專(zhuān)題07函數(shù)單調(diào)性、極值、最值綜合運(yùn)用

一、單選題

L設(shè)函數(shù)小)=；￡：二,若函數(shù)仆)無(wú)最小值，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.(―GO,-1)B.(-a0，T]

C.D.(l,+oo)

【解析】由—得y=3-3/,

令J>0,得一]vx<l,令y'<0,得xv-1或x>l,

所以),=31-/在(e,一])上單調(diào)遞減，在(-1,1)上單調(diào)遞增，在a+oo)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=T時(shí)，)，=3“一/取得極小值，為一2,

因?yàn)闊o(wú)最小值，所以。,解得….故選：A

2x,x>a[3a-a>2a

2.已知函數(shù)/(力=V-12x,則()

A.函數(shù)/(X)在(y,0)上單調(diào)遞增B.函數(shù)/(X)在(-8,8)上有兩個(gè)零點(diǎn)

C.函數(shù)/(“有極大值16D.函數(shù)八力有最小值T6

【解析】/(X)=3X2-12,由f(x)>0,得x<-2或x>2,由f(x)v0,得-2<x<2,

所以/a)在(-00,-2)上遞增，在(-2,2)上遞減，在(2,一)上遞增，

所以極大值為八-2)=16>。，極小值為/(2)=-16<。，所以/㈤有3個(gè)零點(diǎn)，且/(x)無(wú)最小值.

故選：C

3.如圖是函數(shù))，=/(》)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的是()

A./(力在上是增函數(shù)B.當(dāng)x=3時(shí)，〃力取得最小值

C.當(dāng)x=-l時(shí)，取得極大值D./(X)在［T2］上是增函數(shù)，在［2,4］上是減了數(shù)

【解析】根據(jù)圖象知：

當(dāng)”?-2,-1),xt(2,4)時(shí)，/'(力<0函數(shù))，=/(、)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(-1,2),xw(4,4<o)時(shí)，r(x)>0函數(shù))，=/(x)單調(diào)遞增.

所以,一/(“)在上單調(diào)遞減，在(T2)上單調(diào)遞增，在(2,4)上單調(diào)遞減，在(4,s)上單調(diào)遞增，故

選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)D正確；

故當(dāng)x=-l時(shí)，“X)取得極小值，選項(xiàng)C不正確；當(dāng)x=3時(shí)，不是取得最小值，選項(xiàng)B不正確；

故選:D.

4.已知函數(shù)/。)=；丁+：/-23+1,若函數(shù)/(X)在Qa,2a+3)上存在最小值，則。的取值范圍是()

JJ

(?r11,

A.-1,-B.-I,-C.(-1,3)D.(YO,-2)

【2)12」

【解析】/(x)=1x3+|x2-2.r+l,/'(A)=X24-X-2=(A-+2)(X-1),

當(dāng)-2vx<l時(shí)，/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xv-2或x>1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，

/⑶在x=l、、=一2處取得極值.『(1)=2+:一2+1=-!，

326

/(-2)=1?(-2)3+1.(-2>-2?(-2)+1=掾，???函數(shù)/(x)在％=1處取得最小值,

???函數(shù)/*)在(%,2。+3)上存在最小值，???2a<l<2a+3,解得-1<。<最故選：A.

5.函數(shù)/(工)=/+/+。111孤(4)￡穴)有極小值，且極小值為0,則)的最小值為()

A.eB.2eC.-D.—了

e~e~

【解析】由/(x)=f+。2+引11土(。,力€7?),可得r(x)=2x+：,

X

因?yàn)?5)有極小值，記為/，則2/+2=0,即。=-24(%>0),

xo

又由/(不))=0,所以片+/+力皿與二。，

即/=Y-b\nx0=T+24lnx0>0,所以毛之&.設(shè)/一》=g(毛)=片+2%：ln.q,

當(dāng)/N八時(shí)，/(%))=4x0+4^ln^>0,所以g(%)=片+2￡ln/在［G,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)花=〃時(shí)，可得(、份)=2e,所以/一小的最小值為".故選：B.

6.函數(shù)/*)=x+2cosx在［0,五］上的最大值為()

A.4-2B.C.2D.—F\/3

66

【解析】由題意，Ax)=l-2sinx,

???當(dāng)OKsinxK：,x在［0與和［學(xué)，加上/'320,即當(dāng)。單調(diào)增;

266

當(dāng)」vsinE,x在(￡,馬上r(x)<0,即"v)單調(diào)減；

266

?3(")有極大值〃弓=3+6,有極小值人當(dāng)二y-5而端點(diǎn)值八0)=2,〃力=乃一2,則

6b66

fG)>f(0)>f5)>f(當(dāng),，門(mén)幻在似n1上的最大值為g+石.故選：D.

666

7.已知函數(shù)/(x)=V+3”“+l在(0,1)內(nèi)存在最小值，則()

A.w>()B.0<m<1C.-1<m<0D.m<-1

【脩析】因?yàn)?(X)=爐+3皿+1,所以/(1)=3卜2+〃7),

因?yàn)?(力在(。,1)上存在最小值，所以〈八「,,解得—lv〃?v0.故選：C.

［0<y］-m<1

8.若關(guān)于%的不等式以-加>2x-Inx-4有且只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.(2-ln3,2-ln2］B.(^,2-In2)

C.(f,2-In3]D.(^x>,2-ln3)

【解析】首先x=2時(shí)，不等式為2a-2〃>4-ln2-4,恒成立，即整數(shù)2是不等式的?個(gè)解，則由題意1或

3是不等式的另一個(gè)整數(shù)解.

若I不是不等式的解，則W2-lnl-4,a>2,此時(shí)不等式化為:

(a-2)x+lnx>2a-4,易知函數(shù)y=(a-2)x+lnx在(0,?o)上是增函數(shù)，則大于2的所有整數(shù)都是原不等式

的解，不合題意.

所以1是原不等式的解，大于3的所有整數(shù)不是原不等式的解，。<2,

2T—4—Inv

所以M3時(shí)，不等式or-2aW2x-ln.?4恒成立，即aW」在［3,y)上恒成立,

x-2

、幾,、2x-4-lnx_\nx

設(shè)小)=一=

X-2-lnxlnx+--l

則______x,xN3時(shí)，lnx>l,>0,g(x)單調(diào)遞增,

(x-2)2"(a2)2

所以gQL=g(/o)二松"一/。一21八，乂鏟一1=0,所以康%=1,/：=1，

e

所以g(/)而n=lTo-nJ=lTo+"=I,所以125/〃一9,解得〃I?2.故選：C

C

二、多選題

11.已知函數(shù)/(x)=x：：-l,則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)/(%)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)

B.函數(shù)/(x)既存在極大值又存在極小值

C.若xep,+oo)時(shí),/(x)nm=4*則f的最小值為2

e

D.當(dāng)Y4<0時(shí)，方程/(x)=k有且只有兩個(gè)實(shí)根

【解析】r(x)="+j+2,令r(x)=0,解得x=—l或K=2,

e

當(dāng)x<-1或x>2時(shí)，r(x)<0,故函數(shù)f(x)在(―8,-1),(2,內(nèi))上單調(diào)遞減，當(dāng)—1CXV2時(shí)，r(x)>0,

故函數(shù)在(T2)上單調(diào)遞增，且函數(shù)〃力有極小值/(-1)=Y,有極大值/(2)=與，當(dāng)x趨近負(fù)無(wú)窮大時(shí)，

e

/(X)趨近正無(wú)窮大，當(dāng)X趨近正無(wú)窮大時(shí)，/(X)趨近于零，故作函數(shù)草圖如下，

5廣

7千。/1234s6”

u：

4卜

由圖可知，選項(xiàng)BD正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，，的最大值為2.故選：BD.

12.函數(shù)/(x)=a(/-l)+x(x-2),其圖象在坐標(biāo)原點(diǎn)處與N=x相切，則()

A.a=3

B.函數(shù)/(x)沒(méi)有最小值

C.函數(shù)/")存在兩個(gè)極值

D.函數(shù)/(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)

【解析】由題意可得/'(幻=叱+2."2,且r(0)=4—2=1,所以。=3,

2

所以f（x）=3（，-1）+x（x-2）=3e'+x-2x-3,

/'（x）=3/+2.i-2,令r（x）=3/+2.?2=0,則3e，=—2x+2,

當(dāng)/時(shí)，/'(外<0,函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng)x>〃?時(shí)，Ax)>0,函數(shù)是增函數(shù)，

所以*=，〃是函數(shù)極小值點(diǎn)，/(⑼是函數(shù)最小值，

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)過(guò)(0,0),〃6)<0,/(-3)=3^+12>0

所以函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，故選：AD

13.設(shè)函數(shù)“rXxlTx+x的導(dǎo)函數(shù)為/(X),則()

A./X-)=0B.X」是/(x)的極值點(diǎn)

ee

C./(幻存在零點(diǎn)D./*)在(”)單調(diào)遞增

【解析】由題可知/(X)=X1MX+A:的定義域?yàn)?0,+8),

對(duì)干A,f\x)=In2x+21nx+l,則—+1=1-2+1=0,故A1E確；

eee

對(duì)于B、D,/V)=ln2x+21nx+l=(lnx+l)2>0,所以函數(shù)/(1)單調(diào)遞增，故無(wú)極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，D正

確；對(duì)于C,/(xMxlnO+xuMIn'+l)>。，故函數(shù)/(%)不存在零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤.故選：AD.

14.己知函數(shù)/(刈=-卜27一|),則下列選項(xiàng)正確的有()

A.函數(shù)/(x)極小值為-e,極大值為之.

e

B.函數(shù)/(“存在3個(gè)不同的零點(diǎn).

C.當(dāng)xe[-2,2]時(shí)，函數(shù)/(x)的最大值為―

D.當(dāng)時(shí)，方程71&)=%恰有3個(gè)不等實(shí)根.

【解析】:/'(X)=e'-x-1)+eA(2x-1)=e'(x2+x-2)=el(x+2)(x-1),

.?.在(-co,-2),(1,+8)上，/'")>(),單調(diào)遞增，在(-2,1)上,/'(x)v(),/(用單調(diào)遞減,

「?〃x)極大值=/(-2)=e-2[(-2)2-(-2)-l]=5e-2,/*)板小佰=/(l)=e(l-l-l)=-e,故A正確；

當(dāng)XfYC時(shí)，/(X)TO,xf+8時(shí)，/(x)f+cc,且/(x)極大俏=5e2>0,=-e<(),所以函數(shù)有兩

個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

由函數(shù)單調(diào)性知，/⑸在上單調(diào)遞減，在[1,2]上單調(diào)遞增，

且/(—2)=5e-2j(2)=c2(”2-1)=。2,故函數(shù)的最大值為/,故c正確；

方程/(x)=k恰有3個(gè)不等實(shí)根，可轉(zhuǎn)化為)，=/(%)與y=k的交點(diǎn)有3個(gè)，由上述解析可知，八、)的圖象

由圖象可得當(dāng)-e<&K0時(shí)，八幻=上有2個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)0<4<5”時(shí)，/(%)=%有3個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)&=5l時(shí),

f3)=」有2個(gè)實(shí)數(shù)根,當(dāng)U>5e?2時(shí),/。)=攵有1個(gè)實(shí)數(shù)根，故D錯(cuò)誤.

故選:AC

15.對(duì)于函數(shù)/(%)=幽，下列逸項(xiàng)正確的是()

X

A.函數(shù)/(X)極小值為j極大值為千

B.函數(shù)/(“單調(diào)遞減區(qū)間為(YO,Y]DB”)，單調(diào)遞增區(qū)為[Y,O)u(O,e]

C.函數(shù)“X)最小值為為Y,最大值e

D.函數(shù)/(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)1和-1

【解析】f(x)=貼的定義域?yàn)?7,0)U(0,+oo),所以"―1)=電11=一業(yè)1=—/(幻，

X-xX

所以〃”=業(yè)1為奇函數(shù)，當(dāng)x>o時(shí)，/(.v)=—,尸。)=上坐，令r(x)=o,解得x=e,

XAX

當(dāng)xw(0,e)時(shí)，/(幻>0,則〃x)為單調(diào)遞增函數(shù),當(dāng)xe(e,+g)時(shí)，/")<(),則為單調(diào)遞減函數(shù)，

因?yàn)?(X)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以/(外在(3,-e)上單調(diào)遞減，在(Y,0)是單調(diào)遞增，

所以的極小值為==極大值為/e)=貼=’,故A正確;

-eeee

/⑶的單調(diào)遞減區(qū)間為(，2-4k，M),單調(diào)遞增區(qū)為[-e,0),(0,e],故B錯(cuò)誤;

/(x)在(-8,0)U(0,+oo)無(wú)最值，故C錯(cuò)誤；

令f(x)=0,解得x=±l,結(jié)合/CO的單調(diào)性可得，f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)1和T,故D正確.

故選：AD

16.已知/(x)=.d+xlnx+2,g(x)=f(x)-e,則下列結(jié)論止確的是()

I?7

A.函數(shù)f(x)在-J上的最大值為3B.Vx>0,/(%)>—

1_4」16

C.函數(shù)g(x)的極值點(diǎn)有2個(gè)D.函數(shù)g(x)存在唯一零點(diǎn)小弓(3,4)

【解析】對(duì)于A,f(x)=2x+l+\nxt令”(x)=r(x)，則〃(x)=2+ko,

故r")在上單調(diào)遞增，???((“2/]]='+1<4=士普>0,

???/(X)在京上單調(diào)遞增，???/(功皿=/⑴=3,故A正確；

<1AI<1A?

對(duì)FB,由選項(xiàng)A知，力⑴在(Qy)上單調(diào)遞增.???/?7=-x(3-41n2)>0,h\-=力—1<(),.??存

I，，L\e/e

/I1A

在2?W，彳，使得/z(w)=0,gp2X+Inx+1=0,則In%=-2占-1,

Ie4,22

???當(dāng)時(shí),//(x)<0,/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)工?孫田)時(shí),A(x)>0,r(x)>0,/(力單調(diào)遞增:

???“力3=/(%)=考+￡如人+2=上+%(一2^-1)+2=-考一々+2

故B正確;

對(duì)于C,5(x)=/(x)-ev=x2+x]nx+2-ex,定義域?yàn)?0,轉(zhuǎn))，g'(x)=2x+lnx+l-e1令〃?(x)=g1x),

則”(x)=2+;_ex.

令夕(x)=〃?x),X€(0,+oo),貝lJd(x)=--^-e'<0,，。(力在(0,+紇)上單調(diào)遞減.

.X

又9(l)=3—e>0,^(2)=1-e2<0,工存在七<1,2),使得以?xún)?nèi))=2+'-e*=。，即2+'=/\

2工3“3

?,.當(dāng)xw(O,f)時(shí),<p(x)=m(x)>0,m(x)=g'(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)上?孫+00)時(shí),e(x)=而⑺<0,m(x)=g'(x)單調(diào)遞減;

故6(x>mx="?(凡)>"[(l)=3-e>0.又〃?(g)=2-ln2—&<0,/n(2)=5+ln2-e2<0,

，加(x)=g'(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，，g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故C正確；

對(duì)于D,由選項(xiàng)C知當(dāng)x?2,十4時(shí)，6(工)〈0,,??當(dāng)xc(3,4)時(shí)，/??(x)<0,

于是g(x)在(3.4)上單調(diào)遞減?，當(dāng)％?3,4).g(x)vg⑶=ll+31n3-e3Vo.工g(x)在(3,4)上沒(méi)有零點(diǎn),

故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

17.已知函數(shù)/(力=加+云-1-皿科則下列說(shuō)法正確的是()

A.若。=0,b=\,則/(x)在(1.心)單調(diào)遞減

B.若a=b=1,貝ij/(人)之In2一；

C.若。>0,則/(力有最小值

D.若f(x)W(a-l)x2+(/?+l)x+c有解，則實(shí)數(shù)c的最小值為一1

【解析】易得x>0,對(duì)于A,若〃=0"=1,則/a)=xT-ln.j尸")=1—_!：二二1,當(dāng)工>1時(shí)，/(x)>0,

則f(x)在(1,E)單調(diào)遞增,A錯(cuò)誤;

x1

對(duì)于B,若4=0=1,則/(x)=9+x-l-lnx,f'G)=2A,+1--=-=——。,

''VVV

當(dāng)』時(shí),/(x)vOJ(x)單減,

當(dāng)引時(shí)，單增，則/。)”

Tg,/*)>0,/*)=—I---1—In—=In2—,B正確;

4224

對(duì)于C,f\x)=2ax+b--=2ar+/?V-1,^y=2ax2+bx-\,a>0,顯然A=y+8a>0,設(shè)兩根為中電，

XX

貝Ij4X2=一不<。'

2a

兩根異號(hào)，不妨設(shè)內(nèi)>。,工2<。，則當(dāng)X￡(O,X])時(shí)，/'(X)vOJ(x)單減，當(dāng)xe(N，y)時(shí)，/(1)>OJ(x)單

增,則〃力有最小值f&),C正確；

對(duì)于D,加+力*-1-111工工(4-1)/+(。+1)彳+。有解，等價(jià)于cNf一x-1_]nx有解，令g(x)=x2-x-l-lnx,

則g'(x)=2.r—l'=空上=生色生5,當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/'")<OJQ)單減，當(dāng)x?l,y)時(shí)，

XXX

/'(*)>(),/*)單增，則g(x)Ng⑴=-1,則c2-l,則實(shí)數(shù)c?的最小值為一1,D正確.

故選:BCD.

三、填空題

18.若函/3=叫X-5)-；4+2京2只有一個(gè)極值點(diǎn)，貝心的取值范圍為.

【解析】八處只有一個(gè)極值點(diǎn)=/&)只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn).

fr(x)=er(A:-5)+er-kx2+4kx=(eT-kx)(x-4),易知/"(4)=0,/*(0)=-4,

首先/'3)=()必有一個(gè)解X=4,A<0時(shí)，由e=履=0,x=0顯然不是方程的解，因此女=厘，

X

令g(x)=j,g,x)=e(：-D,x<0或0<xvl時(shí)，g'(x)<0,x>l時(shí)，g'(x)>0,

xx~

gto在(一%。)和(o,i)上都遞減，在a”)上遞增，

XTX0時(shí)，&(X)T2,即從原點(diǎn)有右側(cè)逼近，&(幻-2,Xf(T(即從原點(diǎn)有左側(cè)逼近，g(*)TY,

大致圖象如圖所示：女<0時(shí)，g。)的圖象與直線(xiàn)>=攵都有一個(gè)交點(diǎn)，與/。)僅有零點(diǎn)矛盾，舍去，

當(dāng)2=0時(shí)，廣(x)=e(r—4),x<4時(shí)，/(外遞減，x>4時(shí)/'(x)>0,/V)遞增，J*)只有一個(gè)

極值點(diǎn)，

0<A<e時(shí)，g(x)=《與直線(xiàn)尸力無(wú)交點(diǎn)，因此函數(shù)只有?個(gè)零點(diǎn)，

X

A=e時(shí)，/z(x)=(e'-ex)(x-4),/'(x)=。有兩個(gè)解x=l和x=4,

xvl時(shí)，f(x)<0,l<x<4時(shí)，/'(x)v。，x>4時(shí)，f\x)>0,

X=1不是函數(shù)的極值點(diǎn)，/（X）只有x=4一個(gè)極值點(diǎn).

%>e時(shí)，g*）的圖象與直線(xiàn)y=A有兩個(gè)交點(diǎn)，方程e；6=0芍兩個(gè)解，*-4=0有?個(gè)解A4,

要使得/⑴僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則）=3必為/（幻=0的重根，所以2=豈，

4

綜上，々的范圍是

4

19.已知函數(shù)/（X）=lnx,若對(duì)任意芭,々eQyiMiyai）-/（&）］之今（〃4-%）恒成立，則州的最大值為

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=lnx,若對(duì)任意X"2明-七）恒成立，

所以史］心二嶼回？〃?，即五足工十上之機(jī)，令工也則工歷工+三=〃n/+L

百工2“2”2%&“2X?X，

令g（7）="ni+；,則g'a）=In/+l-9,又g'（/）=ln/+l-"在10,+co）上單調(diào)遞增，且g'⑴=0,

所以屋。在（0,1）上單調(diào)遞減，在。,內(nèi)）上單調(diào)遞增，所以4/卷二義⑴印，所以小￡|,即的最大值為1.

四、解答題

20.己知函數(shù)/（x）=-V+2加+1,x=2是/⑴的一個(gè)極值點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)。的值：

⑵求〃力在區(qū)間卜3,4］上的最大值和最小值.

【脩析】⑴???/（可在”=2處有極值，???/'（2）=0,???r（x）=-3x2+4ar,???-12+&/=0,

???”=5,經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，*=2是/（x）的極值點(diǎn)，???〃=（

3

⑵由（1）知a=5，/（x）=-x3+3x2+1,/r（x）=-3x2+6x,令/'（力=0,得為=0,X,=2,

當(dāng)工變化時(shí)/'（X）,/（力的變化情況如下表：

X-3(TO)0（0,2）2（2,4）4

廣（力—0+0—

/（、）551/5-15

從上龍可知:/（工）在區(qū)間［T4］上的最大值是55.最小值是-15.

21.已知函數(shù)/(x)=x——(〃+l)lnx,aeR.

x

(1)求/*)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若心1,且/*)的極小值小于2-4In3,求。的取值范圍.

【解析】(1)C+二-3=d)L)(x>0),

①當(dāng)a,0時(shí)，當(dāng)Ovxvl時(shí),/(Xi<0,當(dāng)三>1時(shí),/(x)>0,

所以/a)在(0,1)上單調(diào)遞減，在U,+oo)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)0<a<l時(shí)，當(dāng)0cx或x>l時(shí)，/(,v)>0,當(dāng)avxvl時(shí)，/(A)<0,

所以/(%)在(0")上單調(diào)遞增，在伍,1)上單調(diào)遞減，在0,e)上單調(diào)遞增；

③當(dāng)4=1時(shí)，20恒成立，所以/(X)在(0,y)上單調(diào)遞增；

④當(dāng)時(shí)，當(dāng)Ovx<l或時(shí)，/(x)>(),當(dāng)l<x<a時(shí)，/1(x)<0

所以/㈤在(0,1)上單調(diào)遞增,在以。)上單調(diào)遞減,在S,”)上單調(diào)遞增.

(2)已知a>l,由(1)知/(*)的極小值為一(a+l)lna,

令g(a)=。-l-(a+l)lna,a>\,則g(a)=l-(lna+^^)=-lna—,

aa

所以g(a)在(1,+oo)上單調(diào)遞減，且g(3)=2-4In3,

由f(x)的極小值小于2-41n3,可得g(a)〈g(3),所以。>3.

22.已知/(x)=lnx+ar,acR.

(I)討論/(x)的單調(diào)性；

(II)若〃<一1,證明：/U)<-1.

【解析】(I)由題可知x>0，f'W=-+a.

x

當(dāng)〃之。時(shí).，/'(幻>0恒成立，，函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)〃<0時(shí)，令/(x)=L+a=o,解得x=-_L

xa

當(dāng)0<x<」時(shí)，ra)>o,.?./(])在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí)，八幻<0,...函數(shù)/W在上單調(diào)遞減.

(。，--)上單調(diào)遞增，在

綜上可知，當(dāng)〃之0時(shí)，函數(shù)/*)在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)/*)在

-*上單調(diào)遞減.

(II)證明：若。<-1,則由(【)可知，"V)在工=-2處取得極大值,

"(X)max==-ln(-a)-l.

令X(x)=-lnx-l.門(mén)>0,g'a)=」<0,.,.函數(shù)g(x)在(0,B?)上單調(diào)遞減.

X

X

又?」一〃>1,?,/(')max=-ln(-a)-l<-lnl-l=-l,/./(x)<-1.

23.已知函數(shù)/(x)=V一級(jí)2—4x+5.

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求函數(shù)y=fM的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù))，=/(幻在x=-2處取得極值，求函數(shù))，=/(%)在［-4,1］上的最大值與最小值.

【解析】(1)Va=2,：.f(.r)=x1-2x2-4x+5(xGR),/./(.r)=3^-4x-4=(3.r+2)(x-2),

79

令r(x)>0解得或無(wú)>2,令r(x)<0解得

2

從而函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：(-8,--)和(2,+8),

函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為：(--,2),

(2),??在X=一2處取得極值,???/'(-2)=0,即/(-2)=12+4。-4=0.解得〃二一2、

2

A/(X)=X34-2X2-4X+5.???r(x)=3x2+4x-4,二由/'(x)=0,解得x=-2或x=］,

當(dāng)i在HM］上變化時(shí),廣(力和〃力的變化如下：

2

X-4-2I

(")卜用3

+0-0+

極大值極小值

/('■)-11單調(diào)遞增單調(diào)遞減福焉單調(diào)遞增4

/(-2)=13

???由表格可知當(dāng)x-4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值/(4)=11,

當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)取得極大值同時(shí)也是最大值/(-2)=13.

故■。儂=/(-2)=13,/(^=/(-4)=-11.

24.已知函數(shù)/*)=3公3+/+"+。，曲線(xiàn))，=/(幻在(0,/(0))處的切線(xiàn)方程為y=x+l

⑴求b,c的值;

(2)若函數(shù)/Cr)存在極大值，求。的取值范圍.

【解析】⑴尸(x)=ad+2x+/?,因?yàn)?1)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線(xiàn)方程為y=，+l,

一]尸(0)=1[/?=1

所以m解得[

1/(0)=1[c=\

⑵/(x)=+x2+x+\,

①當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=f+X+1不存在極大值，不符合題意.

②當(dāng)a>0時(shí)，/(.v)=ar+2x4-1.+2x4-1=0.

(/)當(dāng)△=4一4?40,即aNl時(shí),不符合題意.

5嚴(yán)△="4。>0,即Ovavl時(shí),方程a?+2x+i=o有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

設(shè)方程兩個(gè)根為小芭,n內(nèi)<芯.工尸(工),/(工)的變化如表所示：

XS，x)A(凡,工2)(毛收)

—

/'(M+()0+

/(X)/極大值極小值

所以/(N)為極大值..

③當(dāng)avO時(shí)，△=4-4?>0恒成立.設(shè)方程兩個(gè)根為大百，且不<..

xJ'(x)J(x)的變化如表所示：

(0+00)

XS，耳)X】(內(nèi)㈤*2

r(M—0+0一

/W極大值/極小值

所以，/(9)為極大值.

綜上，若函數(shù)/(“存在極大值，〃的取值范圍為(-8,0)5°，)

25.已知函數(shù)/("=(/+67)x2-(3?+l)x+lnx.

⑴若x=l是"力的極小值點(diǎn)，求”的值；

（2）若。>0,且.“力在加上單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

【解析】⑴因?yàn)?（x）=（。2+a）f-（3a+l）x+lnx,x>0,

所以r（x）=21/+辦_3”]+二（2?1）[（?1）1].

xx

又工=1是?。┑臉O小值點(diǎn)，所以，⑴=。伽-1）=0,解得：4=0或

當(dāng)。=0時(shí),/（力=?,則"X）在（°J）上單調(diào)遞增，在。，位）上單調(diào)遞減，則x=i是外力的極大值點(diǎn)，

不符合題意.

是“X）的極小值點(diǎn)，符合題意.故。=g.

X

⑵（1）知：/（x）=-------——2——J，x>0,

令（2m：_i）[（a+i）x_i]=o,解得：X=j-^X=-L-.

當(dāng)上<」二，即時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為（0,41，（一二，+J|，其中一二<:，要想HR在R，3]上

2aa+1V2aJ\a+1）a+12l_3_

單調(diào)遞增，所以一二A?,解得：?>2.

與。>1結(jié)合,得到。22

當(dāng)?=/7,即a=i時(shí)，r（力尸f〉0，八”在（。,+向上單調(diào)遞增，符合題意.

當(dāng)即0<〃<1時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為（0.」7m,+8）,其中，->（，要想/（外在L，3~|上

laa+\\〃+1八2。J2a2l_3」

12

單調(diào)遞增，所以-->3,解得：-\<<--

a+\3at

綜合可知不等式無(wú)解.

綜上所述，。的取值范圍為{1}U[2,田）.

26.已知awR,函數(shù)/(工)=or-l-lnx.

（1）討論〃力的單調(diào)性;

⑵當(dāng)4=1時(shí)，若對(duì)VX￡(O,4<X))J(X)■X-2恒成立，求實(shí)數(shù)〃的最大值.

【解析】⑴〃。的定義域?yàn)?。,+孫r(x)=d-l=—,

XX

當(dāng)公0時(shí)，/'("<(),4%)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

當(dāng)〃>0時(shí)，令r(x)>0nx/；令r(x)<0n0<x<L

綜上，當(dāng)心0時(shí)，/⑴在(。,+00)上單調(diào)遞減，

當(dāng)〃>0時(shí)，/")在(。3)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

(2)Va=\,，/(工)二X一1一11】尤/(X)之旅一2恒成立，

即3G+_l-*,(x>o)恒成立，令g(力=]+_!_-皿，則短(力=見(jiàn)=2,

XXXXx~

由g'(x)>。，得x>e):由得Ovxve?.

故g(x)在(032)上單調(diào)遞減，在(e)+oo)上單調(diào)遞增，

，8(力向,二網(wǎng)建)=1一4,即〃勺一1,故實(shí)數(shù)。的最大值是1-4.

eee

27.已知/(x)=x2-2.r+alnx.

(1)若函數(shù)/*)在x=2處取得極值，求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)若&*)=/*)-3，求函數(shù)以幻的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)若。=2,存在正實(shí)數(shù)和不，使得/(N)+"X2)=X+W成立，求內(nèi)+占的取值范圍.

2x22x+a

【解析】(1):f\x]=2x-2+-=-(x>o),

XX

???函數(shù)/*)在x=2處取得極值，/⑵=8-4+"=0,解得。=_4,

x

當(dāng)〃=T時(shí)，/(#=2(r7-2)=2。+1)。-2)

AX

???當(dāng)0VXV2時(shí)，r(x)<0,/*)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，r(A-)>0,/(X)單調(diào)遞增；

.?.當(dāng)a=T時(shí)，函數(shù)在x=2處取得極小值；

(2),/g(x)=f(x)-ax=x2-(a+2)x+a\nx,

.，/、r/。2x2-(a+2)x+a(x-\)(2x-a).

??g(%)=2x-(a+2)+-=--------------=-----------(x>OH

xxx

令ra)=o,則工=1或1=^|,

①當(dāng)"WO時(shí)，令g'(x)>0可得x〉l,???函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8)：

②當(dāng)0<a<2時(shí)，令g'(x)>o可得0。?<或x>l,

???函數(shù)以外的單調(diào)遞增區(qū)間為(。/)(1，+8)；

③當(dāng)。=2時(shí)，g'(x?0在xw(0,~K功上恒成立，，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)；

④當(dāng)。>2時(shí)，令，*)>0可得0v式v1或x目，???函數(shù)g(x)的些調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(*+8

(3)va=2,f(x)=x2-2x+2Inx,

'：j'(x1)4-/(x,)=x1+x2,x；+￡—2(%+x2)+21n(x1x2)=j^+x2,

整理可得(％+%1一3(玉+x2)=2xyx2-2ln(XjX2),

令1=王々，9(f)=21—21nz(1>0),

=2(：1),令蘇⑺=o,解得,=].

當(dāng)Ov/vl時(shí)，8⑺單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),“(。>0,式。單調(diào)遞增;

???當(dāng)/=1時(shí)，*)取得極小值即最小值為0(1)=2,

(玉+w)2—3(%+天)22即(用+%)~-3(x,+x2)-2>0,

解得Xi+X2<--(舍去)或石+工23+,

?.?X+/的取值范圍為三普，+8.

41nx+x+1

28.已知函數(shù)/(x)=e*

x

⑴若x=l是/(X)的極值點(diǎn),求〃；

(2)若4=1,證明：/(x)>0.、

I1x(6rlnxIxI1)

【解■析】⑴由題意知八—xa-alnx-i,

--------------；--------------=et----------------

x~x'

則r(l)=e-(a-l)=O,解得。=e+l；

、i，,e-(e+l)lnxx2e*+(e+l)ln.r-e

當(dāng)〃=?+1M時(shí)，f(x)=e------—=-------------------------------,

當(dāng)H>1時(shí)，x2eA>e,(e+l)lnx>0,x2e"+(e+l)lnx-e>0,f\x)>0,

當(dāng)()vx<I時(shí),x2el<e,(e+l)lnx<0,x2el+(e+l)lnx-e<0,/'(x)v。，則x=I是/U)的極值點(diǎn)，則a=e+1；

⑵若4=1,則f(x)=e*-加■+*1,令g(x)=.ve*一lnx-x-1,則

x

/(x)=(x+l)e」-l=nx+l)e'-1—x(x+1乂xe=1)

XXX

令h(x)=xev-l(x>0),貝ij〃(幻=(x+l)e'>0,又/?「-1(0血1)=—1)0,則存在為在使/(x)=0.

則x°eJ=0,/e"=l,而=一,%=ln—=->%,則函數(shù)g(x)在(0田)單減，在(y,+oo)單增,

xi入0

vlnA+A+1

則g(x)>g(x0)=xoe°-Inx0-x0-1=1+x0-x0-1=0,則f=丑?=/_>。

XX

29.已知函數(shù)/(%)=/-；加-；尿2-x,其中ER,e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴若4=0,/?=1,證明：當(dāng)xNO時(shí)，/(x)Nl；當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<l

⑵若a+〃=e-1,函數(shù)f3在區(qū)間(0,1)內(nèi)不單調(diào)，求。的取值范圍

【解析】⑴=一，f，a)=e'-x-l,r(x)=e^-l

當(dāng)xNO時(shí)，/(力=十-1>0,故尸(%)單調(diào)遞增,當(dāng)x<0時(shí)，r(x)=er-l<0,故/'(%)單調(diào)遞減,

故門(mén)戶(hù)八0)=0,故/(X)單調(diào)遞增，又/(0)=1,所以當(dāng)轉(zhuǎn)0時(shí)，/(X)>1；當(dāng)”0時(shí)，/(x)<l

(2)函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)不單調(diào)，即/'⑺二爐一辦2_區(qū)_1存在零點(diǎn)，

由a+8=e—l可知7(1)=0,乂/(0)=0，

而函數(shù)/(力在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，則函數(shù)尸(力在區(qū)間(04)內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,

令g(x)=/"(1)=^x-2ax-b,又g<x)=ev-2a

①若則2aWl,g'(x)=e"-2〃20,

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間［05上單增,函數(shù)g(x)即/(力在區(qū)間［0,1］上單調(diào),

不可能滿(mǎn)足“函數(shù)廣(x)在區(qū)間(0」)內(nèi)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間”這一要求.

②若則加Ne,g'(x)=e-2aK0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)旬［0