2025-2026學(xué)年上海市浦東新區(qū)平和學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷考試注意事項(xiàng)：1、考生須誠信考試,遵守考場規(guī)則和考試紀(jì)律，并自覺服從監(jiān)考教師和其他考試工作人員

管理；

2、監(jiān)考教師發(fā)卷后，在試卷指定的地方填寫本人準(zhǔn)考證號、姓名等信息；考試中途考生不準(zhǔn)以任何理由離開考場；

3、考生答卷用筆必須使用同一規(guī)格同一顏色的筆作答(作圖可使用鉛筆)，不準(zhǔn)用規(guī)定以外的筆答卷，不準(zhǔn)在答卷上作任何標(biāo)記。考生書寫在答題卡規(guī)定區(qū)域外的答案無效。4、考試開始信號發(fā)出后,考生方可開始作答。一、選擇題（每題4分）1．（4分）如果兩個相似三角形的相似比是，那么它們的對應(yīng)中線的比是A． B． C． D．2．（4分）如圖，在中，，，，則的值是A． B． C． D．3．（4分）在△中，點(diǎn)，分別在邊，上，，那么下列條件中能夠判斷的是A． B． C． D．4．（4分）已知，下列判斷正確的是A．與的方向相同 B． C．與不平行 D．5．（4分）已知在中，，分別交邊、于、，且，則與的面積比是A． B． C． D．6．（4分）如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④．其中能夠判定△△的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題7．已知，那么．8．化簡：．9．在一張比例尺為1：10000的地圖上，A、B兩地之間的距離是20厘米，那么A、B兩地之間的實(shí)際距離為千米．10．已知線段，是的黃金分割點(diǎn)，且，那么．11．已知線段厘米，厘米，則線段和的比例中項(xiàng)是厘米．12．在中，，如果，，那么．13．如圖，，，，，則．14．如圖，在△中，是中線，是重心，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，若，則．15．如圖，在中，，于點(diǎn)，若，，則．16．如圖，已知是的角平分線，，點(diǎn)在上，，，那么．17．如圖，在等邊中，為邊上一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且，，，則的邊長為．18．如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到，且交于點(diǎn)，那么線段的長是．三、解答題：（本大題共7題，滿分0分）19．計(jì)算：．20．如圖，在梯形中，，與交于點(diǎn)，．設(shè)，（1）（用向量表示）．（2）若，在圖中求作．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）21．已知，如圖，，，，．（1）求的長；（2）如果，，試求的長．22．材料閱讀：光從空氣中射入水中時，傳播方向發(fā)生了偏折，這種現(xiàn)象叫做光的折射，我們把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比稱為折射率，即，已知光線從空氣進(jìn)入水中時的折射率為問題解答：如圖，矩形為盛滿水的水槽、一束光線從點(diǎn)射向水面上的點(diǎn)，折射后照到水槽底部的點(diǎn)．測得，，若，，三點(diǎn)在同一條直線上，請依據(jù)相關(guān)材料回答以下問題：（1）求的正弦值；（2）求的長（參考數(shù)據(jù)；．23．已知在梯形中，，；（1）求證：△△；（2）連接，若，求證：．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求線段的長度；（2）連接線段、，求的值；（3）設(shè)線段與軸交于點(diǎn)，如果點(diǎn)在軸上，且△與△相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．25．如圖，在△中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），且．（1）當(dāng)時，連接，求的余切值；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（3）連接，若△為等腰三角形，求的長．

參考答案一、選擇題（每題4分）1．（4分）如果兩個相似三角形的相似比是，那么它們的對應(yīng)中線的比是A． B． C． D．解：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，三角形中對應(yīng)線段的比等于相似比可知：兩個相似三角形的相似比是，它們的對應(yīng)中線的比等于相似比，故選：．2．（4分）如圖，在中，，，，則的值是A． B． C． D．解：，．故選：．3．（4分）在△中，點(diǎn)，分別在邊，上，，那么下列條件中能夠判斷的是A． B． C． D．解：如圖，可假設(shè)，則可得，，但若只有，并不能得出線段．故選：．4．（4分）已知，下列判斷正確的是A．與的方向相同 B． C．與不平行 D．解：因?yàn)?，、與的方向相同，正確；、，錯誤；、與平行，錯誤；、，錯誤；故選：．5．（4分）已知在中，，分別交邊、于、，且，則與的面積比是A． B． C． D．解：，，，，與的面積比是：，故選：．6．（4分）如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④．其中能夠判定△△的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4解：①，，由有兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似，能夠判定△△，故①正確；②，，由有兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似，能夠判定△△，故②正確；③，△和△兩邊對應(yīng)出比例，但兩邊的夾角和不一定相等，因此不能判定△△，故③錯誤；④由，得到，又，由兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，能夠判定△△，故④正確．因此正確的個數(shù)是3個．故選：．二、填空題7．已知，那么．解：的兩個內(nèi)項(xiàng)是、1，兩個外項(xiàng)是、3，，根據(jù)合比定理，知；又上式的兩個內(nèi)項(xiàng)是和4，兩個外項(xiàng)是和1，．故答案為：．8．化簡：．解：原式．故答案為：．9．在一張比例尺為1：10000的地圖上，A、B兩地之間的距離是20厘米，那么A、B兩地之間的實(shí)際距離為2千米．解：圖上距離為20厘米，比例尺1：10000表示圖上1厘米代表實(shí)際10000厘米，∴實(shí)際距離為20×10000＝200000（厘米），∴200000÷100000＝2（千米），∴A、B兩地之間的實(shí)際距離為2千米．故答案為：2．10．已知線段，是的黃金分割點(diǎn)，且，那么．解：根據(jù)黃金分割的定義可得：，．故答案為：．11．已知線段厘米，厘米，則線段和的比例中項(xiàng)是4厘米．解：線段是、的比例中項(xiàng)，，解得，又線段是正數(shù)，．故答案為4．12．在中，，如果，，那么4．解：如圖所示，在中，，，，，則，故答案為：4．13．如圖，，，，，則3．解：，，平行線分線段成比例可得：，即，，故答案為：3．14．如圖，在△中，是中線，是重心，過點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，若，則9．解：由平行線性質(zhì)定理可知：，是中線，是重心，，，故答案為：9．15．如圖，在中，，于點(diǎn)，若，，則．解：，，，，，，則．故答案為：．16．如圖，已知是的角平分線，，點(diǎn)在上，，，那么4．解：，，△△，是的角平分線，，，，設(shè)，△△，（相似三角形對應(yīng)邊成比例），解得，解得或（不符合題意，舍去），故答案為：4．17．如圖，在等邊中，為邊上一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且，，，則的邊長為9．解：是等邊三角形，，，，，，，，又，，，即；解得，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的根，的邊長為9．故答案為：9．18．如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，得到，且交于點(diǎn)，那么線段的長是．解：連接，，設(shè)，，則，解得，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，，，又，，是等腰三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，即，解得，．故答案為：．三、解答題：（本大題共7題，滿分0分）19．計(jì)算：．解：原式．20．如圖，在梯形中，，與交于點(diǎn)，．設(shè)，（1）（用向量表示）．（2）若，在圖中求作．（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）解：（1），△△，，，；故答案為：；（2），如圖，取中點(diǎn)為，連接，則，為中點(diǎn)，，在△中，，故為表示結(jié)論的向量．21．已知，如圖，，，，．（1）求的長；（2）如果，，試求的長．解：（1），，，，，，，解得：（經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，且符合題意）；（2）如圖，，，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，四邊形和四邊形都是平行四邊形，，，，，△△，，，，，，解得：（經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，且符合題意），．22．材料閱讀：光從空氣中射入水中時，傳播方向發(fā)生了偏折，這種現(xiàn)象叫做光的折射，我們把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比稱為折射率，即，已知光線從空氣進(jìn)入水中時的折射率為問題解答：如圖，矩形為盛滿水的水槽、一束光線從點(diǎn)射向水面上的點(diǎn)，折射后照到水槽底部的點(diǎn)．測得，，若，，三點(diǎn)在同一條直線上，請依據(jù)相關(guān)材料回答以下問題：（1）求的正弦值；（2）求的長（參考數(shù)據(jù)；．解：（1）在△中，，，，折射率，，；（2），，在△中，，設(shè)，則，由勾股定理得：，，解得：，，，答：的長約為．23．已知在梯形中，，；（1）求證：△△；（2）連接，若，求證：．【解答】證明：（1）在梯形中，，，，，，△△；（2）如圖，連接，由（1）知，△△，，即，，，，且，△△，，，．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求線段的長度；（2）連接線段、，求的值；（3）設(shè)線段與軸交于點(diǎn)，如果點(diǎn)在軸上，且△與△相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）由勾股定理可得：；（2）如圖，，，，，，，，△是直角三角形，；（3）設(shè)直線的表達(dá)式為，由條件可得：，解得，設(shè)直線的表達(dá)式為，令，得，解得，，當(dāng)△△時，，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由條件可知，，△△，，由（2）知，即，，即，，，；當(dāng)△△時，，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．25．如圖，在△中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），且．（1）當(dāng)時，連接，求的余切值；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；（3）連接，若△為等腰三角形，求的長．解：