第16講平面向量及其應(yīng)用

學(xué)校姓名____________班級

一、知識梳理

1.平面向量基本定理

(1)平面向量的基底

平面內(nèi)丕共線的兩個向量。與力組成的集合｛mb｝,常稱為該平面上向量的一

組基底，如果c=xa+)E則稱刀。十)必為c在基底｛〃，b\呈的分解式.

(2)平面向量基本定理

如果平面內(nèi)兩個向量a與b不共線，則對該平面內(nèi)任意一個向量c,存在唯一

的實數(shù)對(x,y),使得c=m+y〃.

2.平面向量的坐標(biāo)

一般地，給定平面內(nèi)兩個相互垂直的單位向量0,。2,對于平面內(nèi)的向量〃，

如果a=xei+ye2,則稱(x,y)為向量a的坐標(biāo),記作。=(x,y).

3.平面向量的坐標(biāo)運算

(1)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示

假設(shè)平面上兩個向量a,b滿足a=(xi,>'i),0=(x2,”)，則a±b=(x\±X2,

yi±V2)>Aa=(ZxuAyi)UR),“a±vb=(MXI±0x2,1，pCR).

(2)向量模的坐標(biāo)計算公式

如果向量〃=a，)，)，則㈤=、昌”.

(3)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(xi,yi),Bg,5'2),

則勸=(X2—XI，V2—yi),

\AB\=\j(r―xi)2+(丁―yi)

4.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,yi),5=Qz)2),則?！ǚ?X2yi=xi)2

5.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

(1)向量的夾角：給定兩個非零向量a,b,在平面內(nèi)任選一點O,作為=a,

OB=b,則稱［0,兀］內(nèi)的工A。底為向量。與向量。的夾角，記作〈。，b).

(2)向量的垂直：當(dāng)(〃，b)=，時，稱向量〃與向量力垂直，記作〃_L力.規(guī)定雯

向量月任意向量垂直.

(3)數(shù)量積的定義：一般地，當(dāng)。與b都是非零向量時，稱㈤依cos〈mb〉為向

量〃與力的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積)，記作ab,即〃仍=|〃||〃|cos〈a,b).

(4)數(shù)量積的兒何意義：①投影向量：設(shè)非零向量俞=〃，過A,B分別作直線/

的垂線，垂足分別為A,夕，則稱向量通二為向量。在直線/上的投影向量或

投影.

②投影的數(shù)量：一般地，如果。，b都是非冬向量，則稱⑷cos〈a,b)為向量

。在向量b上的投影的數(shù)量.投影的數(shù)量與投影的長度有關(guān)，投影的數(shù)量既可能

是非負(fù)數(shù)，也可能是負(fù)數(shù).

③兩個非零向量0,b的數(shù)量積ab,等于。在向量力上的投影的數(shù)量與b的模

的乘積.

6.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量0=(X1,)，1),)=(X2,刈，?為向量〃，力的夾角.

(1)數(shù)量積：。?力=1。1山Icos-=xi型+y』y2.

(2)模：同=/^=汽才+行.

n、五必Qab-+速”

⑶夾角：cos。一同|獷好靜扃正

(4)兩非零向量a.Lb的充要條件：。力=0=xiX2+w”=0.

(5)|a創(chuàng)(當(dāng)且僅當(dāng)a//b時等號成立)<=>|.TLr2+yMW當(dāng).

7.平面向量數(shù)量積的運算律

(1)0防="0(交換律).

(2)加力=4〃2)=〃?(乃)(結(jié)合律).

(3)(a+〃>c=Q-c+"c(分配律).

8.平面幾何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；

（3）把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

二、考點和典型例題

1、平面向量基本定理

【典例1-1】(2022.江蘇蘇州.模擬預(yù)測)在“AC中，力二，點。在線段A3上，點￡在

線段AC上，且滿足2AQ=O4=2,AE=EC=2,CD交BE于F,設(shè)施=￡,AC=b^則

AFBC=()

6八17-29、32

A.—B.—C.—D?—

5555

【答案】B

【詳解】

設(shè)加=2。心，加=〃麗，因為

AF=z4D+DF=->4B+zDC=-/\fi+/l(DA+/\C)=-A5+/l(-->4fi+^C)=—+

3

AF=AE+EF=-AC+^EI3=-AC+^(EA+AB)=-AC+^--AC+Ali)=^-AC+pA^

22222

1-2

1=-

c=45

所以有，3=

1=丸1，

2

因此?.濟=g福+,玄)(-福+而)=弓通2+日?布,

因為A=g,AB=3,AC=4,

?

一.innmai——一二121117

M以AFBC=A尸8C=——x9+—xl6——x3x4x—=—,

55525

故選：B

【典例1-2】（2022?江蘇?南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）已知麗，花均為單位向量，且滿

1—-iiiiuuuiu

足2。4+。8+。。=。，則ABAC的值為（）

【答案】B

【詳解】

DC

A.1ICID.2

【答案】C

【詳解】

=4月+=+.，而而=亞—麗,

m

故V="7(而+g回+“(4方-碼=(〃?-〃)麗+一+77AD

2f

4

m-n=\〃？=一

______imwuiiu35

而衣=麗+工方且不共線，故｛6|==>/〃+〃=一

—+/?=!13

2n=-

3

故選：C.

【典例1-5]（2022?黑龍江?哈九中模擬預(yù)測（文））設(shè)高，出是平面內(nèi)兩個不共線的向量，

—.,_?I

AB=(a-\)e+e2AC=2be-eya>0,b>0,若A,B,C三點共線，則一十7的最小

]ttab

值是（)

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【詳解】

因為A,B,C三點共線，所以向量而、衣共線,

所以存在丸ER,使得麗=小/，即（。-1）1+工2=4（如一Z）,

即(a—l”i+62=2Abe\-Aei，

a-\—2bZ

因為不、馬不共線，所以〈1,,消去4,得〃+2Z>=l,

1=-x

?1（21A(a+2b)=4+-^+—>4+2^——=4+2x2=8,

因為a>0,b>0,所以二十7=一+二

ab\ab）

當(dāng)且僅當(dāng)〃=：,人=）時，等號成立.

24

故選：A

2、坐標(biāo)運算及其數(shù)量積

【典例2-1】(2022?湖北?華中師大一附中模擬預(yù)測)已知向量￡=(〃?,3),5=(l,m),若2

與B反向共線，則0-的值為(

B.48C.473D.3顯

【答案】C

【詳解】

由題意4=3,得加=±⑺，

又方與7反向共線,故m=-6,此時2-6石=(-26,6),

故忖-也耳必后

故選：C.

【典例2-2】(2022?全國?二模(理))已知向量Z=(x,y),5=(1,2),c=(-l,l),若滿足

a//b^bl(a-c),則向量￡的坐標(biāo)為()

A?(島63)JB.回(36]C.(2\'\D.㈤2]

【答案】D

【詳解】

解:因為向量，=*4),=(1,2),c=(-l,l),

所以D=(x+l,y-l),

又bL(a-c),

5

所以

2

所以向量公的坐標(biāo)為仁司，

故選：D.

【典例2-3】(2022?河南?高三階段練習(xí)(理))在長方形A3C。中，/W=2,AC=2氐點、

團在邊A3上運動，點N在邊AO上運動，且保持MN=2,則iNC+Wdl的最大值為

)

A.2萬B.2V13c.VnD.V13

【答案】A

【詳解】

解：如圖，以A為原點，A3所在的直線為％軸，AO所在的百線為丁軸，建立平面直角坐

標(biāo)系，

/.BC=sjAC2-AB2=V20-4=4.

則4(0,0),C(2,4),。(0,4),

TT

設(shè)ZAMV=。，則0領(lǐng)妙一，

2

則AM=2cose,AN=2sin。，

..M(2cos“0),N(0,2sin〃)，

「?Nt=(2.4-2sin。)，A/d=(2-2cos6?.4),

NC+MC=(4-2cosO,8-2sin夕)，

|Ar+A7c|2=(4-2cos6>)2+(8-2sin^)2=84-16(2sin^+cos6>)=84-16x/5sin(6?+^),其中

I%/3點

tan(p=-<—=tan-?

236

.乃2TT

..—<0+(p<—,

63

當(dāng)〃=0時，|^C+MC|2=68,當(dāng)6=］時，卜。+M4=52,

.?.當(dāng)。=0時，|而+西取得最大值，最大值為2折.

故選：A.

【典例2-4】(2022?河南?方城第一高級中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知向量，否為單位向量,

口+崗=.一電60),則(與否的夾角為()

_2兀

D.—

3

【答案】C

【詳解】

由卜+/14=卜日一.(4工0),兩邊平方可得：

a~+2Aab+A2b=A2a-2Aab+b^?

因為向量￡，B為單位向量，

所以1+2乂,+42=%-2%?6+1，即十(2@=。.

因為/1聲0,所以Z石=0,即3與方的夾角為楙.

故選：C

【典例2-5】(2022?內(nèi)蒙古?滿洲里市教研培訓(xùn)中心三模(文))若「二(2,-石卜

-7T7T

/?=(2sin-,2cos-),下列正確的是()

66

A.b//(a-b)B.bA.(a-b)

C.口在囚方向上的投影是D.<.a+b)l(a-b)

【答案】C

【詳解】

由已知〃二（2,-百），b=（1,5/3）?

所以不一B=（2,—6）一（1,有）=（1,—26）,?+^=（2,-V3）+（l,V3）=（3,O）,

因為lx（-2G）-Gxl工0,所以尻不平行，A錯，

因為lxl+Gx（—26）工0,所以反力-日不垂直，B錯,

ab_2x1-島石

因為&在B方向上的投影為C對,

因為1x3+（—26卜0/0,所以2+￡@一5不垂直，D錯,

故選：C.

3、綜合應(yīng)用

【典例3-1】（2022?北京?潞河中學(xué)三模）已知菱形A8CO的邊長為g//WC60,則

DBCD=（）

A32n32-3■?

A.一一a-B.一一a-C.-fl-

244

【答案】A

【詳解】

解：DB=DA+AB=-BC-BA,CD=BA,

則。片.。力=（一8。一函）8印=一8心.朋一8/=一；/一々2

故選：A.

A______________D

【典例3-2】（2022.北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)三模）已知向量23滿足W=2,與石的夾角為

60,則當(dāng)實數(shù)4變化時，仍-丸￡|的最小值為（

A.73B.2c.x/ioD.2./3

【答案】A

【詳解】

如圖，設(shè)況=7o8=B,,

當(dāng)伍-匈j_d時，|〃一而|取得最小值，

過3作3EJL0A,即|坂-〃|取得最小值為忸同，

因為￡與B的夾角為60,

所以ZBOA=60°,4BEO=90。,|0q=2,

所以|陽=百.

故選：A.

【典例3-3】（2022?內(nèi)蒙古赤峰?三模（文））若向量2,3滿足同=1,|4=2,

7（%+耳）=5,則Z與丐的夾角為（）

2En￡—D—

A*6*3c*3*6

【答案】B

【詳解】

解:因為同=1,忖=2,亂（泊+%）=5,所以薪+3￡/=5，

即2停+3/坂=5,所以力=1，設(shè)Z與坂的夾角為夕，

ab14

則8s夕=麗=5,因為0句°，句，所以。=《；

故選：B

【典例3?4】（2022?重慶八中模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形A8C。中，E是8c的中點,

#=2而，。石與斯相交于O.若AD=2,而?（3而-2而）=-7,則48的長為

（）

【答案】C

【詳解】

在平行四邊形A8CO中，E是8c的中點，聲=2而，OE與8F相交于O.

設(shè)力。=4。百(0<4<1),BO=/JBF[0<JU<\)

則A￡j+。。=AD+ADE=AD+A(A月一gA》

A2+8。=AA+=A*+〃(AZ5—|AN)=(1—A月+〃A。.

由血=而+前=而+旃，可得(l—g，)A月+〃A￡i=\-^Z^AD+XAB

Z=-

2_______3___1___

則2，解之得-則行=而+而=彳而+耳而

3

1-鏟=4

則10?（3A/5_2A田=（1八萬+；八8）（3八/5_2/4用=々珂2_|同2=_7

又40=2,則9一|而『=_7,解之得卜8=4,即A4的長為4

故選：C

【典例3-5】（2022?寧夏?平羅中學(xué)三模（文））己知函數(shù)/（"=〃；?小向量

n=(sinx+cosx,>/3cosx),/n=(cosx-sinx,2sinA),在銳角△48C中內(nèi)角A,8,C的對邊

分別為a，〃，c，

⑴若/(A)=l,求角A的大小;

(2)在(1)的條件下，4=6,求c+匕的最大值.

【