期末重難點(diǎn)真題特訓(xùn)之易錯(cuò)必刷題型（126題37個(gè)考點(diǎn)）【精選最新考試題型專訓(xùn)】易錯(cuò)必刷題一、求二次根式中的參數(shù)1．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）在下列各式是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查二次根式的定義．解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要滿足被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)且根指數(shù)為2，根據(jù)概念逐項(xiàng)判斷，即可解題．【詳解】解：A、，被開(kāi)方數(shù)為負(fù)數(shù)，不是二次根式，不符合題意；B、，根指數(shù)為3，不是二次根式，不符合題意；C、，不能確定被開(kāi)方數(shù)是否為非負(fù)數(shù)，不一定是二次根式，不符合題意；D、，能滿足被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，故是二次根式，符合題意；故選：D．2．（23-24九年級(jí)上·湖北荊門·期中）已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值為．【答案】2【分析】本題考查了二次根式的定義和性質(zhì)．能正確根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．首先把被開(kāi)方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后再確定n的值．【詳解】解：，∵是整數(shù)，∴n的最小值是2．故答案為：2．3．（23-24九年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）（1）已知是整數(shù)，求自然數(shù)所有可能的值；（2）已知是整數(shù)，求正整數(shù)的最小值．【答案】（1）自然數(shù)的值為，，，，；（2）正整數(shù)的最小值為．【分析】（1）根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出自然數(shù)n的值即可；（2）根據(jù)二次根式結(jié)果為整數(shù)，確定出正整數(shù)n的最小值即可．【詳解】（1）∵是整數(shù)，∴，，，，，解得：，，，，，則自然數(shù)的值為2，9，14，17，18；（2）∵是整數(shù)，為正整數(shù)，∴正整數(shù)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必刷題二、同類二次根式1．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）若與是同類二次根式，則、的值為（）A．， B．，C．，或， D．，【答案】C【分析】本題考查了同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式，由同類二次根式的定義得出或，求解即可得出答案．【詳解】解：∵與是同類二次根式，∴或，解得：或，故選：C．2．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）將化為最簡(jiǎn)二次根式是；（2）寫出的一個(gè)同類二次根式【答案】(答案不唯一)【分析】題目主要考查二次根式的化簡(jiǎn)及同類二次根式得判斷，根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)依次計(jì)算即可，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵【詳解】解：（1），，∴同類二次根式為(答案不唯一)，故答案為：，(答案不唯一)3．（23-24九年級(jí)上·山東東營(yíng)·開(kāi)學(xué)考試）把二次根式與分別化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同．(1)如果a是正整數(shù)，那么符合條件的a的值有哪些？(2)如果a是整數(shù)，那么符合條件的a的值有多少個(gè)？最大值為多少？有沒(méi)有最小值？【答案】(1)符合條件的正整數(shù)的值為5，15，21(2)如果是整數(shù)，那么符合條件的有無(wú)數(shù)個(gè)．其中的最大值為21，沒(méi)有最小值．【分析】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式的意義及同類二次根式的意義，根據(jù)本題的特點(diǎn)，當(dāng)a為正整數(shù)時(shí)，a的取值是有限的，當(dāng)a為整數(shù)時(shí)，a的取值是無(wú)限的，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．（1）由于a是正整數(shù)，所以可得此時(shí)的情況有，，三種；（2）當(dāng)a是整數(shù)時(shí)，除了（1）中的三種情況，還可以列出無(wú)數(shù)種，所以此時(shí)a值有無(wú)數(shù)個(gè)，沒(méi)有最小值，最大值是21．【詳解】（1），且與的被開(kāi)方數(shù)相同，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（不合題意，舍去）．符合條件的正整數(shù)的值為5，15，21．（2）由（1），得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；……如果是整數(shù)，那么符合條件的有無(wú)數(shù)個(gè)．其中的最大值為21，沒(méi)有最小值．易錯(cuò)必刷題三、二次根式的混合運(yùn)算1．（23-24九年級(jí)上·重慶江津·階段練習(xí)）估計(jì)的值在（

）A．5到6之間 B．6到7之間 C．7到8之間 D．8到9之間【答案】B【分析】此題考查了估算無(wú)理數(shù)的大小和二次根式的混合運(yùn)算．根據(jù)二次根式的乘除法法則化簡(jiǎn)后，再估算出的值即可．【詳解】解：，，，，的值介于6與7之間．故選：B．2．（23-24九年級(jí)上·安徽安慶·期末）已知，分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則式子的值是.【答案】4【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算．根據(jù)的整數(shù)范圍先確定、的值，再計(jì)算的值．【詳解】解：，，．．故答案為：4．3．（24-25九年級(jí)上·河北邯鄲·階段練習(xí)）小明同學(xué)進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算的過(guò)程如圖所示．……第一步……第二步……第三步……第四步(1)第一步的化簡(jiǎn)中所依據(jù)的數(shù)學(xué)公式是___________；(2)小明的計(jì)算過(guò)程，從第___________步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)你寫出該算式的正確運(yùn)算過(guò)程和結(jié)果．【答案】(1)(2)二；見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．（1）根據(jù)進(jìn)行解答即可；（2）由于除法沒(méi)有分配律即可得到是從第二步開(kāi)始出錯(cuò)的，然后利用二次根式的混合計(jì)算法則進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：∵除法沒(méi)有分配律，∴解題過(guò)程是從第二步開(kāi)始錯(cuò)的，．故答案為：二．易錯(cuò)必刷題四、分母有理化1．（23-24九年級(jí)上·湖北荊州·期中）閱讀例題：，用上述類似的方法解答問(wèn)題：若a是的小數(shù)部分，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查估算無(wú)理數(shù)的大小以及二次根式的分母有理化，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．先根據(jù)a是的小數(shù)部分，得到，再運(yùn)用例題的類似方法化簡(jiǎn)即可解答．【詳解】解：∵，a是的小數(shù)部分，∴，∴．故選：C2．（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）觀察下列等式：第1個(gè)等式：第2個(gè)等式：第3個(gè)等式：第4個(gè)等式：……按上述規(guī)律，計(jì)算【答案】【分析】本題考查了分母有理化以及數(shù)字列規(guī)律，先根據(jù)已有的條件推斷出，再根據(jù)代入數(shù)值化簡(jiǎn)，即可作答．【詳解】解：∵第1個(gè)等式：第2個(gè)等式：第3個(gè)等式：第4個(gè)等式：即第4個(gè)等式：，……以此類推：第個(gè)等式：，則，故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·陜西寶雞·階段練習(xí)）先閱讀，再解答：由可以看出，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，有時(shí)可以化去分母中的根號(hào)，例如：，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：(1)的有理化因式是______．(2)請(qǐng)利用上面的知識(shí)化去式子分母中的根號(hào)：．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分母有理化，讀懂題中材料是解題的關(guān)鍵．（1）按題中材料進(jìn)行即可；（2）分子分母同乘以據(jù)的有理化因式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：，即的有理化因式是，故答案為：；（2）解：．易錯(cuò)必刷題五、二次根式化簡(jiǎn)求值1．（23-24九年級(jí)上·云南昭通·期末）已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查完全平方公式，二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)完全平方公式變形，即可求解．【詳解】解：∵∴∴，故選：B．2．（23-24九年級(jí)上·山東濱州·階段練習(xí)）已知，，求下列各式的值：，．【答案】11【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值．（1）將分解因式后代入求值；（2）將化為后代入求值即可．【詳解】解：∵，，∴，，，∴；．故答案為：；11．3．（24-25九年級(jí)上·四川遂寧·期中）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)7【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值和分母有理化．（1）先根據(jù)分母有理化求出，，即可求出；（2）由，，將原式整理成，再整體代入計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：，，∴；（2）解：∵，∴．易錯(cuò)必刷題六、二次根式的應(yīng)用1．（2024·云南昆明·三模）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為，記，那么面積．若某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，其面積介于整數(shù)和之間，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的含義以及無(wú)理數(shù)的估算，掌握無(wú)理數(shù)的估算方法是解本題的關(guān)鍵．首先計(jì)算三角形的面積為，再估算的范圍可得，從而可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，三角形的三邊長(zhǎng)分別為，則，所以其面積，的值為．故選：A．2．（2024·河北秦皇島·一模）如圖，從一個(gè)大正方形中裁去面積為27和48的兩個(gè)小正方形，則：（1）面積為27的正方形的邊長(zhǎng)是的倍；（2）剩下陰影部分的面積是．【答案】372【分析】本題考查了二次根式的應(yīng)用，（1）直接利用二次根式的性質(zhì)得出面積為27的正方形的邊長(zhǎng)，即可得出答案；（2）利用二次根式的性質(zhì)得出兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出大正方形的邊長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】解：（1）面積為27的正方形的邊長(zhǎng)為，面積為27的正方形的邊長(zhǎng)是的3倍，故答案為：3；（2）兩個(gè)小正方形面積為27和48，大正方形邊長(zhǎng)為，大正方形面積為，剩下陰影部分的面積為，故答案為：72．3．（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期中）如圖是學(xué)校的一塊正方形綠地，其邊長(zhǎng)為m，現(xiàn)要在正方形綠地內(nèi)修建四個(gè)大小、形狀相同的矩形花壇，每個(gè)花壇的長(zhǎng)為m，寬為m，并將花壇以外的地方全部修建成通道，且通道上要鋪上造價(jià)為每平方米8元的地磚．若要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買地磚大約需要多少元？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】元【分析】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意求出通道的面積是解題的關(guān)鍵．先用正方形面積減去4個(gè)矩形的面積，計(jì)算出通道的面積，再根據(jù)“通道上要鋪上造價(jià)為8元/平方米的地磚”即可求出購(gòu)買地磚需要的花費(fèi)．【詳解】解：通道的面積為（平方米），∴購(gòu)買地磚需要花費(fèi)元．易錯(cuò)必刷題七、一元二次方程的解一一直接開(kāi)平方法和因式分解法1．（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）一元二次方程的根為（）A． B．，C． D．，【答案】D【詳解】本題主要考查了運(yùn)用平方根解方程，運(yùn)用直接開(kāi)平方法即可解決問(wèn)題．【分析】解：∵，∴x是3的平方根，則，故選：D．2．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“”，其規(guī)則為，根據(jù)這個(gè)規(guī)則，方程的解為．【答案】或【分析】此題考查用一元二次方程解決問(wèn)題，考查學(xué)生的分析問(wèn)題和探索問(wèn)題的能力．此題將規(guī)定的一種新運(yùn)算引入題目中，題型獨(dú)特、新穎，難易程度適中，解題的關(guān)鍵是理解題意．在此題中，，代入所給公式得：，則可得一元二次方程，解方程即可求得．【詳解】解：據(jù)題意得，，，或．故答案為：或．3．（24-25九年級(jí)上·廣東河源·期中）下面是小剛在作業(yè)本中做的一道題，老師說(shuō)小剛的方法有問(wèn)題，可是小剛不明白，你能幫幫他嗎？解一元二次方程：．解：原方程變形為…………①兩邊同時(shí)除以，得…………②移項(xiàng)，合并得…………③系數(shù)化為1，得…………④上述解法中，該解法第一步采用的是______法解方程；第二步的依據(jù)是______，你認(rèn)為第______步有問(wèn)題，問(wèn)題在于______，請(qǐng)你將該方法正確的過(guò)程寫出來(lái)．【答案】因式分解，等式的性質(zhì)，二，可以為0；見(jiàn)詳解【分析】依題意，因?yàn)榭梢詾?，所以方程兩邊除以之前要進(jìn)行討論；先移項(xiàng)得到，然后利用因式分解法解方程．本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【詳解】解：依題意，該解法第一步采用的是提公因式法解方程；第二步的依據(jù)是等式的性質(zhì)，你認(rèn)為第二步有問(wèn)題，問(wèn)題在于可以為0．則正確解法為：，∴，∴，則或，∴，．故答案為：因式分解，等式的性質(zhì)，二，可以為0；易錯(cuò)必刷題八、一元二次方程的解一一配方法1．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）把一元二次方程，配成的形式，則p、q的值是（）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；③把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；④等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．按照配方法把配成的形式即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，．故選：B．2．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）完成下面的解題過(guò)程：用配方法解方程：．解：移項(xiàng)，得．二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得．配方，得，．開(kāi)平方，得，x1＝，x2＝．【答案】【分析】按照配方法的步驟解方程即可．本題主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：移項(xiàng)，得，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，配方，得，，開(kāi)平方，得，，．故答案為：，，，，，，．3．（24-25九年級(jí)上·廣西河池·期中）閱讀材料：選取二次三項(xiàng)式中的前兩項(xiàng)，配成完全平方式的過(guò)程叫配方．例如：選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：；請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決下列問(wèn)題：(1)【直接應(yīng)用】，將代數(shù)式配方：______；(2)【類比應(yīng)用】已知，求的值；(3)【知識(shí)拓展】求當(dāng)，為何值時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？【答案】(1)(2)(3)16【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）依題意，得，即可作答．（2）先整理原式為，再結(jié)合非負(fù)性，得出，，然后代入計(jì)算，即可作答．（3）先整理原式為，因?yàn)?，所以?dāng)，時(shí)，取得最小值，最小值為16，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，，故答案為：；（2）解：∵，∴配方得：，即，，，故．（3）解：依題意，，，，時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，則，即取得最小值，最小值為16．易錯(cuò)必刷題九、一元二次方程的解一一公式法1．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知代數(shù)式與的值互為相反數(shù)，則x的值為（

）A．或4 B．或4C．或4 D．或【答案】D【分析】本題主要考查了相反數(shù)的定義，公式法解一元二次方程，由相反數(shù)的定義得出，然后解一元二次方程求解即可得出答案．【詳解】解∶代數(shù)式與的值互為相反數(shù)，則整理得：，解得：或，故選：D．2．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）一元二次方程的根是，．【答案】【分析】本題考查解一元二次方程，利用公式法求出方程的根即可．【詳解】解：，∴，∴；故答案為：，3．（24-25九年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期中）按要求解下列方程：(1)（因式分解法）；(2)（公式法）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一元二次方程的解法，能正確運(yùn)用指定的方法解一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．（1）先移項(xiàng)將原方程可變形為，進(jìn)而得．再解兩個(gè)一元一次方程即可求解；（2）將原方程化為一般形式．求出，再代入求根公式即可求解．【詳解】（1）解：原方程可變形為，．，或，∴．（2）解：將原方程化為一般形式，得．這里．，，即．易錯(cuò)必刷題十、一元二次方程的解一一換元法1．（23-24九年級(jí)上·安徽滁州·階段練習(xí)）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊長(zhǎng)求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，則其面積，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若三角形的面積，，則a的值為（

）A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或【答案】D【分析】本題考查解一元二次方程，根據(jù)公式，列出關(guān)于的方程，利用換元法解一元二次方程即可．【詳解】解：∵，，∴，∴．設(shè)，則，整理，得，解得．當(dāng)時(shí)，，∴（負(fù)值舍去）；當(dāng)時(shí)，，∴（負(fù)值舍去）．故選D．2．（23-24九年級(jí)上·山東威?！て谀┙夥匠虝r(shí)，我們可以將看成一個(gè)整體．設(shè)，則原方程可化為，解得，．即，，所以原方程的解為，．請(qǐng)類比這種方法解方程：，則．【答案】【分析】本題主要考查換元法在解一元二次方程中的應(yīng)用．先設(shè)，則方程即可變形為，解方程即可求得y，然后根據(jù)取舍根即可．【詳解】解：設(shè)，則原方程可化為，解得，．∵，∴，故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）閱讀材料：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得，化簡(jiǎn)得，所以，所求方程為，這種利用方程根的代換求新方程的方法叫做“換根法”．利用閱讀材料提供的換根法求新方程：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為_(kāi)_________．(2)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別比已知方程的根大1，則所求方程為_(kāi)_________．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是明確材料中的換根法，根據(jù)實(shí)際的問(wèn)題進(jìn)行換根．（1）根據(jù)題意可得，所求方程的根與原方程的根的關(guān)系，用所求方程的根的代數(shù)式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程．（2）根據(jù)題意可得，所求方程的根與原方程的根的關(guān)系，用所求方程的根的代數(shù)式表示原方程的根，代入原方程即可得所求的方程．【詳解】（1）設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入方程，得，化簡(jiǎn)，得．故所求方程為：．故答案為：．（2）設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入方程，得，化簡(jiǎn)，得．故所求的方程為：．故答案為：．易錯(cuò)必刷題十一、一元二次方程根的判別式1．（23-24九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）一元二次方程方程的根的情況為（

）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求出答案．本題考查了一元二次方程根判別式，熟練記憶根的判別式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴一元二次方程方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：C．2．（23-24九年級(jí)上·山西太原·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，由題意得出，計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得：，故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·寧夏銀川·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程：有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．(1)求k的值．(2)并求出方程的根．【答案】(1)k的值為1或(2)或【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于k的一元二次方程，解之即可得出k的值；（2）利用配方法解方程即可．【詳解】（1）解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴，解得：，，所以k的值為1或．（2）解：當(dāng)時(shí)，方程為，解得；當(dāng)時(shí)，方程為解得．【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程的解法和根的判別式，熟記一元二次方程的解與的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必刷題十二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1．（23-24九年級(jí)上·山東日照·階段練習(xí)）已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值（

）A．4045 B．4044 C．2024 D．1【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，，，然后代入即可求解．【詳解】解：∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，，∴∴，故選：A．2．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）甲、乙兩同學(xué)解方程，甲看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，解得根為4和；乙看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，解得根為2和3，則原方程為．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，難度較低，關(guān)鍵根據(jù)題意正確運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系：，是方程的兩根時(shí)，，．首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的值，再進(jìn)一步得到方程即可．【詳解】解：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，由甲看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，解得根為4和，得，乙看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，解得根為2和3，得．則得出方程：，故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·四川瀘州·期中）閱讀材料：【材料1】若一元二次方程的兩根為，則．【材料2】已知實(shí)數(shù)m、n滿足，且，求的值．解：由題知m、n是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)材料1得：，∴．根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題：(1)關(guān)于x的方程的兩個(gè)根是和1，則的值為．(2)已知實(shí)數(shù)m、n滿足，且，求的值．(3)若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于4，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)；(2)(3)k的值【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，掌握相關(guān)結(jié)論即可.（1）由題意得，即可求解；（2）由題意得m、n可看作方程的兩實(shí)數(shù)解，可得，即可求解；（3）關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α、β，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，結(jié)合條件可得，利用根的判別式進(jìn)行驗(yàn)證即可；【詳解】（1）解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，∴；故答案為：；（2）解：由題意得m、n可看作方程的兩實(shí)數(shù)解，∴∴（3）解：設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α、β，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，∵，∴，∴，整理得，解得，當(dāng)時(shí)，原方程化為，則，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，原方程化為，則，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；綜上所述，k的值為．易錯(cuò)必刷題十三、一元二次方程的應(yīng)用（營(yíng)銷、增長(zhǎng)、工程）問(wèn)題1．（24-25九年級(jí)上·河南漯河·期中）“十四五”時(shí)期，國(guó)家政策提出要堅(jiān)持“以文塑旅、以旅彰文”，打造獨(dú)具魅力的中華文化旅游體驗(yàn)，文旅融合發(fā)展進(jìn)入高水平階段．著名旅游景區(qū)“只有河南·戲劇幻城”以黃河文明為創(chuàng)作根基，對(duì)于樹(shù)立河南文化自信，加速中原崛起具有重要意義.該景區(qū)一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價(jià)為6元，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，在旅游旺季，若每杯定價(jià)25元，則平均每天可銷售杯，若每杯價(jià)格降低1元，則平均每天可多銷售杯．年春節(jié)假期，店家決定進(jìn)行降價(jià)促銷活動(dòng)，則當(dāng)每杯售價(jià)定為多少元時(shí)，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可使此款奶茶實(shí)現(xiàn)平均每天元的利潤(rùn)？【答案】當(dāng)每杯售價(jià)定為元時(shí)，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可使此款奶茶實(shí)現(xiàn)平均每天元的利潤(rùn)【分析】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)當(dāng)每杯售價(jià)定為x元時(shí)，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可使此款奶茶實(shí)現(xiàn)平均每天元的利潤(rùn)，根據(jù)題意列一元二次方程解答即可．【詳解】解：設(shè)當(dāng)每杯售價(jià)定為x元時(shí)，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可使此款奶茶實(shí)現(xiàn)平均每天元的利潤(rùn)，根據(jù)題意，得，整理，得，解得，，∵要讓顧客獲得最大優(yōu)惠，∴，∴當(dāng)每杯售價(jià)定為20元時(shí)，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可使此款奶茶實(shí)現(xiàn)平均每天6300元的利潤(rùn)．2．（24-25九年級(jí)上·江西南昌·期中）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某紅色博物館開(kāi)館的第一個(gè)月進(jìn)館75000人次，由于紅色文化深入人心，進(jìn)館人次逐月增加，第三個(gè)月進(jìn)館108000人次．若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率相同．(1)求進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率；(2)因條件限制，該紅色博物館月接納能力不能超過(guò)120000人次，在進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率不變的條件下，該紅色博物館能否接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次？并說(shuō)明理由．【答案】(1)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為(2)紅色博物館不能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了一元二次方程的增長(zhǎng)率的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為x，列式，進(jìn)行計(jì)算，即可作答．（2）根據(jù)月平均增長(zhǎng)率為，算出第四個(gè)月的進(jìn)館人次為，再與進(jìn)行比較，即可作答．【詳解】（1）解：設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得，解得：，（不合題意，舍去）答：進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為；（2）解：不能，理由如下：依題意，第四個(gè)月的進(jìn)館人次，答：紅色博物館不能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次．3．（2024·重慶開(kāi)州·一模）某工程隊(duì)采用A，B兩種設(shè)備同時(shí)對(duì)長(zhǎng)度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度；(2)通過(guò)勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的3600米多了750米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了3m米，而使用時(shí)間增加了m小時(shí)，求m的值．【答案】(1)型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度為90米(2)的值為10【分析】（1）設(shè)型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，則型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)“型設(shè)備鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度型設(shè)備鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度”列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，則型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意得，，解得：，則，答：型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度為90米；（2）根據(jù)題意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值為10．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系并列出方程．易錯(cuò)必刷題十四、一元二次方程的應(yīng)用（幾何、行程、圖形）問(wèn)題1．（23-24九年級(jí)上·山東泰安·期中）如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)、同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．幾秒后，四邊形的面積等于？請(qǐng)寫出過(guò)程．【答案】1秒或4秒【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）牢記“當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根”．利用時(shí)間路程速度，可分別求出點(diǎn)，到達(dá)終點(diǎn)所需時(shí)間，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，，．根據(jù)四邊形的面積等于，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，結(jié)合當(dāng)時(shí)，點(diǎn)重合，即可得出結(jié)論．【詳解】．由（1）得：，，，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的取值范圍為：，∵四邊形APQC的面積等于，∴，整理得：，解得，，∴或4時(shí)，四邊形APQC的面積等于．答：1秒或4秒后，四邊形APQC的面積等于．2．（24-25九年級(jí)上·廣東東莞·期中）綜合與實(shí)踐如圖1，有一張長(zhǎng)，寬的長(zhǎng)方形硬紙片，截去四個(gè)大小相同小正方形之后，折成如圖2所示的長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋紙盒，設(shè)截取的小正方形邊長(zhǎng)為．(1)用含有x的代數(shù)式分別表示無(wú)蓋紙盒底面的長(zhǎng)（________），寬（________）；(2)若紙盒的底面積為，求小正方形邊長(zhǎng)為x的值；(3)求出（2）中長(zhǎng)方體紙盒的容積．【答案】(1)，(2)5(3)【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖等知識(shí)點(diǎn)，（1）根據(jù)長(zhǎng)兩個(gè)小正方形的長(zhǎng)，寬兩個(gè)小正方形的寬即可得到答案；（2）根據(jù)面積＝長(zhǎng)×寬，列出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可；（3）利用長(zhǎng)方體的體積公式計(jì)算即可；根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）根據(jù)題意得：長(zhǎng)：，寬：；故答案為：，；（2）根據(jù)題意得：整理得：解得：（舍去），，∴小正方形邊長(zhǎng)為x的值為5；（3）∵，∴，，∴根據(jù)題意得：（2）中長(zhǎng)方體紙盒的容積為：．3．（2024·浙江臺(tái)州·一模）小明在平整的草地上練習(xí)帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，小明速度達(dá)到6m/s后保持勻速運(yùn)動(dòng)．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時(shí)間的變化而變化的情況，小明在4s時(shí)第一次追上球．（提示：當(dāng)速度均勻變化時(shí)，平均速度，距離）(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運(yùn)動(dòng)方向不變，當(dāng)小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)利用待定系數(shù)法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度為，利用小明在4s時(shí)第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根據(jù)題意找到速度、時(shí)間、路程的變化規(guī)律，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，把點(diǎn)代入得，，解得，∴關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：對(duì)于球來(lái)說(shuō)，，小明前a秒的平均速度為，a秒后速度為，由小明在4s時(shí)第一次追上球可得，，解得，即圖中a的值為；（3）小明第一次踢球已經(jīng)帶球跑了16米，還需要跑米，由（1）知，，假設(shè)每次踢球t從0開(kāi)始計(jì)算，因?yàn)榍蛟诓莸厣蠞L動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，則第二次踢球后變化規(guī)律為，，，則，，第二次踢后，則，（舍去），，此時(shí)又經(jīng)過(guò)了米，，第三次踢后，變化規(guī)律為，，，則，，第三次追上，則，（舍去），，此時(shí)又經(jīng)過(guò)了米，，又開(kāi)始下一個(gè)循環(huán)，故第四次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過(guò)24米，故第五次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過(guò)48米，故第六次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過(guò)24米，故第七次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過(guò)48米，∵，，∴帶球走過(guò)200米，在第七次踢球時(shí)實(shí)現(xiàn)，故小明小明踢球次數(shù)共有七次，故答案為：7【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必刷題十五、成比例線段1．（2024·湖南永州·一模）已知線段成比例，且，，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)線段成比例，可得，由可得，把，代入比例式計(jì)算即可求解，掌握成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵線段成比例，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，故選：．2．（23-24九年級(jí)上·廣東佛山·期末）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)E，若E為中點(diǎn)，則．【答案】/0.75【分析】設(shè)，由題意得，，根據(jù)勾股定理得，即，解得，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)，由題意得，，在中，，則，∴，解得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，正確掌握勾股定理及設(shè)定未知數(shù)求解是解題的關(guān)鍵．3．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）閱讀下面的一段文字：設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，．從上面的推導(dǎo)過(guò)程可得，若，當(dāng)時(shí)，．把它稱為等比性質(zhì)．利用等比性質(zhì)完成下題：(1)在和中，，且厘米，求的周長(zhǎng)．(2)若且，求的值．【答案】(1)15厘米(2)【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì)．（1）根據(jù)題意得到，由，代入計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，結(jié)合，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：，且，，的周長(zhǎng)（厘米）．故的周長(zhǎng)為15厘米．（2）解：，，，．易錯(cuò)必刷題十六、黃金分割1．（2024·寧夏吳忠·一模）如圖，在正五邊形中，連接它們的對(duì)角線，其中點(diǎn)C是對(duì)角線與對(duì)角線的交點(diǎn)，已知點(diǎn)為的黃金分割點(diǎn)，，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了正多邊形的相關(guān)性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握黃金分割點(diǎn)的計(jì)算方法是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn)，設(shè),則，得到，解得，根據(jù)，即可得到答案．【詳解】解：∵五邊形為正五邊形∴，,，∴，，∴，∴∴∴∵點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn)，設(shè),則∴化簡(jiǎn)得，，∴，∵∴故選：B．2．（23-24九年級(jí)上·河南許昌·期末）如圖，已知線段，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作，使，連接AD，在AD上截取；在AB上截取，則．【答案】【分析】先求得，再根據(jù)所給作圖步驟，分別求出出和AB即可解決問(wèn)題．本題主要考查了黃金分割，能根據(jù)題中所給作圖步驟，理清各線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，在中，．因?yàn)椋?，所以，所以．故答案為?．（23-24九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期中）黃金分割是一種被廣泛應(yīng)用于藝術(shù)和生活中的比例關(guān)系，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，黃金分割比也被稱作是最美比例關(guān)系．某藝術(shù)品公司生產(chǎn)了一款長(zhǎng)方形的畫框，測(cè)量發(fā)現(xiàn)該矩形畫框的長(zhǎng)為厘米，其寬與長(zhǎng)的比值等于黃金分割比．(1)求該矩形畫框的寬；(2)生產(chǎn)畫框所用的材料單價(jià)為元，則生產(chǎn)一個(gè)該畫框所需要的材料成本為多少錢？（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)厘米；(2)元．【分析】()根據(jù)寬與長(zhǎng)的比值等于黃金分割比列出算式即可求解；()求出矩形畫框的面積，進(jìn)而即可解決問(wèn)題；本題考查了黃金分割，二次根式的運(yùn)算，熟知黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.【詳解】（1）解：∵矩形畫框的寬與長(zhǎng)的比值等于黃金分割比，且長(zhǎng)為厘米，∴矩形畫框的寬為厘米；（2）解：矩形畫框的面積為（平方厘米），∴矩形畫框的材料成本為元，答：生產(chǎn)一個(gè)該畫框所需要的材料成本為元．易錯(cuò)必刷題十七、平行線分線段成比例1．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，連接，點(diǎn)在邊上，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查由平行判斷成比例的線段，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故選：A．2．（23-24九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）在中，點(diǎn)分別在上，，則．【答案】【分析】本題主要考查平行線分線段成比例，正確寫出對(duì)應(yīng)線段線是解題的關(guān)鍵．利用平行線分線段成比例可得到，代入可求得，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，∵，∴∵，∴∴，故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·四川遂寧·期中）請(qǐng)閱讀下面的材料，并回答所提出的問(wèn)題．三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．(1)已知：如圖1，在中，是角平分線，求證：．證明：過(guò)C作，交的延長(zhǎng)線于E．（完成以下證明過(guò)程）(2)用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問(wèn)題：①已知：如圖2，在中，是角平分線，，，．求的長(zhǎng)．②如圖3，在中，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，是的平分線，，則的長(zhǎng)為_(kāi)___________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①cm；②【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，角平分線的定義，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由，可求證，，，可得，即可求解；（2）①根據(jù)（1）中的結(jié)論即可求解．②根據(jù)（1）可得，進(jìn)而得出，根據(jù)是中點(diǎn),得出，進(jìn)而根據(jù)平行線分線段成比例得出的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴，，，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）解：①∵是角平分線，∴，∵，，，∴，解得cm；②解：∵是角平分線，∴，∴，∴，∵是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴．故答案為：9．易錯(cuò)必刷題十八、相似圖形1．（23-24九年級(jí)上·山東濱州·階段練習(xí)）已知五邊形五邊形，，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．五邊形的周長(zhǎng)是五邊形周長(zhǎng)的倍D．【答案】B【分析】本題考查相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個(gè)多邊形相似，則其對(duì)應(yīng)邊成比例，根據(jù)相似形對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出．【詳解】解：A、∵五邊形五邊形，∴，故選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴，故選項(xiàng)符合題意；C、五邊形的周長(zhǎng)是五邊形周長(zhǎng)，故選項(xiàng)不符合題間；D、，故選項(xiàng)符合題意；故選：B．2．（23-24九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）在師一學(xué)校第23屆運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式上，由500名初一學(xué)生組成的大型團(tuán)體操《傳承?復(fù)興》讓全校師生眼前一亮，該方隊(duì)面向主席臺(tái)集合時(shí)共25列20排（整個(gè)方隊(duì)看成矩形，且集合時(shí)人與人之間的距離忽略不計(jì)），其中每個(gè)小矩形（例如矩形）代表一名學(xué)生，且軍列的寬度都等于（即），每排的寬度都等于（即）當(dāng)方隊(duì)成體操隊(duì)形散開(kāi)時(shí)，假設(shè)列與列之間的距離都為（即），排與排之間的距離都（），若矩形與矩形相似時(shí)，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（不考慮x的取值范圍）．【答案】【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，函數(shù)關(guān)系式，依次表示出的長(zhǎng)，再利用矩形與矩形相似，即可得到，從而得出結(jié)果．【詳解】解：，，，，矩形與矩形相似，，，，故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)E，的平分線交于點(diǎn)F．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定解答即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可以得到，設(shè)，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)可得，列方程求出的值，從而可解答本題．【詳解】（1）證明：∵的平分線交于點(diǎn)，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．∴．∴．同理：．∴．∵∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形；（2）解：由（1）知，四邊形是菱形，又四邊形是平行四邊形，，設(shè)，∵四邊形是平行四邊形，且，∴，，即，整理得，解得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及相似多邊形的性質(zhì)，求出與的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵易錯(cuò)必刷題十九、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合1．（23-24九年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）如圖，平分，D為中點(diǎn)，，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)D為中點(diǎn)，得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵D為中點(diǎn)，，∵平分，，∵，，∴，．2．（24-25九年級(jí)上·山東菏澤·期中）如圖，在矩形中，是對(duì)角線，于點(diǎn)，交AD于點(diǎn)，，，求DE的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，同角的余角相等，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，由同角的余角相等得，進(jìn)而證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可得解?！驹斀狻拷猓核倪呅问蔷匦危唷?，，∴，∴∵∴∴∴∴3．（24-25九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，中，為邊上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)．【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判斷方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似即可證明；（2）先根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵，，∴．（2）解：∵，∴，∵，，∴，解得：(負(fù)值已舍)．易錯(cuò)必刷題二十、在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形1．（23-24九年級(jí)上·河北張家口·階段練習(xí)）如圖，在由小正方形組成的方格紙中，和的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使，則點(diǎn)所在的格點(diǎn)為（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定定理(兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似)即可判斷．【詳解】解：中，是正方形的對(duì)角線，∴，且，，即，要使，則，觀察圖形，是正方形的對(duì)角線，即，且，，即，∴點(diǎn)P1故選：A．2．（23-24九年級(jí)上·上海寶山·階段練習(xí)）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、E、F都在小正方形的頂點(diǎn)上，試在該網(wǎng)格中找點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)DE、DF，使得△DEF與△ACB相似（在圖中畫出符合題意的點(diǎn)D）【答案】見(jiàn)解析【分析】利用相似三角形的判定方法——“兩組對(duì)邊成比例且?jiàn)A角相等”作圖即可．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則，，，利用格點(diǎn)作，若△DEF與△ACB相似，則，即，解得，因此在DF上取點(diǎn)D使得即可．如圖所示，△DEF與△ACB相似．【點(diǎn)睛】本題主要考查畫相似三角形，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．（2024·河南洛陽(yáng)·一模）圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在圖①、圖②、圖③給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．（保留作圖痕跡，要求：借助網(wǎng)格，只用無(wú)刻度的直尺，不要求寫出畫法）(1)在圖①中，在線段上畫出點(diǎn)M，使(2)在圖②中，在線段上畫出點(diǎn)N，使(3)在圖③中，在線段上畫出點(diǎn)Q，使【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析．【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（1）取格點(diǎn)C，D，使，且，連接，交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求．（2）取格點(diǎn)E，F(xiàn)，使，且，連接，交于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求．（3）利用網(wǎng)格，過(guò)點(diǎn)P作的垂線，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q【詳解】（1）解：如圖①，取格點(diǎn)C，D，使，且，連接，交于點(diǎn)M，則，，即，則點(diǎn)M即為所求．（2）如圖②，取格點(diǎn)E，F(xiàn)，使，且，連接，交于點(diǎn)N，則，，即，則點(diǎn)N即為所求．（3）如圖③，取格點(diǎn)G，連接交AB于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求．易錯(cuò)必刷題二十一、相似三角形——?jiǎng)狱c(diǎn)問(wèn)題1．（23-24九年級(jí)上·安徽宿州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，點(diǎn)D，A在直線BC同側(cè)，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，點(diǎn)E是線段BC延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)．若△DCE和△ABC相似，則線段CE的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或3 D．或4【答案】C【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性質(zhì)得出或，代入即可得解.【詳解】∵∠ACD=∠ABC，∴∠A=∠DCE，∵△DCE和△ABC相似，∴或∵AC=6，AB=4，CD=2，∴或∴CE的長(zhǎng)為或3故選：C.【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的性質(zhì)，解決此問(wèn)題要注意分類討論.2．（23-24九年級(jí)上·江西撫州·期中）如圖，在中，厘米，厘米，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著邊向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也相應(yīng)停止運(yùn)動(dòng)，那么，當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．【答案】秒或4秒【分析】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，分和，兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，如圖：

則，，，，即：，解得：，當(dāng)時(shí)，如圖：

則，，，，即：，解得：，綜上所述，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或4秒，故答案為：秒或4秒．3．（23-24九年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖1，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿線段以每秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿線段以每秒的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)填空：______；(2)t為何值時(shí)，與相似；【答案】(1)(2)秒或秒【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法．（1）根據(jù)勾股定理求出的值即可；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)或時(shí)，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵在中，，，，∴．故答案為：．（2）解：由題意可知：，，則，∵，當(dāng)或時(shí)，與相似，當(dāng)時(shí)，，解得，，當(dāng)時(shí)，，解得，，當(dāng)或2.5秒時(shí)，與相似．易錯(cuò)必刷題二十二、相似三角形實(shí)際應(yīng)用1．（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·期末）2023年11月23日，第十批在韓中國(guó)人民志愿軍烈士遺骸歸國(guó)．英烈們前仆后繼的犧牲奉獻(xiàn)，換來(lái)了我們國(guó)家的富強(qiáng)和人民的幸福，在抗美援朝期間“跳眼法”是炮兵常用的一種簡(jiǎn)易測(cè)距方法（圖1）．如圖2，點(diǎn)A為左眼，點(diǎn)B為右眼，點(diǎn)O為右千大指，點(diǎn)C為敵人的位置，點(diǎn)D為敵人正左側(cè)方的某一個(gè)參照物（，目測(cè)的長(zhǎng)度后，然后利用相似三角形的知識(shí)來(lái)計(jì)算C處敵人距離我方的大致距離．已知大多數(shù)人的眼距長(zhǎng)約為厘米左右，手臂長(zhǎng)約為厘米左右，若的估測(cè)長(zhǎng)度為40米，那么的大致距離為多少米．

【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，證明得到，再代值計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，∴，，，根據(jù)題意得，，，，，答：的大致距離為．2．（23-24九年級(jí)上·上海崇明·期中）學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量操場(chǎng)旗桿的高度，做了如下的探索：他們根據(jù)物理中“光的反射定理”，利用一面鏡子和一把皮尺，設(shè)計(jì)了如圖所示的測(cè)量方案：把一面很小的鏡子放在距離旗桿底部（B）米的點(diǎn)E處，然后沿著直線后退到點(diǎn)D處，此時(shí)恰好在鏡子里看到旗桿頂部A，即．再用皮尺測(cè)得為米，觀察者目高為米．根據(jù)上述測(cè)量方案及數(shù)據(jù)，求旗桿的高度．【答案】米【分析】根據(jù)題意可得，可證得，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∵，∴，∴，即，解得：米，答：旗桿的高度為米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用舉例，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（23-24九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期末）在學(xué)習(xí)了光的反射定律后，數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐小組想利用光的反射定律（反射角等于入射角）測(cè)量池塘對(duì)岸一棵樹(shù)的高度，測(cè)量步驟如下：①如圖，在地面上的點(diǎn)E處放置一塊平面鏡（鏡子大小忽略不計(jì)），小陽(yáng)站在的延長(zhǎng)線上，當(dāng)小陽(yáng)從平面鏡中剛好看到樹(shù)的頂點(diǎn)A時(shí)，測(cè)得小陽(yáng)到平面鏡的距離m，小陽(yáng)的眼睛點(diǎn)C到地面的距離m；②將平面鏡從點(diǎn)E沿的延長(zhǎng)線移動(dòng)6m放置到點(diǎn)H處，小陽(yáng)從點(diǎn)D處移動(dòng)到點(diǎn)G，此時(shí)小陽(yáng)的眼睛點(diǎn)F又剛好在平面鏡中看到樹(shù)的頂點(diǎn)A，這時(shí)測(cè)得小陽(yáng)到平面鏡的距離m．請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量過(guò)程及數(shù)據(jù)求出樹(shù)的高度．【答案】樹(shù)的高度為．【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．證明，列出比例式進(jìn)行求解即可．解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．【詳解】解：由題意可知，，∴，∴，，∴，，∴，解得，，∴，答：樹(shù)的高度為．易錯(cuò)必刷題二十三、三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，為了測(cè)量校園內(nèi)被花壇隔開(kāi)的A，B兩點(diǎn)的距離，同學(xué)們?cè)谕膺x擇一點(diǎn)C，測(cè)得兩邊中點(diǎn)的距離為，則A，B兩點(diǎn)的距離是（

）．A．12 B．14 C．16 D．24【答案】C【分析】本題考查三角形中位線定理，利用三角形中位線定理解決問(wèn)題即可．【詳解】解：，是的中位線，，，，故選：C．2．（23-24九年級(jí)上·山西晉中·期末）如圖，，兩地被古城墻阻隔，為測(cè)量，兩地間的距離，先在城墻外地上取一個(gè)可以直接到達(dá)，兩地的點(diǎn)，連接CA，CB，分別取CA，CB的中點(diǎn)，，連接DE．若DE的長(zhǎng)為27m，則，兩地間的距離為．【答案】54【分析】本題考查的是三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【詳解】解：點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，故答案為：54．3．（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H得四邊形EFGH．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形．(2)當(dāng)四邊形ABCD分別是菱形、矩形、正方形時(shí)，相應(yīng)的平行四邊形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一種？請(qǐng)將你的結(jié)論填入下表：四邊形ABCD菱形矩形正方形平行四邊形EFGH【答案】(1)見(jiàn)解析(2)矩形，菱形，正方形【分析】（1）連接BD，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，可得EH和FG為中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求證．（2）由（1），根據(jù)矩形，菱形，正方形的判定即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接BD，∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，∴EH//BD，EH＝BD，同理FG//BD，F(xiàn)G＝BD，∴EH//FG，且EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．（2）連接AC，BD，如圖所示：當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，∴AC⊥BD，∵FG//BD，EH//FG，∴EH⊥EF，∴平行四邊形EFGH是矩形，當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，AC=BD，則EH=EF，∴平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)四邊形ABCD是正方形時(shí)，AC=BD且AC⊥BD，則EH=EF且EH⊥EF，∴平行四邊形EFGH是正方形，故答案為：矩形，菱形，正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形、平行四邊形的判定、三角形的中位線的性質(zhì)，菱形的判定，矩形的判定及正方形的判定，熟練掌握其各判定定理是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必刷題二十四、在坐標(biāo)系中求兩個(gè)位似圖形的相似比、周長(zhǎng)比或面積比1．（23-24九年級(jí)上·上海徐匯·期末）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，與是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，已知A-2,0，，則與的周長(zhǎng)之比是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．根據(jù)與是位似圖形，以及A和D的坐標(biāo)，求出與的相似比為，即可求出與的周長(zhǎng)之比．【詳解】∵與是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∵，，∴與的相似比為，∴與的周長(zhǎng)之比是．故選：D．2．（23-24九年級(jí)上·上海青浦·階段練習(xí)）如圖，四邊形與四邊形關(guān)于點(diǎn)成位似圖形．若四邊形與四邊形的位似比為，則四邊形與四邊形的周長(zhǎng)比為．【答案】【分析】本題考查的是位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的周長(zhǎng)比等于相似比解題即可．【詳解】解：∵四邊形與四邊形的位似比為，∴四邊形與四邊形的周長(zhǎng)比為．故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·湖南郴州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)分別為．(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，位似比為，將作位似變換后得到，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出．(2)設(shè)與，面積分別為和，試求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題主要考查了位似變換，（1）直接利用位似比得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得出答案；（2）利用位似圖形的性質(zhì)得出面積比即可．【詳解】（1）如圖所示：即為所求；（2）與是位似圖形，位似比為，易錯(cuò)必刷題二十五、用坐標(biāo)確定位置1．（23-24九年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期末）周末，洋洋參加了褐馬雞放歸活動(dòng)．如圖是宣傳牌上利用網(wǎng)格畫出的褐馬雞的示意圖．若建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，表示嘴部點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示尾部點(diǎn)的坐標(biāo)為，則表示足部點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了用坐標(biāo)確定位置，依據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)確定出坐標(biāo)軸的位置是解題的關(guān)鍵．根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，B點(diǎn)的坐標(biāo)為確定出坐標(biāo)軸的位置，即可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：由表示嘴部A點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示尾部B點(diǎn)的坐標(biāo)為，得出坐標(biāo)系如圖所示：∴表示足部C點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：C．2．（2024·貴州六盤水·一模）如圖，小黔與小紅在玩“五子棋”；小黔是黑子，他把第四子下在棋盤坐標(biāo)的上，則小紅下的白色第三子的棋盤坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，根據(jù)建立坐標(biāo)系，再確定小紅下的白色第三子的棋盤坐標(biāo)即可.【詳解】解：如圖，小紅下的白色第三子的棋盤坐標(biāo)是，故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·貴州黔東南·期中）如圖所示，一個(gè)小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)表示．A同學(xué)上學(xué)時(shí)從家中出發(fā)，先向東走，再向北走就到達(dá)學(xué)校．(1)以學(xué)校為坐標(biāo)原點(diǎn)，向東為x軸正方向，向北為y軸正方向，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系；(2)B同學(xué)家的坐標(biāo)是；(3)在你所建的平面直角坐標(biāo)系中，如果C同學(xué)家的坐標(biāo)為，請(qǐng)你在圖中描出表示C同學(xué)家的點(diǎn)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了坐標(biāo)確定位置：平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)；記住平面內(nèi)特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo)特征．（1）由于同學(xué)上學(xué)時(shí)從家中出發(fā)，先向東走250米，再向北走50米就到達(dá)學(xué)校，則可確定點(diǎn)位置，然后畫出直角坐標(biāo)系；（2）利用第一象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫出點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)坐標(biāo)的意義描出點(diǎn)．【詳解】（1）以學(xué)校為坐標(biāo)原點(diǎn)，向東為x軸正方向，向北為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．（2）同學(xué)家的坐標(biāo)是，故答案為：；（3）C同學(xué)家的坐標(biāo)為(在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示．易錯(cuò)必刷題二十六、求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)1．（23-24九年級(jí)上·四川南充·期中）如圖所示的象棋棋盤上，若“帥”位于點(diǎn)上，“相”位于上，則“炮”位于點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)．直接利用坐標(biāo)系中的移動(dòng)法則“右加左減，上加下減”來(lái)確定坐標(biāo)即可．【詳解】解：以“帥”位于點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)，則“炮”位于點(diǎn)，即為．故選A．2．（23-24九年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期中）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平行2個(gè)單位長(zhǎng)度后的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移規(guī)律，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上某點(diǎn)的平移相同．平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．直接利用平移中點(diǎn)的變化規(guī)律求解即可．【詳解】解：點(diǎn)先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平行2個(gè)單位長(zhǎng)度后的坐標(biāo)為，即，故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，．

(1)若把向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：（______，______），的坐標(biāo)：（______，______），的坐標(biāo)：（______，______）；(2)在圖中畫出平移后的；(3)請(qǐng)求出的面積．【答案】(1)，，，，，(2)見(jiàn)解析(3)7【分析】（1）根據(jù)題意，將A，B，C的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)減2，縱坐標(biāo)加3，即可求解；（2）根據(jù)（1）的坐標(biāo)，畫出平移后的；（3）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積減去三個(gè)三角形的面積即可求解．【詳解】（1）∵把向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，∵，，∴，，；（2）如圖所示，即為所求；

（3）的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了平移作圖，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必刷題二十七、坐標(biāo)與圖形變化——軸對(duì)稱1．（23-24九年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對(duì)稱圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，其關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”求解即可．【詳解】解：∵圖中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，其關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴，∴，故選：C．2．（23-24九年級(jí)上·山東臨沂·期中）如圖，已知關(guān)于過(guò)點(diǎn)且與x軸平行的直線對(duì)稱，C到的距離為2，長(zhǎng)為6，則點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【答案】【分析】此題考查坐標(biāo)與圖形的變化-對(duì)稱，認(rèn)真觀察，找著特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，可得A、B的連線與垂直，且兩點(diǎn)到直線的距離相等，又，從而可以得出A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)；又C到的距離為2，從而可以得出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】解：由題可知：可得A、B的連線與垂直，且兩點(diǎn)到直線的距離相等，∵，∴A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為和4，又∵C到的距離為2，∴A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為2，∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．故答案為．3．（24-25九年級(jí)上·福建三明·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，．(1)畫出關(guān)于y軸對(duì)稱的，其中點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，；(2)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)：（________，________），（________，________）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)1；；4；【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱作圖，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置．（1）先作出點(diǎn)A，B，C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，，，然后再順次連接即可；（2）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)特點(diǎn)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：如圖：即為所作的三角形，（2）解：點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，．易錯(cuò)必刷題二十八、直角三角形的性質(zhì)1．（23-24九年級(jí)上·貴州銅仁·期中）如圖，在中，，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含有30°角的直角三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．先求出，再根據(jù)含有角的直角三角形性質(zhì)可得的長(zhǎng)．【詳解】解：在中，，，，，．故選：A．2．（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，，是的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵，是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·江西南昌·單元測(cè)試）如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)C的直線，D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作，交直線于E，垂足為F，連接．(1)CE與AD的數(shù)量關(guān)系是；(2)當(dāng)D在AB的中點(diǎn)，四邊形是什么特殊的四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拇笮M足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．【答案】(1)相等(2)四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析(3)當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了平行四邊形、菱形以及正方形的判定，熟記相關(guān)判定定理的內(nèi)容即可．（1）證四邊形是平行四邊形即可求解；（2）先證四邊形是平行四邊形，結(jié)合，D為AB中點(diǎn)，可得，即可求證；（3）根據(jù)題意得，結(jié)合D為中點(diǎn)，可得；結(jié)合（2）中的結(jié)論即可求解；【詳解】（1）解：由題意得：，∴∵∴四邊形是平行四邊形∴故答案為：相等（2）解：四邊形是菱形，理由：∵D為AB中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵∴四邊形是平行四邊形，∵，D為AB中點(diǎn)，∴，∴四邊形是菱形．（3）解：當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，理由：∵，∴，∴，∵D為中點(diǎn)，∴，∴°，∵四邊形是菱形，∴菱形是正方形，易錯(cuò)必刷題二十九、求角的正切、正弦、余弦值1．（24-25九年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，中，，于點(diǎn)，若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了求角的正弦值，先求出，從而得出，即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故選：B．2．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，矩形中，，．以點(diǎn)A為圓心，將邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交于點(diǎn)E，得到扇形，扇形正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面圓半徑是．

【答案】/【分析】先求出，再由弧長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出該圓錐的底面圓半徑．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，又∴∴的長(zhǎng)，∴該圓錐的底面圓半徑為：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，熟練掌握弧長(zhǎng)公式是解答本題的關(guān)鍵3．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，a、b、c分別為的對(duì)邊，且．試求最小角的三角函數(shù)值．【答案】，，【分析】本題主要考查了銳角三角函數(shù)值，首先表示出各邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出銳角三角函數(shù)值即可．【詳解】解：∵a、b、c分別為的對(duì)邊，且，∴設(shè)，，，∴，∴最小，∴，，．易錯(cuò)必刷題三十、三角函數(shù)的定義求邊長(zhǎng)1．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·期中）2024年5月29日16時(shí)12分，“長(zhǎng)春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在黃海海域成功發(fā)射．當(dāng)火箭上升到點(diǎn)A時(shí)，位于海平面R處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到點(diǎn)A的距離為a千米，仰角為，則此時(shí)雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到發(fā)射點(diǎn)L的距離為（

）A．千米 B．千米 C．千米 D．千米【答案】C【分析】本題考查解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)銳角的余弦的定義即可求解．【詳解】解：由題意得：，千米，故選：C．2．（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）在中，，，，則．【答案】【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)，結(jié)合，設(shè)，則，求解，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，設(shè)，則，∴，∴，解得：，∴，故答案為6．3．（2024·浙江湖州·一模）如圖，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為點(diǎn)，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，．(1)求的值；(2)連接，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】此題考查了反比例函數(shù)綜合題，用到了銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵（1）先利用求出，再利用勾股定理求出，可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；求出，代入函數(shù)解析式即可得答案；（2）求出，直接利用三角形面積公式求出答案即可．【詳解】（1）解：∵軸，，∴，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，由勾股定理得：，∴，∴，，∵B是的中點(diǎn)，∴，將代入，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵．易錯(cuò)必刷題三十一、特殊角三角函數(shù)值的混合運(yùn)算1．（24-25九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了特殊角度的三角函數(shù)值計(jì)算，代入特殊角度的三角函數(shù)值計(jì)算即可，熟記特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，故選：．2．（24-25九年級(jí)上·浙江嘉興·期中）計(jì)算：=．【答案】【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的計(jì)算，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：故答案為：．3．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·期末）求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，熟練掌握各個(gè)特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．（1）先求得各特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行實(shí)數(shù)混合計(jì)算即可；（2）先求得各特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行實(shí)數(shù)混合計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．易錯(cuò)必刷題三十二、根據(jù)三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍1．（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）已知是銳角，且，那么銳角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，熟知銳角三角函數(shù)的余弦函數(shù)值隨角增大而減小是解答此題的關(guān)鍵．先求出，及的近似值，然后得出結(jié)論即可．【詳解】解：，，，又∵解：，，，又∵，余弦函數(shù)隨角增大而減小，∴．故選：B．2．（23-24九年級(jí)上·安徽宣城·期末）已知，則銳角的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性即可求解．熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值和銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由，∴，∵當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，∴，故答案為：3．（2024·浙江寧波·一模）如圖是某公園的一臺(tái)滑梯，滑梯著地點(diǎn)B與梯架之間的距離．（1）現(xiàn)在某一時(shí)刻測(cè)得身高1.8m的小明爸爸在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為0.9m，滑梯最高處A在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為1m，求滑梯的高；（2）若規(guī)定滑梯的傾斜角（）不超過(guò)30°屬于安全范圍，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這架滑梯的傾斜角是否符合安全要求？【答案】（1）2米；（2）符合【分析】（1）利用影長(zhǎng)物高成比例求解即可；（2）先求出銳角三角函數(shù)值，再利用銳角三角函數(shù)值求出角的范圍即可．【詳解】解：（1），，答：滑梯高為2米；（2）∵AC=2m,BC=4m，∴，∵正切值隨著角的增大函數(shù)值增大，，這架滑梯的傾斜角符合安全要求．【點(diǎn)睛】本題考查影長(zhǎng)物高成比例性質(zhì)，正切三角函數(shù)的定義，及正切函數(shù)的增減性，掌握影長(zhǎng)物高成比例性質(zhì)，正切三角函數(shù)的定義，及正切函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．易錯(cuò)必刷題三十三、三角函數(shù)綜合1．（23-24九年級(jí)上·上海徐匯·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，已知AB=20，；求：（1）求線段AE的長(zhǎng)；（2）求cos∠DAE的值．【答案】（1）12.5；（2）【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得，再由直角三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)直角三角形的面積，可得，再由銳角三角函數(shù)，即可求解．【詳解】解：（1），，，，，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，；（2），，∴，∵，，AB=20，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·上海金山·二模）如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，，垂足為F.（1）求證：；（2）如果，求的余切值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）矩形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)定理證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、余切的定義計(jì)算即可.【詳解】解：（1）證明：四邊形是矩形，，，在和中，，，；（2），，設(shè)，，，，，，，，.【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及余切的定義，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.3．（23-24九年級(jí)上·上海長(zhǎng)寧·期末）如圖,某種路燈燈柱垂直于地面,與燈桿相連.已知直線與直線的夾角是.在地面點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角是,點(diǎn)仰角是,點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為米．求：（1）點(diǎn)到地面的距離；（2）的長(zhǎng)度．（精確到米）（參考數(shù)據(jù):）【答案】（1）2.8米；（2）AB的長(zhǎng)度為0.6米【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)F，則，在中，用三角函數(shù)即可得；（2）過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)H，根據(jù)，證明四邊形AFCH是矩形，則，，設(shè)BC=x，則米，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，即，根據(jù)三角函數(shù)得DF=2.1米，米，在中，根據(jù)三角函數(shù)得，則，即可得，則，根據(jù)三角函數(shù)即可得米．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)F，則，在中，（米），即點(diǎn)A到地面的距離為2.8米；（2）過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)H，在四邊形AFCH中，，∴四邊形AFCH是矩形，∴，，設(shè)BC=x，則米，∵，，∴，∴，∴（米），∴（米），∴米，∵在中，，∴，∴，∴（米），∵，∴（米）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)，矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．易錯(cuò)必刷題三十四、解直角三角形1．（24-25九年級(jí)上·上海楊浦·期中）如圖，在中，，，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則，先求出，進(jìn)而求出，設(shè)，則，列方程求出x值，即可求出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則．，，，∵，設(shè)，則，，，設(shè)，則，，∵．∴，解得：，，．2．（24-25九年級(jí)上·上海崇明·期中）如圖，在中，，，．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義．（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案；（2）根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦的定義求解即可．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴，即∴；（2）∵，，∴∴．3．（23-24九年級(jí)上·上海青浦·期中）如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．(1)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫定義域）；(3)當(dāng)