雙曲線的基本知識(shí)點(diǎn)一、雙曲線的定義1.1第一定義（核心定義）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F?、F?的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|F?F?|且大于0）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距，記為2c（c>0），定義中的常數(shù)記為2a（a>0，且2a<2c，即a<c）。數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，兩焦點(diǎn)F?、F?，則P的軌跡為雙曲線?||PF?|-|PF?||=2a（0<2a<|F?F?|=2c）。注意：若2a=|F?F?|，則點(diǎn)的軌跡是兩條分別以F?、F?為端點(diǎn)，沿著F?F?所在直線向外的射線；若2a≥|F?F?|，則點(diǎn)的軌跡不存在；若去掉“絕對(duì)值”，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支（|PF?|-|PF?|=2a對(duì)應(yīng)右支，|PF?|-|PF?|=2a對(duì)應(yīng)左支）。1.2第二定義（離心率定義）平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（定點(diǎn)F不在定直線l上）的距離的比等于常數(shù)e（e>1）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。其中定點(diǎn)F叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線l叫做雙曲線的相應(yīng)準(zhǔn)線，常數(shù)e叫做雙曲線的離心率。數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，定點(diǎn)F，定直線l，點(diǎn)P到l的距離為d，則P的軌跡為雙曲線?|PF|/d=e（e>1）。說明：雙曲線有兩個(gè)焦點(diǎn)，對(duì)應(yīng)兩條準(zhǔn)線，左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)左準(zhǔn)線，右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)右準(zhǔn)線。二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分為兩種形式，取決于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，核心是“焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，對(duì)應(yīng)軸的變量項(xiàng)為正”。2.1焦點(diǎn)在x軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程形式：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）關(guān)鍵參數(shù)與坐標(biāo)：焦點(diǎn)坐標(biāo)：F?(-c,0)，F(xiàn)?(c,0)，其中c2=a2+b2（核心關(guān)系式，a、b、c的關(guān)系區(qū)別于橢圓）；實(shí)軸長(zhǎng)：2a，實(shí)半軸長(zhǎng)為a；虛軸長(zhǎng)：2b，虛半軸長(zhǎng)為b；頂點(diǎn)坐標(biāo)：A?(-a,0)，A?(a,0)（僅實(shí)軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)，虛軸端點(diǎn)不是頂點(diǎn)）。2.2焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程形式：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）關(guān)鍵參數(shù)與坐標(biāo)：焦點(diǎn)坐標(biāo)：F?(0,-c)，F(xiàn)?(0,c)，其中c2=a2+b2（與焦點(diǎn)在x軸上的核心關(guān)系式相同）；實(shí)軸長(zhǎng)：2a，實(shí)半軸長(zhǎng)為a；虛軸長(zhǎng)：2b，虛半軸長(zhǎng)為b；頂點(diǎn)坐標(biāo)：A?(0,-a)，A?(0,a)。2.3標(biāo)準(zhǔn)方程的判斷方法1.看正負(fù)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2項(xiàng)與y2項(xiàng)異號(hào)，正項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸即為焦點(diǎn)所在軸；2.定參數(shù)：正項(xiàng)分母的算術(shù)平方根為實(shí)半軸長(zhǎng)a，負(fù)項(xiàng)分母的算術(shù)平方根為虛半軸長(zhǎng)b，再根據(jù)c2=a2+b2計(jì)算焦距2c。例如：方程$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$，x2項(xiàng)為正，焦點(diǎn)在x軸上，a2=4（a=2），b2=5（b=√5），c2=4+5=9（c=3），焦點(diǎn)為(±3,0)。三、雙曲線的幾何性質(zhì)以焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）為例，講解核心幾何性質(zhì)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線性質(zhì)可類比推導(dǎo)。3.1范圍由$\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}≥1$可得x2≥a2，即x≤-a或x≥a；y的取值范圍為R（全體實(shí)數(shù)）。說明：雙曲線位于直線x=-a左側(cè)和x=a右側(cè)的區(qū)域，向兩側(cè)無限延伸，無界。3.2對(duì)稱性雙曲線關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)都對(duì)稱。x軸和y軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心（又稱中心）。3.3頂點(diǎn)雙曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，頂點(diǎn)為A?(-a,0)、A?(a,0)，共2個(gè)頂點(diǎn)。相關(guān)概念：實(shí)軸為A?A?，長(zhǎng)度為2a；虛軸為過原點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的線段，端點(diǎn)為B?(0,-b)、B?(0,b)，長(zhǎng)度為2b；a、b分別為實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)，通常a>0，b>0，且a與b的大小關(guān)系不確定（區(qū)別于橢圓中a>b）。3.4離心率1.定義：雙曲線的離心率e=c/a（其中c2=a2+b2，c>a>0）；2.范圍：由c>a>0可得e>1；3.幾何意義：e越大，雙曲線的開口越開闊；e越接近1，雙曲線的開口越狹窄（e反映雙曲線開口大小的程度）。3.5準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，有兩條準(zhǔn)線，分別為左準(zhǔn)線l?：x=-a2/c，右準(zhǔn)線l?：x=a2/c；焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，準(zhǔn)線方程為上準(zhǔn)線l?：y=a2/c，下準(zhǔn)線l?：y=-a2/c；性質(zhì)：準(zhǔn)線與對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)位于中心兩側(cè)，且到中心的距離為a2/c。3.6漸近線方程（雙曲線特有性質(zhì)）1.定義：雙曲線向無限遠(yuǎn)處延伸時(shí)，逐漸接近但永不相交的兩條直線叫做雙曲線的漸近線；2.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的漸近線方程：y=±(b/a)x，可變形為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$推導(dǎo)得出；3.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$的漸近線方程：y=±(a/b)x，可變形為$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=0$推導(dǎo)得出；4.常用結(jié)論：若雙曲線的漸近線為y=±kx（k>0），可設(shè)雙曲線方程為k2x2-y2=λ（λ≠0），根據(jù)具體條件確定λ的值（λ>0時(shí)焦點(diǎn)在x軸上，λ<0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上）。3.7焦點(diǎn)半徑公式焦點(diǎn)半徑是指雙曲線上任意一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$中：1.若P(x?,y?)在右支上，則|PF?|=ex?+a，|PF?|=ex?-a（F?為左焦點(diǎn)，F(xiàn)?為右焦點(diǎn)）；2.若P(x?,y?)在左支上，則|PF?|=-ex?-a，|PF?|=-ex?+a；記憶規(guī)律：“右支加左支減，焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)符號(hào)”，核心依據(jù)是雙曲線的第二定義推導(dǎo)得出。四、雙曲線的特殊形式4.1等軸雙曲線1.定義：實(shí)半軸長(zhǎng)a與虛半軸長(zhǎng)b相等的雙曲線叫做等軸雙曲線；2.標(biāo)準(zhǔn)方程：x2-y2=a2（焦點(diǎn)在x軸上）或y2-x2=a2（焦點(diǎn)在y軸上）（a>0）；3.性質(zhì)：①離心率e=√2（由c2=a2+b2=2a2得c=√2a，故e=c/a=√2）；②漸近線方程為y=±x，且漸近線互相垂直；③等軸雙曲線的方程可表示為xy=k（k≠0），此形式為雙曲線的斜坐標(biāo)系形式，漸近線為x=0和y=0。4.2共軛雙曲線1.定義：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線；2.示例：雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的共軛雙曲線C'：$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$；3.性質(zhì)：①兩者有相同的漸近線y=±(b/a)x；②兩者的離心率e?、e?滿足1/e?2+1/e?2=1（推導(dǎo)：e?=c?/a，c?=√(a2+b2)；e?=c?/b，c?=√(a2+b2)，代入可證）；③兩者的焦點(diǎn)共圓，圓心為原點(diǎn)，半徑為√(a2+b2)。五、雙曲線的方程求法（常見題型）5.1定義法若已知條件滿足雙曲線的第一定義（即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為常數(shù)），可先確定a的值，再找到兩焦點(diǎn)坐標(biāo)確定c的值，最后由c2=a2+b2求出b2，進(jìn)而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程。步驟：①判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合雙曲線第一定義；②求2a（距離差的絕對(duì)值）和2c（兩焦點(diǎn)間距離）；③計(jì)算b2=c2-a2；④根據(jù)焦點(diǎn)位置寫標(biāo)準(zhǔn)方程。5.2待定系數(shù)法已知雙曲線的焦點(diǎn)位置或漸近線等特征，設(shè)出對(duì)應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入已知條件求解參數(shù)a2、b2。常見設(shè)法：①若明確焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）；②若明確焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）；③若焦點(diǎn)位置不確定，設(shè)方程為Ax2+By2=1（A·B<0，A>0時(shí)焦點(diǎn)在x軸上，B>0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上）；④若已知漸近線為y=±kx，設(shè)方程為k2x2-y2=λ（λ≠0）。六、易錯(cuò)點(diǎn)與注意事項(xiàng)1.區(qū)分雙曲線與橢圓的核心差異：①定義上，橢圓是“距離和為常數(shù)”，雙曲線是“距離差的絕對(duì)值為常數(shù)”；②a、b、c的關(guān)系，橢圓中c2=a2-b2（a>b>0），雙曲線中c2=a2+b2（c>a>0，b可大于