特訓(xùn)04二次函數(shù)圖象性質(zhì)通關(guān)專練【特訓(xùn)過(guò)關(guān)】1．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（如圖所示），則下列說(shuō)法：①；②；③關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④．則正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】A．【解析】解：∵拋物線開(kāi)口向下，∴，∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴，∵拋物線交y軸的負(fù)半軸，∴，∴，故①錯(cuò)誤；∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，把代入，得，∵，∴，即，∴，∵，∴∴∴，∴，∴，故②錯(cuò)誤；由圖可知拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于x的方程，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；∵a為拋物線二次項(xiàng)系數(shù)，∴，故④錯(cuò)誤．故選：A．2．拋物線的頂點(diǎn)為，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)和之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論正確的是（

）A．B．點(diǎn)、在二次函數(shù)圖象上，則C．當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小D．若方程有實(shí)數(shù)根，則【答案】D．【解析】解：∵拋物線頂點(diǎn)D為，∴其對(duì)稱軸為，∴其與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，∴當(dāng)時(shí)，，∴選項(xiàng)A錯(cuò)誤，∵，∴，∴選項(xiàng)B錯(cuò)誤，∵對(duì)稱軸，∴時(shí)，y隨x的增大而增大，∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤．∵拋物線的頂點(diǎn)為，開(kāi)口朝上，∴函數(shù)值，∴直線與拋物線有交點(diǎn)，則．即有實(shí)數(shù)根，則，選項(xiàng)D正確．答案：D．3．二次函數(shù)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是直線，有下列結(jié)論：①；②；③；④（m為實(shí)數(shù)）．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1B．2C．3D．4【答案】D．【解析】解：由題意，根據(jù)函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，與y軸交于負(fù)半軸，對(duì)稱軸是直線，∴，，．∴．∴，故①正確．∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在與0之間，∴當(dāng)時(shí)，，故②正確．當(dāng)時(shí)，，∴，故③正確．根據(jù)函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，為，∴（m為實(shí)數(shù)），∴（m為實(shí)數(shù)），故④正確，則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為4．故選：D．4．如圖是二次函數(shù)的圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤當(dāng)時(shí)，，其中正確的是（

）A．②③⑤B．①③C．②③D．①④⑤【答案】B．【解析】解：∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，故①正確，∵拋物線開(kāi)口向下，∴，∵，∴，∵拋物線交y軸于正半軸，∴，∴，故②錯(cuò)誤，∵，∴，故③正確，∵時(shí)，，∴，故④錯(cuò)誤，∵，且對(duì)稱軸為直線，∴拋物線與橫軸另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，通過(guò)圖象可得，當(dāng)時(shí)，，故⑤錯(cuò)誤，故選：B．5．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱軸是直線，則下列結(jié)論正確的有（

）①；②；③若，是拋物線上的兩點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，m的取值范圍是；④若拋物線與y軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最大值與最小值的差為6，則m的值為，．A．①②B．②③C．③④D．②【答案】D．【解析】解：①∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將代入，得，故①錯(cuò)誤；②∵拋物線對(duì)稱軸為，∴，即，故②正確；③當(dāng)時(shí)，兩點(diǎn)為，，此時(shí)兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，故③不正確；④∵拋物線的對(duì)稱軸為，且與x軸交于點(diǎn)，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線解析式為，又∵拋物線過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線解析式為∴頂點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，則為，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值4，∵當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，最小值為，此時(shí)，函數(shù)y的最大值與最小值的差為：，故④不正確；綜上，只有②正確．故選：D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③長(zhǎng)的最小值為4；④若點(diǎn)，則，其中正確的有（

）

A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【答案】B．【解析】解：直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，∴，整理得：，∴，故①正確；∵，解得：，，∴，，∴，故②正確；∵，∴當(dāng)時(shí)，即軸時(shí)，有最小值．∴．故③正確；當(dāng)點(diǎn)時(shí)，假設(shè)，則：是直角三角形，取的中點(diǎn)G，連接，如下圖：

∴，∵∴，，∴點(diǎn)，即點(diǎn)，∵，∴，∴，．即與不一定垂直．故④錯(cuò)誤．故選：B．

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)位于，兩點(diǎn)之間．下列結(jié)論：①；②；③若，為方程的兩個(gè)根，則；④若拋物線與x軸的兩交點(diǎn)和其頂點(diǎn)組成的三角形為等邊三角形，則，其中正確的有（

）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】C．【解析】解：∵拋物線開(kāi)口向下，∴，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴，∵對(duì)稱軸為直線，∴，∴，故①正確；故②不正確；∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)位于，兩點(diǎn)之間，對(duì)稱軸為直線，∴另一個(gè)交點(diǎn)在，之間，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，，∴，∵，為方程的兩個(gè)根，∴，∴，故③正確；∵頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，，，∴，∵拋物線與x軸的兩交點(diǎn)和其頂點(diǎn)組成的三角形為等邊三角形，如圖，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故④正確；∴正確的有①③④，共3個(gè)．故選：C．8．我們定義一種新函數(shù)：形如的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)某數(shù)學(xué)興趣小組畫(huà)出了“鵲橋”函數(shù)G：的圖象（如圖所示），下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，B．若在函數(shù)圖象上，則也在函數(shù)圖象上C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值D．當(dāng)直線與函數(shù)G的圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則m的取值范圍是【答案】C．【解析】解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，，故A正確；根據(jù)圖象得：圖象的對(duì)稱軸為直線，∴若在函數(shù)圖象上，則也在函數(shù)圖象上，故B正確；由圖象可知：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，且無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線與函數(shù)圖象恰好有3個(gè)交點(diǎn)，即，解得：，當(dāng)與之間的圖象相切時(shí)，恰好有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，整理得：，∴，解得：，∴當(dāng)直線與函數(shù)G的圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則的取值范圍是，故D正確；綜上，錯(cuò)誤的是C．故選：C．

9．如圖，拋物線（a，b，c是常數(shù)，）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)．給出下列結(jié)論，正確的有（

）①；②；③若點(diǎn)，，在拋物線上，則；④關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，則；⑤當(dāng)時(shí)，則．A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)【答案】C．【解析】解：∵拋物線開(kāi)口向上，與y軸的負(fù)半軸相交，∴，，由圖象可知，拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，∴，∴，∴，故①符合題意；由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，∴，故②不符合題意；若點(diǎn)，，在拋物線上，根據(jù)拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小和圖象可知，，故③不符合題意；∵拋物線與直線有交點(diǎn)，方程有解，，∴有實(shí)數(shù)解，要使有實(shí)數(shù)解，∴，故④不符合題意；過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，如圖：由拋物線的對(duì)稱性可知，，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，，∴，，∴，∵，∴，∵點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，∴，，∵拋物線開(kāi)口向上，∴，∴，又∵，∴，即，設(shè)，∴，解得：，∴，故⑤符合題意，綜上，符合題意的有①⑤，共個(gè)，故選：C．10．如圖，拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)位于0和之間，則以下結(jié)論：①；②；③若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則；④若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．4B．3C．2D．1【答案】C．【解析】解：解：①∵拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，即，當(dāng)時(shí)，，∴，故①錯(cuò)誤；②∵直線是拋物線的對(duì)稱軸，∴，∴，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，∴，故②正確；③∵直線是拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)與對(duì)稱軸的距離為、，則，，∴，根據(jù)圖象可得，距離對(duì)稱軸越近的點(diǎn)的函數(shù)值越大，∴，故③錯(cuò)誤；④∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故④正確；∴正確的結(jié)論有2個(gè)，故選：C．

11．如圖，二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為．下列結(jié)論：①；②；③；④若m是不等于1的實(shí)數(shù)，則恒成立；⑤無(wú)論k取何值，方程均有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中正確的有（

）個(gè)．A．2B．3C．4D．5【答案】B．【解析】解：根據(jù)拋物線開(kāi)口向下，可得，根據(jù)對(duì)稱軸為，可得，根據(jù)拋物線與y軸交于正半軸，可得，∴，故①正確；∵A點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，∴，把代入拋物線解析式可得，故②正確；∵，∴，∴，∴，∴，故③錯(cuò)誤；拋物線在時(shí)取最大值，為，∵m是不等于1的實(shí)數(shù)，∴，即，故④錯(cuò)誤；∵，整理可得，，∴無(wú)論k取何值，方程均有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故⑤正確；故正確的為①②⑤，故選：B．12．如圖，拋物線與交于點(diǎn)，且分別與y軸交于點(diǎn)D，E．過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)A，C，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．無(wú)論x取何值，總是負(fù)數(shù)B．拋物線可由拋物線向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到C．當(dāng)時(shí)，隨著x的增大，的值先增大后減小D．若依次連接、、、，則四邊形為正方形【答案】C．【解析】解：記拋物線與分別為拋物線G和拋物線H，A．∵，∴，∴，∴無(wú)論x取何值，總是負(fù)數(shù)，故A正確，不符合題意；B．∵拋物線與交于點(diǎn)，∴，，即，解得，∴拋物線，∴拋物線G的頂點(diǎn)，拋物線H的頂點(diǎn)為，∵將向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位即為，∴將拋物線G向右平移3個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位可得到拋物線H，故B正確，不符合題意；C．∵，∵將代入拋物線，解得，，∴，將代入拋物線，解得，，∴，∵，從圖象可知拋物線G的圖象在拋物線H圖象的上方，∴∵，∴當(dāng)，隨著x的增大，的值減小，故C不正確，符合題意；D．設(shè)與y軸交于點(diǎn)F，∵，∴，由C可知∴，，∴，，當(dāng)時(shí)，，，即，，∴，，∵，，，且，∴四邊形是正方形，故D正確，不符合題意，故選：C．

13．二次函數(shù)的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①；②；③；④若函數(shù)，可整理為方程，且有兩個(gè)根和，，則；⑤若方程有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為，其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．A．2B．3C．4D．5【答案】B．【解析】解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∵拋物線的開(kāi)口向上，∴，∴，，∴，所以①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，解得，，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，∵時(shí)，，∴，所以②錯(cuò)誤；∵，∴，所以③正確；∵方程有兩個(gè)根和，∴拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和，∴，所以④正確；∵方程有四個(gè)根，∴方程有2個(gè)根，方程有2個(gè)根，∴所有根之和為，所以⑤正確．綜上所述，正確的有：③④⑤．故選：B．14．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④（m為任意實(shí)數(shù)），其中正確的是．（只填寫(xiě)序號(hào)）【答案】①③．【解析】解：由題意，拋物線開(kāi)口向下，∴．又∵對(duì)稱軸是直線，∴．∴．又∵拋物線交y軸正半軸，∴．∴，故①正確．由對(duì)稱軸是直線，∴當(dāng)時(shí)的函數(shù)值與時(shí)函數(shù)值相等．由圖象可得，當(dāng)時(shí)，．∴當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)誤．由對(duì)稱性當(dāng)時(shí)的函數(shù)值與當(dāng)?shù)暮瘮?shù)值相等，∴當(dāng)時(shí)，．又∵，∴，故③正確．∵時(shí)，函數(shù)有最大值為，∴m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，，即（m為任意實(shí)數(shù)），故④錯(cuò)誤，故答案為：①③．15．二次函數(shù)的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①；②；③；④若且，則．其中結(jié)論正確的是．【答案】②④．【解析】解：∵拋物線開(kāi)口向下，∴，∵拋物線對(duì)稱軸為，即，∴，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴，∴，所以①錯(cuò)誤；∵，∴，所以②正確；∵拋物線與x軸的交點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離大于1，∴拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)與之間，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)與之間，∴時(shí)，，∴，所以③錯(cuò)誤；當(dāng)，則，∴和所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，∴，∴，所以④正確；故答案為：②④．16．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是．【答案】④．【解析】解：由所給函數(shù)圖象可知，圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，與y軸相交于負(fù)半軸，∴，，，∴，故①錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，故②錯(cuò)誤；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴即．又∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于零，∴，∴，故③錯(cuò)誤；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)比1大，∴，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)比小，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于零，∴，故④正確．故答案為：④．17．如圖是二次函數(shù)的圖象，給出以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，其中正確的是．【答案】①③④．【解析】解：∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

∴判別式，故結(jié)論①正確；

∵拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為、，

∴拋物線的對(duì)稱軸是，

∴，

∴，

即，故結(jié)論③正確；

∵二次函數(shù)開(kāi)口向上，

∴，

∴，

∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，

∴，

∴，故結(jié)論②不正確；

∵由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，

∴，故結(jié)論④正確；

∵拋物線的對(duì)稱軸是，且開(kāi)口向上，

∴時(shí)，y隨x的增大而增大，時(shí)，y隨x的增大而減少，故結(jié)論⑤不正確．

綜上，結(jié)論①③④正確，

故答案為：①③④．18．如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸是直線，且拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是．①；②該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是；③若點(diǎn)和在該拋物線上，則；④對(duì)任意實(shí)數(shù)n，不等式總成立．其中正確的有．【答案】①③④．【解析】解：對(duì)稱軸是直線，∴，故該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，故②錯(cuò)誤；將代入，可得，由圖象可知，此時(shí)圖象在x軸上方，故，故①正確；∵時(shí)，函數(shù)有最大值，距離對(duì)稱軸更近，故，故③正確；∵時(shí)，函數(shù)有最大值，故，即不等式總成立，故④正確；故答案為：①③④．

19．如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①；②；③；④若點(diǎn)，均在拋物線上，則；⑤．其中正確結(jié)論有（將正確的番號(hào)填寫(xiě)在橫線上）【答案】②③⑤．【解析】解：∵由圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，則，，故，∵，∴，故①錯(cuò)誤．②∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是，∴，故②正確．③∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，故③正確．④∵點(diǎn)在拋物線上，對(duì)稱軸為直線，∴也在拋物線上，∵，且，都在對(duì)稱軸的右側(cè)，∴，故④錯(cuò)誤．⑤∵拋物線對(duì)稱軸為直線，經(jīng)過(guò)，∴，，∴，，∴，故⑤正確．故答案為：②③⑤．20．如圖所示，二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．有下列結(jié)論：①；②（m為常數(shù)）；③若點(diǎn)，，在該函數(shù)圖象上，則；④．其中正確的是（填序號(hào)）．【答案】②③④．【解析】解：∵拋物線的開(kāi)口向下，，對(duì)稱軸為直線：，，圖象過(guò)，，所以；故①錯(cuò)誤；②由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為，∴，∴（m為常數(shù)），故②正確；③∵拋物線開(kāi)口向下，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵，∴，故③正確；④由圖可知：當(dāng)時(shí)，，∵，，∴，∴；∵，，∴，∴，∴，故④正確．綜上，正確的是②③④．故答案為②③④．21．拋物線的對(duì)稱軸是直線，且過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)位于第二象限，其部分圖象如圖所示，給出以下判斷；①且；②；③；④設(shè)直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，則．其中結(jié)論正確的是．【答案】②④．【解析】∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，，