第十章計(jì)數(shù)原理、概率10.3二項(xiàng)式定理數(shù)學(xué)內(nèi)容索引必備知識(shí)回顧關(guān)鍵能力提升第一部分第二部分考點(diǎn)1通項(xiàng)公式的應(yīng)用考點(diǎn)2二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問題0102考點(diǎn)3二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用03課時(shí)作業(yè)第三部分1．能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理．2．會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題．自主學(xué)習(xí)·基礎(chǔ)回扣必備知識(shí)回顧第分部一1．二項(xiàng)式定理教材回扣k＋12n3．楊輝三角的性質(zhì)(1)最外層全是1，第二層（含1）是自然數(shù)列1，2，3，4，…，第三層（含1，3）是三角形數(shù)列1，3，6，10，15，….1．判斷（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）(2)(a＋b)n的展開式中每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān)．(

)(4)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)就是二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)．(

)×√√×基礎(chǔ)檢測2．（人教A版選擇性必修第三冊P35T6(1)改編）在(2x－1)8的展開式中，x2的系數(shù)為______．1123．（人教A版選擇性必修第三冊P38T5(5)改編）(x2＋x＋y)7的展開式中x5y3的系數(shù)為______．4．(1－3x)7的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為________．解析：令x＝1，可得所有項(xiàng)的系數(shù)之和為(1－3)7＝(－2)7＝－128.140－128互動(dòng)探究·考點(diǎn)精講關(guān)鍵能力提升第分部二考點(diǎn)1通項(xiàng)公式的應(yīng)用命題角度1形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式A20規(guī)律總結(jié)求二項(xiàng)展開式中的問題，一般是化簡通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求（求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等），解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)即可．命題角度2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式【例2】

（2024·山東濰坊三模）已知(x＋3)·(x＋2)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a8(x＋1)8＋a9(x＋1)9，則a8＝(

)A．8

B．10C．28

D．29B規(guī)律總結(jié)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式的問題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏．命題角度3形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展開式【例3】

（2024·山東濟(jì)寧一模）(a2－a＋b)5的展開式中a5b2的系數(shù)為(

)A．－60

B．－30C．30

D．60B規(guī)律總結(jié)求三項(xiàng)展開式中某些指定的項(xiàng)，常常利用這幾種方法：(1)兩項(xiàng)看成一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理展開．(2)因式分解，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二項(xiàng)式再求解．(3)看作多個(gè)因式的乘積，用組合的知識(shí)解答．A．6項(xiàng) B．5項(xiàng)C．4項(xiàng) D．3項(xiàng)D(2)（2024·河北張家口三模）(1－x2)(1＋x)5的展開式中x4的系數(shù)為(

)A．－5 B．5C．－10 D．10AB考點(diǎn)2二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問題命題角度1二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和【例4】（多選）（2024·河南駐馬店二模）已知(4－3x)7＝a0＋a1(1－3x)＋a2(1－3x)2＋…＋a7(1－3x)7，則(

)A．a(chǎn)4＝945C．a(chǎn)0＋a2＋a4＋a6＝213＋26D．a(chǎn)1＋a3＋a5＋a7＝26－213AC命題角度2系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值5規(guī)律總結(jié)1．賦值法的應(yīng)用A．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)B．各項(xiàng)系數(shù)和為0C．x4的系數(shù)為4D．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為16BD考點(diǎn)3二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用【例6】

(1)（2024·湖北荊州三模）已知(3x－1)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024，則a1＋a2＋…＋a2024被3除的余數(shù)為(

)A．3 B．2C．1 D．0D(2)（2024·安徽合肥三模）某銀行大額存款的年利率為3%，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復(fù)利計(jì)算，8年后他能得到的本利和約為(

)A．12.6萬元 B．12.7萬元C．12.8萬元 D．12.9萬元B規(guī)律總結(jié)二項(xiàng)式定理應(yīng)用的題型及解法(1)在證明整除問題或求余數(shù)問題時(shí)要進(jìn)行合理的變形，使被除式（數(shù)）展開后的每一項(xiàng)都含有除式（數(shù)）的因式．(2)二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要用途是做近似計(jì)算：當(dāng)n不是很大，|x|比較小時(shí)，(1＋x)n的近似值可由其展開式的前幾項(xiàng)的和來確定．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】

(1)下列各數(shù)與1.0120最接近的是(

)A.1.20 B．1.21C．1.22 D．1.23C(2)已知x∈Z，且842025＋x能被17整除，則x的值可以是________________．（寫出一個(gè)滿足題意的值即可）1（答案不唯一）課時(shí)作業(yè)70第分部三1．（5分）化簡(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的結(jié)果為(

)A．x4 B．(x－1)4C．(x＋1)4 D．x4－1A2．（5分）（2024·廣東東莞三模）若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，則a2＋a3＝(

)A．10 B．0C．－40 D．130C3．（5分）（2025·山東日照二模）已知(x＋a)5＝p5x5＋p4x4＋p3x3＋p2x2＋p1x＋p0，若p4＝15，則a＝(

)A．1 B．2C．3 D．4解析：由(x＋a)5＝p5x5＋p4x4＋p3x3＋p2x2＋p1x＋p0，且p4＝15，可得C·a＝15，解得a＝3.故選C.CDAA7．（5分）（2024·河北滄州二模）在(x－2y＋3z)6的展開式中，xy2z3的系數(shù)為(

)A．6480 B．2160C．60 D．－2160A8．（5分）22024被9除的余數(shù)為(

)A．1 B．4C．5 D．8BABA．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)C．有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為3810．（6分）（多選）已知(1－2x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，則(

)A．a(chǎn)0＝1B．a(chǎn)1＝18C．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝－1ADADA．x8y-2的系數(shù)為45B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)C．各項(xiàng)系數(shù)之和為1D．系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)或第7項(xiàng)102460