1、寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間s：

(1)記錄一個班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(設(shè)以百分制記分)。

(2)生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為之，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。

(3)對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的記上“正品”，不合格的記上“次品”，如

連續(xù)查出了2件次品就停止檢查，或檢查了4件產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查結(jié)

果。

(4)在單位圓內(nèi)任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。

(1)解：設(shè)該班學(xué)生數(shù)為n,總成績的可取值為0,1,2,3,…，100n,

(2)解：S={10,11、12-)

所以試驗(yàn)的樣本空間為S=(i/n|i=K2、3-100n)

(3)解：設(shè)1為正品()為次品

S={00,100,1100,010,1111,1110,1011,1101,0111,0110,0101,

1010)

⑷解：取直角坐標(biāo)系,則S={(x,y)|x2+y2<l}

取極坐標(biāo)系，則S=1(P,0)|P<1,G?8<2邛

2.設(shè)A,B,C為三個事件，用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件：

(1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生

(2)A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生

(3)A,B,C中至少有一個要發(fā)生

(4)A,B,C都發(fā)生

(5)A,B,C都不發(fā)生

(6)A,B,C中不多于一個發(fā)生

(7)A,B,C中不多于兩個發(fā)生

(8)A,B,C中至少有兩個發(fā)生

解：以下分別用口立=1,2,3,4,5,6,7,8)來表示(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8)

(1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生表示A石，0同時發(fā)生,故*A5仁

(2)A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生表示A,B,。同時發(fā)生，故D2=ABC

(3)法一：A,B,C中至少有一個要發(fā)生由和事件定義可知，D3=AUBUC

法二：A,B,C中至少有一個要發(fā)生是事件A,B,C都不發(fā)生的對立面，即D3=ABC

法三：A,B,C中至少有一個要發(fā)生可以表示為三個事件中恰有一個發(fā)生，恰有兩個發(fā)生

或恰有三個發(fā)生,即D3=A前UABCU~ABCUABCUABCUABCUABC

(4)人,13<都發(fā)生表示/1,13,(：都發(fā)生，故D4=AUBUC=ABC

(5)A,B,C都不發(fā)生表示了萬個都不發(fā)生，故D5=N后6

(6)法一：A,B,C中不多于一個發(fā)生可以表示為三個事件中恰有一個發(fā)生或一個都不發(fā)

生，即D6=ABCUABCUABCUABC

法二：A,B,C中不多于一個發(fā)生可以表示為至少有兩個不發(fā)生，即D6二入5UACUBC

法三：A,B,C中不多于一個發(fā)生是至少有兩個發(fā)生的對立面，即D6=A8DACDBC

(7)法一：A,B,C中不多于兩個發(fā)生即為三個事件發(fā)生兩個，發(fā)生一個或者一個都不發(fā)

生，即D7=UABCu~ABCu~ABCUABCuABCuABC

法二：A,B,C中不多于兩個發(fā)生可以表示為至少有一個不發(fā)生，即D7=NU與U3

法三：A,B,C中不多于兩個發(fā)生可以表示為三個都發(fā)生的對立面，即D7二而心

(8)法一：A,B,C中至少有兩個發(fā)生即為三個事件中發(fā)生兩個或者三個都發(fā)生，即

D8=ABCUABCUABCUABC

法二：A,B,C中至少有兩個發(fā)生，即D8=ABUACUBC

法二：A,B,C中至少有兩個發(fā)生可以表示為二個事件只發(fā)生一個或一個都不發(fā)生的對立

面，

3(1)設(shè)A,B,C三個事件，P(A)=P(B)=P(0=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=l/8,求A,B：C至

少有一個發(fā)生的概率。

(2)已知P(A)=l/2,P(B)=l/3,P(C)=l/5,P(AB)=l/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,

求AuBKRAuBuuC的概率

(3)P(A)=l/2,

(A.)若A,B互不相容,求P(A5)

(B.)若P(AB)=l/8,求P(AB)

(1)P(AUBUC)

=P(A)+P(B)+P(C)—P(AB)—P(AC)—P(BC)

=3/4-l/8

=5/8

(2)P(AUB)

=P(A)+P(B)-P(AB)

=5/6-1/10

=11/15

P(AB)

=P(4US]

=I-P(AUE)

=1-11/15=4/15

P(AUBUC)

=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)—P(AC)—P(BC)+P(ABC)

=17/20

P(ABC)

=P(AuBuC

=1_P(AuBuC；

=1-17/20

=3/20

P(ABC)

=P(C)-P(AC)-P(BC)4-P(ABC)

=7/60

P(ABUC)

=P(TuTuC)

=1-P(A)-P(B)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)

=7/20

(3)A.P(AB)=P(A)=l/2

因?yàn)锳B不相容所以AB一個發(fā)生另一個一定不發(fā)生

B.P(AB)=P(A)-P(AB)=3/8

4.設(shè)A,B是兩個事件.

(1)已知AB=1石驗(yàn)證A=B.

(2)驗(yàn)證事件A和事件B恰有一個發(fā)生的概率為P(A)+P(B)-2P(AB).

解：法一

(1)vAB=/

(AB)u(AB)=網(wǎng)U(4B)

A(EuB)=B(AuA)>

：?AS=BS,

??A=B.

(2)事件A與事件B恰有一個發(fā)生即事件人口U布

P(A?u%)

=P(AB)+P(3B)

=P[A(S-B)]+P[(S-A)B]

=P(A-AB)+P(B-AB)

=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-2P(AB)

法二

(i)vAB~A-B,M=5-

又AB=BN,

A-B=B-A

A=B即證。

(2)原理同(1),

事件A與事件B恰有一個發(fā)生即事件ABU不

即P(ABU%)

=P(AB)+p(4)

=P(A-B)+P(B-A)

=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-2P(AB)

5.10片藥片中有5片安慰劑。

(1)從中任意抽取5片，求其中至少有兩片是安慰劑的概率。

(2)從中每次取一片，作不放回抽樣，求前3次都取到安慰劑的概率。

解：(1)設(shè)其中至少有兩片是安慰劑的概率為事件A.

c

…、，l,"10x9x8x7x6zrrJ10x9x8x7x61

F-互'1/Sx4x3x2xl一(5x5)/5x4x3x2x1=i

(2)設(shè)前三次都取到安慰劑為事件B。

*鴻5x4x31

--

l尸C}oqc|10x9x812

6在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀(jì)念章。任選3人記錄其紀(jì)念章的號碼。

(1)求最小號碼為5的概率.

(2)求最大號碼為5的概率.

解：E:在房間里面任選3人，記錄其佩戴紀(jì)念章的號碼.1()人中任選3人C?r=120種,

即樣本總數(shù)。記事件A為最小號碼為5,記事件B為最大號碼為5.

5!*3!*7!1

⑴P(A)=C：/

2!*3!*10!=12

4!*3!*7!1

(2)P(B)=C/2!*2!*10!=20.

7.某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，紅漆3桶，在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽

脫落，交貨人隨意將這些油漆發(fā)給顧客。問一個訂貨為4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆的顧

客，能按所訂顏色如數(shù)得到訂貨的概率是多少？

解：設(shè)事件“該訂戶得到4桶白漆，3桶黑漆，2桶紅漆訂貨”為事件A

共17桶油漆，該客戶訂貨共413吵=9桶，題意即為客戶在17桶中選9桶，其中1()推白漆

中占有4桶，4桶黑漆中占有3桶,3桶紅漆中占有兩桶.所以分母為C917,分子為C410c3

4C23,即所求概率為

味宇252

P(A)==2431

8.在1500件產(chǎn)品中有400件次品、1100件正品。任取200件

(1)求恰有90件次品的概率。

(2)求至少有2件次品的概率。

解：設(shè)A表示事件“恰好有90件次品”，B,表示事件“恰好有i件次品(i=0、1)”，C表

示事件“至少有2件次品”。E表示“從1500件產(chǎn)品中任取200件”

(1)N6國雕

N(A)二圖工既

謝一FT

(2)C=S-Bo-Bi

P(C)=P(S-Bo-B1)=P(S-[BoUB>])=l-P(Bo)-P(B1)

rzoori

HOP_tooHOC

()N⑸N⑸Tzoo~"

LisooLisoo

9.從5雙不同的鞋子中任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？

解、法一、設(shè)至少有兩只百口成一對的為事件A,這四只鞋中沒有配成一對的為事件入，則

—r4*?413

P(A)=1-P(A)=1--—=—

r21

故四只鞋中至少有兩雙配成一雙的概率為13/21

法二、設(shè)至少有兩只配成一對的為事件A,這四只鞋中沒有配成一對的為事件A,則

10*8*6*4

P(A)=1-P(A)=1-——當(dāng)——=—(因?yàn)椴豢紤]次序所以除以4!)

C,o21

故四只鞋中至少有兩雙配成一雙的概率為13/21

法三、設(shè)至少有兩只配成一對的為事件A,則

盤21

法四、設(shè)至少有兩只配成一對的為事件A,這四只鞋中沒有配成一對的為事件則

10*8求6*413

P(A)=1-P(A)=1-

10*9*8*721

10.在11張卡片上分別寫上probability這11個字母，從中任意連抽7張，求其排列結(jié)果

為ability的概率。

解：

方法一：假設(shè)連抽7張排列結(jié)果為ability為事件A

P(A)=

方法二：以A,B,C,D,E,F,G依次表示取得字母a,b,各事件，則所求概率為

P(ABCDEFG)=P(A)P(B|A)P(C|AB)P(DABC)P(E|ABCD)

為(FlABCDE)P(GlABCDEF)

1221111

一X-X-X-X-X—X-

U109876：

11、將3只球隨機(jī)地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數(shù)分別為1,2,3的概率。

解：將3只球隨機(jī)放入4個杯子中去的方法總數(shù)有4X4X4=《種

設(shè)杯子中球的最大個數(shù)為i個為事件

4x3x23

則有〃(4)=

8

9

?6

4

「⑷=￥

12、50只鉀釘隨機(jī)地取來用在10個部件上,其中有3只鉀釘強(qiáng)度太弱,每個部件用3只卸

釘。若將3只強(qiáng)度太弱的獅釘都用在一個部件上，則這個部件強(qiáng)度就太弱。問發(fā)生一個部件

強(qiáng)度太弱的概率是多少？

解：方法一

設(shè)一個部件輕度太弱為事件A

—%與c那F濯&_1

P(A)用同眠局嗝匕*F

方法二

將部件自1到10編號。E：隨機(jī)地取卸釘，使各部件都裝3只抑釘;以4表示事件“第i號

部件強(qiáng)度太弱”

P(4)二嗪19601.i=l,2,10

已知Al，人2,“410兩兩互不相容，因此，10個部件中有一個強(qiáng)度太弱的概率為

p=p{A】uA?u...u4劃

=P(4)+P(%)+??+p(Aio)

13、一俱樂部有五名一年級學(xué)生，2名二年級學(xué)生，3名三年級學(xué)生，2名四年級學(xué)生,

(1)在其中任選4名學(xué)生，求一、二、三、四年級的學(xué)生各一名的概率。

(2)在其中任選5名學(xué)生，求一、二、三、四年級的學(xué)生均包含在內(nèi)的概率。

解：（1）設(shè)所求事件為A事件

P(A)=

（2）設(shè)所求事件為B事件，B事件包括一二三四年級中有一個年級有兩人入選，其余年級

一人入選的四種情況。

*絆的%+c㈤華

P(B)=

=10/33

14.(1)已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求條件概率P(B|AUB)

先完整題干再解題?。。?/p>

(2)已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,求P(AUB)

P(AUB)=P(A)+P(B)—P(AB)

解：

PCBOAUB)

P(B|AUB)=P6<uB)

PCAB)

PUuB)

P(A)=1-P(A)

=1-0.3

=0.7

P(B)=1-P(B)

=1-0.4

=0.6

又,:

P(AB)=P(A)-P(AB)

=0.7-0.5

=0.2

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

=0.7+0.6-D.5

=0.8

?*?

P(AB)

P(B|AUB)=PB>

0.：

_OJ

=0.25

(2)I，

P<4S)

P(B|A)=p<A)

??

P(AB)=P(B|A)P(A)

11

_34

—zy\

1

?*?

P

p(A|B)=PE，

POB)

：.P(B)=P”|B>

1/12

1

=i

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

ill

=奉—五

1

-3

15.擲兩顆股子，已知兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率。

法一：題設(shè)的樣本空間為{(1,6)(2,5)(3,4)(6,1)(5,2)(4,3)},

由題得，其中有一顆為1點(diǎn)的事件有(1,6)(6,】)兩個樣本點(diǎn)

P(A)=-=-

設(shè)要求的事件為事件A6；

法二：投擲兩顆篩子其中一顆為一點(diǎn)為事件C

設(shè)投擲兩顆骰子，兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7為事件B

因?yàn)轭}設(shè)事件為dB

6

E^2X1-X-1

P(CB)=6tP(B)=6x<

所以,根據(jù)條件概率公式,

審

P(C|B)流C

布=1/3

16.根據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律:

P｛孩子得?。?0.6P｛母親得病|孩子得?。?0.5

P｛父親得病I母親及孩子得?。?.4

求母親及孩子得病但父親未得病的概率。

解：設(shè)孩子得病為事件A,母親得病為事件B,父親得病為事件C。

PG48c

則P(A)=0,6P(BA)=0.5=PJ)P(C|AB)=0.4=P(Xfl)

所以P(AB)=0.3P(ABC)=0.12

所以P(|AB)=0.6

P(ABC)=P(1|AB)XP(AB)=0,6><0,3=0.18

17.已知在10件產(chǎn)品中有2件次品，在其中取兩次，每次任取一件，作不放回抽樣，求下列

事件的概率：

（1）兩次都是正品；

（2）兩次都是次品；

（3）一件是正品一件是次品；

（4）第二次取出的是次品。

解（1）設(shè)連續(xù)兩次都是正品為事件A

872f

—X-=-

（2）設(shè)連續(xù)兩次都是次品為事件B

211

=-X-=—

P(B)1094:

（3）設(shè)一件是正品一伶是次品為事件C

28.821(

—X-+—X-=-

P(C)1091094!

（4）設(shè)第二次取出的是次品為事件D

21,821

—X-+—X-=?

P(D)=109109!

18.某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴枺笏麚芴柌怀^3次而接通

所需電話的概率。若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？

解：（1）設(shè)撥號不超過3次而接通所需電話為事件A

1,91.9813

—+X—+—X—X—=—

p（A）=1010910981C

<2）設(shè)在己知最后一個數(shù)字是奇數(shù)的情況下，撥號，:超過3次而接通所需電話為事件B

19.（1）設(shè)甲袋中裝有n只白球，m只紅球；乙袋中裝有N只白球、U只紅球。今從甲袋中

任意取一只放入乙袋中，再從乙袋中任意取一只球。問取到白球的概率是多少？

（2）第一只盒子中裝有5只紅球，4只白球：第二只盒子中裝有4只紅球、5只白球。

先從第一只盒中任取2只球放入第一盒中去，然后從第一盒中任取一只球，求取到白球的概

率是多少？

解：（1）設(shè)A,B分別表示“從甲袋取得白球，紅球放入乙袋”，C表示“再從乙袋中取得白

球”

因?yàn)镃=AC+BC且AB互斥

_n__*MH+.__m_?N

所以P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)N+M+ln-Hn

（2）設(shè)A為“從第一個盒子中取得兩只紅球”，B為“從第一個盒子中取得兩只白球”，C

為“從第一個盒子中取得一只紅球，一只白球”，D為“從第二個盒子中取得白球”

顯然A,B,C兩兩互斥,AUBUOS,

4*1+4*-+^*--

所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)金11C11二為

20.某種產(chǎn)品的商標(biāo)為“MAXAM”,其中有2個字母脫落，有人隨意放回，求放回后仍為“MAXAM”

的概率。

C種，其中不關(guān)心順序的2種，每種掉落的方式

解法一：任意拿下2個的方法總共

放回方式有2種，其中有錯誤的方式是Cr2

因此總的放回方式根據(jù)乘法原理是。瑟2,錯誤的放回方式為C

l-2o

設(shè)A表示“錯誤的放回方式”B表示“正確的放回方式"，顯然AUB=S,且A,B互斥

P(A)=q“=0.4

所以P(B)=l-p(A)=1-0.4=0.6

解法二：以A,B,C,D,E依次表示事件“脫落M、M”，“脫落A、A”“脫落M、A”“脫

落X、A”“脫落X、M”,以事件G表示事件“放回后仍為MAXAM”,所需求的是P(G),可知

A、B、C、D、E兩兩互不相容，且ALBUCUDUE=S。

ctqc遍c;c：c；c：

已知P(A)=CPO.1P(B)二凄0.1P(C)=cs=0.4P(D)=cs=0.2P(E)=cs=0.2

而P(G|A)=P(G|B)=1P(G|C)=P(G|D)=P(G|E)=0.5

由全概率公式得

P(G)=P(G|A)P(A)+P(G|B)P(B)+P(G|OP(C)+P(G|D)P(D)+P(G|E)

P(E)=0.1+0.1+0.2+0.HO.1=0.6

21.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25與是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)

地挑選一人，恰好是色盲者，問此人是男性的概率是多少？

解：設(shè)八=｛男人｝,B=｛女人｝,C=｛色盲｝。顯然AUB=S,且A,B互斥，所以由已知條件可知

P(A)=P(B)=2,P(C|A)=5%,P(C|B)=0.25%

P(AC)P(A)P(C|A)1*75Q2C

所以由貝葉斯公式，有P(A|C)麗麗布衍^^鼻m

22.一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若第一次及格則第二次

P

及格的概率也為P:若第一次不及格則第二次及格的概率為2

(1)若至少有?次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。

(2)若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。

解：用Ai表示“該學(xué)生第i次及格，(i=l,2)"，用B表示事件“該學(xué)生取得該資格”

已知P(A1)=P(A2|A1)=P,

(1)P(B)=\-P(B)=\-f\A｝A2)=\-P(A.)P(A214)

p3i

=l-(l-F)(l--)=-p--p2

(2)P(A1|A2)=P(A.A2)/P(A2)

P(A2|A1)P(A1)

=P(A2|A1)P(A1)+P(A2|1)P(1；

P*P

2p

3^+5

23.將兩信息分別編碼為A和B傳送出去，某接收系統(tǒng)接收時將A誤收為B的概率為0.02,

B被誤收為A的高率為0.D1,信息A和B傳送的頻繁程度為2：1?，F(xiàn)在該系統(tǒng)接收到信息A,

則原發(fā)信息也為A的概率是多少？

解：設(shè)C表示事件“將信息A傳遞出去”，則^表示事件”將信息B傳遞出去”，設(shè)D表示

事件“接收到信息A”，則B表示“接收到信息B”。本題所求概率為P(C|D：。

已知P(MC】=0.02,P(D|C=0.01,P(<2,

21

由于P(O+P(所以p(c)mp(c)=5

(CID)=-m=P(DIGP(”_=(i_o._i%

P(6叫D|GP(G+P(D今P(S(l-0.02)x1+0.01xi197

所以，p

24有兩箱同種類型的零件。第一箱裝50只，其中1()只一等品；第二箱30只，其中18只

一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。

求

(1)第一次取到的零件是一等品的概率。

(2)在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：用％表示“挑出第j箱產(chǎn)品"j=l,2,

用B,表示“第i次從箱中取到的是一等品“i=l、2

顯然P(A產(chǎn)P(A/l/2

(1)P(BI|A!)=10/50

P(B,A2)=18/30

全概率公式得：

P(B1)=P(B1|A,)P(A1)+P(B1|AJP(A2)

1101182

P(BJ=-x—+-x—

'2502305

(2)

P(BBJ=P(BE?|AJP(AJ+P(BIB2|A2)P(A2)

*

其中P(BR|A)=504*

1817

—X-

P(BR|AJ=30室

所以：

X_io9n

P(B，1BJ=^^1=25049123029=0<4856

P(BJ2

5

25.某人下午5:00下班，他所積累的資料表明:

到家時間5:35?5:395:40?5:445:45?5:495:50?5:54遲于5:54

乘地鐵概率0.100.250.450.150.05

乘汽車概率0.300.350.200.100.05

某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的

概率。

解：設(shè)他乘坐地鐵回家為事件A,設(shè)5:47即5:45?5:49到家是事件B。

P(AB)P(B|4)?P⑷

P(A|B)=

~P(BT=P(AyP(B\A)+P(A)-P(B\A)

0.45x0.5x0.5_9

0.5x0.45x0.5+0.5x0.20x0.5-13

26.病樹的主人外出，委托鄰居澆水，設(shè)已知如果不澆水，樹死去的概率為0.8.若澆水則樹

死去的概率為0.15。有0.9的把握確定鄰居會記得澆水。

(1)求主人回來時樹還活著的概率。

(2)若主人回來樹己死去，求鄰居忘記澆水的概率。

解：設(shè)主人回來時樹還活著為事件A,鄰居記得澆水為事件B。

⑴P(A)=0,9x(l-0,15)+0.1x(l-0.8)=0.785

⑵

P(3B)_0.8X0.1_16

P(B|3)

P(A)=1-0.215=4^

27、設(shè)本題設(shè)計的事件均有意義。設(shè)A、B都是事件

(1)已知P(A)>0,證明P(AB|A)2P(AB|A5)

(2)若P(A|B)=1,證明P(57)=1

(3)若設(shè)C也是事件，且有P(A|C)2P(B|C),P(A|C)2P(Bid證明

P(A)?P(B)

P(AAB)_P(AB^

解：(1)P(AB|A)=「3-PCA)

P(AUBAB：_P(AB)

P

P(ABlAMD=SUB〉P(AUB)

因?yàn)镻(A)&P(AB：筆誤?右邊是并吧

P(AB)、P(AB)

所以P(A)-P(AUB)

因此證明P(AB|A)2P(ABlAUn

P(成]1-P(AUB)1-P(A)-P(B)+P(AB)

(2)P(B|3)、6=i-P(A)=~1-PCA)

PCAB)

因?yàn)镻(A|B)F?

所以P(AB)=P(B)

l-P(A)—-—l-P(A):]

所以P(J4=—-1-P(A)-

(3)P(A)=P(AC)+P(A1)=P(A|C)P(C)+P(Al。)?(七)

P(B)=P(BC)+P(l￡)=P(B|C)P(C)+P(B?P￡)

所以P(A)-P(B)=P(C)(P(A|C)-P(B|C))+P(C)(P(A|t)-P(B|C))

已知P(A|C)2P(B|C)P(A|C)2P(B|C)

所以P(A)-P(B)20

所以P(A)2P(B)

28.有兩種花籽，發(fā)芽率分別為0.8和0.9,從中各取一個，設(shè)各花籽是否發(fā)芽相互獨(dú)立

(1)這兩顆花籽都能發(fā)芽的概率

(2)至少有一顆能發(fā)芽的概率

(3)恰有一顆能發(fā)芽的概率

解：設(shè)事件A為a花籽發(fā)芽，事件B為b花籽發(fā)芽

(1)P(AB)=P(A)P(B)=0.72

(2)P(A5)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.98

(3)P(ABU*)=P(A電)-P(AB)=0.26

29、根據(jù)報道美國人血型的分布近似地胃：A型為37%,。型為44%,B型為13%,AB

型為6%。夫妻擁有的血型是相互獨(dú)立的。

(1)B型的人只有輸入B、。兩種血型才安全。若妻為B型，夫?yàn)楹畏N血型未知，求夫

是妻的安全輸血者的概率，

(2)隨機(jī)地取一對夫婦，求妻為B型夫?yàn)锳型的概率。

(3)隨機(jī)地取一對夫婦，求其中一人為A型，另一人為B型的概率。

(4)隨機(jī)地取一對夫婦，求其中至少有一人是0型的概率。

解：設(shè)一個人的血型為A,B,0,AB分別為事件A,B,0,AB.

(1)設(shè)夫是妻的安全輸血者為事件C,則P(C)=P(B)+P(0)=13%+44%=0.57

(2)設(shè)妻為B型夫?yàn)锳型為事件D,則P(D)=P(B)?P(A)=13%X37%=0.0481

(4)設(shè)隨機(jī)地取一對夫婦，其中一人為A型，另一人為B型為事件X,則事件X包

括妻為B型夫?yàn)锳型和妻為A型夫?yàn)锽型，P(X)=P(A)-P(B)+

P(A)?P(B)=0.0962

(4)法?：設(shè)隨機(jī)地取一對夫婦，其中至少有一人是0型為事件Y,一個人的血型不是0

為事件5，則事件Y可表示為兩人恰有一人為0型和兩人都是0型，

P(Y)=P(0)?P(O)+P(0)?P(O)+P(0)-P(0)=0.6864

法二：設(shè)隨機(jī)地取一對夫婦，其中至少有一人是。型為事件Y,則事件Y的對立事件為

兩人都不是0型血(事件?)，則P(Y)=1-P(7)=1-P(5)?P(O)=0.6864

30、(1)給出事件A、B的例子,使得(i)P(A|B)VP(A),(ii)P(AIB)=P(A)(iii)

P(AlB)>P(A)

(2)設(shè)事件A、B、C相互獨(dú)立，證明：(i)C與AB相互獨(dú)立(ii)C與AuB相互犯立。

(3)設(shè)事件A的概率P(A)=0,證明對于任意另一事件B,有A、B相互獨(dú)立。

(4)證明事件A、B相互獨(dú)立的充要條件是P(AlB)=P(AlB)

答：(1)(i)當(dāng)事件B發(fā)生會是事件A發(fā)生的概率減小時，P(A|B)<P(A)

比如A是掩自行車上學(xué)的學(xué)生，B是男生，全集是所有學(xué)生

(ii)當(dāng)事件E發(fā)生對A沒有影響，即A、B互為獨(dú)立事件時，P(A|B)=P(A)

比如事件A是扔骰子得到一點(diǎn)，事件B是明天下雨。

(iii)當(dāng)事步B發(fā)生會是事件A發(fā)生的概率增加時，P(A|B)>P(A)

比如事件A是課余時間我去健身，事件B是課余時間室友們健身，顯然

他們很有可能對我的決定產(chǎn)生影響。

(2)(i)TA、B、C相互獨(dú)立

AP(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)

即P((AB)C)=P(AB)P(C)AC與AB相互獨(dú)立

(ii)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

，P(AUB)P(C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(AB)P(C)=P((AUB)C)

?"與AUB相互獨(dú)立

(3)因ABuA,故若P(A)=0,則

0?P(AB)?P(A)

從而P(AB)=0=P(B)-0=P(B)-PG\)

按定義，A,B相互獨(dú)立。

(4)必要性.設(shè)A,B相互獨(dú)立，則A,后也相互獨(dú)立，從而只P(A|B)=P(A),

P(A|R)=P(A).故P(A|B)=P(A|R).

充分性,設(shè)P(A|B)=P(A|B),按定義此式即表示

P(AB)+Q(4歷_P(45|J歷)_

P(AB)P(AB)

P⑻一P(B)

由比例的性質(zhì)得

P(AB)P(AB)+P(AB)_P(A(4J歷)_

=——/(A)

P(B)P(B)+P(B)I

31.設(shè)事件A,B的概率均大于零，說明以下敘述(1)必然對，(2)必然錯，(3)可能對。

并說明理由。

(1)若A與B互不相容，則它們相互獨(dú)立。

(2)若A與B相互獨(dú)立，則它們互不相容。

(3)P(A)=P(B)=0.6,且A,B互不相容。

(4)P(A)=P(B)=0.6,且A,B相互獨(dú)立。

解：

⑴、(2)必然錯

原因：若A,B相互獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P⑻比

若A,B互不相容，則AB=(D,即P(AB)=O

所以(1),(2)必須錯

(3)必然錯

原因：P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)^1

P(A)=P(B=O.6)筆誤

即P(AB)詞.2*0

則A,B不可能互不相容

(4)可能對

原因；當(dāng)P(AB)=P因)P(B)=0.36時,A,B相互獨(dú)立，否則A,B不相互獨(dú)立。

32.有一種檢驗(yàn)艾滋病毒的檢驗(yàn)法，其結(jié)果有概率0.005報道為假陽性(即不帶艾滋病毒者,

經(jīng)此法檢驗(yàn)有0.005的概率被認(rèn)為帶艾滋病毒)，今有140名不帶艾滋病毒的正常人全都接

受此種檢驗(yàn)，被報道至少有一人帶艾滋病毒的概率為多少？

解：設(shè)事件A表示被報道至少有一人帶艾滋病毒

,、X*P“o(￡

P(A)=fc=1

=1-P[40(0：

C°X(0.005)°X(0.995)14C

=1-140n

=0.5043

33、盒中有編號為1,2,3,4的4只球，隨機(jī)地自盒中取一只球，事件A為“取得的是1號

球或2號球”，事件B為“取得的是1號或3號球”，事件C為“取得的是1號或4號球”驗(yàn)

證:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),但P(ABC)HP(A)P(B)P(C),即

事件A,B,C兩兩獨(dú)立，但A,B,C不是相互獨(dú)立的.

解、由題意知，事件AB,AC,BC,ABC均為“取得的是1號球”

121

則P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)二一，且P(A)=P(B)=P(C)=-="

442

所以P(AB)=P(A)P(B)=1,P(AC)=P(A)P(C)=-,P(BC)=P(B)P(C)=-,

444

但P(ABC)=-^=P(A)P(B)P(C)=-<.

48

故可證明事件A,B,C兩兩獨(dú)立，但A,B,C不是相互獨(dú)立的。

34、試分別求以下兩個系統(tǒng)的可靠性：

(1)設(shè)有四個獨(dú)立工作的元件1,2,3,4,它們的可靠性分別為pl,p2,p3,p4,將它們按題

34圖(1)的方式連接(稱為并串聯(lián)系統(tǒng))

(2)設(shè)有5個獨(dú)立工作的元件1,2,3,4,5,它們的可靠性均為p,將它們按題34圖(2)的

方式連接(稱為橋式系統(tǒng))。

圖(1)

4

圖(2)

45

解：(1)設(shè)系統(tǒng)工作為事件B,元件1,2,3,4工作分別為事件Al,A2,A3,A4,則

P(B)=P(Al)P(A2A3UA4)

=P1[P(A2A3)+P(A4)-P(A2A3A4)]

=p1p2p3+p1p4-p1p2p3p4

(2)設(shè)系統(tǒng)工作為事件B,元件1,2,3,4,5工作分別為事件Al,A2,A3,A4,A5則

法一P(B)=P3P(A1UA4)P(A2UA5)+(1-P3)P(A1A2UA4A5)

=p(p+p-p*p)(p+p-p*p)+(l-p)(P*P+p*p-p*p*p*p)

=2p~+2p'-5p4+2

法二P(B)=P(Ah\2UAlA3A5UA4A5UA4A3A2)

=p(A1A2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)-P(A1A2A1A3A5)

-P(A1A2A4A5)-P(A1A2A4A3A2)-P(A1A3A5A4A5)-P(A1A3A5A4A3A2)

-P(A4A5A4A3A2)+P(A1A2A1A3A5A4A5)+P(A1A2A1A3A5A4A3A2)

+P(A1A2A4A5A4A3A2)+P(A1A3A5A4A5A4A3A2)

-P(A1A2A1A3A5A4A5A4A3A2)

=2p2+2p3-5p1+2p5

35、如果一危險情況C發(fā)生時，一電路閉合并發(fā)山警報，我么可以借用兩個或多個開關(guān)并聯(lián)

以改善可靠性.在C發(fā)生時這些開關(guān)每一個都應(yīng)閉合，且若至少一個開關(guān)閉合了，警報就發(fā)

出.如果兩個這樣的開關(guān)并聯(lián)連接，它們每個具有0.96的可靠性(即在情況C發(fā)生時閉合

的概率)，問這時系統(tǒng)的可靠性(即電路閉合的概率)是多少？如果需要有一個可靠性為

0.9999的系統(tǒng)，則至少需要用多少只開關(guān)并聯(lián)？設(shè)各開關(guān)閉合與否是相互獨(dú)立的.

解：法一

設(shè)A表示事件“第i只開關(guān)閉合”，則A表示事件“第i只開關(guān)斷開”，

i根據(jù)題意，A(iW")之間彼此獨(dú)立且P(A)=0.96.另設(shè)B表

示事件“有i個開關(guān)并聯(lián)時遇到情況C電路閉合”，ieN：

(1)當(dāng)有兩只開關(guān)井聯(lián)時，系統(tǒng)可靠性為

P(B4

=P(&uA2)

=1-P(>1U-2：

=l-p(加憶)

=1-P(41)P02)

=l-(l-0.96)(1-0.96)

=0.9984

當(dāng)有兩個開關(guān)并聯(lián)連接時，系統(tǒng)可靠性為0.9984.

(2)當(dāng)有n只開關(guān)并聯(lián)時，系統(tǒng)可靠性為

p(%

=p(u???u4)

仆兒)

=i-p11nl2n…

4)p(Z)???p(4)

=i-p

(i-o.%y

=i-

=1-0.04r

所以要使P(8種達(dá)到0.9999,即P(8力之0.9993,則

1-0,44.9999

即0.Wio.cool

即nlg0,04<1g0.0001

>一=上

即n一】g°a重25

因?yàn)閚只能為整數(shù)，所以n至少為3,即如果需要有一個可靠性為0.9999的系統(tǒng),

則至少需要用3只開關(guān)并聯(lián).

法二

1)解：設(shè)兩個開關(guān)分別為A和B.

電路的可靠性卻開關(guān)至少一個閉合，又因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，故

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=

P(A)+P(B)-P(A)*P(B)=O.96+0.96-0.96*0.96=0.9984

2)解：為使系統(tǒng)可靠性達(dá)到0.9999,設(shè)需要n個開關(guān)，第i個開關(guān)用X,表示，

n個開關(guān)相互獨(dú)立，同理，

P(X1+X2+X3+...+Xi+-+X?)

￡：，出)一工滔4/因?yàn)?+.??+(-1尸P(X/2??4)

則令n=3時,

P(X1+X2+X3)=P(X,)+P(X2)+P(X3)-P(X,X2)-P(X,X3)-P(X2X3)+P(X1X2X3)

=P(Xi)+P(X2)+P(x3)-p(X.X2)-P(X|X3)-P(X2X3)+P(X1)P(x2)P(x3)

=0.96*3-0.96*0.96*3+0.96：'

=0.99993620.9999

因此當(dāng)n=3時，已可以使系統(tǒng)達(dá)到要求的可靠性。故至少需要用3個這樣開關(guān)。

36、三人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知個人能譯出的概率分別為1/5,1/3,1/4.問三人中至少

有一人能將此密碼譯出的概率是多少？

解：

設(shè)4表示事件“第i個人譯出密碼"，i=l,2,3.4之間相互獨(dú)立。

則事件“至少一人能將此密碼譯出”即AiUAzUAa

pM1UA2UA3)

=1-Pdiu42U43)

=1-P(狎2%)

=1-P(畫P(%)P(%)

111

=1-(1-^)(I-1)(1；)

.3

二s

所以三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是3/5o

37.設(shè)第一只盒子中裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子中裝有2只藍(lán)球，3

只綠球，4只白球。獨(dú)立地分別在兩只盒子中各取一只球。

（1）求至少有一只藍(lán)球的概率

（2）求有一只藍(lán)球一只白球的概率

（3）已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率

解：（1）設(shè)“至少有一只藍(lán)球”為事件公，則其對立事件N為“兩只盒子都未抽到藍(lán)球”

「lxZ=j

因?yàn)樵趦芍缓凶又腥∏蛳嗷オ?dú)立，所以P（N）=7

則所求概率P（A）=1-p（刁）=1，

（2）設(shè)“有一只藍(lán)球一只白球”為事件B,“第一只盒子取到藍(lán)球，第二只盒子取到白球”

為事件C,“第一只盒子取到白球，第二只盒子取到藍(lán)球”為事件D

344224

—x―=——X———

則P(C)=7921p(D)=7963

4+4_16

由于事件C、D互斥，則所求概率P(B)=p(C)+p(D)=2163

（3）由（1）（2）所設(shè)及題意知所求概率為

_P(4B>_P(B)_165_1(

P(B|A)=T775-=F77r=^/^=i]

38.袋中裝有m枚正品硬幣、n枚次品硬幣(次品硬幣的兩