第13章勾股定理13.1勾股定理及其逆定理1.直角三角形三邊的關(guān)系勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，則勾股定理可以表示為a2+b2=c2。2.直角三角形的判定根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形。3.反證法反證法是一種證明論題的方法，先提出和論題中的結(jié)論相反的假定，然后從這個假定中得出和已知條件相矛盾的結(jié)果來，這樣就否定了原來的假定而肯定了該論題。13.2勾股定理的應(yīng)用勾股定理在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。例如，在建筑設(shè)計中，勾股定理可以幫助工程師計算出斜面的長度；在物理學(xué)中，它可以用來計算拋體運動的軌跡；在日常生活中，我們可以用它來估算物體的距離或高度。此外，勾股定理在數(shù)學(xué)競賽和考試中也是一個重要的考點。具體應(yīng)用場景包括：1.城市規(guī)劃：用于計算城市道路的布局，確保建筑高度和街道寬度之間的合理關(guān)系。2.航空航天：用于飛行路徑的計算，優(yōu)化飛行效率。3.體育領(lǐng)域：如籃球投籃角度、田徑比賽中的起跳角度和距離的計算等。4.日常生活：如裝修房屋時計算天花板到地面的距離，或測量家具的尺寸是否合適等。5.工程測量：在土木工程、建筑工程等領(lǐng)域，勾股定理可用于測量和計算建筑物的高度、深度、寬度等關(guān)鍵尺寸，確保工程精度。6.圖形設(shè)計：在二維和三維圖形設(shè)計中，設(shè)計師可以利用勾股定理來計算圖形的比例、角度和邊長，確保設(shè)計的一致性和準(zhǔn)確性。7.編程和算法：在計算機科學(xué)中，勾股定理可用于開發(fā)圖形渲染算法、物理模擬算法等，提高程序的效率和準(zhǔn)確性。8.電子工程：在電路設(shè)計和信號處理中，勾股定理可用于計算信號的幅度、相位和頻率等關(guān)鍵參數(shù)。9.統(tǒng)計分析：在數(shù)據(jù)分析中，勾股定理可用于計算數(shù)據(jù)的距離、相似度和聚類等，為數(shù)據(jù)分析和挖掘提供有力支持。10.教育領(lǐng)域：勾股定理是中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的重要內(nèi)容，通過學(xué)習(xí)勾股定理，學(xué)生可以培養(yǎng)邏輯思維能力、空間想象能力和問題解決能力。一、忽略勾股定理的使用條件勾股定理僅適用于直角三角形，對于非直角三角形，不能直接應(yīng)用勾股定理。例如，已知三角形的三邊長度，若未明確三角形為直角三角形，則不能直接使用勾股定理求解。二、不能正確區(qū)分直角邊與斜邊在直角三角形中，斜邊是直角三角形中最長的邊，與直角相對。在解題時，若題目未明確哪條邊為斜邊，需要分情況討論。例如，已知直角三角形的兩邊長度，需要判斷這兩邊哪條為直角邊，哪條可能為斜邊，從而正確應(yīng)用勾股定理。三、考慮不全面，造成漏解在解決勾股定理相關(guān)問題時，需要考慮所有可能的情況，避免漏解。例如，在求解直角三角形的第三邊長度時，若已知兩邊長度，需要分別考慮這兩邊為直角邊和其中一邊為斜邊的情況，從而得到所有可能的解。四、思維定式導(dǎo)致的錯誤在解決勾股定理相關(guān)問題時，要避免思維定式的影響。例如，已知直角三角形的兩邊長度，不要直接認為這兩邊就是勾股數(shù)中的兩個數(shù)，從而得出錯誤的第三邊長度。需要根據(jù)勾股定理的公式，正確計算第三邊的長度。題型01勾股數(shù)問題1.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．1，， B．1，2，3 C．5，12，13 D．10，15，20【答案】C【分析】本題主要考查勾股數(shù)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)的定義以及勾股定理進行判斷即可．【詳解】解：A、1，，不全是正整數(shù)，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，且都是整數(shù)，故符合題意；D、，故不符合題意；故選C．2.在下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，6【答案】C【分析】本題考查了勾股數(shù)的知識，判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．【詳解】解：A、，不是勾股數(shù)，故本選項不符合題意；B、，不是勾股數(shù)，故本選項不符合題意；C、，是勾股數(shù)，故本選項符合題意；D、，不是勾股數(shù)，故本選項不符合題意．故選：C．3.滿足的三個正整數(shù)，，稱為一組勾股數(shù)，如3，4，5，就是一組勾股數(shù)．請你再寫出一組勾股數(shù)．【答案】6，8，10（答案不唯一）【分析】本題考查勾股數(shù)問題．根據(jù)題意寫出符合的式子即可．【詳解】解：∵，∴勾股數(shù)可以是：6，8，10（答案不唯一），故答案為：6，8，10（答案不唯一）．4.下列三組數(shù)中：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③4，5，6．其中是勾股數(shù)的是．（填序號）【答案】②【分析】本題考查勾股數(shù)．勾股數(shù)的定義：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，根據(jù)定義逐一進行判斷即可．【詳解】解：①0.6，0.8，不是正整數(shù)，故0.6，0.8，1不是勾股數(shù)；②，故5，12，13是勾股數(shù)；③，4，5，6不是勾股數(shù)；綜上：是勾股數(shù)的是：②；故答案為：②．5.滿足的三個正整數(shù)組成的數(shù)組叫做勾股數(shù)組．《周髀算經(jīng)》中記載的“勾三股四弦五（古人將直角三角形中較短邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦）”就是一組最簡單的勾股數(shù)組，在《九章算術(shù)》中給出了更多的勾股數(shù)組：，等．上述勾股數(shù)組的規(guī)律，可以用下面表格呈現(xiàn)：勾股數(shù)組…股與弦的和：92549…股…弦…通過觀察分析，回答下列問題：(1)根據(jù)上述勾股數(shù)組的特點，寫出勾股數(shù)組（11，______，______）；（______，______，145）(2)猜想：若表示比1大的奇數(shù)，則上述勾股數(shù)組可以表示為（，______，______）；(3)請證明（2）中的猜想．【答案】(1)60；61；17；144(2)，(3)見解析【分析】本題考查了勾股數(shù)的概念，正確理解題意是解題關(guān)鍵．（1）觀察表格可知，，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)題意可得股和弦的和，再求出股和弦即可；（3）求出的結(jié)果，看是否與相等即可．【詳解】（1）解：由表格可知，，∴當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，則，∴，∴或（舍去），；（2）解：∵m為最小的數(shù)，∴另外兩個數(shù)的和為，∴股為，弦為；（3）證明：，∴是勾股數(shù)組．題型02直角三角形的條件1.下列每組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)值分別是三角形的三邊長，則能構(gòu)成直角三角形的有（

）4，3，2；，，2；3，4，5；0.5，1.2，1.3．A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】C【分析】本題考查勾股定理逆定理，掌握它是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理逆定理，若三角形三邊滿足兩邊的平方和等于最長邊的平方，則該三角形為直角三角形，依次驗證每組數(shù)據(jù)即可．【詳解】解：最長邊為4，驗證，而，，故不能構(gòu)成直角三角形．最長邊為2，驗證，與相等，滿足條件，能構(gòu)成直角三角形．最長邊為5，驗證，與相等，滿足條件，能構(gòu)成直角三角形．最長邊為1.3，驗證，與相等，滿足條件，能構(gòu)成直角三角形．綜上，符合條件的有，共3組，故選C．2.在中，三邊長分別為下列選項中，能保證三角形是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和定理，熟記勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和勾股定理的逆定理逐個判斷各選項是否符合勾股定理或存在角．【詳解】解：A、設(shè)三個角的度數(shù)分別為、、，則，解得，此時最大角為，不是直角，故選項不能保證三角形是直角三角形，不符合題意；B、由變形得，符合勾股定理，故選項能保證三角形是直角三角形，符合題意；C、設(shè)，，，則，不滿足勾股定理，故選項不能保證三角形是直角三角形，不符合題意；D、是三角形內(nèi)角和的必然結(jié)論，與是否為直角三角形無關(guān)，故選項不能保證三角形是直角三角形，不符合題意；故選：B．3.在中，，，，有下列條件：①；②；③；④；⑤．其中可以判定為直角三角形的有個．【答案】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理進行計算，逐一判斷即可解答．本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①，∴是直角三角形；②，，，，，∴是直角三角形；③，，，∴不是直角三角形；④，設(shè)，，，，，，∴是直角三角形；⑤，，，，，解得：，，，∴不是直角三角形；綜上所述，可以判定為直角三角形的有3個，故答案為：3．4.已知，，是一個三角形的三條邊，且滿足，請判斷這個三角形的形狀是．【答案】直角三角形【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理、非負數(shù)的性質(zhì)等知識點，掌握運用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三角形成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對值、完全平方數(shù)和算術(shù)平方根的非負性，可求解出a、b、c的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形即可．【詳解】解：∵，∴，解得：，∵，∴此三角形是直角三角形．故答案為：直角三角形．5.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1．(1)填空：，，；(2)判斷以，，三條線段為邊能否構(gòu)成直角三角形？請說明理由．【答案】(1)；；5(2)能；理由見解析【分析】此題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正確結(jié)合網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵．（1）直接利用勾股定理得出、、的長即可；（2）直接利用勾股定理逆定理分析得出答案即可．【詳解】（1）解：線段的長是：；線段的長是：；線段的長是：；（2）解：以，，三條線段為邊能構(gòu)成直角三角形；理由如下：，，∴，、、三條線段的長能構(gòu)成一個直角三角形．題型03勾股定理與無理數(shù)1.如圖，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，過點作數(shù)軸的垂線段，且，以原點為圓心，為半徑作弧，交數(shù)軸于點，則點表示的數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理與無理數(shù)，數(shù)軸與實數(shù)，根據(jù)勾股定理計算即可，掌握勾股定理，數(shù)軸與實數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由作圖可知，∵，∴，∴，∴，∴點表示的數(shù)是，故選：．2.如圖，正方形邊長為1，分別在軸和軸上，以為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，與軸負半軸交于點，則點橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸，熟知數(shù)軸上各點與實數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．首先求出正方形對角線的長度，再根據(jù)點B在數(shù)軸上的位置，確定點B表示的數(shù)．【詳解】解：∵正方形邊長為1，∴，點表示的數(shù)為，∵以A為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，與x軸負半軸交于點B，∴，∴B點橫坐標(biāo)為：．故選：D．3.如圖，，根據(jù)圖中所標(biāo)識的數(shù)據(jù)可知數(shù)軸上點所表示的數(shù)是．【答案】/【分析】本題考查了數(shù)軸上的實數(shù)，勾股定理，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出的長，利用，即可得到的長，進而得出最后結(jié)果．【詳解】如圖：，，，，，，則數(shù)軸上點所表示的數(shù)是，故答案為：．4.如圖，數(shù)軸的原點為，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是2，，且，以點為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，則點表示的數(shù)是．【答案】【分析】本題考查勾股定理，數(shù)軸上表示的數(shù)等．根據(jù)題意可求得，繼而可得本題答案．【詳解】解：∵點在數(shù)軸上表示的數(shù)是2，∴，∵，，∴，∵以點為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，∴，∴點表示的數(shù)是，故答案為：．5.【課本再現(xiàn)】（1）如圖1，把兩個邊長為1的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，得到一個大正方形．①拼的新的大正方形的面積為______．小正方形的對角線長為______；②如圖2，把圖1中其中一個小正方形放置到數(shù)軸上，以1為圓心，對角線長為半徑畫弧，與數(shù)軸交于點，，則點，表示的數(shù)分別為______，______．【知識遷移】（2）小張同學(xué)把長為5，寬為1的長方形按圖3所示的方式進行裁剪，并拼成一個大正方形．①大正方形的邊長為______；②請在下圖的數(shù)軸中畫出表示的點（保留作圖痕跡）．【答案】（1）①，；②；；（2）①；②見解析【分析】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù)．同時考查了勾股定理的應(yīng)用，數(shù)軸上的任一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)．（1）①根據(jù)大正方形面積是兩個小正方形的面積和，可得大正方形的面積，根據(jù)勾股定理可得可得小正方形的對角線長；②依據(jù)圖2中小正方形對角線長為，原點與之間的距離為，從而可得到點表示的數(shù)為，可得點表示的數(shù)分別為；（2）①由于大正方形的邊長是小長方形的對角線，所以根據(jù)勾股定理可得大正方形的邊長；②由①可得小長方形的對角線長為，進而在數(shù)軸上以原點為圓心，為半徑，即可找到表示的點．【詳解】解：（1）①拼的新的大正方形的面積為，小正方形的對角線長為，故答案為：，；②如圖2中小正方形對角線長為，原點與之間的距離為，點表示的數(shù)為；點到圓心的距離是，點表示的數(shù)分別為，故答案為：，；（2）①由圖可知大正方形的邊長為，故答案為：；②如圖所示，以原點為圓心，小長方形對角線或直角三角形的斜邊長度為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，點即為所求．

或題型04網(wǎng)格中的直角三角形1.如圖，在網(wǎng)格中，點，，都是網(wǎng)格線的交點，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形”是解題的關(guān)鍵．先利用勾股定理分別求解，，，再證明，，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，由勾股定理得：，，，，，，，故選B．2.如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點，，均在網(wǎng)格的格點上，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、勾股定理的逆定理、三角形的面積，利用勾股定理求線段長度是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出、、，利用勾股定理的逆定理推出，再利用割補法求出，結(jié)合選項即可得出答案．【詳解】解：，，，，，．結(jié)合選項可得，A、B、C選項結(jié)論正確，D選項結(jié)論不正確．故選：D．3.如圖，點A，B，C，D均在正方形網(wǎng)格格點上，則．【答案】/45度【分析】該題考查了勾股定理，軸對稱和等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，作點關(guān)于線段的對稱點，連接，由對稱可得，即，說明是等腰直角三角形，即可求解．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于線段的對稱點，連接，由對稱可得，即，設(shè)小正方形的邊長為1，由勾股定理，得，，是等腰直角三角形，∴，即．故答案為：．4.在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，，，三點均在正方形格點上．（1）的大小為；（2）若，則的長為．【答案】/90度2【分析】本題主要考查了利用網(wǎng)格求三角形面積，勾股定理與勾股定理逆定理的應(yīng)用．（1）先利用勾股定理求出，，，再利用勾股定理的逆定理即可得出答案．（2）利用等面積法求解即可．【詳解】解：（1）由勾股定理可得：，，，∵∴，∴是直角三角形，且，故答案為：（2）∵，∴，∴故答案為：25.圖①、圖②、圖③均是的網(wǎng)格，其中每個小方格都是邊長相等的正方形，其頂點稱為格點．只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作，使的頂點均在格點上．(1)在圖①中，是面積最大的等腰三角形；(2)在圖②中，是面積最大的直角三角形；(3)在圖③中，是面積最大的等腰直角三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題主要考查了格點作圖，勾股定理及其逆定理，網(wǎng)格中求三角形面積，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)面積最大，且為等腰三角形，頂點均在格點上；（2）根據(jù)面積最大，且為直角三角形，頂點均在格點上；（3）作個腰長為的等腰直角三角形，順次連接A、B、C，則即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解；如圖所示，即為所求；（3）解：如圖所示，即為所求．題型05反證法1.用反證法證明命題“三角形中必有一個內(nèi)角小于或等于”時，首先應(yīng)該假設(shè)（

）A．三角形中每個內(nèi)角都大于 B．三角形中至少有一個內(nèi)角大于C．三角形中每個內(nèi)角都大于或等于 D．三角形中每一個內(nèi)角都小于或等于【答案】A【分析】本題考查反證法，使用反證法時，需假設(shè)原命題結(jié)論的否定，由此可解．【詳解】解：反證法的第一步是假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，原命題的反面應(yīng)為“三角形中每一個內(nèi)角都大于”，即首先應(yīng)假設(shè)“三角形中每一個內(nèi)角都大于”．故選A．2.用反證法證明命題“在中，如果，那么”時，應(yīng)假設(shè)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是反證法的應(yīng)用，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答即可．【詳解】解：用反證法證明命題“若在中，，則”時，首先應(yīng)假設(shè)，故選：C．3.用反證法證明某一命題的結(jié)論“是直角”時，應(yīng)假設(shè)．【答案】不是直角【分析】本題考查反證法，解此題的關(guān)鍵是掌握反證法的一般思路及解題步驟．根據(jù)反證法的步驟，得出是直角的反面是不是直角即可．【詳解】解：反證法證明“是直角”時，應(yīng)先假設(shè)不是直角．故答案為：不是直角．4.用反證法證明“在四邊形中，至少有一個內(nèi)角不小于”時，應(yīng)假設(shè)．【答案】每個內(nèi)角都小于【分析】本題主要考查了反證法中的假設(shè)，反證法中第一步應(yīng)假設(shè)原結(jié)論不成立，據(jù)此可得答案．【詳解】解：用反證法證明“在四邊形中，至少有一個內(nèi)角不小于”時，應(yīng)假設(shè)個內(nèi)角都小于，故答案為：個內(nèi)角都小于．5.用反證法證明“”，求證：必為負數(shù)．證明：假設(shè)不是負數(shù)，那么是__________或是__________．①如果是零，那么，這與題設(shè)矛盾，所以不可能是零；②如果是__________，那么，這與__________矛盾，所以不可能是__________．綜合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必為負數(shù)．【答案】見解析【分析】本題主要考查了反證法，反證法第一步假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)是0或正數(shù)，根據(jù)正數(shù)和0的絕對值都是它本身可得到此時假設(shè)與題設(shè)矛盾，則可證明結(jié)論．【詳解】解：證明：假設(shè)不是負數(shù)，那么是0或是正數(shù)．①如果是零，那么，這與題設(shè)矛盾，所以不可能是零；②如果是正數(shù)，那么，這與題設(shè)矛盾，所以不可能是正數(shù)．綜合①和②，知不可能是0，也不可能是正數(shù)，所以必為負數(shù)．題型06趙爽弦圖1.“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為．若小正方形面積為5，，則大正方形面積為（

）A．8 B．13 C．15 D．15．5【答案】B【分析】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．由題意可知，中間小正方形的邊長為，根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出大正方形的面積為．【詳解】解：由題意可知，中間小正方形的邊長為，∴，即①，∵，∴②，①②得，∴大正方形的面積為：，故選B．2.如圖①是第14屆數(shù)學(xué)教育大會會標(biāo)，中心圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖②所示的“弦圖”是由4個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的邊長為25，的長為7，則小正方形的邊長為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的證明，全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：由題意得，，，，小正方形的邊長為17，故選：C．3.如圖，是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊()，下列四個說法：①；②;③；④．其中說法正確的結(jié)論有．(填序號)【答案】①【分析】根據(jù)題意，得，，結(jié)合公式，求得，結(jié)合公式計算即可．本題考查了弦圖中公式變形計算，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握公式變形，弦圖的幾何意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得，，∵，∴，∴，故．故①正確；②錯誤；③錯誤；④錯誤；故答案為：①．4.有一個大正方形，是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，那么直角三角形的兩條直角邊長分別是．【答案】3，2【分析】本題考查了勾股定理的證明，正確表示出大正方形與小正方形的面積是解題的關(guān)鍵．設(shè)直角三角形較長直角邊為，較短直角邊為，根據(jù)大正方形與小正方形的面積得出關(guān)于、的等式求解即可．【詳解】解：設(shè)直角三角形較長直角邊為，較短直角邊為，小正方形的邊長為，小正方形面積是1，，，大正方形面積是13，即，，，，，，，故答案為：3，2．5.出入相補（又稱以盈補虛）原理是我國三國時期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建．“另出入相補，各從其類，因就其余不移動也．”用現(xiàn)代語言來說，就是指這樣的事實：一個平面圖形從一處轉(zhuǎn)換至他處，面積不變；又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來圖形的面積．【教學(xué)實例】計算如圖1的圖形面積，把圖1看作一個大正方形，它的面積是，如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為．（1）由此得到等式；【探索研究】（2）數(shù)學(xué)小組研究發(fā)現(xiàn)：四個可以重合的直角三角形，直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，這四個直角三角形可以拼成如圖2的大正方形，且中間的為邊長為c的正方形．運用“出入相補”原理，得到一個關(guān)于直角三角形三邊a、b、c的等式，整理后發(fā)現(xiàn)，．請說明此等式成立；【推廣應(yīng)用】數(shù)學(xué)小組研究發(fā)現(xiàn)，所有的直角三角形中，兩直角邊a、b斜邊c都存著的等量關(guān)系，利用此發(fā)現(xiàn)，解決下面問題：（3）如圖3，是直角三角形，，大于，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得（點B的對應(yīng)點為D，點C的對應(yīng)點為E），連接，若，，，，的面積為50，求的面積．【答案】（1）；（2）見解析；（3）24【分析】此題考查了勾股定理的證明和完全平方公式的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵．（1）根據(jù)面積相等即可得到答案；（2）根據(jù)題意得到，整理即可得結(jié)論；（3）由（2）得到，由旋轉(zhuǎn)得到，求出，由得到，則，求出，即可得到答案．【詳解】解：（1）把圖1看作一個大正方形，它的面積是，如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為．∴由此得到等式：；故答案為；；（2），，；（3）是直角三角形，，，，，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，，，，，，，，，，，，．題型07勾股定理的證明1.“趙爽弦圖”是我國古代三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的，他通過對幾何圖形的巧妙割補，使得圖形的面積保持不變，簡潔明了地證明了勾股定理，其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想主要是（

）A．轉(zhuǎn)化思想 B．分類討論思想 C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．類比思想【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的證明，根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想即可得解，熟練掌握此知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，故選：C．2.在學(xué)習(xí)勾股定理時，甲同學(xué)用兩個相同的直角三角形和一個等腰三角形構(gòu)成如圖甲所示的直角梯形；乙同學(xué)用四個相同的直角三角形構(gòu)成如圖乙所示的大正方形，中間是一個小正方形，甲、乙兩位同學(xué)給出的構(gòu)圖方案，可以證明勾股定理的是（

）A．甲 B．乙C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的證明，面積轉(zhuǎn)化法，完全平方公式，掌握方法是解題的關(guān)鍵．由圖形中的面積關(guān)系：梯形的面積直角三角形的面積等腰三角形的面積，正方形的面積小正方形的面積直角三角形的面積，化簡即可求解．【詳解】解：甲同學(xué)的方案：由題意得等腰三角形的直角三角形；梯形的面積直角三角形的面積等腰三角形的面積，，整理得，因此甲同學(xué)的方案可以證明勾股定理．乙同學(xué)的方案：大正方形的面積小正方形的面積直角三角形的面積，，，，因此乙同學(xué)的方案可以證明勾股定理；故選：C．3.將邊長分別為的兩個直角三角形和一個兩條直角邊都是的直角三角形拼成如圖所示的直角梯形．試用兩種方法計算這個圖形的面積，并寫出一個關(guān)于的恒等式：．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的證明，整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．用兩種方法求圖形面積，一是直接利用梯形面積公式來求；一是利用三個三角形面積之和來求．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，∴，即，整理得：．故答案為：．4.我國清代數(shù)學(xué)家李銳借助三個正方形用出入相補證明了勾股定理，如圖，設(shè)直角三角形的邊長分別是，，斜邊的長為，作三個邊長分別為，，的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使，，三點在一條直線上．若，四邊形與面積之和為37，則正方形的面積為．【答案】58【分析】作于點，根據(jù)四邊形、四邊形、四邊形都是正方形，得，，，證明，由題意得，，證明，再證明，得出，根據(jù)，，通過計算可得，．【詳解】解：如圖，作于點，則，四邊形、四邊形、四邊形都是正方形，，，，，，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，，，，，①，，②，由①②得，，，故答案為：．【點睛】此題重點考查勾股定理的證明、全等三角形的判定與性質(zhì)、等角的余角相等、乘法公式等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．5.勾股定理在數(shù)學(xué)和許多其他領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，勾股定理是一個非常重要的數(shù)學(xué)定理，它在幾何學(xué)、三角學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等多個領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用．關(guān)于勾股定理的證明方法到現(xiàn)在為止有500多種，勾股定理常見的一些證明方法是：幾何證明、代數(shù)證明、向量證明、復(fù)數(shù)證明、面積證明等．當(dāng)兩個全等的直角三角形按圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明．(1)以下是利用圖1證明勾股定理的過程，請將證明過程補充完整：將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中，求證：證明：連結(jié)，過點作邊上的高于點，則．，又______________________，______________________．(2)請參照上述證明方法，利用圖2完成下面的證明．將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了勾股定理的證明．（1）根據(jù)證明過程結(jié)合圖形即可解答；（2）仿照（1）的方法，利用五邊形面積的不同表示方法解答即可．【詳解】（1）證明：連接，過點作邊上的高于點，則．∵又∵，∴，∴；（2）證明：連接，過點B作邊上的高，則．∵又∵，∴，∴，∴，∴，∴．題型08勾股定理的應(yīng)用1.把5長的梯子斜靠在墻上，若梯子底端離墻4，則梯子頂端到地面的距離（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查了勾股定理．根據(jù)勾股定理，將梯子、地面和墻面構(gòu)成的直角三角形中的已知邊長代入公式求解．【詳解】解：梯子斜靠于墻時，與地面和墻面形成直角三角形．梯子長度5米為斜邊，底端離墻4米為一條直角邊．設(shè)梯子頂端到地面的垂直距離為米，由勾股定理得：（米）因此，梯子頂端到地面的距離為3米，故選：B．2.一艘輪船位于燈塔的南偏東方向，距離燈塔海里的處，它沿北偏東方向航行海里到達處，此時與燈塔的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】B【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用．先求得，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過點作交于，根據(jù)題意得，，海里，海里，，在中，根據(jù)勾股定理得，（海里），故此時與燈塔的距離為海里．故選：B．3.如圖，是一個長方體硬紙盒，現(xiàn)在A處有一只螞蟻，想沿著長方體的外表面到達B處吃食物，則螞蟻爬行的最短距離是．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，最短路徑，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先分別把幾何體展開，作圖，根據(jù)勾股定理進行列式運算，再比較大小，即可作答．【詳解】解：第一種情況：把我們所看到的左面和上面組成一個平面，則這個長方形的長和寬分別是和，則所走的最短線段是第二種情況：把我們看到的前面與上面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是和，所以走的最短線段是第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是和∴走的最短線段是∵∴它需要爬行的最短路徑是故答案為：4.《九章算術(shù)》第九卷《勾股》主要講述了以測量問題為中心的直角三角形三邊互求，其中記載了一道有趣的“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．問折者高幾何？”譯文：“一根竹子，原高1丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠．則折斷后的竹子的高度為多少尺？（備注：1丈尺）”如圖，設(shè)折斷后的竹子的高度為x尺，則．

【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理解題．竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)折斷后的竹子的高度為x尺，則．利用勾股定理列式即可．【詳解】解：如圖，

由題意得，，由勾股定理得：，∴，解得：，故答案為：．5.【問題情境】（1）如圖1，一架竹梯斜靠在墻角處，竹梯，梯子底端離墻角的距離．如果梯子的頂端A下滑到點C，求梯子的底端B在水平方向上滑動的距離；【探究遷移】（2）如圖2，調(diào)整梯子頂端A離地面的高度，當(dāng)?shù)锥薆在水平方向上滑動的距離與頂端A下滑的距離相等時，求梯子滑動前、后與地面的夾角與之間的數(shù)量關(guān)系；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，點E在邊上，點F在邊的延長線上，連接交于點O，分別以點A，F(xiàn)為圓心，以，的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接，，．①求證：四邊形是矩形；②若，，，求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）；（3）①見解析；②【分析】（1）利用勾股定理，結(jié)合解答即可；（2）連接．證明，等量代換，計算解答即可；（3）①先證明四邊形平行四邊形，再證明是矩形；②過點D作于點M，于點N，連接，，根據(jù)三角形面積，平角定義等解答即可．【詳解】解：（1）在中，，在中，∴．（2）連接．∵，，，∴，∴．∵，∴，即．（3）①證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形；②如圖，過點D作于點M，于點N，連接，．∵，，∴，∴．∵，∴．又∵，，∴．∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的判定，平行四邊形的判定，平角定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型09勾股定理的最值1.如圖，中，，，，利用尺規(guī)在、上分別截取，，使；分別以D，E為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點F；作射線交于點G．點P為上一動點，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．無法確定【答案】C【分析】過點G作于H．根據(jù)角平分線性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，設(shè)，則，得出，求出x的值，根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為，【詳解】解：如圖，過點G作于H．由作圖可知，平分，∵，，∴，∵，，，∴，∵，，∴，∴，∴，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，即，根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為，故選：C．【點睛】本題考查作圖-基本作圖，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．2.如圖，在腰長為6的等腰中，，，點D是內(nèi)一點，連接，且，E是的中點，連接，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．6 D．【答案】D【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短．取的中點，連接、，求出，證明，得出，即可得出，當(dāng)點、、在同一直線上時，最小，為的長，即可得解．【詳解】解：如圖，取的中點，連接、，則，∵在等腰中，，，∴，∵，E是的中點，∴，∵，，∴，∴，∴，∴當(dāng)點、、在同一直線上時，最小，為的長，即，故選：D．3.如圖，等腰中，，，點D是底邊BC的中點，以A、C為圓心，大于的長度為半徑分別畫圓弧相交于兩點E，F(xiàn)，若直線上有一個動點P，則線段的最小值為．【答案】8【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的三線合一性質(zhì)、勾股定理等知識點，利用垂直平分線將轉(zhuǎn)化為，找到P、A、D三點共線時最短成為解題的關(guān)鍵．由作法知是的垂直平分線，可得，線段的最小就是，當(dāng)A、P、D三點共線時最短，由點D是底邊的中點，可，由可得，在中運用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖：連接，由作法知是的垂直平分線，∴，∴，線段的最小就是，當(dāng)A、P、D三點共線時最短，∵點D是底邊的中點，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：．∴線段的最小值為8．故答案為8．4.如圖，在中，，，，為上一動點（不與點，點重合），將繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，以為直角頂點，為直角邊，在上方構(gòu)造等腰直角三角形，為的中點，連接，，則的最小值是．【答案】【分析】本題主要考查勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)；根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系可得，，連接，由已知旋轉(zhuǎn)可知，從而得到A點在線段的垂直平分線上、垂直平分線段，根據(jù)等腰三角形三線合一得，作點B關(guān)于直線的對稱點，交直線于點H，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)知，連接，由“兩點之間，線段最短”可知：當(dāng)點G在上時，的值最小，從而的值最小，最小值為線段的長，連接，得到，得到是等邊三角形，在中，由勾股定理即可求出線段的長，即可得出結(jié)論．【詳解】解：在中，，，∴連接：∵是以D為直角頂點的等腰直角三角形，∴，∵G為的中點，∴，∴G點在線段的垂直平分線上，∵將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴A點在線段的垂直平分線上，∴垂直平分線段，∴，即在點D的運動過程中，點G在與夾角為的射線上運動，作點B關(guān)于直線的對稱點，交直線于點H，則總有，連接，當(dāng)點G在上時，的值最小，從而的值最小，最小值為線段的長，連接此時，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，由勾股定理，得故答案為：．5.【綜合與探究】【問題背景】在中，、、三邊的長分別為，，，求這個三角形的面積．小明同學(xué)在解答這道題時，根據(jù)，，，畫出格點（即三個頂點都在小正方形的頂點處，且網(wǎng)格圖的每個小正方形的邊形為1），如圖1所示．這種求面積的方法叫做構(gòu)圖法．【問題解決】（1）借用網(wǎng)格計算出如圖1所示的的面積為____________．【思維拓展】（2）猜想：與的大小關(guān)系，并運用構(gòu)圖法證明你的結(jié)論，請在圖2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）畫出相應(yīng)的．【探索創(chuàng)新】（3）如果在平面上有任意兩點和，那么A，B兩點之間的距離為，這是平面直角坐標(biāo)系中兩點之間的距離公式．①若平面上的點、，則____________；②請運用構(gòu)圖法和兩點之間的距離公式，求出的最小值．（請在圖3畫出相應(yīng)的圖形）【答案】（1）；（2）作圖見解析，證明見解析；（3）①，最小值為，作圖見解析【分析】（1）分割法求出三角形的面積即可；（2）構(gòu)造三邊分別為的三角形，利用三邊關(guān)系即可得出結(jié)果；（3）①根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中兩點間距離公式進行求解即可；②將轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系下正半軸上一點到兩點的距離的和的最小值，進行求解即可．【詳解】解：（1）由圖可知：的面積為；（2）如圖，由圖可得：，由三角形的三邊關(guān)系可知：，∴；（3）①∵平面上的點、，∴；②的最小值可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系下正半軸上一點到兩點的距離的和的最小值，如圖，作關(guān)于軸的對稱點，連接，則：，，∴當(dāng)三點共線時，的值最小為的長