專題5.4復(fù)數(shù)（舉一反三講義）

【全國通用】

題型歸納

【題型1復(fù)數(shù)的概念】..................................................................................6

【題型2共扼復(fù)數(shù)】....................................................................................7

【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】.............................................................................8

【題型4復(fù)數(shù)的四則運算】.............................................................................9

【題型5復(fù)數(shù)的相等】.................................................................................11

【題型6復(fù)數(shù)的模】....................................................................................12

【題型7與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問題】..........................................................13

【題型8復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的根】......................................................................15

【題型9復(fù)數(shù)的三角表示】.............................................................................16

1、復(fù)數(shù)

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2023年新高考I卷：第2題，5分

2023年新高考H卷：第1題，5分復(fù)數(shù)是高考的熱點內(nèi)容，是每年

⑴通過方程的解，認識復(fù)數(shù)2024年新高考I卷：第2題，5分高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考

（2）理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及2024年新高考H卷：第1題，5分情況來看，高考對復(fù)數(shù)的考查比較穩(wěn)

其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)2024年全國甲卷（文數(shù)）：第1題，定，往往以單選題、填空題的形式考

相等的含義5分、（理數(shù)）：第1題，5分查，考查內(nèi)容、難度變化不大，主要

（3）掌握復(fù)數(shù)的四則運算，了2025年全國一卷：第1題，5分考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的

解復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意2025年全國二卷：第2題，5分運算及其幾何意義，屬于簡單題.預(yù)測

義2025年北京卷：第2題，4分明年高考復(fù)數(shù)依舊以單選題、填空題

2025年天津卷：第10題，5分形式呈現(xiàn)，比較簡單.

2025年上海卷：第10題，5分

知識梳理

知識點1復(fù)數(shù)的概念

1.復(fù)數(shù)的概念

（1）復(fù)數(shù)的概念

我們把形如。+砥”^R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={〃+bi|db￡R}叫做復(fù)

數(shù)集.這樣，方程PH=O在復(fù)數(shù)集C中就有解尸i了.

1/26

（2）復(fù)數(shù)的表示

復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+歷（a,b￡R）.以后不作特殊說明時，復(fù)數(shù)z=a+bi都有。力仁R,其中的。與b

分別叫做復(fù)數(shù)z的實部與虛部.

（3）復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)。+加，當且僅當8=0時，它是實數(shù)；當且僅當4=8=0時，它是實數(shù)0；當原0時，它叫做虛數(shù)；

當片0且厚0時，它叫做純虛數(shù).

顯然，實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即R生C.

實數(shù)(6=0)

復(fù)數(shù)可以分類如下：復(fù)數(shù)〈

虛數(shù)（方豐0）（當a=0時為純虛數(shù)）.

2.復(fù)數(shù)相等

在復(fù)數(shù)集C={a+方i|a/￡R}中任取兩個數(shù)4+力i,c+di（a,b,c,d^R）,我們規(guī)定：“+從與c、+"i相等當且僅當”=c

且即當且僅當兩個復(fù)數(shù)的實部與實部相等、虛部與虛部相等時，兩個復(fù)數(shù)才相笠.

知識點2復(fù)數(shù)的幾何意義

1.復(fù)數(shù)的幾何意義

⑴復(fù)平面

----對應(yīng)一一對應(yīng)

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得好數(shù)2=。+加^-------＞有序?qū)崝?shù)對36），而有序?qū)崝?shù)對（“0^------------＞平面直角

坐標系中的點，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.

如圖所示，點Z的橫坐標是a,縱坐標是6,復(fù)數(shù)z=〃+從可用點Z（d"）表示，這個建立了直角坐標系來表示

復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.

（虛軸）

rZ:a+6i

除原點外，虛

軸上的點都U

表示純虛數(shù)

（實軸）

實軸上的點都裊示實數(shù)

（2）復(fù)數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)

由上可知，每一個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一

一一對應(yīng)

個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+bi＜-----------＞復(fù)平面內(nèi)的點

Z（a、b）,這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.

（3）復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)

在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)本來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)

的.這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù).

如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi,連接OZ,顯然向量OZ由點Z唯一確定：反過來，點Z（相

對于原點來說）也可以由向量OZ唯一確定.

因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量是一一對應(yīng)的（實數(shù)0與零向量對應(yīng)），即復(fù)數(shù)

2/26

---對應(yīng)T

z=a+bi<------->平面向量OZ,這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義

向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對值，記作|z|或|。+切.如果b=0,那么z=a+b'\是一個實數(shù)它的模

等于同(就是〃的絕對值).由模的定義可知，|z|=|o+/〉i|=尸+月&20,￡R).

3.共挽復(fù)數(shù)

⑴定義

一般地，當兩個好數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這這兩個好數(shù)叫做互為共甄史數(shù).虛部不等于0的兩

個共桅復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共枕復(fù)數(shù)用三表示，即若廣a+bi,則』=。?讓特別地，實數(shù)。的共輾復(fù)數(shù)仍是。本身.

(2)幾何意義

互為共枕復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱(如圖).特別地，實數(shù)和它的共擾復(fù)數(shù)在復(fù)平面

內(nèi)所對應(yīng)的點重合，且在實軸上.

y\z-a+bi

b-------------r

(3)性質(zhì)

①目=Z.

②實數(shù)的共枕復(fù)數(shù)是它本身，即2=W—Z￡R,利用這個性質(zhì)可證明一個復(fù)數(shù)為實數(shù).

4.復(fù)數(shù)的模的幾何意義

⑴復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b￡R)的模|z|就是復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z(a⑼到坐標原點的距離，這是復(fù)數(shù)的模

的幾何意義.

(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z,〃表示一個大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點Z組成的集合是以原點

為圓心，/?為半徑的圓，匕|<〃表示圓的內(nèi)部，匕卜廠表示圓的外部.

知識點3復(fù)數(shù)的運算

1.復(fù)數(shù)的四則運算

3/26

(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d￡R)是任意兩個復(fù)數(shù),那么zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(加砌i.

(2)復(fù)數(shù)的減法法則

類比實數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，即把滿足(c+di)+(x+M)=〃+〃i的愛數(shù)

x+yi(x,y^R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,bGR)減去復(fù)數(shù)e+di(c,d￡R)的差，記作(a+〃i)-(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a,d+y=b,因此x=a-c,y=b-d,所以x+yi=(a-c)+S/)i,即(a+歷)-(c+di)

=(4Y)+SMi.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.

⑶復(fù)數(shù)的塞法法則

設(shè)z\=a+b'\,Z2=c+di(a,b,c,d￡R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的^(a^b\)(c+d\)=ac+bc\+adi^bd\2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成-I,并且把實部與虛部分

別合并即可.

(4)復(fù)數(shù)的除法法則

(〃+Z?i)(c—di)_(ac+bd)十(be-4d)i_ac+bdbe—ad.

(a+bi)+(c+di)=Ua,b,c,d^R,

:譽=(c+di)(c—di)c2+d2c2+d~c2,^d2

且c+dW).

由此可見，兩個復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商是?個確定的賽數(shù).

2.復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義

⑴復(fù)數(shù)加法的幾何意義

在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)zi=a+〃i,Z2=c+〃i(。也R)對應(yīng)的向量分別為OZi,OZ2,則。乙=(“力)，OZ?%,").以O(shè)Z1，

應(yīng)對應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2(如圖所示)，則由平面向量的坐標運算，可得

OZ=OZt+衣=(a,6)+(cd)=(a+cm+"),即z=(a+c)+(b+d)i,即對角線OZ對應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(q+c)+S+")i

對應(yīng)的向量.

(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義

兩個復(fù)數(shù)zi+bi,Z2=c+di(a力,c,d￡R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是該，OZ2,那么這兩個復(fù)數(shù)的差Z2

對應(yīng)的向量是醞一赤，即向量方.

如果作3=石Z,那么點Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是ZrZ2(如圖所示).

這說明兩個向量次與衣的差ZN就是與復(fù)數(shù)S-c)+3-d)i對應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的

減法來進行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.

4/26

3.復(fù)數(shù)運算的常用技巧

(1)復(fù)數(shù)常見運算小結(jié)論

①(l+i)2=2i—備=l+i；

(2)(1—i)2=-2i2]=1—jJi=-1+i；

1—11—1

③(1+i)(1—i)=2T—r=1-i--r=1+i；

I-r1I—1

⑤i"+l=i,i4w+2=-l,i4-3=-i,i4"=](〃￡Z).

(2)常用公式

(。+bi)(。一〃i)=a?+〃；

(a土方i)2=々2+房±2abi；

(a^bi)3=a3-3ab2±(3a?—/)i.

知識點4復(fù)數(shù)有關(guān)問題的解題策略

1.復(fù)數(shù)的概念的有關(guān)問題的解題策略

(1)復(fù)數(shù)z=a+/)i(。力WR),其中。，b分別是它的實部和虛部.若z為實數(shù)，則虛部b=0,與實部。無關(guān)；若z

為虛數(shù)，則虛部力#0,與實部。無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當且僅當。=0且8K0.

(2)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,b￡R)的模記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+Z>i|=y/a2+b2.

與復(fù)數(shù)手。+砥。力￡對的共扼復(fù)數(shù)為2=。一萬，則z?z=|z|2='「，即|Z|=|N|=Jz.z,若zwR,則

z=z.

2.復(fù)數(shù)的運算的解題策略

(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算：

(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輪復(fù)數(shù).

3.復(fù)數(shù)的幾何意義的解題策略

由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系,因此解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解

析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.

4.復(fù)數(shù)的方程的解題策略

(1)對實系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.

(2)對復(fù)系數(shù)(至少有?個系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了,其他仍適用.

5/26

【方法技巧與總結(jié)】

1.（1±i）2=±2i；1^4=i；

444rt+24+3

2.i"=i,i?+?=i>i=-l,i*=-i（MeN*）.

3.i4"+『“+i+i4H+2+i4H+3=0（HeN*）.

4.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形

（l）aW團Wb表示以原點O為圓心，以。和〃為半徑的兩圓所夾的圓環(huán):

（2）|z-（a+〃i）E（'>0）表示以（〃力）為圓心，r為半徑的圓.

舉一反三

【題型1復(fù)數(shù)的概念】

【例1】（2025?全國一卷?高考真題）（l+5i）i的虛部為（）

A.-1B.0C.1D.6

【答案】C

【解題思路】根據(jù)更數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及虛部的定義即可求出.

【解答過程】因為（l+5i）i=i+5i2=-5+i,所以其虛部為1,

故選：C.

【變式1-1】（2025吉林?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)2=小2-1+（山十1萬為純虛數(shù)，則實數(shù)血的值為（）

A.-1B.IC.-1或1D.2

【答案】B

【解題思路】由純虛數(shù)定義列方程和不等式即可求解.

【解答過程】由題可得[血？一J=￡=m=1.

故選：B.

【變式1-2]（2025?貴州遵義?模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)z=2—i的虛部是（）

A.iB.1C.-1D.-i

【答案】C

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的概念求解判斷.

【解答過程】復(fù)數(shù)z=2-i的虛部是一1.

故選:C.

【變式1-3]（2025?云南曲靖?二模）已知復(fù)數(shù)z=（a+2）+（a2-a-6）i（aWR）,若z>0,則實數(shù)a的值為

（）

6/26

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的分類列式計算作答.

【解答過程】因為z>0,

所以｛次匕丁鼠="3,

故選:C.

【題型2共輾復(fù)數(shù)】

【例2】（2025?廣東惠州?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=3+i（其中i為虛數(shù)單位），則2=（）

A.l-3iB.l+3iC.3-iD.3+i

【答案】B

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法運算法則求得z,進而可求得之

【解答過程】因為iz=3+i,所以z=—=半=昔1=1_3i,故5=1+3i.

故選:B.

3-i2025

【變式2-1]（2025?甘肅白銀?二模）復(fù)數(shù)z=的共挽復(fù)數(shù)為（）

l+2i

17.c5.7.

A.------1B.1+5C—-3--3i1D.-+-1

5533

【答案】B

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的乘方及更數(shù)除法求出Z,進而求出其共軌復(fù)數(shù).

3T2025_3T_(3-i)(l-2i)_l-7i_1__7.

【解答過程】依題意，Zl+2i-l+2i-(l+2i)(l-2i)-5-551

所以5="+口.

OO

故選：B.

【變式2-2]（2025?山東泰安?模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)z滿足（3-&i）z=ll,i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)5的虛部為（）

A.V2iB.V2C.-V2iD.-V2

【答案】D

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法運算，再結(jié)合共挽復(fù)數(shù)運算，即可求解虛部.

11(3+0

【解答過程】因為z=11=3+V2i,

3-揚(3-V2i)(3+\^2i)

所以5=3—&i,即復(fù)數(shù)，的虛部為一夜?

7/26

故選：D.

【變式2-3](2025?湖南岳陽?三模)若復(fù)數(shù)z滿足儀=l+i,則在復(fù)平面內(nèi)，5對應(yīng)的點位于()

Z-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算求z,再由復(fù)數(shù)的幾何意義可得.

【解答過程】因為W=l+i=z+i=(l+i)(z-l)=z+i=(l+i)z-(l+i)

z-1

所以l+2i=(l+i—l)zoz==2—i.

I—1

所以5=2+i.

所以，對應(yīng)的點位于第?象限.

故選：A.

【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】

【例3】(2025?天津河北?模擬預(yù)測)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)4+3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)點判斷其所在的象限.

【解答過程】由4+3i對應(yīng)點為(4.3),即位于第一象限.

故選：A.

【變式3?1】(2025?云南?模擬預(yù)測)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)為=-l+i與復(fù)數(shù)Z2對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則怙2|=

()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解題思路】首先根據(jù)復(fù)平面內(nèi)關(guān)F實軸對稱的點的坐標特征求出復(fù)數(shù)Z2,然后再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式求

出㈤.

【解答過程】Z1=-l+i,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-1,1).

因為復(fù)數(shù)Zi與復(fù)數(shù)Z2對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，在平面直角坐標系中，關(guān)于實軸對稱的點橫坐標不變，縱坐標

互為相反數(shù).所以Z2對應(yīng)的點為(一1,一1)，那么復(fù)數(shù)Z2=-l-L

由Z2=-l—i，其中Q=—l,b=~l,將其代入模的計算公式可得：

（一十（一

|Z2|-JI）?—Vl+1—V2.

8/26

故選：B.

【變式3-2X2025?寧夏陜西?模擬預(yù)測)“a＜0”是“復(fù)數(shù)2+(2-a)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限確定Q的范圍，再根據(jù)充分必要條件進行判斷即可.

【解答過程】若復(fù)數(shù)2+(2—Q)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則2-。＞0,所以QV2,

故七＜0”是“復(fù)數(shù)2+(2-Q)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限”的充分不必要條件.

故選：A.

【變式3-3](2025?湖南長沙?二模)在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標原點，復(fù)數(shù)l-i,-l+2i對應(yīng)的向量分別是血,

麗，則而對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()

A.-2+3iB.iC.2-3iD.-i

【答案】A

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點的對應(yīng)關(guān)系確定標的坐標，即可確定其對應(yīng)的復(fù)數(shù).

【解答過程】因為復(fù)數(shù)l-i,一l+2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為M(l,-1),N(-1,2),

即麗=(1,-1),ON=(-1,2),

所以而=ON-OM=(-1,2)-(1,-1)=(-2,3),

則而對應(yīng)及數(shù)為一2+3i.

故選：A.

【題型4復(fù)數(shù)的四則運算】

【例4】(2025?江蘇連云港?模擬預(yù)測)已知z〔=l+2i,z=3-4i,若工=工+，貝ijz=()

2ZZ1Z2

A.4—3iB.2—C.2+：iD.44-3i

22

【答案】c

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法法則得畤3進而得嶺Z,再利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡即可.

【解答過程】由題意可得,1_]_1-2i_1_2.

z7-l+2i-(l+2i)(l-2i)-W一十

113+4i3,4.

-=------=------------------=-T------1

z23-4i(3-4i)(3+4i)2525

9/26

則2=m=25(8+6i)=之

78-6i(8-6i)(8+6i)2

故選：C.

【變式4-1](2025?全國二卷?高考真題)已知z=l+i,則」()

z-l

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】A

【解題思路】由復(fù)數(shù)除法即可求解.

【解答過程】因為z=l+L所以々=±=1=J=—i.

2-1l+i-i1r

故選：A.

【變式4-2](2025?河南信陽?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)2=手，則z-N=()

A.-2iB.2C.0D.2i

【答案】A

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算和共扼復(fù)數(shù)的概念即可求解.

【解答過程】因為？=坦=史等2=3-i,

i>(-?1

所以2=3+i,

所以z—z=3—i—(3+i)=-2i(

故選：A.

【變式4-3](2025?寧夏銀川?三模)已知復(fù)數(shù)z=--,i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是()

-1+1

A.\z\=2

B.z的虛部為—i

C.Z對應(yīng)的點位于復(fù)平面的第三象限

D.z-z=2

【答案】D

【解題思路】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡復(fù)數(shù)，進而求其模長、虛部，寫出共軌復(fù)數(shù)并判斷點所在的象限并求z?Z.

【解答過程】Z=『二,：一：一?.1_i,則|z|二企，虛部為一1,

5=-l+i對應(yīng)點為(-1,1)在第二象限，且z-2=2,

所以，A、B、C錯，D對.

故選；D.

10/26

【題型5復(fù)數(shù)的相等】

【例5】（2025?云南紅河?三模）若l—2i=Q+8i（i為虛數(shù)單位），其中Q,b為實數(shù)，貝必+b的值為（）

A.1B.3C.-1D.-3

【答案】C

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)相等直接求解即可.

【解答過程】因為1-2i=a+bi,所以｛/二，所以a+

故選：C.

【變式5-1]（2025?山東?模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足2（z+力+2i=4+z—2,則z=（）

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】A

【解題思路】設(shè)2=。+6（。/￡陽，再根據(jù)復(fù)數(shù)的運算及相等的條件求解即可.

【解答過程】設(shè)2=。+歷（6訴田,

則2（z+z）+2i=4a+2i=4+z—z=4+2bi,

故選：A.

【變式5-2](2025?遼寧遼陽?一模)已知(l—2i)Q+(3+4i)b=2+6i,其中a,b為實數(shù)，則()

A.a=l,b=-1B.a=-1,6=1

C.a=-1,b=-1D.a=l,b=1

【答案】B

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)的值.

【解答過程】因為(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i,

所以(a+3b)+(—2a+4b)i=2+6i,

解得a=-1,b=1,

所以｛.雷k6

故選:B.

2

【變式5-3](2025?安徽六安,模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)21=TH+(4-?n)i(7nGR),z2=2cos8+(4+3sin6)i(尢。e

R),并且Zi=Z2，則4的取值范圍是()

A*卜2，+8)B.卜總7]C.(-8,7)D,[-7,7]

11/26

【答案】B

【解題思路】根據(jù)更數(shù)相等的充要條件消去m可將人用sinS表示，根據(jù)三角函數(shù)的有界性結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)

性即可得出結(jié)果.

【解答過程】??Z=Z2，???乙%=2船.q，化為4sin26=A+3sin。,

<4-=4+3s\n0

A/l=4（sin0-1'）2--,

\8/16

V-l<sin。<1,

???當sin8=g時，/取得最小值一看；當sinJ=-l時，4取得最大值7,

~~<A<7,

16

???；1的取值范圍是卜3,7卜

故選：B.

【題型6復(fù)數(shù)的?！?/p>

【例6】(2025?山東?模擬預(yù)測)己知z為復(fù)數(shù)，z-2為純虛數(shù)，z+i為實數(shù)，則|z|=()

A.2B.V5C.2V2D.3

【答案】B

【解題思路】根據(jù)研究可確定復(fù)數(shù)z,進而求|z|即司二

【解答過程】因為z為復(fù)數(shù)，z-2為純虛數(shù)，z+i為實數(shù)，

所以z=2-i.

所以|z|=/2+(-1)2=巧.

故選：B.

【變式6-1](2025?湖北宜昌?二模)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(3+4i)z=5i,則|z|=()

A.*B.|C.1D.5

【答案】C

【解題思路】由更數(shù)模的性質(zhì)即可求解.

【解答過程】由題設(shè)z=言，則怙|=懸=5=1.

3+41|3+41|5

故選：C.

【變式6-2](2025?青海西寧?二模)若a與b均為實數(shù)，且匕-3i=4+ai,則|a+bi|=()

12/26

A.3B.4C.5D.7

【答案】C

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，求得。=-3/=4,結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算公式，即可求解.

【解答過程】因為b-3i=4+ai,所以。=-3,6=4,所以a+歷=-3+4i,

則|Q+bi|=V9+16=5.

故選：C.

【變式6-3](2025?廣西柳州?三模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量應(yīng)=(1,2),則怙-3|=()

A.2V2B.V5C.V3D.V2

【答案】A

【解題思路】根據(jù)給定條件，求出復(fù)數(shù)z,進而求出模.

【解答過程】由復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量應(yīng)=(1,2),則z=l+2i,

所以|z—3|二|1十2i—3|=|-2+2i|=V(-2)2+22=272.

故選：A.

【題型7與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡(圖形)問題】

【例7】(2025?山東?模擬預(yù)測)若復(fù)數(shù)z滿足|z—4+3i|=2,則|z|的最小值為()

A.2B.3C.6D.7

【答案】B

【解題思路】首先根據(jù)復(fù)數(shù)減法的模的幾何意義求點Z(%y)的軌跡，再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系求最值.

【解答過程】設(shè)z=x+yi(x,yGR),則|z-4+3i|=2=(%-4)2+(y+3)2=4,

又|z|=表示點Z(x,y)與原點的距離，故|z|的最小值為142+(-3)2-2=3.

故選：B.

【變式7-1](2025?黑龍江大慶?模擬預(yù)測)設(shè)ZWC,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z,則滿足14怙-1|42的點

ZI'E集合形成的圖形的面積為()

A.ITB.2nC.31rD.4n

【答案】C

【解題思路】根據(jù)兔數(shù)減法的幾何意義可知圖形為圓環(huán)，求圓環(huán)面積即可二

【解答過程】|z-1|表示復(fù)平面內(nèi)點Z到(1,0)的距離?，又1W|z-l|工2,所以點Z的集合形成的圖形為圓環(huán),

面積為ITX22-TT=3TG

13/26

故選：c.

【變式7-2](2025?新疆烏魯木齊?三模)己知更數(shù)z滿足|z-1|=2,則口的取值范圍是()

A.(0,1]B.(0,3]C.(1,3)D.[1,3]

【答案】D

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的模的幾何意義作圖，數(shù)形結(jié)合即可求得|z|的取值范闈.

【解答過程】由怙-1|=2可理解為復(fù)數(shù)z表示的點Z的軌跡是以C(l,0)為圓心，半徑為2的圓，

而⑶則可理解為圓C上的點到原點的距離，作出圖形如F.

如圖，當點ZitZi(3,0)時，與原點距離最大為3,當點當點Z在Z2(-l,0)時，與原點距離最小為1,

故⑶的取值范圍是口,3].

故選：D.

【變式7-3】(2025?遼寧?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)為*2分別滿足口|=1,|iz2+3+4i|=2,則%-Zzl的最大

值為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解題思路】先通過模長公式求出復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是以8(-4,3)為圓心，2為半徑的圓，再利

用|勺-Z2I的最大值為兩圓圓心距加兩個圓的半徑即可求得結(jié)果.

【解答過程】設(shè)Z2=x+yi(x,yeR),則「z?+3+4i|=|3-y4-(%+4)i|=J(3-y)24-(x+4)2=2,

如圖，復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是以8(-4,3)為圓心，2為半徑的圓，

復(fù)數(shù)為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡是以原點0為圓心，1為半徑的圓，

14/26

故選：D.

【題型8復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的根】

【例8】(2025?山東青島?三模)若l+2i是關(guān)于％的實系數(shù)方程/+b%+c=O的一個兔數(shù)根，則b,c的值

分別為()

A.b=-2,c=5B.b=2,c=5

C.b=-2,c=—5D.b=2,c=—5

【答案】A

【解題思路】根據(jù)實系數(shù)方程的復(fù)數(shù)根的性質(zhì)求出方程的另一個艱，再利用韋達定理求出b、c的值.

【解答過程】已知l+2i是實系數(shù)方程%2+b%+c=0的一個復(fù)數(shù)根，根據(jù)實系數(shù)方程的復(fù)數(shù)根成對出現(xiàn)的

性質(zhì)，可知方程的另一個根為1-2L

對于方程/+bx+c=0,由韋達定理可得兩根之和.丫1+*=—b.其中,丫1=1+2i,.丫2=1-2i,貝U(1+

2i)+(l-2i)=-b,即2=-從解得匕=-2.

由韋達定理可知兩根之積=C,則(1+21)(1-2i)=c.

可得：(1+2i)(l-2i)=I2-(2i)2=1-4i2=5,即c=5.

匕的值為一2,c的值為5.

故選：A.

【變式8-1](2025?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)已知1-i是關(guān)于％的實系數(shù)方程X2+rnx+n=0的一個根(i為

虛數(shù)單位)，則n=()

A.3B.2C.-2D.-3

【答案】B

【解題思路】確定方程的另外一根，根據(jù)韋達定理即可求得答案.

【解答過程】1一i是關(guān)于％的實系數(shù)方程X2+n+n=0的一個根，

15/26

所以1+i也是方程/+mx+n=0的一個根，

所以n=(l—i)(l+i)=2.

故選：B.

【變式8?2】(2025?山東濟寧?二模)已知1-2i是關(guān)于％的方程d+ax+b=0(a,deR)的一個根，則|a+b\\=

()

A.2B.3C.5D.x/29

【答案】D

【解題思路】將1一2i代入d+3+匕=0化簡整理有(a+匕_3)—(4+2a)i=0,即2aM料解

出a,b,最后求復(fù)數(shù)的模即可.

【解答過程】將1一2i代入/+az+b=0有：(1-2i)2+a(l-2i)+b=0,

化簡整理有(a+b—3)—(4+2a)i=0,即，解得｛['s?，

所以|a+bi|=Va2+b2=J(-2)2+52=V29,

故選：D.

【變式8-3](2025?江西?二模)已知2-2i(i是虛數(shù)單位)是實系數(shù)一元二次方程/+b%+c=0的一個

根，則()

A.b=4,c=8B.b=4,c=-8

C.b=-4,c=8D.b=-4,c=-8

【答案】C

【解題思路】根據(jù)虛根成對原理2+2i也是方程的一個根，利用韋達定理計算可得.

【解答過程】因為2-2i(i是虛數(shù)單位)是實系數(shù)一元二次方程%2+以+，=0的一個根，

所以2+2i也是方程的一個根，

則|(2—2i)?(2+2i)=c'所以b~4,c=8.

故選：C.

【題型9復(fù)數(shù)的三角表示】

【例9】(2024?河南信陽?模擬預(yù)測)在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3-Hi對應(yīng)的向量方按順時針方向旋轉(zhuǎn)會所得向

量在N上的投影向量對應(yīng)復(fù)數(shù)是()

A.2V3-3iB.3-2A/3IC.D.

16/26

【答案】D

【解題思路】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得旋轉(zhuǎn)后的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（3-6譏85（-5）+15訪（-3）］并化簡，

J<5

再結(jié)合投影向量的定義求解.

【解答過程】因為把復(fù)數(shù)3-V3i對應(yīng)的向量力=（3,-百）按順時針方向旋轉(zhuǎn)手

所以旋轉(zhuǎn)后的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3-V3i)[cos(-^)+isin(-^)]=(3-V3i)(1-^i)=g-苧i一

=i+尹=-2月，

所以旋轉(zhuǎn)后的向量力=（0,-2遮），

又因為心石=6,0=132+（一6）2=2百，

所以向量了在2上的投影向量是智工=*二信一多，即時應(yīng)更數(shù)是:一事.

aaLLLL

故選：D.

【變式9-1】（2024?浙江紹興?模擬預(yù)測）己知e2=cos。+isinO,則在下列表達式中表示sin。的是（）

_ei/eTe

B.----------

2i

【答案】A

【解題思路】根據(jù)題設(shè)*的表達式求出e-冶的表達式，再代入選項逐?檢驗即得.

【解答過程】因濟=cos0+isind,則廠矽=cos（—O'）+isin（-6）=cosO-isin。,

對于A,=cos"is=：c”』M=空=sine,故A項正確；

對于B,用叱=網(wǎng)3"幽^口=也竺=一cos?！还蔅項錯誤；

2i2i2i

對于C,士之二一三二二一也坦絲金竺弛"二一空吧二一^口仇故C項錯誤

2i2i2i2i

aiOda-i。

對于D,由B項知，-------=cosO-i,故D項錯誤.

2i

故選:A.

【變式9-2］（2025?內(nèi)蒙古赤峰??模）棣莫弗公式（cos%+i?sinx）"=COS（TIX）+i?sings）（其中i為虛數(shù)單

位）是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)（8$3+?”而目2在復(fù)平面內(nèi)

所對應(yīng)的點位于（）

17/26

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解題思路】由棣莫弗公式化簡結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.

【解答過程】(COS.+i?sin,)=cos=+i?sin，=-，+爭,

在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為(-3白)，在第二象限.

故選：B.

【變式9-3](2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)法國數(shù)學家棣莫弗(1667-1754年)發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個復(fù)

r

數(shù)Zi=ri(cos6i+isin%),z2=r2(cos02+isin^2)(^i，2>0)，則z/?=r1r2[cos(01+%)+isin(%+。2)]?

設(shè)2=->爭，則Z2W的虛部為()

A.-vB.?C.1D.0

22

【答案】B

【解題思路】變形復(fù)數(shù)z,根據(jù)題中定義進行計算，即可判定.

［解答過程］Z=-1-yi=COSy+isiny,

4TTX2J24

所以Z2°24=COS空"上+isin

3

2n..2Tl1,V3.

=cosT+isinT=--+Ti,

所以Z2￡4的虛部為

Ca

故選:B.

過關(guān)測試

一、單選題

1.(2025?湖北武漢?模擬預(yù)測)若復(fù)數(shù)z=3+i-2i3,則|z|=()

A.V5B.V6C.y/lQD.372

【答案】D

【解題思路】化簡式子，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的模公式計算即可.

【解答過程】由題可知：z=3+i-2i3=3+3i,所以怙|=序不可=3企.

故選：D.

2.(2025?河北邢臺?三模)若a+i=b+2-ai(a,b￡R),則a+b=()

18/26

A.2B.4C.-4D.-2

【答案】C

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念可得.

【解答過程】由題意得，解得｛，;二：，所以a+b=-4.

故選：C.

3.（2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)Z滿足憶-3-4"=5（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上不

可能位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解題思路】設(shè)2=%+8,（%,丫W(wǎng)R）,由已知得z在復(fù)平面的軌跡是以（3,4）為圓心，5為半徑的圓，由圖即可

判斷.

（解答過程】設(shè)2=%+yi,（%,yWR）,由|z-3-4i|=5得（％-3）2+（y-4）2=25,

可得z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的軌跡是以（3,4）為圓心，5為半徑的圓，（如圖）.

由圖知圓（％-3）2+（y-4）2=5顯然不經(jīng)過第三象限，故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上不可能位于第三象限.

4.（2。25,江蘇泰州?模擬預(yù)測）若2=券,其中i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z的共規(guī)復(fù)數(shù)2的模為（）

A.V5B.2C.2遙D.4

【答案】B

【解題思路】先求出復(fù)數(shù)N,再根據(jù)共軻復(fù)數(shù)和模的定義求解.

【解答過程】Z=^=篙黑=21,

所以2=-2i,且團=2.

故選：B.

5.（2025?全國?二模）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2—3i,則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）

19/26

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的運算法則，求得z=