16.8整式的乘法(幾何圖形問(wèn)題十二類(lèi)題型)2025—2026學(xué)年(人教版)八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期[答案]題型一：利用整式乘法求矩形面積在人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期關(guān)于整式乘法的幾何圖形問(wèn)題中，求矩形面積是基礎(chǔ)題型。例如，已知一個(gè)矩形的長(zhǎng)為\((3x+2)\)，寬為\((2x1)\)，根據(jù)矩形面積公式\(S=長(zhǎng)×寬\)，則該矩形面積\(S=(3x+2)(2x1)\)。利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，\((3x+2)(2x1)=3x\times(2x1)+2\times(2x1)=3x\times2x3x\times1+2\times2x2\times1=6x^{2}3x+4x2=6x^{2}+x2\)。題型二：求正方形面積若正方形的邊長(zhǎng)為\((2x+3)\)，根據(jù)正方形面積公式\(S=邊長(zhǎng)^{2}\)，則其面積\(S=(2x+3)^{2}\)。根據(jù)完全平方公式\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)，這里\(a=2x\)，\(b=3\)，所以\(S=(2x)^{2}+2\times(2x)\times3+3^{2}=4x^{2}+12x+9\)。題型三：求組合圖形面積（矩形與正方形組合）有一個(gè)組合圖形，由一個(gè)邊長(zhǎng)為\((x+1)\)的正方形和一個(gè)長(zhǎng)為\((2x+3)\)、寬為\((x2)\)的矩形組成。先分別求出正方形和矩形的面積，正方形面積\(S_{1}=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1\)，矩形面積\(S_{2}=(2x+3)(x2)=2x\timesx2x\times2+3\timesx3\times2=2x^{2}4x+3x6=2x^{2}x6\)。那么組合圖形的面積\(S=S_{1}+S_{2}=x^{2}+2x+1+2x^{2}x6=3x^{2}+x5\)。題型四：求陰影部分面積（整體圖形減去空白部分）如圖，大矩形的長(zhǎng)為\((3x+4)\)，寬為\((2x+3)\)，里面有一個(gè)邊長(zhǎng)為\((x+1)\)的小正方形空白區(qū)域。先求大矩形面積\(S_{大}=(3x+4)(2x+3)=3x\times(2x+3)+4\times(2x+3)=6x^{2}+9x+8x+12=6x^{2}+17x+12\)，小正方形面積\(S_{小}=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1\)。則陰影部分面積\(S=S_{大}S_{小}=6x^{2}+17x+12(x^{2}+2x+1)=6x^{2}+17x+12x^{2}2x1=5x^{2}+15x+11\)。題型五：通過(guò)面積關(guān)系列方程求解已知一個(gè)矩形的長(zhǎng)比寬多\(3\)，設(shè)寬為\(x\)，則長(zhǎng)為\(x+3\)，面積為\(28\)。根據(jù)矩形面積公式可得方程\(x(x+3)=28\)，展開(kāi)式子得\(x^{2}+3x=28\)，移項(xiàng)化為標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程形式\(x^{2}+3x28=0\)，因式分解為\((x+7)(x4)=0\)，解得\(x_{1}=7\)（邊長(zhǎng)不能為負(fù)舍去），\(x_{2}=4\)，所以矩形的寬為\(4\)，長(zhǎng)為\(4+3=7\)。題型六：拼接圖形后求面積及邊長(zhǎng)將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為\(x\)和\(y\)的正方形拼接在一起（無(wú)重疊），得到一個(gè)新的圖形。若把它們拼接成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為\((x+y)\)，寬為\(x\)，則新長(zhǎng)方形面積\(S=(x+y)x=x^{2}+xy\)。若拼接成一個(gè)類(lèi)似階梯狀的圖形，通過(guò)割補(bǔ)法可發(fā)現(xiàn)其面積依然是\(x^{2}+y^{2}\)。題型七：用整式乘法表示圖形的周長(zhǎng)與面積變化一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為\(x\)，若邊長(zhǎng)增加\(2\)，則新正方形邊長(zhǎng)為\(x+2\)。原正方形周長(zhǎng)\(C_{1}=4x\)，面積\(S_{1}=x^{2}\)；新正方形周長(zhǎng)\(C_{2}=4(x+2)=4x+8\)，面積\(S_{2}=(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4\)。周長(zhǎng)增加了\(C_{2}C_{1}=(4x+8)4x=8\)，面積增加了\(S_{2}S_{1}=x^{2}+4x+4x^{2}=4x+4\)。題型八：根據(jù)面積比求邊長(zhǎng)關(guān)系已知兩個(gè)正方形，面積比為\(9:4\)，設(shè)它們的邊長(zhǎng)分別為\(a\)和\(b\)，根據(jù)正方形面積公式\(S=a^{2}\)和\(S=b^{2}\)，則\(\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{9}{4}\)，開(kāi)方可得\(\frac{a}=\frac{3}{2}\)（邊長(zhǎng)為正），即兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)比為\(3:2\)。題型九：求不規(guī)則圖形面積（分割法）一個(gè)不規(guī)則圖形可以分割成三個(gè)矩形，第一個(gè)矩形長(zhǎng)為\(2x\)，寬為\(x\)；第二個(gè)矩形長(zhǎng)為\((x+1)\)，寬為\(2\)；第三個(gè)矩形長(zhǎng)為\(3\)，寬為\((x1)\)。分別求出三個(gè)矩形面積，\(S_{1}=2x\timesx=2x^{2}\)，\(S_{2}=2(x+1)=2x+2\)，\(S_{3}=3(x1)=3x3\)。則不規(guī)則圖形面積\(S=S_{1}+S_{2}+S_{3}=2x^{2}+2x+2+3x3=2x^{2}+5x1\)。題型十：根據(jù)圖形變換求面積變化將一個(gè)長(zhǎng)為\((2x+1)\)，寬為\((x1)\)的矩形，長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的\(2\)倍，寬增加\(3\)。原矩形面積\(S_{1}=(2x+1)(x1)=2x^{2}2x+x1=2x^{2}x1\)。變化后長(zhǎng)為\(2(2x+1)=4x+2\)，寬為\((x1)+3=x+2\)，新矩形面積\(S_{2}=(4x+2)(x+2)=4x\timesx+4x\times2+2\timesx+2\times2=4x^{2}+8x+2x+4=4x^{2}+10x+4\)。面積增加了\(S_{2}S_{1}=4x^{2}+10x+4(2x^{2}x1)=4x^{2}+10x+42x^{2}+x+1=2x^{2}+11x+5\)。題型十一：利用面積證明整式乘法公式通過(guò)圖形來(lái)證明\((a+b)(ab)=a^{2}b^{2}\)。畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為\(a\)的正方形，在一角減去一個(gè)邊長(zhǎng)為\(b\)的小正方形（\(b\lta\)）。剩余部分面積可以用大正方形面積減去小正方形面積表示為\(a^{2}b^{2}\)。也可以將剩余部分分割成兩個(gè)矩形，然后拼接成一個(gè)新的矩形，長(zhǎng)為\((a+b)\)，寬為\((ab)\)，其面積為\((a+b)(ab)\)，所以\((a+b)(ab)=a^{2}b^{2}\)。題型十二：綜合圖形問(wèn)題中求最值已知一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為\(20\)，設(shè)長(zhǎng)為\(x\)，則寬為\(\frac{202x}{2}=10x\)，面積\(S=x(10x)=x^{2}+10x\)。對(duì)于二次函數(shù)\(y=x^{2}+10x\)，其二次項(xiàng)系