數(shù)學小能手選拔賽2025年沖刺押題卷一.選擇題。（共10題）

1.若集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x>2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1≤x≤2}B.{x|2<x≤3}C.{x|1<x<3}D.{x|x>2}

2.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)B.(1,∞)C.[1,∞)D.(-∞,1]

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?+a?=18，則a?+a?0等于（）

A.18B.24C.30D.36

4.已知點A(1,2)，B(3,0)，則向量AB的模長為（）

A.2B.3C.√5D.√10

5.函數(shù)g(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.πB.2πC.π/2D.π/4

6.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)的概率是（）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1/6

7.若直線l:ax+by+c=0與x軸平行，則必有（）

A.a=0B.b=0C.c=0D.a≠0且b=0

8.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，則角C等于（）

A.45°B.60°C.75°D.90°

9.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)=2，則f(-1)等于（）

A.-2B.1C.0D.±2

10.若點P在圓x2+y2=4上運動，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是（）

A.0B.√2C.2√2D.4

二.填空題（共10題）

1.若f(x)=x2-2x+3，則f(2)+f(-1)的值等于________。

2.在直角坐標系中，點P(a,b)關(guān)于原點對稱的點的坐標是________。

3.已知等比數(shù)列{a?}中，a?=2，q=3，則a?的值等于________。

4.不等式|3x-1|<5的解集是________。

5.若sinα=√3/2，且α是銳角，則cosα的值等于________。

6.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，兩次都出現(xiàn)正面的概率是________。

7.已知直線l?:y=2x+1與直線l?:ax-3y+4=0平行，則a的值等于________。

8.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，則cosA的值等于________。

9.若函數(shù)h(x)=x3-3x+1，則h(x)的極小值點x等于________。

10.圓(x-1)2+(y+2)2=9的圓心坐標是________。

三.判斷題。（共5題）

1.0是自然數(shù)集合N的一個元素。()

2.兩個不同的平面最多有兩條交線。()

3.若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則其像關(guān)于y軸對稱。()

4.樣本容量為50的一組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)一定等于中位數(shù)。()

5.在等比數(shù)列{a?}中，若a?·a?=a_p（m≠n≠p），則m+n=p。()

四.計算題（共6題）。

1.解方程：2x2-5x+2=0。

2.計算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊a=√2，求邊b的長度。

4.求函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值。

5.計算不定積分：∫(x2+2x+3)dx。

6.已知直線l?:3x+4y-7=0和直線l?:x-y+3=0，求兩條直線夾角的余弦值。

五.應用題。（共6題）。

1.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為萬元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，可變成本增加萬元。若每件產(chǎn)品的售價為萬元，問至少生產(chǎn)多少件產(chǎn)品才能盈利？

2.甲、乙兩地相距千米，一輛汽車從甲地出發(fā)開往乙地，速度為千米/小時。汽車出發(fā)小時后，另一輛汽車從乙地出發(fā)開往甲地，速度為千米/小時。問兩車出發(fā)后多少小時相遇？

3.在一個底面半徑為米，高為米的圓錐形容器中裝滿水，現(xiàn)將水倒入一個底面半徑為米的圓柱形容器中，求水面高度。

4.某校一次考試，滿分100分。已知某班學生成績的平均分為85分，標準差為5分。小明該班學生，成績?yōu)?5分，求小明成績的z得分。

5.某城市公交路線總長為千米，公交車的平均速度為千米/小時。若公交車每隔分鐘發(fā)一輛車，求乘客在起點站等車時間的期望值。

6.為了估計湖中魚的數(shù)量，使用了一種標記重捕法。第一次捕撈了條魚，并標記后放回湖中。幾天后，再次捕撈了條魚，其中有條魚帶有標記。試用此方法估計湖中魚的總數(shù)量。

六.思考題

1.結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，分析它們在現(xiàn)實生活中的應用場景，并舉例說明。

2.試述函數(shù)單調(diào)性的定義，并利用導數(shù)判斷函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2$在區(qū)間$[0,3]$上的單調(diào)區(qū)間。

3.在空間幾何中，如何判斷三個平面兩兩相交的位置關(guān)系？請給出幾何解釋和代數(shù)判別方法。

4.闡述概率論中大數(shù)定律的意義，并說明其在統(tǒng)計推斷中的應用。

5.探討數(shù)列極限與函數(shù)極限的區(qū)別與聯(lián)系，并舉例說明。

6.試分析線性方程組解的存在性與唯一性與其系數(shù)矩陣的關(guān)系，并討論解的幾何意義。

一.選擇題。（共10題）

1.B2.B3.B4.C5.A6.A7.D8.C9.A10.B

二.填空題（共10題）

1.52.(-a,-b)3.184.(-2,2)5.1/26.1/47.-68.3/59.-110.(1,-2)

三.判斷題。（共5題）

1.√2.×3.√4.×5.√

四.計算題（共6題）

1.解：因式分解得(x-1)(2x-2)=0，解得x?=1,x?=1。

2.解：因x→2時，(x-2)是(x3-8)和(x-2)的公因式，

原式=lim(x→2)(x3-8)/(x-2)·(x+2)/(x+2)=lim(x→2)(x+2)=4。

3.解：由正弦定理得b=a·sinB/sinA=√2·√2/2/√3/2=2√6/3。

4.解：因0≤x≤π，則π/4≤x+π/4≤5π/4。當x+π/4=π/2，即x=π/4時，f(x)取得最大值1；

當x+π/4=3π/2，即x=5π/4時，f(x)取得最小值-√2。

5.解：∫(x2+2x+3)dx=1/3x3+x2+3x+C。

6.解：兩直線斜率分別為k?=-3/4，k?=1。設(shè)兩直線夾角為θ，則tanθ=|k?-k?|/(1+k?k?)=7/24，

故cosθ=1/√(1+tan2θ)=24/√(242+72)=24√325/625。

五.應用題。（共6題）

1.解：設(shè)生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則收入為10x萬元，成本為(2+3x)萬元。

依題意，10x>2+3x，解得x>1。因x為正整數(shù)，故至少生產(chǎn)2件產(chǎn)品。

2.解：設(shè)兩車相遇時間為t小時，則甲車行駛距離為40t千米，乙車行駛距離為50(t-1)千米。

依題意，40t+50(t-1)=450，解得t=5。

3.解：圓錐體積V=1/3·π·32·4=12π立方米。設(shè)水面高度為h米，則圓柱體積V=π·22·h=4πh。

依題意，4πh=12π，解得h=3。

4.解：z得分=(x-μ)/σ=(95-85)/5=2。

5.解：設(shè)湖中魚的總數(shù)量為N，則N·(n/N)=m，

依題意，N·(50/N)=10，解得N=500。

6.解：設(shè)湖中魚的總數(shù)量為N，則N·(n?/N)=m?，

依題意，N·(30/N)=6，解得N=180。

六.思考題

1.答：等差數(shù)列在實際生活中可用于計算平均增長量，如某產(chǎn)品每年固定增長100件；等比數(shù)列可用于計算復利或幾何級數(shù)增長，如投資收益按年利率10%增長。

2.答：f'(x)=3x2-6x。令f'(x)>0得x<0或x>2；令f'(x)<0得0<x<2。

故f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(-∞,0)和(2,+∞)上單調(diào)遞增。

3.答：若三個平面交于一條直線，則系數(shù)矩陣的秩為2；若其中兩個平面平行，另一個與它們相交，則系數(shù)矩陣的秩為3；若三個平面兩兩相交但不共線，則系數(shù)矩陣的秩為3。

4.答：大數(shù)