彈性波時間域正演理論基礎(chǔ)綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u3675彈性波時間域正演理論基礎(chǔ)綜述 156941.1彈性波波動方程的差分格式 1278831.2PML邊界條件 6301641.3數(shù)值穩(wěn)定性 91.1彈性波波動方程的差分格式在進行彈性波正演模擬時，常常需要對彈性波方程進行有限差分計算，有限差分法的基本原理是應(yīng)用泰勒級數(shù)對方程進行展開近似，將彈性波方程中的微分項用離散差分項替換，并進行差分系數(shù)的求解。本篇論文給出了較為詳細(xì)的推導(dǎo)過程，如下述所示。（1）一階速度-應(yīng)力彈性波方程通過對彈性波動力學(xué)的學(xué)習(xí)，我們可以通過三大方程整理并推導(dǎo)出彈性波波動方程。其中，幾何方程描述了物體位移與物體應(yīng)變的關(guān)系,其表達式為： εxx=本構(gòu)方程又稱為廣義胡克定律，是彈性波動理論的一個基本點，即給出了物體應(yīng)力與應(yīng)變之間的單值線性關(guān)系,具體表達式如下：σ（2-2）不同介質(zhì)條件下，彈性系數(shù)矩陣可以化簡為不同的形式，在各向同性介質(zhì)中，可以對彈性系數(shù)矩陣C進行如下形式的簡化：C=其中C11=C22=C33根據(jù)牛頓第二定律對物體的受力進行分析，則可以得到運動微分方程，表示形式如下: ?σxx通過幾何方程（2-1）、本構(gòu)方程（2-2）和運動平衡微分方程（2-3）三者之間的關(guān)系，在只考慮二維的條件下，一階速度-應(yīng)力彈性波方程的表示形式如下： ?vx在上式（2-4）中，vx,vz代表速度分量，σxx（2）彈性波方程時間上2M階差分近似在計算彈性波方程時間上2M階差分近似時，對上式（2-4）進行泰勒展開，以vx為例，將vx(t+v（2-5）同樣的方法對vz(t+Δtv（2-6）令t'=t?Δt2，同樣利用泰勒展開的思想，帶入上式（2-5）στ（2-7）則上式（2-5）、（2-6）以及（2-7）為彈性波方程時間上2M階差分近似格式。令2M=2時，即可求得彈性波方程時間上2階差分近似公式，具體表示形式如下： vx(t+（3）彈性波方程空間上2N階差分近似在計算彈性波方程空間上2N階差分近似時，對一個給定的函數(shù)f（x），如果它的各階導(dǎo)數(shù)都是關(guān)于變量x的單值連續(xù)函數(shù)，則它的泰勒展開可以表示為如下形式[25]：?f（2-9）對上式（2-9）進行整理，則可以改寫為：?f（2-10）在上式（2-10）中，Δx為網(wǎng)格間距，an、C?f（2-11）對上式（2-11）進行合并同類項整理可得：?f（2-12）對等式（2-12）左右兩側(cè)通過待定系數(shù)法進行整理，可得關(guān)于系數(shù)的變量方程：C1(N)將上式方程組（2-13）改寫成矩陣形式如下：135當(dāng)N的取值不同時，求解上式方程組（2-20）可得到不同的權(quán)系數(shù)Cn則彈性波方程空間上2N階差分近似為：?f（2-15）（4）彈性波波動方程的差分格式通過上述的推導(dǎo)過程，可以求得彈性波方程的時間上2階差分近似和空間上2N階差分近似，在求出彈性波方程的時間上2階差分近似和空間上2N階差分近似之后，進而求解彈性波方程的差分格式，設(shè)定相應(yīng)的交錯差分網(wǎng)格如圖2-1所示，則時間上2階差分精度、空間上2N階差分精度的差分格式計算方法如下所述。圖2-1O(Δt2+Δ設(shè)Ui,jk+1/2、Vi+1/2,j+1/2k+1/2、Ri+1/2,jk、UVRTH（2-16）1.2PML邊界條件在實際生產(chǎn)生活中，實際地下介質(zhì)為一個半無限的空間，對地下介質(zhì)進行數(shù)據(jù)采集時，實際數(shù)據(jù)量巨大，通常情況下都以T為單位，普通的計算機內(nèi)存很難滿足需求。因此，在進行地震波模擬時，需要對半無限空間進行人工截斷，引入一個邊界，但是邊界的出現(xiàn)使得地震波在傳播到邊界上時出現(xiàn)反射現(xiàn)象，形成干擾波。如何引入人工邊界，在截斷無限空間的同時也能保證盡量減小地震波的反射，削弱不必要的干擾波，是目前需要攻克的難題。1994年，Berenger利用電磁波的傳播特點，提出了一種高效的完美匹配層吸收邊界條件PML。通過文獻閱讀與分析，本篇論文選擇了效果相對較好的裂化PML邊界條件，該方法最早是由Berenger提出，后來，王守東[28]將該思想引入到聲波方程中,得出了令人滿意的數(shù)值模擬結(jié)果。PML示意圖如下圖2-2所示：圖2-2PML示意圖（據(jù)王守東[28]）下面給出在各向同性介質(zhì)中彈性波一階速度-應(yīng)力方程的PML吸收邊界條件的推導(dǎo)過程，對上式方程組（2-4）中速度、應(yīng)力進行變量分離，在二維的條件下，每一個變量都可分為如下的兩部分[29]：vx上式（2-17）中上標(biāo)x代表只與x的空間導(dǎo)數(shù)有關(guān)，上標(biāo)z代表只與z的空間導(dǎo)數(shù)有關(guān)，根據(jù)上式（2-17）對彈性波方程組（2-4）進行分裂，同時，引入與x、z方向?qū)?shù)有關(guān)的衰減因子dx、d(??t+d在式（2-18）中，dx、dz分別代表與x、z方向?qū)?shù)有關(guān)的衰減因子，對于衰減因子的選擇十分重要，通常dd其中，xδ區(qū)域1：d區(qū)域2：d區(qū)域3：d設(shè)Uxi,jk+1/2、Vxi+1/2,j+1/2k+1/2、RxUUVVRRzTHH（2-19）1.3數(shù)值穩(wěn)定性時間域彈性波方程有限差分解法是以一組以差分方程形式近似代替連續(xù)方程形式的彈性波方程，即將彈性波方程中的微分項用離散差分項替換，以差分方程組的解代替波動偏微分方程的解，差分格式對最終的計算結(jié)果有重要的影響。因此，如何在有限差分?jǐn)?shù)值模擬過程中確保穩(wěn)定性是一項難題。董良國[27]等人對一階彈性波波動方程進行了詳細(xì)的研究，