

取CD的中點E,連接PE

所以PE的取值范圍為愕，闊，即［2,2遙］,

由于無?而=（即+正）?（質(zhì)+而）

=西空,

4

所以定而￡［0,16J.

法二PC^PD=PE2-DE2=PEr-^

而PEe［2,2行］，故正?麗￡［（）,16］.

6.（2025?南京模擬）已知向量a,b滿足同=1,步|=2,ab=0,若向量c滿足同力-2cl=1,則|c|的取值范圍是

)

A.［I,2］13.［蜀

C,6-16+父D［通T遙+1

答案D

解析法一由題意可設(shè)

?=（0,1）,〃二（2,0）,c=（x,y）,

_

則a^b-2c=（2-2xfl2y）,

由|a+0-2c|二l,

可得（2-2x）2+（l-2y）2=1,

化簡可得（廠i）2+（y_￡）2=G）i

該方程表示以（1彳）為圓心,以3為半徑的圓，

則|c|表示圓上的點到原點的距離，

而圓心到原點的距離啟J/+似喙

所以|C|二J%2+y2的取值范圍是團匕小外,即［與1,等.

法二由悶=1,步1=2,ab=0,

得|a+b|二Z,

又||。+臼-|2c||W|a+b-2cl=1,

即迷-lW|2c|WV^+l,

7.（2025?滄州調(diào)研）如圖，ZX/CO與△/16c的面積之比為2,點尸是區(qū)域ABDC內(nèi)任意一點（含邊界）,

且而=2荏+〃荏（九〃￡R）,則2+〃的取值范圍是（）

A.[0,11B.[0,21

C.[0,3]D.[0,4]

答案c

解析法一過點尸作G”〃BC，交4。,/^的延長線于點64

M-x

B'H.2，

貝廊二工痔)戒且x+y=1.

當(dāng)點P位于。點時,G,〃分別位于C\B\

??,△BCQ與△ABC的面積之比為2,

???AC=3AC,AB'=348,

故此時^JP=xAG^yAH=xAC^yABi

=x34C+y3/R="AC+2AR,

/z=3x,A=3>\貝II2+〃=3x+3y=3.

當(dāng)點P位于A點時,顯然有z+/z=O.

法二根據(jù)題意,將圖形特殊化，設(shè)AZ)垂直平分8C于點0.

與△ABC的面積之比為2,：.DO=2AO.

當(dāng)點尸與點A重合時，可得而=0,

此時z=//=0,即2+//的最小值為0;

當(dāng)點產(chǎn)與點D重合時,可得刀=3而=3xQZB+［尤)=|荏+|癰

此時z=/z=|,即A+/z的最大值為3.

??"+〃的取值范圍為［0,3］.

8.平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點.已知點A(-2,0),點P(cos仇sin8)(0￡R),則向量方與福的夾

角的取值范圍是()

66J6J

D,[o,-

4,4j4j

答案B

解析根據(jù)題意,設(shè)向量而與價的夾角為火點A(-2,0),點P(cos仇sin。),

則而=(2,0),萬二(cos，+2,sin6),

貝lj|而|=2,而=44cos6+5,

AOAP=2(cos0+2)=2cos0+4,

AOAP

則m.icosa=,,,,=—2c,os6+=4

\AO\\AP\2XV4COS0+5

cos0+2

V4cos0+5

=-(“cos8+5+/.3)

4kV4COS0+5/

又由，4cos6+521,

則』4cos6+5+/322V3,

V4cos0+5

當(dāng)且僅當(dāng)cos<9=彳時等號成立，

則cos亨,又由OWaW兀,故OWaW、,

即向量近與標(biāo)的夾角的取值范圍是[o,,.

二、多選題

9.(2025?長沙模擬)在梯形A3CO中,AD〃BC,A8=A￡>=CD=2,N43C=6()。,AC與BD交于點M,點N

在線段CO上，則（）

B.2S^ACD=3S^BCM

C.麗?麗為定值8

D.若麗=2前+〃前,則不；■的最小值為尊

A2〃2

答案AC

解析由題意可得BC=4,BD=AC=2色,

NBDC=NCAB=90。,

因為AD//BC,所以

因為BC=2AD,所以CM=2AM,BM=2MD,

所以麗=；尼二：（屈+麗）二：（而+2而）二|而+：南,故A正確：

因為8O2A。,所以S“MC=4SSW4

因為AC=3AM,所以SMCD=3SMMD,

所以4s“DLBSABCM,故B錯誤；

因為/3OC=9（）。，

所以兩?麗二|麗||麗IcosNOBN

二|麗H麗|芻前F』X（2V5）2=8,

33

為定值，故C正確；

因為麗=而""前與前+〃畫且D,N,C三點共線，

所以"/+〃=1,旦/.＞（）,/z＞（）,

3

所以/=e+§（＞+"）

二空一"/2口.也=Z+2g.

2gA2fiA2

當(dāng)且僅當(dāng)工學(xué)，

即加6-3A/5,〃=2J5-3時，等號成立，故D錯誤.

10.（2025?蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）在長方形ABCD中,AB=8,AQ=6,點￡產(chǎn)分別為邊BC和CD上兩個動點（含

端點）,且EF=5,設(shè)露4說,而二〃反,則（）

A±W2W1,太〃W1

68A

氏"A為定值

U版.不的最小值為50

D.|旗+而|的最大值為

答案AC

解析對于A,當(dāng)b和C重合時,3石=1,

此時入取最小值;,〃取到最大值1;

當(dāng)￡和C重合時,OF=3,

此時“取最小值上,2取到最大值1,A正確：

對于B,當(dāng)產(chǎn)和C重合時，

成4=1"+〃=：;

OO

當(dāng)￡和C重合時,b1,〃4"+〃=28錯誤；

88

對于C,荏?而=（而+麗）?（而+而）

二（四+萬口）?（而+"沆）三通?而+/說?而+〃萬?比+加麗?尻

=痂標(biāo)+麗祝

力就2+"彳g2=36/l+644，

由EF=5,得前2=25,即（前+而）J25,

即[（1-力而+〃-1）沆尸二25,

即36（1-加+643-1>=25,

設(shè)6（A-I）=5cos6y

3nl

8（//-l）=5sin。，夕￡[IT,—y

則38+64〃=36義（匹詈+1）+64X（竿+1）

=lf）OBOcos例40sinQ100+50加（。+0）

（8為輔助角,tang=3）,

當(dāng)sin（O+p）=T時，

362+64〃取到最小值5（）,

即旗?標(biāo)的最小值為50,C正確；

對于D,當(dāng)〃=1,時，

6

?一一??一?一????一?7，

AE+AF=AB+BE+AC=2AB+-BC,

6

2

貝|]|族+麗而二J(2而+加)

4南2+2說2=4X64+-X36

3636

=V305>V265,故D錯誤.

11.(2025?長春模擬)已知平面向量a,b,c,|。|二2代,|臼=6,〃岳18,且Sc,b-c>=60。,則()

A.〃與b的夾角為3()。

B.(a-c>S-c)的最大值為5

C.|c|的最小值為2

D.若c=xa+yb(x,yWR),則*7的取值范圍是

答案ACD

解析對于A,由于悶=2點|例=6,〃力=18,

所以28X6Xcos<a,h>=18,

則cos<a,b>=^,由于0Y<a,5〉這180。,

故〃與〃的夾角為30。,故A正確；

對于B,設(shè)。4=a,0B=b,0C=cy

則CA=〃-c,CB=b~c,

以0為原點,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,有57=(275,0),/408=30。,

由于|aY|=J(a—b)2=，12—2義18+36=28,即AB=2y13.

故△Q4B為等腰三角形，則N5A『60。，

故3(375,3).

因為<a~c,c>=60。，

所以口%方>=60。，

則點C在以AB為弦,且使得NACB=60。的兩個優(yōu)弧上，如圖所示.

故C點所在優(yōu)弧所在圓的直徑為2『隼=4,則其半徑『2,

sm60°

設(shè)該圓的方程為(k4)2+(廠切2=4,

將A,8坐標(biāo)代入，

得((2百一。)2+標(biāo)=4,

l(3V3-Q)2+(3—b)2=4,

解得忙產(chǎn)瞰二產(chǎn)，

則兩優(yōu)弧所在圓的圓心分別為(91(273,2),02(373,1),

且兩個圓心關(guān)于直線A8對稱，

設(shè)A8的中點為M,

則

而=Q+麗凌一畫一而產(chǎn)

4

應(yīng)之吟函2_3,

4

而。到弦A3的距離

“卜一(學(xué)=74-3=1,

故匕面的最大值為r+l=3,

則而2-3的最大值為6,

即(G-c>S-c)的最大值為6,故B錯誤；

對于C,|c|即為|無|,結(jié)合C點軌跡可知當(dāng)。在圓。上的那段優(yōu)弧上運動時,

|沅|會取到最小值，由于ChO=J(26>+22=4,

故I萬I的最小值為4-廠4-2=2,

即|c|的最小值為2,故C正確;

對于D,結(jié)合B項分析可知

a=(2V3,0),5二(3百,3),

當(dāng)。在圓Oi上的那段優(yōu)弧上運動時，圓的方