中考撤號

軌跡、路徑類綜合練習(xí)（提優(yōu)）

一.選擇題

1.如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為16cm,在容器內(nèi)壁離容器底部的點8

處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿4cm的點/處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行

的最短路徑為2（）C7〃，則該圓柱底面周長為（）

A.12cmB.14cMC.2QcmD.24cm

【分析】將容器側(cè)面展開，建立4關(guān)于EG的對稱點H,根據(jù)兩點之間線段最短可知HB的長度即為

所求.

【解答】解：如圖：將圓柱展開，EG為上底面圓周長的一半，

作力關(guān)于E的對稱點4,連接A'B交EG于R則螞蚊吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為/的長，即//+4P

=A'B=20cmt

延長8G,過4作/fO_L〃G于D,

?:AE=A'E=DG=4cm,

：.BD=\bcm.

RtAJ'DB+,由勾股定理得：A,D=V'202-162=12c/w,

???則該圓柱底面周長為24c”.

故選：

【點評】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計

算是解題的關(guān)鍵.同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

中考撤號

2.半圓柱底面直徑4C是高力8的兩倍，甲蟲在半圓柱表面勻速爬行，若沿著最短路徑從8經(jīng)￡到。（E

是上底面半圓中點），則甲蟲爬行過程中離下底面的高度〃與爬行/之間的關(guān)系用圖象表示最準(zhǔn)確的是

【分析】平面展開圖如圖所示，根據(jù)兩點之間線段最短可知，甲蟲的最短路線是8-然后在圓柱的上

底面上，沿線段行走即可，此時甲蟲離下底面的高度〃不變.由此即可判斷.

【解答】解：平面展開圖如圖所示，根據(jù)兩點之間線段最短可知，甲蟲的最短路線是4-E,然后在圓柱

的上底面上，沿線段QE行走即可，此時甲蟲離下底面的高度，不變.

B-----------------------C

由題意力￡＞力從所以在甲蟲到達E之前，離卜底面的高度*是逐漸升高，圖形比較緩，

故選：D.

【點評】本題考兗平面展開-最短路徑問題，函數(shù)圖象等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)

知識解決問題.

3.棱長分別為80〃，6。"的兩個正方體如圖放置，點4,B,E在同一直線上，頂點G在棱8C上，點尸是

棱小K的中點.一只螞蟻要沿著正方體的表面從點力爬到點P,它爬行的最短距離是（）

中考撤號

A.(3書+10)cmR.5413cmC.0211cmD.(248+3)cm

【分析】求出兩種展開圖0/I的值，比較即可判斷.

【解答】解：如圖，有兩種展開方法：

方法一：PA=<142+92=y/277cm,

故需要爬行的最短距離是河皿.

故選：C.

【點評】本題考查平面展開-最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}

型.

4.如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中48=8c，〃，BC=4cm,BF=6c〃],點M在棱力B上,且4M=

2cm，點N是產(chǎn)G的中點，一只螞蟻要沿著長方形盒子的外表面從點M爬行到點N,它需要爬行的最短

路程為()

A.1OcmB.C.6及cmD.2

【分析】利用平面展開圖有3種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長即可.

【解答】解：如圖1中，MN="N2+FM2=皿2+22=2庖(cm),

中考撤號

丁長方體的寬為10,高為20,點B離點C的距禽是5,

/.BD=CD+BC=10+5=15,AD=20,

在直角三角形力4。中，根據(jù)勾股定理得：

：.AB=、歸。2+402=25；

只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖:

???長方體的寬為10，高為20,點4離點。的距離是5,

ABD=CI>rBC=20+5=25,JD=10,

在直角三角形力4。中，根據(jù)與股定理得：

：.AB=\BD2+AD2=7l02+252=5相；

只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖:

—

__________

20D10C

圖3

???長方體的寬為10,高為20,點〃離點C的距離是5,

：,AC=CCHAD=20+\0=30,

在直角三角形力8C中，根據(jù)勾股定理得：

:.AB=+BC?=^302+52=；

???25V5招V5面，

中考撤號

，螞蟻爬行的最短距離是25,

故選：B.

【點評】本題考查的是平面展開-最短路徑問題，勾股定理，根據(jù)勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵.

6.如圖，在矩形片8c。中，AB=35/。=9,點尸是邊上的一個動點，連接8P,將矩形48CO沿

BP折疊，得到△小P8,連接山C,取小。的三等分點0（。0＜小。），當(dāng)點尸從點力出發(fā)：沿邊4。運

動到點。時停止運動，點。的運動路徑長為（）

A.nB.班乃C.空兀D.%

33

【分析】如圖，連接力小，在8C取一點0,使得OC=；4c連接。。，BD.利用三角形的中位線定理

證明。。=\"=定值，推出點。的運動軌跡是以O(shè)為圓心，O0為半徑的圓弧，圓心角為120。，即可

解決問題.

【解答】解:如圖，連接/小，在4c取一點O,使得。C=g9C,連接00,BD.

???四邊形/8CZ）是矩形，

：,ZBAD=90°,

9「

AtanZ.ABD=36=避,

；?430=60°,

???小0=2。。，BO=2OC,

??CQ__CO__1

==,

?CAlCB3

：,OQ//BA},

???△COQsACBAi，

中考核等

OQCQ1

??布=麗=9

11

：,OQ=-BA}=QAB=\'3,

???點。的運動軌跡是以。為圓心，。。為半徑的圓弧，圓心角為180°-2ZCOQ=\20°,

:,點Q的運動路徑長=12°；曾3=宇7T

1803

故選：D.

【點評】本題考查軌跡，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題,

屬于中考常考題型.

7.如圖，是的直徑，弦AB//MN,點C是直徑上方半圓上的動點（包括端點A/,N）,ZACB

=60°,N4C4和NC48的平分線相交于點E,當(dāng)點C從點”運動到點N時，則C,七兩點的運動路徑

「3；5

A.&B.-C.2D.匚

z2

【分析】如圖，連接04,EB.設(shè)OM=L證明/力以=120。，利用弧長公式計算即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接04,E8.設(shè)

VZJCT=60°,

作△/E8的外接圓OJ,連接力，JB,OJ交AB于H.

當(dāng)點C在點M的位置時，N4W8=60°,點七在點￡的位置處，而點￡在M/上，

當(dāng)點C到點N的位置時，N4U8=60°,點E在點爐的位置處，而點?在N/上，

而MG=N7,OM=ON=OJ,

:.NMJN=90°

90?7T-r1

???點￡在。，上運動，運動路徑的長二—^―二不入

loUZ

???點。的運動路徑的長=m-，

1

AC,E兩點的運動路徑長的比值=m,:^rrr=2：1,

故選：C.

中考撤號

【點評】本題考查弧長公式，圓周角定理，三角形的內(nèi)心等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找點

的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

8.如圖，正方形/18CN＞的邊長為3,將長為2小的線段。尸的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時滑動.如

果點。從點力出發(fā)，在上滑動，同時點尸在8c上滑動，當(dāng)點尸到達點。時，運動停止，那么在這

個過程中，線段Q廠的中點必所經(jīng)過的路線長為（）

【分析】求出兩種特殊位置時，/ABM,/CBM\的值，利用弧長公式求解即可.

【解答】解：如圖，連接8W.

當(dāng)點0與力重合時，在中,

AB3S

-：cosZBAF=—=^=-.

；?NB4F=30°,

:,BM=AM=MF=5

：.ZABM=ZBAM=30Q,

當(dāng)Fl與C重合時,同法可得4％5C=NM|C8=30°,

???/Z8C=9(T,

Z.=90°-30°-30°=30°,

中考撤號

?:BM=BMi=、氏

???線段。尸的中點M所經(jīng)過的路線長==劣,

1806

【點評】本題考查軌跡，正方形的性質(zhì)，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識

解決問題.

二.填空題

9.如圖，長方體的棱/出長為3,棱4C長為4,棱4b長為2,。為CG中點，一只螞蟻從點4出發(fā)，在長

那么它爬行的路程是二&

【分析】畫出圖形，利用勾股定理求出/P的長即可.

【解答】解：如圖1,IP=〃C2+CP2=J(3+4)2+(2+2)2=5”,

B

圖1

故它爬行的路程是5點.

故答案為:5M.

【點評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，畫出圖形是解題關(guān)鍵.

10.如圖.長方體的底面是邊長2”?的正方形，高為6cm.如果從點力開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達8,

那么所用細線最短需要，通

中考撤號

【分析】如果從點如果從點力開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2倦I到4點B,相當(dāng)于直角三角形的兩條直角切分

別是8和3,再根據(jù)勾股定理求出斜邊長即可二

【解答】解：將長方體的側(cè)面沿月4展開，取，夕的中點C,取力〃的中點C',連接夕C',AC,

則/C+E'C為所求的最短細線長，

t：AC2=AA,2+JzC2,AC=、園m,

:?B'C2=BB'2+Cf&=73,

.,.夕C'~-\/73(cm),

：,AC+BlC=2^73(cm),

答：所用細線最短長度是2灰cm,

故答案為：2、雨.

【點評】本題考查了平面展開-最短路線問題和勾股定理的應(yīng)用，能正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵，用

了數(shù)形結(jié)合思想.

11.如圖所示，X8C。是長方形地面，長A8=20〃?，寬AD=10m.中間豎有一堵磚墻高MN=2〃?.一只螞

蚱從力點爬到。點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走26m的路程.

【分析】連接4C,利用勾股定理求出力C的長，再把中間的墻平面展開，使原來的矩形長度增加而寬度

不變，求出新矩形的對角線長即可.

中考撤號

【解答】解：如圖所示，將圖展開，圖形長度增加2MM

原圖長度增加4米，則/8=20+4=24〃?，

連接AC,

:四邊形"CQ是長方形，AB=24m,寬4D=10m,

'.AC=7AB2+BC2=+102=、，676=26m,

???螞蚱從A點爬到C點，它至少要走26m的路程.

故答案為：26m.

【點評】本題考查的是平面展開最短路線問題及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關(guān)鍵.

12.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面軌道上滾動一個半徑為15cm的圓盤，如圖所示，居與CD

是水平的，8C與水平面的夾弁為60°,其中NB=60c〃?，C￡）=40cw,BC=40cm,那么該小朋友將圓盤

從A點滾動到D點，其圓心所經(jīng)過的路線長為（140?16落+5n）cm.

【分析】根據(jù)題意，知圓心所經(jīng)過的路線的長度為線段0Q的長度+線段。|。2的長度+圓弧：）03的長度+

線段SQ的長度.

可以得出圓盤滾動過程中圓心走過的路線由線段。。1，線段。|。2，圓弧003,線段。3。4四部分構(gòu)

成.

其中O]E_L/出，O\FLBC.O2C±BC,O3CA.CD,O4DLCD.

由（1）知。Oi=4E=（60-5\/3）cm,

易得RtAOi5f和RtAOi5F全等，

中考撤號

:.BF=BE=5書cm,

：?O\O2=BC-BF=(40-5/)cm.

YABHCD,8c與水平夾角為60°,

AZBCD=120°.

又???/。2。3=/。3?！?gt;=90°,

???/。2。。3=6()°.

則圓盤在。點處滾動，其圓心所經(jīng)過的路線為圓心角為60°且半徑為15c〃?的圓弧003.

60?7T?15

：?。2。3的長=Ton=5nc掰.

1oU

???四邊形0QOC是矩形，

。3。4=CD=40c/〃.

綜上所述，圓盤從4點滾動到D點，其圓心經(jīng)過的路線長度是(60-5、8)+(40-5^/3)+5n+40=(140

-10\/3+5n)cm.

故答案為(140-I麗+5TT).

【點評】本題考查了弧長公式，切線的性質(zhì)，切線長定理,解直角三角形等知識，綜合性較強.解題的

關(guān)鍵是畫圓心的軌跡圖，進而理解圓心所走的路線是由哪幾段組成的.

13.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一個點從原點。出發(fā)，按向右一向上~向右一向下的順序依次不斷移動，

每次移動1個單位，其移動路線如圖所示，第1次移到點小，第二次移到點42,第三次移到點43,…，

第〃次移到點4,則點力2019的坐標(biāo)是一(1010，1).

【分析】根據(jù)圖象可得移動4次圖象完成一個循環(huán)，可先得下標(biāo)為4的倍數(shù)的點的坐標(biāo)A4(2,0),J8

(4,0)…，發(fā)現(xiàn)橫坐標(biāo)為下標(biāo)的一半，從而可得出點力2019的坐標(biāo).

【解答】解:A\(1,0),A2(1,1),A3(2,1),A4(2,0),A5(3,0),A6(3,1),

2019+1

；22OI9的坐標(biāo)為(，I),

卻點力2019的坐標(biāo)為<1010,1),

故答案為：(1010，1).

【點評】本題主要考查點的坐標(biāo)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出下標(biāo)為4的倍數(shù)時對應(yīng)長度即

中考撤號

為下標(biāo)的一半，據(jù)此可得.

14.如圖，。。的半徑為5,弦/山=6,弦］。，弦40,點。為。。的中點，若點。在圓上逆時針運動的

5

路徑長為”，則點P運動的路徑長為7T.

【分析】如圖，連接。1,OB,AD,OP,OD,過點。作于〃.證明0△C7Y）（力力S）,

推出0月=力"=3,推出點尸的運動軌跡是以。為圓心，0Q為半徑的圓，求出點。旋轉(zhuǎn)的角度即可解決

問題.

【解答】解：如圖，連接。4,OB,AD,OP,OD,過點。作0〃_L48于凡

H

?；ACLBD,

：.ZDAC+ZADB=90°,

VZDOC=2ZDAC,N4OB=2NADB,

.??NOOC+N〃M=I8()°,

'.'OH-LAB,DP=PC,

：,OPLCD,AH=HB=~AB=3,

'：OA=OB=OC=OD,

：.4A0H=/BOH,ZCOP=乙DOP,

ZAOH+ZCOP=90°,

VZAOH+ZOAH=90°,

^ZCOP=ZOAH,

VZAHO=ZCPO=90<>,OA=OC,

中考撤號

：./\OlIA^ACPO(AAS),

：.OP=AH=3,

???點夕的運動軌跡是以。為圓心，OP為半徑的圓，

5

???點D在圓上逆時針運動的路徑長為不，設(shè)圓心角為〃，

n-7T?55

**180=3IT，

???〃=60°,

,：OD,O尸的旋轉(zhuǎn)角度相等，

60?7T?3

???點P的運動路徑的長==71.

1loqUn

故答案為：TC.

【點評】本題考查軌跡，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添

加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

15.如圖，在矩形48CQ中，AB=V13,4)=3,點尸是4。邊上的一個動點，連接8P,作點力關(guān)于直線8P

的對稱點4,連接小C,設(shè)小C的中點為0，當(dāng)點尸從點/出發(fā)，沿邊力。運動到點。時停止運動，

IO-

點Q的運動路徑長為_養(yǎng).

【分析】如圖，連接4小，取8C使得中點O,連接OQ,BD.利用三角形的中位線定理證明。。=號=

定值，推出點。的運動軌跡是以。為圓心，。。為半徑的圓弧，圓心角為120°,即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接歷h，取4C使得中點O,連接。。，BD.

APD

???四邊形/8CQ是矩形，

:.NBAD=%0,

AD

tan/ABD==

AB

AZABD=60°,

中考撤號

??Z|Q=0C，BO=OC,

115

OQ=QBA、=-AB=芋

???點。的運動軌跡是以。為圓心，。。為半徑的圓弧，圓心角為120°,

巨/Q

???點Q的運動路徑長=12：8；芯=爭.

故答案為小T.

3

【點評】本題考查軌跡，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題,

屬于中考?？碱}型.

三.解答題

16.如圖，長方體的長48=5s〃，寬BC=4cm,高力E=6CTM,三只螞蟻沿長方體的表面同時以相同的速度

從點《出發(fā)到點G處.螞蟻甲的行走路徑S甲為：翻過棱石，后到達G處(即4螞蟻乙的行

走路徑S乙為：翻過棱￡產(chǎn)后到達G處(即/一M-G),螞蟻丙的行走路徑S內(nèi)為：翻過棱B產(chǎn)后到達G

處(即4-N-G).

(1)求三只螞蟻的行走路徑S甲，S乙，S丙的最小值分別是多少？

(2)三只螞蟻都走自己的最短路徑，請判斷哪只最先到達？哪只最后到達？

【分析】(1)將長方體展開，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，比較三只螞蚊的行走路徑S甲，S乙，S丙的大小，即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)?長48=5皿，寬BC=4cm,高4￡=6?！?，

:.EF=AB=5cm,CF=BC=EH=4cm,AE=BF=CG=6cm,

???S甲=+EF)2耳CF2=^/Tl24-42=、面(cm)

S乙=+E")2+GH?=4IO?+52-,125=5瓢(cm),

S丙=\+Be)」+"2=^92+62=17(cm),

答：三只螞蟻的行走路徑S甲，S乙,S內(nèi)的最小值分別是Ji幣c〃?，5&cm,V117cm：

(2)由(1)矢H,5甲=、口37(cm),S乙=5，5(cm),S丙=17(cm),

中考撤號

vV137>Vi25>VH7>

???螞蟻丙最先到達，螞蟻甲最后到達.

【點評】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用勾股定理進行計算是解題的關(guān)

腺

17.（I）根據(jù)所給的條件，求圖1中8c邊的長度.

（2）如圖2所示，圓柱形玻璃容器，ISJ18cw,底面周長為60c〃?，在外側(cè)距卜底lew,點S處有一蜘蛛，

與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處\cm的點尸處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛,

所走的最短路線的長度.（畫出相應(yīng)圖形，并解答）

【分析】（1）利用勾股定理進行計算，即可得出4C的長；

（2）把立體圖形展開為平面圖形，根據(jù)兩點之間線段最短，利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解：（1）由題可得，口△48。中，BC=y!AB2-AC2=7172-82=15：

（2）如圖是圓柱的側(cè)面展開圖，線段ST就是蒼蠅走的最短路線，

1

在RtZXS^N中，'：/SNF=W,F；V=18-2=16,SN=；x60=30,

:?SF=\SN2+NF2=/。2+162=34{cm）.

???蜘蛛所走的最短路線的長度為34cm

----------------1---------------

/尸

/：

S/一一二N

【點評】本題考查了平面展開-最短路徑問題、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意把立體圖形展

開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑.一般情況是兩點之間，線段最短.在平面圖形上構(gòu)造直

角三角形解決問題.

18.如圖1是邊長為1的六個小正方形組成的圖形，它可以圍成圖2的正方體，一個螞蟻在圖1中的4點,

圍成圖2后，螞蟻從.4點開始沿正方體的棱爬行，求爬到8點的最短距離是多少？

中考撤號

圖1

【分析】根據(jù)正方體的平面展開圖與正方形的關(guān)系，正確找到點力、8的位置即可解決問題.

【解答】解：將圖1中的小正方形圍成圖2的止方形后，點,4、8對應(yīng)的位置如圖，

圖2

---

圖1

所以螞蟻從點4開始沿正方體的棱爬行，爬到B點的最短距離是1.

【點評】本題考查正方體平面展開圖，最短問題等知識，把展開圖圍成正方體是解題的關(guān)鍵，屬于中考

常考題型.

19.如圖,一只杯子的上下底面分別是直徑為5cm和7.5c/?的圓,母線48的長為15aH.

（1）求杯子的側(cè)面積.

（2）從點4出發(fā)，繞著杯子兩圈畫一條裝飾線，終點為力，求裝飾線的最短長度.

nrc?0A

【分析】（1）將紙杯的側(cè)面展開，設(shè)NO的度數(shù)是〃，則根據(jù)弧長的計算公式，可得7.5n=-^—，5n

loU

nrr?（0/1—15）一

=----------，解得O4=45s〃，〃=30°,最后求得紙杯的側(cè)面展開圖的面積；

loU

（2）將兩個紙杯的側(cè)面展開圖拼接在一起，根據(jù)兩點之間線段最短，并運用勾股定理，求得裝飾線的最

短長度即可.

【解答】解：（1）紙杯的側(cè)面展開如圖所示：

中考撤號

延長力8,48,交于點O,

設(shè)NO的度數(shù)是〃，則

nn-OAnn?(OZ-15)

75n=180'5n=

解得：OA=45cm,n=30°,

J80=45-15=30。〃，

307r?452307r302375

???紙杯的側(cè)面展開圖的曲積為：――———=—7T(?！?)；

3603604

(2)如圖所示，將兩個紙杯的側(cè)面展開圖拼接在一起，連接8Q,則8。的長度是裝飾線的最短長度.

O

過B作BE上OD于E,則RtZXBOE中，09=30,NBOE=6D0,

；?OE=15cni,BE=15/皿

：.DE=45-15=30(cm),

2222

：.在RSDE中，8。=\BE+DE=J(15x/3)+30=15^7(cm).

故裝飾線的最短長度為15A斤cm.

【點評】本題考查了平面展開-最短路線問題，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點的綜

合運用，畫出平面展開圖，作輛助線構(gòu)造扇形是解答此題的關(guān)鍵.

20.如圖，四邊形力AHK是邊長為6的正方形，點C,。在邊上，且/C=O8=1,點P是線段。。上

的動點，分別以AP,P8為邊在線段4B的同側(cè)作正方形4WVP和正方形歐QP,E,F分別為MN,QR

為中點，連接￡*凡設(shè)E肝的中點為G,求當(dāng)點。從點C運動到點。時，點G移動的路徑長.

中考撤號

【分析】取K〃的中點〃，連接44ET,AT,PE,PF,PT,BF,TF.想辦法證明四功形PCM是平行

四邊形，推出GP=GT,推出G的運動軌跡是△TCO的中位線，由此即可解決問題.

【解答】解：取KH的中點"，連接4E,ET,AT,PE,PF,PT,BF,TF.

：,AM=MN,/AMN=900

,:ME=EN,

AM

.*.777=2,

ME

???四邊形月是正方形,

:?AK=KH,ZK=90°,

?:KT=TH,

AK

：，KT=2t

.AMAK

，*'ME=~KTt

AMME

，，~AK=~KT，

???4ME=/K=90°,

???△AMES/\AKT,

:.NMAE=NKAT,

：.A.E.7共線，

同理可證：B,凡r共線,

中考撤號

AMPQ

*ME~QF~Z，

AMME

,,PQ=QF'

VZA\fE=ZPQF=90Q,

???XAMES^PQF,

：.ZAEM=NPFQ,

*：AB//MN//QR,

：.ZPAE=NMEA,NBPF=NQFP,

：,NBPF=NP4E,

：.PF//AT,

同法可證：PE//BT,

...四邊形PETF是平行四邊形，

???￡〃與尸7互相平分，即TG=GP,

???G的運動軌跡是△7CO的中位線，軌跡的長=.CQ=；（6?2）=2.

【點評】本題考查軌跡，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題.

21.如圖，△力EC是一塊直角三角板，且NC=90°,ZA=30°,現(xiàn)將圓心為點。的圓形紙片放置在三角

板內(nèi)部.

（1）如圖①，當(dāng)圓形紙片與兩直角邊4C、8c都相切時。，試用直尺與圓規(guī)作出射線CO；（不寫作法與

證明，保留作圖痕跡）

（2）如圖②，將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC=9,圓形紙

片的半徑為2,求圓心。運動的路徑長.

圖①圖②

中考撤號

【分析】(1)作N4C4的平分線得出圓的一條弦，再作此弦的中垂線可得圓心O,作射線CO即可;

(2)添加如圖所示輔助線，圓心。的運動路徑長為6OOQ,先求出△/14C的三邊長度，得出其周長,

證四邊形Of。。1、四邊形Oi3，G、四邊形OO2//7均為矩形、四邊形OECF為正方形，得出/。0。2=

60°=AABC,/。|0。2=90"，從而知△OQ。2s/XCB人利用相似三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【解答】解：(1)如圖①所示，射線CO即為所求；

A

(2)如圖,圓心如的運動路徑長為Cz\00102,

圖②

過點O］作O|Q_L8C、O{FYAC.O\GVAB,垂足分別為點。、F、G,

過點。作O￡_L4C,垂足為點￡,連接3從

過點。2作O2“~U3,O2/-LAC,垂足分別為點〃、/,

在RtZ\<8C中，ZACB=90c、ZJ=30°,

BCl

：.AC=~~—=^=9V3>45=240=18，N4BC=60°，

tan300玄

:.C^ABC=9+9A/3+18=27+9、氏

中考撤號

'：O\DLBC.O\G1.AB,

G為切點，

:.BD=BG,

在RtAOi5D和Rt△d8G中,

..CBD=BG

?10避二0/'

???△OiBO之ZXQBG(HL),

：.ZO[BG=ZO[BD=30°,

在RtZ\Q4。中，NQQ4=9()°,NQ8Q=30°,

OiD￡-

,?8O=^^=W=2、J3

???。0=9-2-2次=7-2曲,

?：O1D=OE=2,OyDVBC,OE工BC,

：?O\D〃OE,且O]O=OE,

???四邊形OEDOi為平行四邊形，

VZOED=90°,

，四邊形OEQOi為矩形，

同理四邊形。1。2〃6、四邊形。。2用、四邊形OEC/為矩形,

又OE=OF,

???四邊形OEC戶為正方形，

???NO|G〃=NCQO|=90°,/力8C=60°,

：.ZGOiD=\20°,

又???/")]￡)=NO2OIG=9()°,

???/001。2=360°-90°-90°-120°=60°=NABC,

同理，NQOO2=90°,

???△OOGs/XCB/L

.C^oo1o2。1。20△。。1。27—2y/3

??—,KIJ__—，

C^ABCBC27+9X(39

.'"△OOQ=I5+、G,即圓心。運動的路徑長為15+A/3.

【點評】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖、切線的判定與性質(zhì)、矩形和正方形的判定與性質(zhì)及相似三角形

中考撤號

的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、矩形和正方形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

22.如圖，是。。的直徑，M,N是俞（異于點B）上的兩點，點C是點上的一動點，N4C8的平

分線交。。于點力，力。的平分線交C力于點￡

（I）試探究。E與的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論；

（2）設(shè)。。的半徑為「，當(dāng)點C在從點M運動到點N時，點C的運動路徑長為4，點上的運動路

徑長為/2,求m的值.

42

【分析】（1）結(jié)論：AB=*DE.想辦法證明即可解決問題.

（2）如圖2中，設(shè)0。的半徑為廣，4MON=a.連接OM,ON,OD.由。/=。石，推出點E的運動軌

跡是圖中E'R,證明NMON=ga,利用弧長公式，解決問題即可.

【解答】解：（1）如圖1中，結(jié)論：AB"2DE.

理由：連接40,BD.

圖1

，；CD平分NACB,

???/ACD=NBCD,

AD=BD,

:?AD=BD,

???力4是直徑，

，NACB=NADB=90°,

中考撤號

/.ZACD=ZDAB=45a,

??1￡平分NC/14,

：.NCAE=NB4E,

,?ZAED=NCAE+NACE,NDAE=NBAD+NBAE,

/.ZDAE=NAED,

；?AD=DE,

???△48。是等腰直角三角形，

:.AB=WAD,

：,AB=避DE.

(2)如圖2中，設(shè)。。的半徑為廠，ZMON=a.連接OM,ON,OD.

圖2

；DA=DE,

??點E的運動軌跡是圖中E'E〃，

：OM=ON=OD,

??ZODM=ZOMD,ZODN=ZOND,

\ZOMD+ZODM+ZODN+ZOND=2(ZODN+ZODM)=2/MON,

1

ZMON=~乙a,

arc-r_：?a?r?揚_an.揚

,?h=h=--------------=-----------

180'180360

a/r?r

h_180

T=art-<2r=、份.

360

【點評】本題考查軌跡，圓周角定理，弧長公式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和

性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型.

中考撤號

23.如圖，把RtZX/lBC的斜邊川！?放在直線L上，按順時針方向在￡上轉(zhuǎn)動兩次使它轉(zhuǎn)到△。以'的位置，

設(shè)BC=?AC=\,則點A運動到點D的位置時，點A經(jīng)過的路線長是多少？點A經(jīng)過的路線與直線L

所圍成的面積是多少？

【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出N48C的度數(shù)，進而可得出的度數(shù)，由勾股定理求出力3

的長，根據(jù)弧長公式及扇形的面積公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：???1C=G，AC=\,

A。1lo_______

tanZABC=TTT=不=,AB—+（73）2=2,

AZJ5C=30°,

：?NCBF=150°,

150TTx290TTX1137r

???點力經(jīng)過的路線長=----------+----------=-----

1801806

150TTx490nx1237r

???點A經(jīng)過的路線與直線L所圍成的面積=----------+=

360-----360------12

【點評】本題考查的是軌跡，熟記弧長公式和扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

24.如圖，力用為。。的直徑，且48=4,點。在半圓上，OCL4B,垂足為點O,P為半圓上任意一點（不

與點C重合），過P點作PE_L0C于點E,設(shè)△OPE的內(nèi)心為連接OM、PM.

（1）求NOMP的度數(shù)；

（2）當(dāng)點P在半圓上從點8運動到點力時，求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長.

【分析】（1）先判斷出NM0P=N〃0C,4MPO=/MPE,再用三角形的內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況，當(dāng)點M在扇形8OC和扇形4。。內(nèi)，先求出NCMO=135°,進而判斷出點M的軌

跡，再求出/0。。=90°,最后用弧長公式即可得出結(jié)論.