5.3.1《平行線的性質(zhì)》

重難點題型專項練習

考查題型一兩直線平行同位角相等的應用

典例1.（2022秋?重慶銅梁?七年級?？茧A段練習）如圖，直線“，6被直線。所截，若?！?,Z2=110°,

則N1的度數(shù)為（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

【答案】A

【分析】由〃〃從根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得N3的度數(shù)，又由鄰補角的定義即可求得N1的

度數(shù).

【詳解】解：如圖：

*：a//b,Z2=110°,

，Z3=Z2=110°,

VZl+Z3=180°,

:.Zl=70°.

故選：A.

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與鄰補角的定義.解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，正確運用數(shù)形

結(jié)合思想.

變式11.（2022?四川德陽?模擬預測）如圖,直線』〃6,將三角尺的直角頂點放在直線b上,如果N2=60。,

那么N1的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出/3,由平角性質(zhì)可知/1=180。-N3-90。即可得出結(jié)論.

va//b,

Z2-Z3-60°,

Zl=180°-90°-Z3=180°-90°-60°=30°,

故選:A.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練運用平行線的性質(zhì)推理是解題的關(guān)鍵.

變式12.（2022?寧夏固原??？寄M預測）如圖，把一個三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，如果/1=23。,

那么/2的大小為（）

A.23°B.46°C.57°D.67°

【答案】D

【分析】根據(jù)余角的定義求出N3,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得N2=/3.

【詳解】解：???4=23。,

???Z3=90°-23°=67°,

???直尺的兩邊互相平行，

???Z2=Z3=67°.

故透:D.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵.

變式13.（2022秋?陜西西安?七年級?？计谥校┤鐖D，將直尺與30。角的三角尺疊放在一起，若Nl=65。,

則N2的大小是（）

A.45°B.55°C.65°D.75°

【答案】B

【分析】由30。：.角尺可知N3=6D。，由平角可求N4,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知N2=N4.

【詳解】解：如圖：

由30°三角尺可知/3=60。，

VZl+Z3+Z4=180°,

???Z4=180°-Zl-Z3=l80°-65°-60°=55S

由平行線的性質(zhì)可知Z2=Z4=55°.

故選:B.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，充分運用三角板和直尺的幾何特征是解題的關(guān)鍵.

考查題型二兩宜.線平行內(nèi)錯角相等的應用

B

A.160°B.140°C.50°D.40°

【答案】B

【分析】利用平行線的性質(zhì)先求解再利用鄰補角的性質(zhì)求解/ECO即可.

【詳解】解：???力4=40。，

???NDCB=NB=4Q0,

???2ECD=180°-NDCB=140°,

故選B.

【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，鄰補用的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵.

變式22.（2022?河南洛陽?統(tǒng)考一模）如圖，N/C。是。的外角，AB//CE,/歷1C=8O。，￡DCE=35。,

則/力。3的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】由DA4C=80°可得D4CE>80°,進而即可求/力。4：

【詳解】9：AB//CE,D^C=80\

：.］）BAC=\）ACE=^t

VDDCE=35°,

ADJC^=180°-（DJCE+DDC￡）=65°.

故選：B.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”定理是解題的關(guān)鍵.

變式23.如圖，直線力4,CQ被直線QE所截，AB//CD,Zl=40°,則/。的度數(shù)為（）

E

AB

C----------------------4D

A.20°B.40°C.50°D.140°

【答案】B

【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等可得出答案.

【詳解】解：VAB//CD,Zl=40",

:.Zl=ZD=40°,

故選：B.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解本題的關(guān)鍵.

考查題型三兩直線平行同旁內(nèi)角互補的應用

典例3.（2022春?黑龍江哈爾濱?匕年級?？茧A段練習）如圖，已知直線Z<7ZTF-130°,

NE"/=135。，則N1+N2的度數(shù)為（）

【答案】D

【分析】由NGE產(chǎn)=130。，NE尸4=135?？傻肗l+N3+N2+N4=265。，由〃C。得/3+/4=180。，進而

可求出/1+N2的度數(shù).

【詳解】解：如下圖所示,

G

?：Z.GEF=130°,

:.Z1+Z3=13O°,

*//EFH=135。,

???Z2+Z4=135°,

???Nl+N3+N2+N4=265°

VABHCD,

:.Z3+Z4=180°,

Z1+Z2=Z1+Z3+Z2+Z4-(Z3+Z4)=265°-180°=85°,

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系.

變式31.如圖，已知直線?！╞,把三角板的直角頂點放在直線b上.若Nl=40。，則/2的度數(shù)為()

A.140°B.130°C.120°D.110°

【答案】B

【分析】根據(jù)互余計算出/3=90,40。=50°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)由得到/2=180。-/3=130。.

【詳解】解：???/1+/3=90。，

???Z3=90o-40o=50°,

?：a//b,

???Z2+Z3=180°.

:.Z2=180°-50°=130°.

故選：B.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并池確識圖是解題的關(guān)鍵.

變式32.(2022秋?福建福州?七年級?？计谥?如圖，AB//CD,N1=70。，則N2=()

【答案】C

【分析】先利用對頂角相等，再利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出答案.

【詳解】解：=70。，

Z3=Z1=70°,

'：ABHCD，

二Z2=180°-Z3=l80°-70°=110°.

【點睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，刈頂角相等，熟練掌握性質(zhì)是解答題的關(guān)鍵.

變式33.如圖，AC〃BD,4E平分NB4c交BD于點、E,若4=66。，則/2=()

BD

A.123°B.128°C.132°D.142°

【答案】A

【分析】如圖：根據(jù)平角的定義及角平分線的性質(zhì)求得/3的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖：

Z1=66°,

，/BAC=180°-Zl=180°-66o=114°,

平分/氏4C

Z3=-Z^C=-xl14"=57",

22

VAC//BD,

:.Z2+Z3=180°,

:.Z2=180°-Z3=180°-57°=l23°.

故選：A.

【點睛】本題主要考杳了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，靈活運用平行線的性質(zhì)是解答本題的

關(guān)鍵.

考查題型四根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系

典例4.（2022秋?重慶銅梁?七年級?？计谥校┤鐖D，已知且NC=110。，則/I與N2的數(shù)量關(guān)系

為.

【答案】Z2=Z1+7O°

【分析】過點C作C/〃力8,則。尸〃力8〃。石，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得角之間的關(guān)系，從而N1與N2的

數(shù)量關(guān)系即可求解.

【詳解】解：過點C作。尸〃彳8,如圖:

則。尸〃

AZ5CF=Z1,ZZ）CF+Z2=180°,

N8c0=110°,

???ZDCF-110o-ZZ?CF-1100-Zl,

.,.I1O°-ZI+Z2=18O°,

:.Z2=Z1+7O°.

故答案為：Z2=Z1+7O0.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出平行線，利用平行線的性質(zhì)得出角之間的關(guān)系.

變式41.（2022?浙江杭州?杭州綠城育華學校?？寄M預測）如圖，已知48〃CO,CE//BFt則N>+NC=

【答案】180。##180度

【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角用等與兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，得到NE〃8=NC,NEHB+/B=180。,

等量代換即可求得N8+NC的值.

【詳解】解：如圖，設44與CE交于點H,

*/AB//CD,CE//BF,

Z.EHB=ZC,Z.EHBiZ^=180°,

:.Z5+ZC=180°.

故答案為：180。.

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是注意兩直線平行，同位角相等與兩直線平行，同旁內(nèi)角

互補定理的應用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.

變式42.（2022秋吶蒙古烏海?七年級?？计谥校┤鐖D，AB〃EF,則NA,ZC,NE滿足的數(shù)量關(guān)系是

【答案】ZJ+ZC+Z^=36（P

【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可直接得到答案.

【詳解】如下圖所示，過點C作CW儲8,

CDHAB,

???/4+48=180。（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補）,

ABHEF,CD//AB,

/.CD//EF,

Z￡+ZDCE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）,

:.LA+ZACD+ZE+ZDCE=360。，

AZJ+ZJCF+Z￡=360°,

??.在原圖中ZA+ZC+ZE=36（T,

故答案為：/4+NC+NE=36（F.

AB

\D

EF

【點睛】本題考查平行直線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

變式43.（2022秋?山東青島?七年級統(tǒng)考期末）如圖,直線AB〃CD,ZAEM=2ZMEN,ZCFM=2ZMFN,

則NM和NN的數(shù)量關(guān)系是.

【分析】利用平行線的性質(zhì)以及已知條件解決問題即可.

【詳解】解：過點M作MJ〃AB,過點N作NK〃AB.

AMJ//AB//CD,NK〃AB〃CD,

AZEMJ=ZAEM,ZFMJ=ZCFM,ZENK=ZAEN,/FNK=NCFN,

/.ZEMF=ZAEM+ZCFM,ZENF=ZAEN+ZCFN,

VZAEM=2ZMEN,ZCFM=2ZMFN,

2

AZAEM+ZCFM=y(ZAEN+ZCFN),

2

即NEMF=,ZENF.

2

故答案為：ZEMF=yZENF.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型.

考查題型五利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

典例5.（2022秋?北京西城?七年級期中）如圖，若4B〃CD,EF與AB,CD分別相交于點E,F,EPLEF,

?。平分線與EP相交于點P,/BEP=2。。,則/PFD=

【答案】350

【分析】由題可求山/“產(chǎn)，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可知在，根據(jù)角平分線的定義可得到

結(jié)果.

【詳解】?；EP工EF,

：.ZPEF=90°,

?：NBEP=20。，

???/BEF=/PEF+ZBEP=110°,

VAB//CD,

:.￡EFD=180°-NBEF=70°,

,/FP平分ZEFD,

2PFD=、NEFD=35°.

2

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與角平分線的定義，以及三角形的內(nèi)角和定理，注意數(shù)形結(jié)合思想是解

題關(guān)鍵.

變式51.（2022春?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第四十九中學校?？茧A段練習）如圖，已知.48〃￡7、

BC//DE,若/4=70。，則NE=°,

【答案】110

【分析】先根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得出N5GE,再根據(jù)“兩直線平行,同旁內(nèi)角互補〃得出答案.

【詳解】如圖所示.

?：AB//EF,

???NS=ABGE=70°.

BC//DF,

...NBGE+NE=180。,

/.Z.E=180°-Z.BGE=110°.

故答案為：110.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，靈活選擇平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式52.如圖，AB//CD,若N,4=40。，ZC=26°,則NE=

【答案】66。##66度

【分析】如圖所示，過點E作七/〃44,則力A〃CO〃M，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等分別求出

ZAEF=40°,Z.CEF=26°,則=N/E/+NCE產(chǎn)=66°.

【詳解】解：如圖所示，過點E作Eb〃川

VEF//AB,AB//CD,

/.AB//CD//EF,

：,ZAEF=ZA=40°,ZCEF=ZC=26°,

:.NAEC=ZAEF+ZCEF=66°,

故答案為：66。.

AB

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線求出/力七/=40。，NCE產(chǎn)=26。是解題的關(guān)鍵.

變式53.將一塊長方形紙折成如圖的形狀，若已知"1=110。，則N2=—。.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到N2的度數(shù).

【詳解】解：如圖所示：

VABHCD,

，ZI=ZJCD=I1O°.

;由折疊可知Z2=NECD=L/ACD,

:./2=55。，

故答案為：55.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，根據(jù)題意正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

考查題型六平行線的判定與性質(zhì)的綜合應用

典例6.（2022秋?陜西渭南?七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點B、C在線段4。的異側(cè)，連接力6、8,點E、

F分別是線段48、CO上的點，連接CE、BF,分別與力。交于點G,H,RZAEG=ZAGE,K=4DGC.

B

￡

HD

G

(1)求證：AB//CD；

(2)若/力GE+N彳180。，求證：Z5=ZC；

⑶在(2)的條件下，若/BFC^NC,求的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

（3）70°

【分析】（1）只需要證明4EG=NC即可證明｛4〃C￡）；

（2）先證明/〃6￡=/力〃/得至1|3尸||?！陝t/8=/4￡6,冉由4EG=NC即可證明=NC；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N8FC+NC=180。，AAHB=ZDGC,再結(jié)合已知條件求出/C的度數(shù)即可得

到答案.

【詳解】（1）證明：'INAEG=/4GE,ZC=ZDGC.乙4GE=NDGC.

:.4EG=/C,

：.AB//CD；

（2）證明：:N/GE+N〃GE=18O。，ZJGE+ZJ//F=180°,

，NHGE=ZAHF,

：.BF\\CEf

：.ZB=/AEG,

又,：4EG=NC,

???N8=NC：

（3）解：由（2）得斯||CE,

Z.Z5FC+ZC=180°,/AHB=NDGC,

又?：ZBFC=—ZC,

7

.,.yZC+ZC=180°,

???ZC=70°,

???NAHB=ZDGC=ZC=70°.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，對頂角相等，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

變式61.(2022秋?廣東東莞?七年級統(tǒng)考期中)如圖，點8,C在線段力。的異側(cè)，點E,廠分別是線段48,

C,〃上的點，已知N1=N2,Z3=ZC.

⑴求證：AB//CD；

(2)若N2+N4=180。，求證：N8尸C+NC=180。；

(3)在(2)的條件下，若N8/(7-30。=2/1,求的度數(shù).

【答案】(1)見解析

⑵見解析

(3)/5=50°

【分析】(1)已知N1=N2,所以N3=N2,又因為N3=NC,可以得出N1=NC

即可判定力4〃C。；

(2)已知N2=N3,Z2+Z4=180°,可以得出BF//EC,即可得出N8R7+NC=180。；

(3)由(1)(2)可知45〃CZ),BFi/EC,可以得出/1=NC,Z5FC+ZC=180°；可以得出

NMC-30。=24=247,可以得出NC,又因為NC=Nl=/8,即可求出N8的度數(shù).

【詳解】(1)證明：?.?Nl=/2,Z3=ZC,N2=/3,

ZI=ZC,

ABIICD,

(2)證明：vZ2+Z4=180°,/2=/3,

...Z3+Z4=180°,

j.BFUEC,

Z5FC+ZC=180°；

(3)vZ5FC+ZC=180°,

vZ5FC-30°=2Z1=2ZC,

:.NBFC=2/C+3。。,

/.2ZC+30°+ZC=180°,

/.ZC=50°,

/.Z5FC=130°,

vAB//CD,

/.NB+ZBFC=180°,

NB-50°.

【點睛】本題考查了對頂角相等，平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

⑴求證：EF〃NP、

⑵若月/平分/9弓，交CD于點H,交NP于點O,且Nl=4。。，ZF//G=10°,求/尸G力的度數(shù).

【答案】（1）見解析

⑵60。

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換得出N8種=/1，即可判定Eb〃NP；

（2）過點/