鄂教版高三數(shù)學上冊第四單元競賽測試卷考試說明：1.本試卷考查鄂教版高三數(shù)學上冊第四單元“函數(shù)與導數(shù)的綜合應用”內(nèi)容，涵蓋導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調性與極值最值、導數(shù)在不等式證明及實際問題中的應用等核心知識點，側重知識遷移、邏輯推理及創(chuàng)新解題能力，滿分150分，考試時間120分鐘。2.答題前用黑色簽字筆填寫姓名、班級、學號，書寫工整，解答題需寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。3.競賽題注重區(qū)分度，鼓勵多角度思考與簡便解法，所有答案寫在答題卡對應位置，寫在試卷上無效。一、選擇題（共60分，每小題5分）1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$，則曲線$y=f(x)$在點$(1,f(1))$處的切線方程為（________）A.$y=-3x+3$B.$y=-2x+2$C.$y=-3x+1$D.$y=-2x+1$2.函數(shù)$f(x)=x\lnx-x$的單調遞減區(qū)間是（________）A.$(0,1)$B.$(1,+\infty)$C.$(0,+\infty)$D.$(-\infty,1)$3.已知函數(shù)$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$在$x=-1$處取得極大值4，在$x=2$處取得極小值0，則$a+b+c$的值為（________）A.1B.2C.3D.44.若函數(shù)$f(x)=e^x-mx$在$[0,+\infty)$上單調遞增，則實數(shù)$m$的取值范圍是（________）A.$(-\infty,1]$B.$(-\infty,e]$C.$[1,+\infty)$D.$[e,+\infty)$5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{\lnx}{x}$，則函數(shù)$f(x)$的最大值為（________）A.$e$B.$\frac{1}{e}$C.$e^2$D.$\frac{1}{e^2}$6.設函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+\lnx$，若$f(x)$在區(qū)間$(1,2)$上有極值，則實數(shù)$a$的取值范圍是（________）A.$\left(\frac{5}{4},\frac{17}{8}\right)$B.$\left(\frac{5}{4},+\infty\right)$C.$\left(\frac{17}{8},+\infty\right)$D.$\left(2,\frac{17}{8}\right)$7.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$，若對于任意$x_1,x_2\in[-2,2]$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|\leqm$，則實數(shù)$m$的最小值為（________）A.2B.4C.6D.88.定義在$\mathbf{R}$上的函數(shù)$f(x)$滿足$f'(x)>f(x)$恒成立，若$f(0)=1$，則不等式$f(x)>e^x$的解集為（________）A.$(0,+\infty)$B.$(-\infty,0)$C.$(-\infty,1)$D.$(1,+\infty)$9.已知函數(shù)$f(x)=\lnx-ax^2+(2-a)x$，若$f(x)$在$x=1$處取得極值，且對任意$x>0$，都有$f(x)\leq0$，則實數(shù)$a$的取值范圍是（________）A.$(0,1]$B.$[1,+\infty)$C.$(0,2]$D.$[2,+\infty)$10.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$，若在區(qū)間$[0,t]$上存在實數(shù)$x$使得$f(x)\leq0$，則實數(shù)$t$的取值范圍是（________）A.$(0,1]$B.$[1,3]$C.$(0,3]$D.$[3,+\infty)$11.已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1$，若存在唯一的整數(shù)$x_0$使得$f(x_0)<0$，則實數(shù)$a$的取值范圍是（________）A.$\left(\frac{e-1}{2},\frac{e^2-1}{2}\right]$B.$\left(\frac{e-1}{2},\frac{e^2-1}{2}\right)$C.$\left(\frac{e^2-1}{4},\frac{e^3-1}{3}\right]$D.$\left(\frac{e^2-1}{4},\frac{e^3-1}{3}\right)$12.已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2+2x,&x\leq0,\\\lnx,&x>0,\end{cases}$若關于$x$的方程$f(x)=kx+1$有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)$k$的取值范圍是（________）A.$(-\infty,2-2\sqrt{2})$B.$(2-2\sqrt{2},0)$C.$(0,2+2\sqrt{2})$D.$(2-2\sqrt{2},2+2\sqrt{2})$二、填空題（共20分，每小題5分）13.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+k$有3個不同的零點，則實數(shù)$k$的取值范圍是________。14.已知函數(shù)$f(x)=x\sinx+\cosx$，則$f'(\frac{\pi}{2})$的值為________。15.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}+a$在$x=1$處的切線與直線$x+y=0$垂直，則實數(shù)$a$的值為________。16.已知函數(shù)$f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-ax$，若$f(x)$在$\mathbf{R}$上單調遞增，則實數(shù)$a$的最大值為________；此時，若對任意$x>0$，都有$f(x)>1+\frac{x^2}{2}+bx$，則實數(shù)$b$的取值范圍是________。（第一空2分，第二空3分）三、解答題（共70分）17.（10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2-9x+1$。（1）求函數(shù)$f(x)$的單調區(qū)間；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-2,4]$上的最大值和最小值。解：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18.（12分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+ax^2+(2a+1)x$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調性；（2）當$a<0$時，證明：$f(x)\leq-\frac{3}{4a}-2$。（1）解：____________________________________________________________________________________________________（2）證明：________________________________________________________________________________________________19.（12分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-x^2-ax$。（1）若函數(shù)$f(x)$在$\mathbf{R}$上單調遞增，求實數(shù)$a$的取值范圍；（2）若$a=1$，證明：當$x>0$時，$f(x)>1-\frac{\ln2}{2}x^2$。（1）解：____________________________________________________________________________________________________（2）證明：________________________________________________________________________________________________20.（12分）已知函數(shù)$f(x)=x-1-\lnx$。（1）求函數(shù)$f(x)$的最小值；（2）若對任意$x>0$，都有$f(x)\geqkx-2$恒成立，求實數(shù)$k$的取值范圍；（3）證明：對任意$n\in\mathbf{N}^*$，都有$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}<\ln2$。（1）解：____________________________________________________________________________________________________（2）解：____________________________________________________________________________________________________（3）證明：________________________________________________________________________________________________21.（12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為$C$元，銷售價為$p$元，年銷售量為$q$件，已知$p$與$q$的關系為$p=160-2q$，且每件產(chǎn)品的成本$C$與$q$的關系為$C=100+\frac{q}{2}$（單位：元）。（1）求年利潤$L$（元）關于年銷售量$q$（件）的函數(shù)關系式；（2）當年銷售量為多少件時，年利潤最大？最大年利潤是多少？（3）為了提高產(chǎn)品競爭力，工廠決定投入資金進行技術革新，若技術革新后，每件產(chǎn)品的成本降低了$m$元（$0<m<20$），此時年利潤$L'$關于$q$的函數(shù)在$q=40$處取得極大值，求實數(shù)$m$的值。（1）解：____________________________________________________________________________________________________（2）解：____________________________________________________________________________________________________（3）解：____________________________________________________________________________________________________22.（12分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-b$，其中$a,b\in\mathbf{R}$。（1）若$a=1$，$b=0$，求函數(shù)$f(x)$在點$(0,f(0))$處的切線方程；（2）若函數(shù)$f(x)$有兩個不同的零點$x_1,x_2$，證明：$x_1+x_2>2$；（3）若函數(shù)$f(x)$的最小值為1，求$a+b$的最大值。（1）解：__________________________________________________________________