一、課程引言：從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，全等三角形的“變”與“不變”演講人CONTENTS課程引言：從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，全等三角形的“變”與“不變”動(dòng)態(tài)問(wèn)題的本質(zhì)與研究?jī)r(jià)值動(dòng)態(tài)問(wèn)題的常見(jiàn)類型與解題策略解題核心策略：“三抓一建”法典型例題精析與易錯(cuò)點(diǎn)警示課堂小結(jié)與課后延伸目錄2025八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)拓展課全等三角形動(dòng)態(tài)問(wèn)題課件01課程引言：從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，全等三角形的“變”與“不變”課程引言：從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，全等三角形的“變”與“不變”作為一線數(shù)學(xué)教師，我常觀察到一個(gè)有趣的現(xiàn)象：當(dāng)學(xué)生熟練掌握“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”等全等三角形判定定理后，面對(duì)題目中“點(diǎn)在邊上移動(dòng)”“圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”等動(dòng)態(tài)情境時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)思路卡頓。這種“靜態(tài)熟練、動(dòng)態(tài)迷?！钡姆床?，恰恰反映了幾何學(xué)習(xí)中從“固定圖形”到“運(yùn)動(dòng)圖形”的認(rèn)知跨越需求。今天這節(jié)拓展課，我們就來(lái)聚焦“全等三角形動(dòng)態(tài)問(wèn)題”，探索在變量中尋找不變關(guān)系的核心思維。02動(dòng)態(tài)問(wèn)題的本質(zhì)與研究?jī)r(jià)值1動(dòng)態(tài)問(wèn)題的定義與特征所謂“全等三角形動(dòng)態(tài)問(wèn)題”，是指在三角形的頂點(diǎn)、邊或整體發(fā)生平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，研究全等關(guān)系是否成立、何時(shí)成立或相關(guān)量（如邊長(zhǎng)、角度、面積）變化規(guī)律的問(wèn)題。其核心特征是：圖形位置或形狀的“動(dòng)”與全等條件的“靜”相互交織。例如，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的邊BC上從B向C移動(dòng)時(shí)，△ABP與△ACP的形狀不斷變化，但可能在某些位置滿足全等條件。2課程定位與教學(xué)目標(biāo)從教材體系看，人教版八年級(jí)上冊(cè)第十二章“全等三角形”的基礎(chǔ)內(nèi)容聚焦靜態(tài)圖形的判定與性質(zhì)，而動(dòng)態(tài)問(wèn)題是對(duì)這一知識(shí)的縱向延伸和綜合應(yīng)用。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)可拆解為：知識(shí)目標(biāo)：掌握動(dòng)態(tài)情境中全等三角形的判定方法，能識(shí)別運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變量（如公共邊、定角）；能力目標(biāo)：培養(yǎng)“用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析幾何問(wèn)題”的直觀想象能力，提升分類討論、邏輯推理的核心素養(yǎng)；情感目標(biāo)：通過(guò)“變中尋不變”的探索過(guò)程，感受幾何的動(dòng)態(tài)之美，增強(qiáng)解決復(fù)雜問(wèn)題的信心。321403動(dòng)態(tài)問(wèn)題的常見(jiàn)類型與解題策略1按運(yùn)動(dòng)對(duì)象分類：點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)1.1點(diǎn)動(dòng)型問(wèn)題：?jiǎn)吸c(diǎn)或多點(diǎn)沿路徑移動(dòng)這是最基礎(chǔ)的動(dòng)態(tài)類型，通常表現(xiàn)為一個(gè)或多個(gè)點(diǎn)在直線、射線或弧線上勻速運(yùn)動(dòng)，需分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的三角形是否全等。例1：如圖，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，點(diǎn)P從B出發(fā)沿BC向C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)沿CA向A以1cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤5）。是否存在t，使得△BPD與△CQD全等？（注：D為BC中點(diǎn)）分析步驟：明確動(dòng)點(diǎn)軌跡：P在BC上，BP=t，PC=6-t；Q在CA上，CQ=t，QA=5-t；1按運(yùn)動(dòng)對(duì)象分類：點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)1.1點(diǎn)動(dòng)型問(wèn)題：?jiǎn)吸c(diǎn)或多點(diǎn)沿路徑移動(dòng)確定全等條件：△BPD與△CQD全等需滿足對(duì)應(yīng)邊相等。因D是BC中點(diǎn)，BD=DC=3cm；分類討論：若∠B=∠C（△ABC為等腰三角形，∠B=∠C），則可能的全等組合為“邊角邊”（BD=CD，BP=CQ，∠B=∠C）；代入BP=t，CQ=t，BD=CD=3，可得t=3時(shí)，BP=CQ=3，滿足“邊角邊”，此時(shí)兩三角形全等；另一種可能是“邊邊邊”，但需驗(yàn)證PD=QD是否成立（需結(jié)合坐標(biāo)計(jì)算，此處略）。關(guān)鍵思維：將動(dòng)點(diǎn)位置用時(shí)間t表示，建立變量與全等條件的方程，通過(guò)分類討論排除不可能情況。1按運(yùn)動(dòng)對(duì)象分類：點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)1.2線動(dòng)型問(wèn)題：線段或直線的平移、旋轉(zhuǎn)此類問(wèn)題中，某條線段（如角平分線、中線）或直線（如對(duì)稱軸）發(fā)生運(yùn)動(dòng)，需分析運(yùn)動(dòng)前后或運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的三角形全等關(guān)系。例2：如圖，已知∠AOB=60，OC平分∠AOB，直線l從與OC重合的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與OA、OB分別交于點(diǎn)M、N。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為θ（0<θ<60）時(shí)，△OMC與△ONC是否全等？分析要點(diǎn)：初始狀態(tài)（θ=0）：l與OC重合，M、N重合于C，此時(shí)兩三角形退化為同一點(diǎn)，無(wú)意義；旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：OC為角平分線，∠MOC=∠NOC=θ（或60-θ，需根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向確定）；1按運(yùn)動(dòng)對(duì)象分類：點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)1.2線動(dòng)型問(wèn)題：線段或直線的平移、旋轉(zhuǎn)全等條件：若OM=ON，則由“邊角邊”（OC=OC，∠MOC=∠NOC，OM=ON）可得△OMC≌△ONC；結(jié)論：當(dāng)直線l旋轉(zhuǎn)至OM=ON時(shí)（即l為∠AOB的另一條角平分線或?qū)ΨQ位置），兩三角形全等。關(guān)鍵思維：抓住角平分線的“等角”特性，將線段的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為角度的變化，尋找滿足全等的對(duì)稱條件。1按運(yùn)動(dòng)對(duì)象分類：點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)1.3形動(dòng)型問(wèn)題：三角形整體的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)這是最復(fù)雜的動(dòng)態(tài)類型，涉及整個(gè)三角形的位置變換（如平移后與原三角形部分重疊）或形狀變換（如翻折后與原三角形形成對(duì)稱），需綜合運(yùn)用全等判定與圖形變換性質(zhì)。例3：如圖，將△ABC沿直線BC向右平移得到△DEF，其中E在線段BC上，連接AD、CF。求證：在平移過(guò)程中，△ABD≌△FCE恒成立。證明思路：平移性質(zhì)：AB=DE=CF（平移不改變邊長(zhǎng)），∠ABC=∠DEF（平移保持角度）；線段關(guān)系：BD=BC+CE（或BD=BE-DE，需根據(jù)平移距離確定），但更關(guān)鍵的是AB=FC（平移后AB對(duì)應(yīng)FC），∠ABD=∠FCE（平移后對(duì)應(yīng)角相等）；1按運(yùn)動(dòng)對(duì)象分類：點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)1.3形動(dòng)型問(wèn)題：三角形整體的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)全等判定：由AB=FC，∠ABD=∠FCE，BD=CE（平移距離相等，BD=BC-EC？需重新梳理），實(shí)際應(yīng)為AD平行且等于CF（平移性質(zhì)），結(jié)合AB=DE=CF，∠ABD=∠FCE（同位角相等），故△ABD≌△FCE（SAS）。關(guān)鍵思維：利用平移“對(duì)應(yīng)邊平行且相等”“對(duì)應(yīng)角相等”的性質(zhì)，將動(dòng)態(tài)變換轉(zhuǎn)化為靜態(tài)的全等條件。2按問(wèn)題類型分類：存在性問(wèn)題、恒成立問(wèn)題、最值問(wèn)題3.2.1存在性問(wèn)題：是否存在某時(shí)刻使三角形全等此類問(wèn)題需假設(shè)存在，通過(guò)建立方程求解，若有解則存在，無(wú)解則不存在。如例1中“是否存在t”即屬此類。2按問(wèn)題類型分類：存在性問(wèn)題、恒成立問(wèn)題、最值問(wèn)題2.2恒成立問(wèn)題：運(yùn)動(dòng)過(guò)程中全等關(guān)系始終成立需證明在任意位置下，全等條件均滿足。如例3中“平移過(guò)程中△ABD≌△FCE恒成立”，需利用變換的不變性（如平移的對(duì)應(yīng)邊、角相等）。2按問(wèn)題類型分類：存在性問(wèn)題、恒成立問(wèn)題、最值問(wèn)題2.3最值問(wèn)題：全等時(shí)相關(guān)量（如時(shí)間、長(zhǎng)度）的最值需結(jié)合全等條件與函數(shù)極值求解。例如：“點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，當(dāng)△ABP≌△ACP時(shí)，求BP的最小值”，此時(shí)需分析全等條件下BP的可能值，再確定最小值。04解題核心策略：“三抓一建”法1抓“不變量”：運(yùn)動(dòng)中的定邊、定角、定關(guān)系定邊：如公共邊（例1中的BD=DC）、原三角形的固定邊長(zhǎng)（AB=AC）；定角：如等腰三角形的底角（∠B=∠C）、直角（如含30角的直角三角形）；定關(guān)系：如中點(diǎn)（D為BC中點(diǎn)）、角平分線（OC平分∠AOB）。動(dòng)態(tài)問(wèn)題的本質(zhì)是“變量中的不變規(guī)律”，需首先識(shí)別圖形中的固定元素：2抓“對(duì)應(yīng)關(guān)系”：明確全等三角形的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，三角形的位置變化可能導(dǎo)致對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不明確，需通過(guò)以下方法確定：利用角度關(guān)系：若∠B=∠C，則對(duì)應(yīng)角可能為∠B與∠C；觀察運(yùn)動(dòng)軌跡：點(diǎn)P從B到C，對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q從C到A，可能對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)B→C，P→Q；標(biāo)注符號(hào)：用“△ABC≌△DEF”時(shí)，按順序標(biāo)注頂點(diǎn)，避免混亂。3抓“分類討論”：避免漏解的關(guān)鍵動(dòng)態(tài)問(wèn)題常因動(dòng)點(diǎn)位置、圖形方向不同導(dǎo)致多種全等情況，需分類討論：按運(yùn)動(dòng)階段分：如t在0-3秒和3-6秒時(shí)，點(diǎn)P的位置不同；按全等判定分：可能滿足SAS、ASA、SSS等不同判定，需逐一驗(yàn)證；按圖形位置分：如翻折可能有兩種方向，旋轉(zhuǎn)可能有順時(shí)針、逆時(shí)針。010302044建“數(shù)學(xué)模型”：用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，用t表示各邊長(zhǎng)度（如BP=t，CQ=2t）；根據(jù)全等條件列方程（如BP=CQ，AB=AC）；解方程并檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義（如t≥0，t≤邊長(zhǎng)限制）。將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題的常用手段：05典型例題精析與易錯(cuò)點(diǎn)警示1典型例題：從基礎(chǔ)到綜合例4（基礎(chǔ)題）：如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，且∠ADE=45。當(dāng)點(diǎn)D從B向C移動(dòng)時(shí)，是否存在位置使△ABD≌△DCE？分析：不變量：AB=AC，∠BAC=90，∠ADE=45；假設(shè)△ABD≌△DCE，則AB=DC，AD=DE，∠BAD=∠CDE；由AB=AC=DC，設(shè)AB=AC=a，則DC=a，BC=√2a，故BD=BC-DC=√2a-a；驗(yàn)證AD=DE：通過(guò)坐標(biāo)法（設(shè)A(0,0),B(a,0),C(0,a)，D(x,a-x)），計(jì)算AD和DE的長(zhǎng)度，可得當(dāng)x=a(√2-1)時(shí)，AD=DE；1典型例題：從基礎(chǔ)到綜合結(jié)論：存在這樣的點(diǎn)D。例5（綜合題）：如圖，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在BC上，△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為θ時(shí)，連接BD、CE，求證：BD=CE恒成立。證明：旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60；∠BAD=∠BAC-∠DAC=60-∠DAC；∠CAE=∠DAE-∠DAC=60-∠DAC；故∠BAD=∠CAE，由SAS可得△ABD≌△ACE；因此BD=CE恒成立。2易錯(cuò)點(diǎn)警示04030102漏判對(duì)應(yīng)關(guān)系：如將△ABP與△ACP的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)誤判為A→A，B→P，P→C，導(dǎo)致全等條件錯(cuò)誤；忽略運(yùn)動(dòng)范圍：解方程得t=7，但BC邊長(zhǎng)僅為6，未檢驗(yàn)t的合理性；混淆判定定理：用“SSA”證明全等（如已知兩邊及其中一邊的對(duì)角相等），需注意僅在直角三角形中成立；未考慮多解情況：如翻折問(wèn)題中，可能有兩種翻折方向，對(duì)應(yīng)兩種全等情況。06課堂小結(jié)與課后延伸1核心知識(shí)回顧01動(dòng)態(tài)全等問(wèn)題的本質(zhì)：在運(yùn)動(dòng)中尋找不變的全等條件；03數(shù)學(xué)思想：運(yùn)動(dòng)與靜止的辯證統(tǒng)一，數(shù)形結(jié)合，分類討論。02解題策略：抓不變量、明確對(duì)應(yīng)、分類討論、建立代數(shù)模型；2課后延伸建議基礎(chǔ)鞏固：完成教材P56“綜合運(yùn)用”第10題（點(diǎn)動(dòng)型全等問(wèn)題）；能力提升：探究“當(dāng)兩個(gè)等邊三角形繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，全等三角形的變化規(guī)律”；思維拓展：用幾何畫板模擬動(dòng)態(tài)過(guò)程，觀察全等條件的變化，加深直