必刷大題14空間向量與立體幾何

1.（2022?新高考全國I改編）如圖，直三棱柱A8C—A1iG的體積為4,△A4C的面積為2P

（1）求A到平面4BC的距離;

⑵設(shè)。為AC的中點，AAi=AB,平面A/C_L平面ABBA，求平面A3。與平面BCD夾角

的正弦值.

解（1）設(shè)點A到平面ABC的距離為人

因為直三棱柱A8C—A山Ci的體積為4,

又山。的面積為2啦，

所以h=巾,

即點A到平面AxBC的距離為也.

（2）取48的中點E,連接AE,

則AEVA\B.

因為平面人由C_L平面ABBiAi,平面4由CG平面ABAiA=4|B,AEU平面

所以AE_L平面46C,

又3CU平面A山C,所以4E_L3C

又A4|J_平面ABC,8CU平面A8C,

所以A4|J_8C.

因為A4|nAE=A,AAi,AEU平面ABS4,所以8C_L平面ABBA,

又48U平面ABBiA,所以3C_LAA

以4為坐標原點，分別以詼，晶，麗的方向為此y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標系，

由（1）知，AE=yf2,

所以AAi=AB=2,A1B=2巾.

因為AAi6c的面積為2g，

所以班=加8歸C,所以4。=2,

所以4020),3(0,0,0),C(2A0),4(0,2,2),D(1JJ),E(0JJ),

則麗=(1,1,1),BA=(0,2,0).

設(shè)平面AB。的法向量為〃=(x,y,z),

〃?麗=0,x+y+z=0,

叫_即，

2y=0,

“?8A=0,

令x=l,得〃=(1,0,-1).

又平面BOC的一個法向量為崩=(0,-1,1),

AEn—11

所以cosME,n)

\AE\-\n\小義小-2-

設(shè)平面ABD與平面BCD的夾角為仇

則sincos2(AE,n)=乎,

所以平面48。與平面BCD夾角的正弦值為坐.

2.如圖，四棱錐P—A6co的底面為正方形，以_1_平面A4CO,M是PC的中點，PA=AI3.

(1)求證：4"_1_平面尸8。；

(2)設(shè)直線AM與平面夕8。交于O,求證：AO=2OM.

證明(1)由題意知，AB,40,AP兩兩垂直，以A為坐標原點，AB,AD,AP所在直線分別

為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

設(shè)必=43=2,則P(0,0,2),8(2,0,0),ZX0,2,0),C(2,2,0),A/(l,l,l),麗=(2,0,一2),PD=

(0,2,一2),

設(shè)平面P8O的法向量為〃=(x,y,z),

nPB=2x—2z=0,

則］_取x=l,得〃=(1,1,1),

nPD=2y—2z=0,

*：AM=n,平面PB。.

(2)如圖，連接AC交B。于點E,

則正是AC的中點，連接PE,

平面PBD=O,

.??O￡AM且平面PBD,

?.?/UJU平面PAC,

???0￡平面MC,

又平面P8￡>n平面PAC=PE,

：?()WPE,

???AM,PE的交點就是O,連接ME,

???M是PC的中點，

：.PA//ME,以=2ME,

△石MO,

.PAAO2

,,~ME=OM=~\,

：.AO=2OM.

3.如圖，在四棱錐。一ABC。中，%_L平面A3cO,ABMCD,PA=AB=2CD=2,ZADC=

90%E,尸分別為PB,AB的中點.

⑴求證：CE〃平面B4D；

(2)求點B到平面PCF的距離.

⑴證明連接律(圖略)，：區(qū)尸分別為PB,48的中點，???所〃氏,

???瑁也平面弘D,%U平面%。，???￡：尸〃平面布。，

,JAB//CD,AB=2CD,：,AF//CD,且A/=CO.

???四邊形人0c戶為平行四邊形，即CF〃人。，

???CR平面以，AOU平面附。，，C尸〃平面附。，

,：EFC\CF=F,EF,C尸u平面EFC,

???平面以?！ㄆ矫嫫呤珻,CEU平面EFC,則CE〃平面例D

(2)解VZADC=90°fAB//CD,：.AB1AD,CF1AB,

又以_L平面ABC。^PAC\AB=A,JC凡L平面辦8,：.CFVPF.

設(shè)cr=x,則Sd"c=\x1Xx=4，S"FC=、X小Xx=Wx,

乙乙LL

PCFV-pc,

設(shè)點A到平面的距離為山由VP-AFC=AF

得彳乂5義2=：X哼^乂力，則力=邛5.

???點尸為48的中點，，點8到平面PC廣的距離等于點A到平面PC尸的距離，為手.

4.(2022?全國乙卷)如圖，四面體48co中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC

的中點.

(1)證明：平面5EDJ■平面ACD；

(2)設(shè)A8=8Q=2,NAC8=60。，點尸在8。上，當△AFC的面積最小時，求C尸與平面A8。

所成的角的正弦值.

⑴證明因為AO=CO,E為AC的中點，所以AC_LD￡

在△AO8和△CD8中，

因為AQ=C。，ZADB=ZCDB,

DB=DB,

所以△AOBg^CQB,所以AB=8C.

因為E為AC的中點，所以ACL8E.

又BECDE=E,BE,OEU平面BE。，

所以4cL平面BED,

又ACU平面ACD,

所以平面8￡QJ_平面ACD.

⑵解由⑴可知AB=BC,

又NACB=60。，48=2,

所以△ABC是邊長為2的正三角形，

則AC=2,庭=3,AE=\.

因為AO=CO,ADLCD,

所以△AOC為等腰直角三角形，

所以DE=1.

所以。爐+BE2=BD2,則DEIBE.

由(1)可知，4C_L平面8ED

連接E”，因為平面BED,

所以ACLE凡

當△AR7的面積最小時，點尸到直線AC的距離最小，

即E尸的長度最小.

在RtaBE。中，當?shù)拈L度最小時，

g”“DEBE5

EFA-BD^Er—一1.

方法一由(1)可知，QE_LAC,BE±AC,

所以￡4,EB,EO兩兩垂直，

以E為坐標原點，EA,EB,石。所在的直線分別為乂,z軸建立如圖所示的空間直角坐標

系，則人(1.0,0),5(0,小，())，。(0,0,1),C(-1,0,0),

嬴=(一1,小，0),加=(0,小，-1).

3

-

22所以3DF=FB.

設(shè)尸(0,y,z),則。尸=(0,y,z-l),

FB=(0,小—y,—z),

所以3(0,y,z—1)=(0,小一y,—z),

衿近3

付y=4，z=w，

即《0,乎,券

3

所以亦=(1,-

4

設(shè)平面AB。的法向量為〃=(x”>'i,zi),

fi-AB=-x\+小yi=0,

則]_

nDB=y[3y]—z\=0,

不妨取y=l,則即=小，zi=4§,

ii=(*^3,1,*^3).

記CF與平面ABD所成的角為?,

貝ijsina-|cos<CF,n>|-1^^2?1一竽

\CF]\n\

所以C/與平面A8O所成角的正弦值為平.

方法二因為E為AC的中點，所以點C到平面ABD的距離等于點E到平面ABD的距離的

2倍.

因為。E_LAC,DELBE,ACOBE=E,AC,8EU平面ABC,

所以QE_L平面ABC

因為VDAEB=VE-ADHJ

所以招4區(qū)相叱/以即爭其中d為點C到平面ABD的距離.

在△A8O中，BA=BD=2,AD=?

所以S/.ABD=^2'>所以

由（1）知AC_L平面8E。，EFU平面RED,

所以AC_LKR

所以/<="序+&2=*.

記C/與平面/WO所成的角為a,

uni.__d__4^3

貝ijsma一萬一

所以C尸與平面ABO所成角的正弦值為羋.

方法三如圖，過點E作EM_L43交A3于點M,連接。例，過點七作EGJ_QM交。用于點

G.

因為DE_LAC,DEVBE,ACC\BE=E,AC,8E<=平面ABC,

所以?！闖_平面ABC,又A/TU平面ABC,所以。EJ_A〃，

又EMClDE=E,EM,OEU平面/）EM,所以AB_L平面OEM,

又EGU平面DEM,所以AB_LEG,

又ABCDM=M,QMU平面A3。，

所以EG,平面AB。,則EG的長度等于點E到平面ABO的距離.

因為E為AC的中點，所以EG的長度等于點C到平面AB。的距離的右

因為EM=AEsin60。=坐，

在總vDEEMDEEM4

所以EG=FT=麗葬俞=7，

所以點C到平面A3。的斯離〃=呼1

FC^FEr+EC2=乎.

記C/與平面480所成的角為體

則si…加半

所以Cb與平面A8。所成角的正弦值為華.

5.（2023?青島模擬）如圖①，在梯形ABCD中，AB//DC,AD=BC=CD=2,AB=4,E為

A3的中點，以。后為折痕把△從￡）￡折起，連接46,AC,得到如圖②的幾何體，在圖②的幾

何體中解答下列問題.

⑴證明:AC1.DE；

⑵請從以下兩個條件中選擇一個作為已知條件，求平面DAE與平面AEC夾角的余弦值.

①四棱錐石的體積為2；

②直線AC與EB所成角的余弦值為乎.

⑴證明在圖①中，連接CE（圖略），

因為OC〃A5,CD=^ABtE為AB的中點、,

所以O(shè)C〃AE,且OC=AE,

所以四邊形AOCE為平行四邊形，

所以AO=CE=CQ=AE=2,

同理可證OE=2,

在圖②中，取。石的中點。，連接。4,。。（圖略），

則OA=OC=小,

因為AO=AE=CE=CO,所以。￡_LOA,DEA.OC,

因為。AGOC=。，。同，OCU平面AOC,所以O(shè)E_L平面AOC,

因為ACU平面4OC,所以O(shè)E_LAC.

（2）解若選擇①：由（1）知OE_L平面AOC,DEU平面BCDE,

所以平面AOCJ_平面BCDE,且交線為OC,

所以過點4作人〃_LOC交OC于點”（圖略），則A，_L平面BCOE,因為Sr娜8COE=245,

所以四棱錐A-BCOE的體積VA-BCDE=2=^X2^AH,

所以人"=。4=小，所以人。與人，重合，所以人。，平面BC75E,

建立如圖所示的空間直角坐標系，則0（0,00）,C（一5,0,0）,E（0J.0）,A（0,0,小）,

易知平面D4E的一個法向量為歷=（4，00）,

設(shè)平面的法向量為〃=（x,y,z）,

因為無=（小，1,0）,己=（小，0,?。?，

所以"—取〃=（1,一小,-1）,

“CA=y/5x+小z=0,

設(shè)平面DAE與平面AEC的夾角為仇

\COn\_^3_y[5

則cos8=

\CO\\n\?。バ　?/p>

所以平面DAE與平面AKC夾角的余弦值為害.

若選擇②：因為DC〃EB,所以NAC。即為異面直線4c與E8所成的角,

AC2+4-4=亞

在△AOC中，cosNACO=

4AC一4

所以AC=#,所以。A2+O02=AC2,即Q4_LOC,

因為OE_L平面A。。，OE二平面BCQE,

所以平面AOCJ_平面4CD￡,且交線為OC,又OAU平面4OC,

所以AO_L平面BCDE,

建立如圖所示的空間直角坐標系，則50,0,0）,C（-<3,0.0）,E（OJ.O）,A（0,0,?。?

易知平面D4E的一個法向量為歷=（小，0,0）,

設(shè)平面AEC的法向量為〃=（x,ytz）,

因為走=（小，1,0）,C4=（V3,0,小），

ftCE=y/3x+y=0,_

所以,—取〃=（1,一木,—1）,

yi-CA=y[3x+-\[3z=Qt

設(shè)平面/）AE與平面4EC的夾角為以

制t介I—?川小小

貝ijcos。一二-rz'

\CO\\n\43X455

所以平面QAE與平面AEC夾角的余弦值為坐.

6.（2022?連云港模擬）如圖，在三棱錐A—8C。中，ZkA3c是正三角形，平面人次以_平面BCD,

BDA.CD,點E,尸分別是8C,QC的中點.

A

(1)證明：平面ACDJ_平面4EF；

(2)若N8CO=60。，點G是線段3。上的動點，問：點G運動到何處時，平面AEG與平面

ACQ的夾角最小.

⑴證明因為△ABC是正三角形，點E是BC的中點，所以AE_L8C,

又因為平面48C_L平面8c。，平面48CCI平面8CO=BC,AEU平面A8C,

所以4￡_L平面BCD,

又因為COU平面8C。，所以COJLAE,

因為點E,產(chǎn)分別是BC,CQ的中點，所以E/〃8。，

又因為3Q_LCQ,所以CD_LEF,又因為AECEF=E,

AEU平面人EP,E