§4.8正弦定理、余弦定理

【課標(biāo)要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形2理解三角形的面積公式并能應(yīng)用.3.能利代正弦定理、余

弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.

■落實(shí)主干知識(shí).

I.正弦定理、余弦定理

在△4中，若角A,B,。所對(duì)的邊分別是。,b,ctR為△ABC外接圓半徑，貝ij

定理正弦定理余弦定理

a2=/+c2-2bccosA；

內(nèi)容=JL-=~^—=2R

sinAsinBsinC〃=—2c〃cosB；

^二^+爐一2a/7cosC

(l)a=2RsinA,

/?=2/?sinB,.b2+c2-a2

cosA=———；

2bc

c=2/?sinC；

c2+a2-b2

變形cosB=-----------；

2ac

⑵sinA=為，

「a2+b2—c2

cosC=-----------

.n-b.——C2ab

sinD-----,sinC-------；

2R2R

(3)。：h:c=sinA：sin8：sinC

2.三角形解的判斷

XA為銳角A為鈍角或直角

CC

C*

圖形、y\j

ZLA補(bǔ)…％

ABA'8

關(guān)系式a=ba\nA力isnA<a<ba>b

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解

3.三角形中常用的面積公式

（I）S=I"?，/?”表示邊。上的高）；

（2）S=[a〃sinC='csincsinA；

（3）S=；r（a+/?+c）（r為三角形的內(nèi)切圓半徑）.

B自主診斷

I.判斷下列結(jié)論是否正確.（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“Y”或“x”）

（1）三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.（x）

（2）在Z\A/?C中，若sinA>sinB,則a>h.（7）

（3）在aABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.（X）

（4）當(dāng)〃+c2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)序+02—/=（）時(shí)，△ABC為直角三角形；當(dāng)序+，一/<（）

時(shí)，八4AC為鈍角三角形.（X）

2.已知△48C的內(nèi)角A,B,C所先的邊分別為a,b,c,若8=夕,a=\,,貝Uc等于（）

A.V5B.2C.V3D.3

答案B

解析由余弦定理得cos8=Q,即一9=萼二，整理得才+。-6=0,解得C=2（負(fù)值舍去）.

?2a丁c22c

3.在8c中，內(nèi)角人，區(qū)，C所充的邊分別為a,〃，c,若。一80，〃一100,八一45。，則符合條件的三角

形有（）

A.一個(gè)B.兩個(gè)

C0個(gè)D.不能確定

答案B

解析由題意知，〃=80"=100,4=45。，由正弦定理，得號(hào)=岑，所以sin8=平.

SlHo8

2

因?yàn)閍<b,所以B>A,故8有兩解，

即符合條件的三角形有兩個(gè).

4.在△ABC中，角4,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=4,〃=5,c=6,貝UcosA=,△

ABC的面積為

315、行

解析依題意得cos4=此苛

2bc4

所以sinA=、l-cos2)=亡,

4

所以△ABC的面積為/csinA=呼.

回微點(diǎn)提醒

1.熟記△ABC中的以下常用結(jié)論：

⑴A+3+E,竽=,若

(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

(3)大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊，〃>/2=A>8=sinA>sin8,cos>4<cosB.

A|DrAIDr

(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+8)=-cosC；tan(A+B)=-tanC；sin^—=cos-；cos—=sinp

(5)三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=反。sA+acosB.

(6)三角形的面積S=yjp(p-a)(p-b)(p-c)(p=“a+b+c)).

⑺在斜AABC中，tanA+tanB+lanC=lanAlanBtanC.

2.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)

(I)已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理解三角形時(shí)，注意解的個(gè)數(shù)討論，可能有一解、兩解或無解.

(2)求角時(shí)易忽略角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤，需要根據(jù)大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊的規(guī)則，畫圖幫助判斷.

---------------------------探究核心題型----------------------------

題型一利用正弦、余弦定理解三角形

例1(1)(2025?重慶模擬)在aA6c中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且〃+/十幾一/若方一

V6,</=3V2sinB,則C等于()

A.-B.-C.-D.—

46812

答案D

解析在△ABC中，由〃+。2+加=。2及余弦定理，可得cosA=>=一g，

（2）（多選）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，。，c.已知a+〃=10,c=5,sin28+sin8=0,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.a=3B.b=7

C.3=60。D.sinC=—

14

答案ABD

解析由sin2B+sinB=0,得

2sinBcos2+sin5=0,

因?yàn)樵凇鰽BC中，sin,得cos8=-g,

由余弦定理/?2=a2+c2—2i/ccosB,

因?yàn)閎=10-a,所以（10-。）2=/+52—2><〃X5乂（一］，解得。=3,所以〃=7.

由cosB=,得B=120。，則sinB=*

由正弦定理得sinC=^sin=號(hào).

題型二正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

命題點(diǎn)1三角形的形狀判斷

例2在Z\A8c中，內(nèi)角A,外，C所對(duì)的邊分別是。，0,c,巖c-acos8=（2a-/?）cosA,則△A/比’

的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

答案D

解析方法一因?yàn)閏—“cos8=（2a—b）cosA,

C=L（A+B）,

所以由正弦定理得sinC—sinAcosB

=2sinAcosA—sin8cosA,

所以sinAcos8+cosAsinB—sinAcosB

=2sinAcosA-sinBcosA,

所以cosA(sinB-sinA)=0,

所以cos4=()或sin8=sinA,

所以A=1或B=A或8=兀-4(舍去)，

所以△ABC為等腰或直角三角形.

方法二因?yàn)閏—acosB=(2a—Z?)cosA,

由余弦定理得

a2+c2-d2-.Z>2+c2-a2

c-a----=(2a—b)————

2ac?2bc

化簡(jiǎn)得3一份(從+c2—『)=0,

所以a—b=o或b2+c2—a2=o,

所以u(píng)=b或加+(?=》,

故△八8c為等腰或直角三角形.

命題點(diǎn)2三角形的面積

例3(2024?武漢模擬)在△A8C中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為a”,c,若B=—,b=6,a2+c2

4

=2&ac,則△ABC的面積為.

答案3

解析由余弦定理得b2=a2-\-c2—laccosB,

即36=/+d+缶c=2&ac+&oc=3&ac,

所以ac=6y/2,

所以4人/?。的面積

S=：ac*sin6>/2X—=3.

222

命題點(diǎn)3與平面幾何有關(guān)的問題

例4已知。是RtZ\48C斜邊8C上一點(diǎn)，4C=V5DC

(1)若NOAC=3()。,則NAOC=；

⑵若BD=2DC,且DC=1,則AD的長(zhǎng)為

答案(1)120。(2)V2

解析(1)在△AOC中，由正弦定理得=―當(dāng)二，

sin/ADCsinz.DAC

所以sin/AOC="sin皿c=Kx二=3,

DC22

又//\。。=8+/840=8+(90°—/。40=8+60°>60°,

所以/AOC=120。.

(2)由BD=2DC,且DC=1知8c=3,

又AC=V5QC,則AC=V5,

所以RtAABC中，cosC=—=—,

BC3

在△AOC中，由余弦定理得

AD2=AC2+DC2-2ACDCcoaC=(V3)2+1-273X1Xy=2,

所以

思維升華(1)判斷三角形形狀的兩種思路

①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

②化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

(2)三角形面積公式的應(yīng)用原則

①對(duì)于面積公式S=、Z?sinC=^?csinB=1/?csinA,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式.

②與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.

跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若也=巴，S+c+〃)S+c-a)

sinFc

=3bc,則△48C的形狀為.

答案等邊三角形

解析因?yàn)楫?dāng)=±,

sinBc

所以三=2，所以b=c.

bc

又(b+c+a)(Z?+c—a)=3〃c,

所以b2-}~c2—a2=bc,

赤卜）b2+c2-a2be1

所以cosA=----------=—=-

2bc2bc2

因?yàn)锳￡（0,兀），所以A=2,

所以△/18c是等邊三角形.

（2）（2024.新課標(biāo)全國I）記444。的內(nèi)角A,13,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinC=V2cosB,cr^rb1

—c2=y/2ab.

①求B；

②若A48C的面積為3+8，求c.

解①由余弦定理有a2+h2-c2=labcosC,

因?yàn)閍2+b2-cr=V2ab,

所以cosC=￥

因?yàn)閏e（o，兀），所以sinCO,

從而sinC=V1-cos2C=J1-（號(hào)）=y

又因?yàn)閟inC=V2cosB,

即cos8=9,

又BE（0,兀），所以8=]

②由①可得,cosc=y,ce（o,n）,

從而C=E,sin4=sin（8+C）=sin得+：）

_V3^2.1您一遍+低

----Av--I-z\-----------.

22224

方法一由正弦定理有-\=鼻,

sin-sin-

從而b=g.?c=^c,

由三角形面積公式可知,

的面積可表示為S，MBC=1/?c-sinA

1y/6+V23+V3）

=——c?。---------=--------C"

2248

由已知△ABC的面積為3+V3,

可得三/2=3+75,所以c=2V2.

8

方法二記R為△ABC外接圓的半徑，

由正弦定理得

S.\ABc=^b-sinC=2/?2sinAsinBsinC

q------+-----.-y-/-3.-V--2-

422

所以R=2.

所以c=2RsinC=2X2X立=2或.

2

■微拓展

相關(guān)定理在解三角形中的綜合應(yīng)用

1.角平分線定理

在△48C中，A。為N8AC的角平分線，則皆二差.

BDCD

進(jìn)而得到（1M。2二A8AC-8Q6Q（斯庫頓定理）.

DC

2.張角定理

在△A8C中，。為8C邊上的一點(diǎn)，連接A。,若=i,ZCAD=/i,

3.中線長(zhǎng)定理

在△A3C中，A。為8c邊上的中線，貝I」A82+AC2=2（AD2+OC2）

BD

典例(1)在△ABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=7,〃=8,c=9,貝UAC邊上的中線長(zhǎng)

為

答案7

解析方法一在△A8C中，設(shè)是AC邊上的中線，由中線長(zhǎng)定理知，

AB2+BC2=2(BD2+DC2),

(r^a2=2(BD2+沙),

_.iC2+a2h281+4964

貝|JBD1=———Y=———^-=49,BD=1,

故AC邊上的中線長(zhǎng)為7.

a2+c2-b272+92-82

方法二因?yàn)閍=7"=8,c=9,由余弦定理得cos3二11

2ac2x7x921

設(shè)。是AC的中點(diǎn)，則麗桔(瓦5+瓦),

兩邊平方得|前『=-(BA2+2BABC+BC2)

4

二：X(81+2x9x7x蔡+49)=49,

所以|而|=7,即AC邊上的中線長(zhǎng)為7.

(2)在aABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b、c,A。是/84C的角平分線，若,AO=28，

?5

貝ij2"。的最小值為

答案6+4V2

解析如圖，???AO是N84。的角平分線，

：.ZBAD=ZCAD

26

由張角定理得sinz.BACsinZ-BAD,sinz.CAD

ADAB

?II?H?Il

即??vsm-=s—in-sin-i+l-l=-

2yf3bC'bC2

.,.2/?+C=(2Z?+C)Q+})X2

=6+更+竺26+2^^

bc7bc

=6+4或（當(dāng)且僅當(dāng)與=竺且L+-=

bcbc2

即c=/〃=2魚+2時(shí)取等號(hào)）.

課時(shí)精練

［分值:90分］

閾知識(shí)過關(guān)

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共30分）

1.（2025?海口模擬）在△ABC中，內(nèi)角A,。，C的對(duì)邊分別為a,b,c,若。=2,b=3,sin,貝Usin8

等于（）

A.-B.-C.-D.-

4334

答案A

解析若。=2,b=3,sinA--,

則由正弦定理得，號(hào)=白，即彳=告，

sinAs\nB-2sinB

所以sinB=~.

4

2.在aABC中，cosC=|,AC=4,8c=3,則cosB等于（）

A.-B.-C.-D.-

9323

答案A

解析依題意，由余弦定理得，AR^AC^^-lAGBCcosC=42+32-2X4X3X（=9,即AB=3,所

KI八AB2+BC2-AC2949-161

以COSB=-----------=------=

2ABBC2x3x39

3.（2024?長(zhǎng)沙模擬）已知在△ABC中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且三邊之比a：b：c=2：3：4,

則sin/-2sinB等于（）

sin2C

AqB.-iC.2D.-2

22

答案c

解析因?yàn)樵凇鰽BC中，a"：c=2：3：4,

設(shè)a,b,c分別為2k,3k,4k,kX）,

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,

可得l6Zr=4Zr+9/r—12ZrcosC,

解得cosC=一工,

4

可得sinA-2sin8_sin/l-2sin8_a-2b_2k-2x3k_

sin2c2sinCcosC2ccosC2x4〃x（-；）*

4.在AABC中，內(nèi)角4,8,C的無邊分別為a,b,c,已知sin4+?=?，則△ABC的形狀為（）

22c2

A.直角三角形B.等邊三角形

C等腰三角形D.等腰直角三角形

答案A

解析???叫+行；

.1-C0S711b.b

—??一,

?—2:—2=-2c,cosAc=

...b2+c2-a2b

.COSA=-----;------=-

2bcC

2

:.廿+d-冰=2及,?”+4=（7,

???△4BC為直角三角形，且C=90°.

5.（2024榆林模擬）在△ABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別是。,bfc,且三邊滿足〃=（〃+。2-4a,B=

7,則△48C的面積為（）

4

A.2-V2B.4-2V2

C.2+V2D.4+2V2

答案A

解析因?yàn)椤?（a+c）2—4魚=/+/+24（?—4或，所以片+,一〃=4&-2ac,

因?yàn)?由余弦定理得，

4

cV2a2+c2-b22>/2-ac

cosB=——=-----------=---------

22acac

所以”c=4/一4,

故△ABC的面積

S='csin8=：（4企-4）X乎=2—魚.

6.（2025?上海模擬）在△ABC中，角A,3,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=V5,且c—28+275cosC=0,

則該三角形外接圓的半徑為（）

A.lB.遍C.2D.2V3

答案A

解析,:。=時(shí),???c-2》+24cosC=0,

/.sinC—2sin8+2sinAcosC=0,

/.sinC—2sin（A+C）+2sinAcosC=0,

/.sinC_2sinAcosC_2sinCeosA+2sinAcosC=0,

/.sinC_2sinCeosA=0,

VsinOO,AcosA,

ZAG（0,7t）,

設(shè)該三角形外接圓的半徑為r,由正弦定理得

=2=2r,

sinA叵

??r=1.

二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共12分）

7.在△A8C中，角4,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列條件能確定2個(gè)三角形的是（）

A.A=-,b=1,c=2

4

B.B=g,b=1,c=2

C.A=：,b=3,a=>/3

D.8=?,b=>/3,a=2

4

答案CD

解析對(duì)于A,因?yàn)閮蛇吋捌鋳A角唯一確定一個(gè)三角形，所以A選項(xiàng)的條件能確定1個(gè)三角形；

對(duì)于B,由正弦定理可知，sinC=^=孚=百>1,無解，

h1

故B詵項(xiàng)的條件不能確定三角形；

對(duì)于C,由正弦定理可知，而9=竺財(cái)=萃=條1,又/?*即8￡化TT）,

aV32\6/

所以B=?或B=?，故C選項(xiàng)的條件能確定2個(gè)三角形；

對(duì)于D,由正弦定理可知，sin4=竺普=號(hào)-=嚕=[<1,

bV3V33

又a>b,即AS（g,TC）,又易知sinA=^sin：=當(dāng)，則sinA=苧有兩個(gè)解,

故D選項(xiàng)的條件能確定2個(gè)三角形.

8.已知△ABC的內(nèi)角4,8,C所充的邊分別為a,b,c,下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.若〃cosA=bcos8,則△A8C是等腰三角形

B.若bcosC+ccosB=b,則△ABC是等腰三角形

C.若=々=，7，則△A8C是等邊三角形

cos4cosBcosC

D.若8=60。,tr=ac,則△A8C是直角三角形

答案BC

解析對(duì)于A,若acosA=bcos8,則由正弦定理得sinAcosA=sin8cos8,

Asin2A=sin2B,則2A=28或2/1+28=180。，即A=8或A+B=90。，則△ABC為等腰三角形或直角三

角形，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若bcosC+ccosB=h,則由正弦定理得sinBcosC+sinCeos8=sin（8+C）=sin4=sinB,即A=

B,則△48C是等腰三角形，故B正確；

對(duì)于C,若，則由正弦定理得"4=，則tanA=tanB=tanC,即A=B=C,

cos4cosBcostcosAcosBcosC

即△ABC是等邊三角形，故C正確；

對(duì)于D,由于B=60°,b2=ac,由余弦定理可得爐=4C=/+/—,可得（a—c）2=（）,解得a=c,故4

AZ?。是等邊三角形，故D錯(cuò)誤.

三、填空題（每小題5分，共10分）

9.（2024?開封模擬）記△A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosC=g,a=3b,貝UcosA

答案一在

解析在△A8C中，cosC=：,a=3b,

由余弦定理可得

a2-￥b2-c29b2-￥b2-c2

cosC=

解得C=遍〃，

再由余弦定理可得

.b2+c2-a2b2+6b2-9b2限

cosA=F-=2小勵(lì)=F

10.（2024?成都模擬）在aAB。中，AC=\,ZACB=-,延長(zhǎng)8A到點(diǎn)。，使得AO=&,ZADC=-,貝UAB

46

的長(zhǎng)為.

答案號(hào)

?5

解析??,在△ABC中，AC=\,NACB=；,延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D,使得AD=^2,ZADC=^,

46

???由正弦定理得-

sinz4CDsin￡ADC

可得如乙4。。=吟”=乎,

可得NACO=2,AZBAC=Z4CD4-ZADC=-+-=—,ZABC=n-~,

446121243

???在△ABC中，由正弦定理得

ABAC

s\nz.ACBsin^.ABC

即名=3，解得A8=當(dāng)

sin-sin-3

43

四、解答題（共27分）

11.（13分）（2024?新課標(biāo)全國II）記的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a”,c,已知sinA+VJcos4=2.

（1）求A;（5分）

（2）若a=2,V2/?sinC=csin2B,求△ABC'的周長(zhǎng).（8分）

解（1）方法一常規(guī)方法（輔助角公式）

由sinA+V5cosA=2,

可得］sinA+條osA=l,

即sin（A+9=1,

由于AW（O,m=A+衿G，?,

故

解得A=?

6

方法二常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）

由sinA+V5cosA=2,

又siMA+cos2A=1,

消去sinA得到

4cos2A—48cosA+3=0=（2cos4一遮>=0,

解得cosA=當(dāng)，

又A￡（0,兀），故A=1

6

（2）由題設(shè)條件和正弦定理得，

或方sinC=csin2B<=>V2sinBsinC=2sinCsinBcosB,

又81c￡（0,兀），則sinBsinCWO,

進(jìn)而cos8=4,得到,

24

于是C=TI-A-B=^,

sinC=sin（7t—A—8）=sin（A+8）

=sinAcosB+cosAsinB

_\/2+V6

=4，

由正弦定理可得，

a_b_c

sin/1sinBsinC'

即藁=建=施

解得b=2y/2,c=V6+V2,

故△48C的周長(zhǎng)為2+遍+3&.

12.（14分）（2025?南昌模擬）如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊AC=1。，ZBAC=

T,NQAC=T,AO交AC于點(diǎn)E.

A

⑴求BD2；（7分）

（2）求AE.（7分）

解（1）囚為兩塊直角三角形斜邊靠在一起，其中公共斜邊AC=10,/6AC=弓，,8。交AC于

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點(diǎn)E,

可得A8=ACcosN8AC=10Xq=5,

/lD=.4C.cosZDAC=I0Xy=5x/2,

因?yàn)?8AD=N8AC+NOAC=；+：,

所以cosNBA。=cos；cosy-sin$in;

_i聰々a_?一顯

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