課時(shí)作業(yè)5函數(shù)的單調(diào)性與最值[授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第175頁]一、選擇題1．下列四個(gè)函數(shù)中，在(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－eq\f(1,x＋1)D．f(x)＝－|x|解析：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝3－x為減函數(shù)；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))時(shí)，f(x)＝x2－3x為減函數(shù)；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))時(shí)，f(x)＝x2－3x為增函數(shù)；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,x＋1)為增函數(shù)；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝－|x|為減函數(shù)．答案：C2．(2018·北京東城期中)已知函數(shù)y＝eq\f(1,x－1)，那么()A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1)，(1，＋∞)B．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1)∪(1，＋∞)C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)，(1，＋∞)D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：函數(shù)y＝eq\f(1,x－1)可看作是由y＝eq\f(1,x)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，∵y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴y＝eq\f(1,x－1)在(－∞，1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴函數(shù)y＝eq\f(1,x－1)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1)和(1，＋∞)，故選A.答案：A3．函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)解析：由x2－4>0得x<－2或x>2.又u＝x2－4在(－∞，－2)上為減函數(shù)，在(2，＋∞)上為增函數(shù)，y＝logu為減函數(shù)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)．答案：D4．(2018·河南安陽聯(lián)考)定義新運(yùn)算：當(dāng)a≥b時(shí)，ab＝a；當(dāng)a<b時(shí)，ab＝b2，則函數(shù)f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12解析：由已知得，當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，f(x)＝x－2，當(dāng)1<x≤2時(shí)，f(x)＝x3－2.由f(x)在各段上的單調(diào)性及最值可知f(x)的最大值為f(2)＝23－2＝6.答案：C5．(2018·哈爾濱聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，當(dāng)x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(e)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c>a>bB．c>b>aC．a(chǎn)>c>bD．b>a>c解析：因f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．由此可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))).由x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．∵1<2<eq\f(5,2)<e，∴f(2)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))>f(e)，∴b>a>c.答案：D二、填空題6．函數(shù)y＝x－|1－x|的單調(diào)遞增區(qū)間為________．解析：y＝x－|1－x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥1，,2x－1，x<1.))作出該函數(shù)的圖象如圖所示．由圖象可知，該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．用min{a，b，c}表示a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小值，則函數(shù)f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．解析：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的圖象后，取位于下方的部分得函數(shù)f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的圖象，如圖所示，由圖象可知，函數(shù)f(x)在x＝2時(shí)取得最大值6.答案：68．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋a,x)(a>0)在(2，＋∞)上遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：任取2<x1<x2，由已知條件，得f(x1)－f(x2)＝eq\f(x\o\al(2,1)＋a,x1)－eq\f(x\o\al(2,2)＋a,x2)＝(x1－x2)＋a×eq\f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)×eq\f(x1x2－a,x1x2)<0恒成立，即當(dāng)2<x1<x2時(shí)，x1x2>a恒成立，又x1x2>4，則0<a≤4.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,4]．答案：(0,4]三、解答題9．試判斷函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x2－1)，x∈(－1,1)的單調(diào)性．解析：設(shè)－1<x1<x2<1，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x\o\al(2,1)－1)－eq\f(x2,x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(x2－x1x1x2＋1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1).∵－1<x1<x2<1，∴|x1|<1，|x2|<1，x2－x1>0，xeq\o\al(2,1)－1<0，xeq\o\al(2,2)－1<0，|x1x2|<1，即－1<x1x2<1.∴x1x2＋1>0.∴eq\f(x2－x1x1x2＋1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)>0.因此，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此時(shí)函數(shù)在(－1,1)上為減函數(shù)．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若f(2－x2)>f(x)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．解析：∵當(dāng)x＝0時(shí)，兩個(gè)表達(dá)式對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都為零，∴函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線．∵當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝x3為增函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝ln(x＋1)也是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)．因此，不等式f(2－x2)>f(x)等價(jià)于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.故實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－2,1)．[能力挑戰(zhàn)]11．已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足feq\f(x1,x2)＝f(x1)－f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)證明：f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．解析：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)證明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則eq\f(x1,x2)>1.由于當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，所以feq\f(x1,x2)<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間