高中2025北京平谷高一（下）期末數(shù)學(xué)2025.7注意事項(xiàng)1．本試卷共4頁(yè)，包括兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．在答題卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)學(xué)校名稱(chēng)、班級(jí)和姓名．3．試題答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5．考試結(jié)束，請(qǐng)將答題卡交回．第一部分選擇題（共40分）一、選擇題（本大題共10題，每題4分，共40分；在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上．）1.設(shè)向量，若，則（）A. B. C. D.62.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在中，角所對(duì)的邊分別為，則（）A. B. C. D.4.平面向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則（）A. B.5 C.1 D.5.已知是不重合的平面，是不重合的直線、下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則6.已知向量滿足，且的夾角為，則（）A. B.1 C.2 D.47.莎士比亞說(shuō)“書(shū)籍是全人類(lèi)的營(yíng)養(yǎng)品”．在這個(gè)充滿變化的時(shí)代，書(shū)籍始終是我們最可靠的伙伴．閱讀不僅能夠豐富你的知識(shí)，更能塑造你的品格，成為你成長(zhǎng)道路上最珍貴的禮物．下圖是國(guó)家圖書(shū)館在2024年1月到7月外借圖書(shū)量（單位：冊(cè)次）的統(tǒng)計(jì)圖：下列說(shuō)法正確的是（）A.這七個(gè)月外借圖書(shū)量的中位數(shù)是12867B.這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是10079C.1月，2月，3月這三個(gè)月外借圖書(shū)量的方差比2月，3月，4月這三個(gè)月外借圖書(shū)量的方差大D.1月，2月，3月，4月這四個(gè)月外借圖書(shū)量的平均數(shù)比2月，3月，4月，5月這四個(gè)月外借圖書(shū)量的平均數(shù)小8.玩陀螺不僅可以釋放往日情懷，找回童年的樂(lè)趣，也可鍛煉人體協(xié)調(diào)性和腕部力量，培養(yǎng)敏銳觀察力．如圖，一個(gè)實(shí)木陀螺近似的看成同底的一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐構(gòu)成．已知這個(gè)陀螺是由一個(gè)底面直徑為6cm．高也為6cm的圓柱實(shí)木制成的，為了陀螺旋轉(zhuǎn)的穩(wěn)定性，設(shè)計(jì)圓柱部分與圓錐部分的高比為，則這個(gè)陀螺的體積最大約為（）A. B. C. D.9.已知平行四邊形，為實(shí)數(shù)，，則“點(diǎn)P在平行四邊形內(nèi)（不含邊界）”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知函數(shù)，則以下正確結(jié)論的序號(hào)為（）①函數(shù)最小正周期是；②函數(shù)最大值與最小值距離為；③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；④對(duì)任意，使得“”成立的充要條件是“”．A.①② B.②④ C.③④ D.②③第二部分非選擇題（共110分）二、填空題（本大題共5題，每題5分，共25分，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上．）11.已知復(fù)數(shù)z滿足，則______．12.已知某校高一年級(jí)1000人，為普及航天知識(shí)，開(kāi)展了航天知識(shí)競(jìng)賽．將成績(jī)（單位：分）分成6組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示：則成績(jī)?cè)诜值挠衉_____人．13.將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則的一個(gè)取值為_(kāi)_____14.已知，，，．則______；若BC邊上一動(dòng)點(diǎn)F，則的最小值為_(kāi)_____．15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是側(cè)面上（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①任意點(diǎn)P，都有；②存在無(wú)數(shù)組點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使得平面；③點(diǎn)P由滑到時(shí)，三棱錐體積逐漸增大；④使得平面的點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．三、解答題（本大題共6題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）16.已知函數(shù)．（1）在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)．求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．17.四棱錐，平面，底面ABCD為菱形，（1）求證：平面；（2）試判斷在PD上是否存在點(diǎn)F，使得平面，說(shuō)明理由．18.已知a，b，c分別為的三個(gè)內(nèi)角A、B，C的對(duì)邊，且．（1）求角B的值；（2）記知，再?gòu)臈l件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一，求AC邊上的高h(yuǎn)．條件①：；條件②：；條件③：．（注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）19.如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，．E、F分別是AB、的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）求三棱錐的體積．20.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示．（1）求的解析式；（2）若函數(shù)，（?。┣蠛瘮?shù)在區(qū)間的最大值和最小值；（ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)的和．21.已知等腰梯形ABCD，，，，且，動(dòng)點(diǎn)Q滿足．（1）設(shè)，求的值；（2）求的值；（3）求的最大值．

參考答案第一部分選擇題（共40分）一、選擇題（本大題共10題，每題4分，共40分；在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上．）1.【答案】C【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，列出方程，求解即得.【詳解】向量，由可得，解得.故選：C2.【答案】B【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.【詳解】，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第二象限.故選：B3.【答案】A【分析】應(yīng)用正弦定理計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：A4.【答案】A【分析】根據(jù)題意建立直接坐標(biāo)系，根據(jù)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算得的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，所以.故選：A5.【答案】C【分析】按照線面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)A，若，則或相交，故錯(cuò)誤；對(duì)B，若，則或，故錯(cuò)誤；對(duì)C，若，則，線面垂直判定定理，故正確；對(duì)D，若，則與相交，平行均可，故錯(cuò)誤.故選：C6.【答案】B【分析】根據(jù)平面向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示和數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】因?yàn)?，且的夾角為，所以，，所以.故選：B7.【答案】D【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義求解判斷A，根據(jù)百分位數(shù)的概念求解判斷B，根據(jù)方差的計(jì)算判斷C，根據(jù)平均數(shù)的含義判斷D.【詳解】國(guó)家圖書(shū)館在2024年1月到7月外借圖書(shū)量分別為，從小到大為，故中位數(shù)是，故A錯(cuò)誤；又，所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是，故B錯(cuò)誤；1月，2月，3月這三個(gè)月外借圖書(shū)量的平均數(shù)為，則其方差為，2月，3月，4月這三個(gè)月外借圖書(shū)量的平均數(shù)為，則其方差為，故1月，2月，3月這三個(gè)月外借圖書(shū)量的方差比2月，3月，4月這三個(gè)月外借圖書(shū)量的方差小，故C錯(cuò)誤；由統(tǒng)計(jì)圖可知1月外借圖書(shū)量遠(yuǎn)小于5月外借圖書(shū)量，所以1月，2月，3月，4月這四個(gè)月外借圖書(shū)量的平均數(shù)比2月，3月，4月，5月這四個(gè)月外借圖書(shū)量的平均數(shù)小，故D正確.故選：D8.【答案】C【分析】設(shè)圓錐部分的高為,則圓柱部分的高為,得,則這個(gè)陀螺的體積為:,進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)圓錐部分的高為,則圓柱部分的高為,依題意得,得,則這個(gè)陀螺的體積為:,因?yàn)?則,得這個(gè)陀螺的體積最大約為:.故選:C9.【答案】A【分析】判斷點(diǎn)P在平行四邊形內(nèi)（不含邊界）是否能推出，以及判斷是否能推出點(diǎn)P在平行四邊形內(nèi)（不含邊界）即可求解.【詳解】由，點(diǎn)P在平行四邊形內(nèi)（不含邊界）可得，，反之，當(dāng)時(shí)，如時(shí)，則點(diǎn)在平行四邊形外部，所以點(diǎn)P在平行四邊形內(nèi)（不含邊界）是的充分不必要條件，故選：A.10.【答案】D【分析】驗(yàn)證是否成立即可判斷①，求函數(shù)最大值與最小值即可判斷②，當(dāng)，求單調(diào)減區(qū)間即可判斷③，當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證是否成立即可判斷④.【詳解】由，故①錯(cuò)誤；由，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)最大值與最小值距離為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)最大值與最小值距離為，綜上函數(shù)最大值與最小值距離為，故②正確；由有，所以，所以，由在單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故③正確；當(dāng)時(shí)，，故④錯(cuò)誤.故選：D.第二部分非選擇題（共110分）二、填空題（本大題共5題，每題5分，共25分，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上．）11.【答案】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法法則化簡(jiǎn)z，然后利用共軛復(fù)數(shù)概念求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)z滿足，則，所以.故答案為：12.【答案】【分析】先求出成績(jī)?cè)诜值念l率，再求出人數(shù)即可.【詳解】因?yàn)槌煽?jī)?cè)诜值念l率為，所以成績(jī)?cè)诜值挠腥?故答案為：13.【答案】（答案不唯一，只要滿足即可）【分析】先利用平移變換法則求得解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心列式求得，即可得解.【詳解】將函數(shù)圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，由題意，所以，當(dāng)時(shí)，.故答案為：（答案不唯一，只要滿足即可）14.【答案】①.②.4【分析】利用余弦定理求出.設(shè)，利用向量線性運(yùn)算得，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律得，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)求解最小值即可.【詳解】，，，所以．設(shè)，則，所以，因?yàn)椋?，即的最小值?.故答案為：；4.15.【答案】①②④【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得判斷①；根據(jù)線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)判斷②；根據(jù)線面平行的判定定理得平面，即可確定錐體的高為定值，又的面積為定值即可判斷③；先作出的面積截面，然后根據(jù)面面平行的判定求出點(diǎn)Q的軌跡，利用勾股定理求其長(zhǎng)度判斷④.【詳解】對(duì)于①，因?yàn)椋?，且，平面，所以平面，又平面，所以，同理，，又，平面，所以平面，而點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，即平面，所以，正確；對(duì)于②，因?yàn)椋遥矫?，所以平面，在中，只要滿足，都有平面，即存在無(wú)數(shù)組點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使得平面，正確；對(duì)于③，因?yàn)镸、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，所以，所以，平面，平面，所以平面，所以直線上各點(diǎn)到平面的距離相等，又的面積為定值，所以三棱錐體積不變，錯(cuò)誤；對(duì)于④，設(shè)直線與直線分別交于，連接，分別交于，連接，則五邊形即為平面截正方體的截面；由于M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，故，由于，故，同理,又，則，則，，同理可求得，，即點(diǎn)為上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為上靠近的三等分點(diǎn)，取點(diǎn)為上靠近的三等分點(diǎn)，連接，則，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)Q的軌跡為，所以，正確.故答案為：①②④三、解答題（本大題共6題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）16.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的概念得，代入函數(shù)的解析式求解即可；（2）根據(jù)二倍角公式和兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榻且詾槭歼叄K邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.17.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）依據(jù)題意得到，底面為菱形，得到，根據(jù)線面垂直判定定理可得結(jié)果；（2）利用中位線定理，線線平行得到線面平行，可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又底面ABCD為菱形，所以，平面，所以平面【小問(wèn)2詳解】存在，點(diǎn)為的中點(diǎn)，理由如下：由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，由平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)得證.18.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理及特殊角的函數(shù)值化簡(jiǎn)求解即可；（2）選擇條件①：利用余弦定理求得或，故不唯一，不符合題意；選擇條件②：由余弦定理求得，進(jìn)而等面積法求得AC邊上的高h(yuǎn)；選擇條件③：由同角三角函數(shù)基本關(guān)系得，由兩角和的正弦公式得，由正弦定理得，進(jìn)而求得AC邊上的高.【小問(wèn)1詳解】由，根據(jù)正弦定理得，又，所以，則，即，又，所以.【小問(wèn)2詳解】選擇條件①：，，，由余弦定理得，所以，即，解得或，故不唯一，不符合題意；選擇條件②：，，，由余弦定理得，所以，即，解得（舍去）或，唯一，符合題意，利用面積公式，所以AC邊上的高；選擇條件③：由題意，，，，角確定為銳角，故唯一，符合題意，所以，又，由正弦定理得，所以AC邊上的高.19.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【分析】（1）取中點(diǎn)M，連接，先證四邊形為平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證出平面；（2）由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，再利用面面垂直的判定定理得平面平面；（3）等體積法求三棱錐的體積即可.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)M，連接，因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以，且，又，且，又為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，故平面；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?wèn)3詳解】因?yàn)槠矫?，，，，所以，所?20.【答案】（1）（2）（?。唬áⅲ痉治觥浚?）根據(jù)函數(shù)圖象求出，根據(jù)圖象過(guò)點(diǎn)得，再根據(jù)最大值點(diǎn)求出即可；（2）（?。└鶕?jù)兩角和差的正弦公式和二倍角公式化簡(jiǎn)得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可；（ⅱ）函數(shù)的零點(diǎn)即方程的，結(jié)合，求出方程的解，進(jìn)而求得零點(diǎn)之和.【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)的圖象，可得，又，所以，即，又，所以，又，即，根據(jù)五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法，可得，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】（ⅰ），因?yàn)?，可得?/p>