一、定理回顧：從定義到性質的邏輯鏈演講人CONTENTS定理回顧：從定義到性質的邏輯鏈基礎應用：直接利用定理求距離或證明相等綜合應用：與全等、軸對稱、坐標系結合動態(tài)幾何：在運動變化中把握定理本質總結與提升：從實例到思想的升華目錄2025八年級數(shù)學上冊角平分線性質定理應用實例課件各位同學、同仁，今天我們聚焦“角平分線性質定理”的應用實例展開探討。作為平面幾何的核心工具之一，這條定理不僅是八年級上冊“三角形全等”“軸對稱”章節(jié)的銜接橋梁，更是后續(xù)學習相似三角形、圓等內容的基礎。在多年教學中，我常發(fā)現(xiàn)學生對定理文字表述耳熟能詳，卻在具體問題中“找不到應用場景”或“用錯條件”。因此，本節(jié)課我們將通過典型實例，從基礎應用到綜合拓展，逐步拆解定理的使用邏輯，幫助大家建立“見角平分線，想距離相等”的幾何直覺。01定理回顧：從定義到性質的邏輯鏈定理回顧：從定義到性質的邏輯鏈要靈活應用定理，首先需精準把握其內涵。我們先通過“定義—定理—符號語言”的三重維度，回顧角平分線的核心內容。1角平分線的定義角平分線是“從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等角的射線”。這一定義包含三個關鍵要素：起點：角的頂點；方向：將原角等分為兩個角；形態(tài)：射線（非線段或直線）。例如，若∠AOB=60，OC為角平分線，則∠AOC=∠COB=30，OC的端點是O，向無限遠延伸。2性質定理的文字與符號表述1角平分線性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。2這里的“距離”特指“垂線段的長度”，即從該點向角的兩邊作垂線，兩條垂線段的長度相等。3符號語言可表述為（如圖1-1）：4∵OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，5∴PD=PE。6（插入圖1-1：角平分線OC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，標注PD=PE）3定理的逆向思考定理的逆命題同樣成立（需證明）：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。這是角平分線判定定理，與性質定理共同構成“角平分線與距離相等”的充要條件。教學中我常提醒學生：性質定理是“已知平分，證距離相等”；判定定理是“已知距離相等，證平分”。二者結合，可解決“找角平分線”“證點在線上”等問題。02基礎應用：直接利用定理求距離或證明相等基礎應用：直接利用定理求距離或證明相等從最簡單的場景入手，當題目中明確給出角平分線，且存在“點在角平分線上”“向兩邊作垂線”的條件時，可直接應用性質定理。1實例1：求點到邊的距離題目：如圖2-1，在△ABC中，∠C=90，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=3，AB=10，求點D到AB的距離。（插入圖2-1：直角△ABC，∠C=90，AD為∠BAC平分線，CD=3，AB=10）分析：目標：求D到AB的距離，即作DE⊥AB于E，求DE的長度。條件：AD是角平分線，D在AD上（角平分線上的點），且DC⊥AC（∠C=90，即DC是D到AC的距離）。應用定理：角平分線上的點到兩邊距離相等，故DE=DC=3。易錯點：部分同學可能混淆“D到AC的距離”與“AC的長度”，需明確“距離”是垂線段長度，此處DC恰好是垂線段（因∠C=90），無需額外作輔助線。2實例2：證明線段相等題目：如圖2-2，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，G是BD上一點，GH⊥AB于H，GK⊥BC于K。求證：DE=DF，GH=GK。（插入圖2-2：∠ABC被BD平分，DE⊥AB，DF⊥BC；G在BD上，GH⊥AB，GK⊥BC）證明思路：對D點：D在BD（角平分線）上，DE、DF分別是D到AB、BC的距離，由性質定理得DE=DF。對G點：G在BD上，GH、GK分別是G到AB、BC的距離，同理GH=GK。延伸思考：若題目進一步要求“比較DE與GH的大小”，需結合“角平分線上點的位置”分析——離頂點越遠，到兩邊的距離越大（如D在BD上，G在D與B之間，則GH<DE）。這一結論可通過相似三角形或三角函數(shù)驗證，為后續(xù)學習埋下伏筆。03綜合應用：與全等、軸對稱、坐標系結合綜合應用：與全等、軸對稱、坐標系結合角平分線性質定理很少單獨考查，更多與全等三角形、軸對稱變換、坐標系等知識融合，需綜合運用幾何思維。1與全等三角形結合：構造輔助線證全等題目：如圖3-1，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC交BC于D。求證：AB+BD=AC。（插入圖3-1：△ABC，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，D在BC上）分析：目標：證明AB+BD=AC，通常需構造“線段和”或“截長補短”。關鍵：AD是角平分線，可利用角平分線性質構造全等三角形。證明步驟：在AC上截取AE=AB，連接DE（截長法）。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD。在△ABD和△AED中：1與全等三角形結合：構造輔助線證全等AB=AE（截?。?，∠BAD=∠EAD（角平分線），AD=AD（公共邊），∴△ABD≌△AED（SAS）?！郆D=ED，∠B=∠AED（全等性質）?！摺螧=2∠C，∠AED=∠C+∠EDC（外角定理），∴2∠C=∠C+∠EDC?∠EDC=∠C?ED=EC（等角對等邊）?！郆D=EC（由BD=ED，ED=EC），故AB+BD=AE+EC=AC。教學反思：此題的關鍵是利用角平分線構造全等，將AB“轉移”到AC上，再通過角度關系證明BD=EC。學生常因想不到“截長補短”或忽略外角定理而卡殼，需強調“角平分線是構造全等的天然條件”。2與軸對稱結合：利用對稱性找最短路徑題目：如圖3-2，在銳角△ABC中，AB=AC=5，∠BAC=80，BD平分∠ABC，P是BD上一動點，求AP+CP的最小值。（插入圖3-2：等腰△ABC，AB=AC，BD為角平分線，P在BD上）分析：目標：AP+CP的最小值，需利用軸對稱性質（最短路徑問題）。關鍵：BD是角平分線，也是△ABC的對稱軸嗎？不，等腰△ABC的對稱軸是底邊BC的中垂線，但BD是角平分線，可嘗試作點C關于BD的對稱點。解題步驟：∵BD平分∠ABC，作點C關于BD的對稱點C'（根據(jù)角平分線的對稱性，C'必在AB上）。2與軸對稱結合：利用對稱性找最短路徑由對稱性知，PC=PC'，故AP+CP=AP+PC'≥AC'（兩點之間線段最短）。1計算AC'的長度：2∵AB=AC=5，∠BAC=80，3∴∠ABC=∠ACB=(180-80)/2=50，4∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=25。5點C關于BD對稱到C'，則∠C'BD=∠CBD=25，∠BC'P=∠BCP=50，6∴∠AC'B=180-∠ABC-∠BC'P=180-50-50=80，72與軸對稱結合：利用對稱性找最短路徑∴△ABC'中，∠BAC'=80，∠AC'B=80，∴△ABC'為等腰三角形，BC'=AB=5？不，需重新計算。（此處可能需調整思路：更簡單的方法是利用角平分線性質，結合等腰三角形三線合一。實際教學中，學生易混淆對稱軸，需強調“角平分線的對稱性”與“等腰三角形對稱軸”的區(qū)別。）正確思路：因BD是角平分線，P在BD上，AP+CP的最小值可轉化為點A到點C關于BD的對稱點的距離。通過計算可得，當P為BD與AC'的交點時，AP+CP=AC'=ABcos(∠BAC/2)=5cos40≈3.83（具體數(shù)值需用三角函數(shù)，八年級可保留符號）。2與軸對稱結合：利用對稱性找最短路徑總結：角平分線的對稱性是解決最短路徑問題的關鍵，需引導學生理解“對稱點必在角的另一邊”這一特性。3與坐標系結合：代數(shù)與幾何的融合題目：如圖3-3，在平面直角坐標系中，點A(0,4)，B(3,0)，OC平分∠AOB交AB于C，求點C的坐標。（插入圖3-3：坐標系中，A在y軸，B在x軸，OC平分∠AOB，C在AB上）分析：目標：求C點坐標，需利用角平分線性質定理或角平分線定理（八年級可通過距離相等求解）。角平分線定理（選講）：角平分線分對邊成比例，即AC/CB=OA/OB=4/3（證明可通過面積法或相似三角形）。解法1（利用距離相等）：3與坐標系結合：代數(shù)與幾何的融合設C(x,y)，在AB上，AB的直線方程為x/3+y/4=1，即4x+3y=12。OC平分∠AOB（x軸與y軸夾角90），故OC是y=x的角平分線？不，∠AOB=90，角平分線是y=x（當OA=OB時），但此處OA=4，OB=3，故角平分線不是y=x。正確方法：C在OC上，且OC平分∠AOB，故C到x軸和y軸的距離相等？不，角平分線性質定理是“到兩邊距離相等”，但OC是∠AOB的平分線，故C到OA（y軸）和OB（x軸）的距離相等，即C的橫坐標x（到y(tǒng)軸的距離）等于縱坐標y（到x軸的距離），即x=y。聯(lián)立方程：3與坐標系結合：代數(shù)與幾何的融合x=y，1故C(12/7,12/7)。2解法2（角平分線定理）：3角平分線定理指出，OC平分∠AOB，則AC/CB=OA/OB=4/3。4AB的長度：√(32+42)=5，5設AC=4k，CB=3k，4k+3k=5?k=5/7，6故C點坐標可通過分點公式計算：7x=(3×4k+0×3k)/(4k+3k)=12k/7=12/7，8y=(0×4k+4×3k)/(4k+3k)=12k/7=12/7，94x+3y=12?7x=12?x=12/7，y=12/7，103與坐標系結合：代數(shù)與幾何的融合結果一致。教學價值：此題將角平分線性質與坐標系結合，既鞏固了“距離”的代數(shù)表示（點(x,y)到x軸距離為|y|，到y(tǒng)軸距離為|x|），又引入角平分線定理（后續(xù)學習的重要工具），體現(xiàn)了幾何與代數(shù)的融合。04動態(tài)幾何：在運動變化中把握定理本質動態(tài)幾何：在運動變化中把握定理本質動態(tài)問題中，角平分線的位置或點的位置可能變化，但“到兩邊距離相等”的本質不變。通過分析變量與不變量，可找到解題突破口。1實例：點在角平分線上移動時的距離關系題目：如圖4-1，∠AOB=60，OC平分∠AOB，點P在OC上從O向無限遠移動，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。（1）求證：PD=PE；（2）當OP=2時，求PD的長度；（3）若PD=√3，求OP的長度。（插入圖4-1：∠AOB=60，OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB）解答：（1）由角平分線性質定理直接得PD=PE；（2）在Rt△OPD中，∠POD=30（OC平分60角），∴PD=OPsin30=2×1/2=1；1實例：點在角平分線上移動時的距離關系（3）同理，PD=OPsin30?OP=PD/sin30=√3/(1/2)=2√3。拓展：若∠AOB=α，OC平分∠AOB，P在OC上，OP=d，則PD=PE=dsin(α/2)。這一公式將角平分線性質與三角函數(shù)結合，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學思想。2實例：角平分線與動點形成的面積問題題目：如圖4-2，在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，點E在AD上運動（不與A、D重合），EF⊥AB于F，EG⊥AC于G。（1）求證：四邊形AFEG是正方形；（2）設AE=x，求四邊形AFEG的面積S與x的函數(shù)關系式。（插入圖4-2：等腰直角△ABC，AD平分∠BAC，E在AD上，EF⊥AB，EG⊥AC）分析：2實例：角平分線與動點形成的面積問題∵AD平分∠BAC（90），故∠BAD=45，EF⊥AB，EG⊥AC，故∠AFE=∠AGE=90，由角平分線性質，EF=EG，又∠FAG=90，故四邊形AFEG為矩形（三個直角），且鄰邊EF=EG，故為正方形。（1）證明正方形需證四邊相等且有直角：1（2）面積S=EF2，需用x表示EF：在Rt△AFE中，∠FAE=45，故EF=AF=AEsin45=x√2/2，∴S=(x√2/2)2=x2/2。22實例：角平分線與動點形成的面積問題教學啟示：動態(tài)問題中，角平分線性質提供了“距離相等”的不變量，結合角度關系（如45）可將變量（AE長度）與所求量（面積）關聯(lián)，體現(xiàn)了“以不變應萬變”的解題策略。05總結與提升：從實例到思想的升華總結與提升：從實例到思想的升華回顧本節(jié)課的實例，我們從基礎應用到綜合拓展，逐步深化了對角平分線性質定理的理解。定理的核心可概括為：角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等，這一“等距性”是解決幾何問題的關鍵工具。1知識網(wǎng)絡的構建角平分線性質定理連接了“角的相等”與“距離的相等”，是幾何中“轉化思想”的典型體現(xiàn)：1已知角平分線→轉化為距離相等（性質定理）；2已知距離相等→轉化為角平分線（判定定理）；